湖北省孝感市重點(diǎn)高中教科研協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

2023年湖北省高二9月起點(diǎn)考試高二數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：孝昌一中命題教師：樂劍子審題學(xué)校：漢川一中考試時間：2023年09月07日下午15:0017:00 試卷滿分：150分注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.i C.0 D.13.已知，，則（）A. B. C. D.4.在四面體中，，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.5.從分別寫有1，2，3，4，5，6的六張卡片中，無放回地隨機(jī)抽取兩張，則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之積是5的倍數(shù)的概率為（）A. B. C. D.6.已知向量，是平面的兩個不相等的非零向量，非零向量是直線的一個方向向量，則“且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知，，則（）A. B. C.3 D.8.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C.平均數(shù)為2，方差為 D.中位數(shù)為3，方差為二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.某短視頻平臺以講故事，贊家鄉(xiāng)，聊美食，展才藝等形式展示了豐富多彩的新時代農(nóng)村生活，吸引了眾多粉絲，該平臺通過直播帶貨把家鄉(xiāng)的農(nóng)產(chǎn)品推銷到全國各地，從而推進(jìn)了“新時代鄉(xiāng)村振興”.從平臺的所有主播中，隨機(jī)選取300人進(jìn)行調(diào)查，其中青年人，中年人，其他人群三個年齡段的比例餅狀圖如圖1所示，各年齡段主播的性別百分比等高堆積條形圖如圖2所示，則下列說法正確的有（）圖1 圖2A.該平臺女性主播占比的估計(jì)值為B.從所調(diào)查的主播中，隨機(jī)抽取一位參加短視頻剪輯培訓(xùn)，則被抽到的主播是中年男性的概率為C.按年齡段把所調(diào)查的主播分為三層，用分層抽樣法抽取20名主播擔(dān)當(dāng)平臺監(jiān)管，若樣本量按比例分配，則中年主播應(yīng)抽取6名D.從所調(diào)查的青年人主播中，隨機(jī)選取一位做為幸運(yùn)主播，是女性的概率為10.已知不同直線，，不同平面，，，下列說法正確的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則11.拋擲一黃一白兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用表示黃色骰子朝上的點(diǎn)數(shù)，表示白色骰子朝上的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)的結(jié)果，該試驗(yàn)的樣本空間為，事件“關(guān)于的方程無實(shí)根”，事件“”，事件“”，事件“”則（）A.與互斥 B.與對立C.與相互獨(dú)立 D.與相互獨(dú)立12.如圖，棱長為6的正方體中，點(diǎn)、滿足，，其中、，點(diǎn)是正方體表面上一動點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，平面B.當(dāng)時，若平面，則的最大值為C.當(dāng)時，若，則點(diǎn)的軌跡長度為D.過、、三點(diǎn)作正方體的截面，截面圖形可以為矩形三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，，若，則______.14.在三棱錐中，，，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為______.15.甲、乙兩人獨(dú)立破譯一份密碼，已知各人能破譯密碼的概率分別是，，則密碼被成功破譯的概率為______.16.在梯形中，，，，將沿折起，連接，得到三棱錐當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時，該三棱錐的外接球的表面積為______.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）如圖所示，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長度都為2，且兩兩夾角為60°.（1）求的長；（2）求與夾角的余弦值.18.（本小題滿分12分）在中，角、、所對的邊分別為、、，滿足（1）求角的大?。唬?）若，且，，求的面積.19.（本小題滿分12分）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，…，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）求樣本成績的第75百分位數(shù)；（3）已知落在的平均成績是61，方差是7，落在的平均成績?yōu)?0，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差.20.（本小題滿分12分）如圖，三棱柱中，側(cè)面為矩形，且，為的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）求直線與平面的夾角的正弦值.21.（本小題滿分12分）第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日至10月8日舉辦.本屆亞運(yùn)會共設(shè)40個競賽大項(xiàng).其中首次增設(shè)了電子競技項(xiàng)目.與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來一個新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞.傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個隊(duì)伍只有失敗了兩場才會淘汰出局，因此更有容錯率.假設(shè)最終進(jìn)入到半決賽有四支隊(duì)伍，淘汰賽制下會將他們四支隊(duì)伍兩兩分組進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入到總決寨，總決賽的勝者即為最終的冠軍.雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進(jìn)入到勝者組，敗者進(jìn)入到敗者組，勝者組兩個隊(duì)伍對決的勝者將進(jìn)入到總決賽，敗者進(jìn)入到敗者組.之前進(jìn)入到敗者組的兩個隊(duì)伍對決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對決，其中的勝者進(jìn)入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍.雙敗賽制下會發(fā)現(xiàn)一個有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場比賽即總決賽就無法拿到冠軍，但是其它的隊(duì)伍卻有一次失敗的機(jī)會，近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個賽制對強(qiáng)者不公平，是否真的如此呢？雙敗賽制流程圖這里我們簡單研究一下兩個賽制，假設(shè)四支隊(duì)伍分別為、、、，其中對陣其他三個隊(duì)伍獲勝概率均為，另外三支隊(duì)伍彼此之間對陣時獲勝概率均為.最初分組時同組，同級.（1）若，在淘汰賽賽制下，、獲得冠軍的概率分別為多少？（2）分別計(jì)算兩種賽制下獲得冠軍的概率（用表示），并據(jù)此簡單分析一下雙敗賽制下對隊(duì)伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對強(qiáng)者不公平”？22.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，在菱形中，，，平面平面，，分別是線段、的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；（3）若點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.2023年湖北省高二9月起點(diǎn)考試高二數(shù)學(xué)試卷解析一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目的要求）1.C8.對于A，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，2，5，6時，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，所以A錯誤。對于B，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時，中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，所以B錯誤，對于C，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)6點(diǎn)，則方差當(dāng)平均數(shù)為2，方差為2.4是一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，所以C正確，對于D，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時，中位數(shù)為3，平均數(shù)為3，方差，可以出現(xiàn)6，所以D錯誤，故選C二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。）12以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，，設(shè)平面的法向量為，，則，取，可得，所以，則，因?yàn)槠矫?，故?dāng)時，平面，A對；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，為中點(diǎn)分別取、中點(diǎn)、，連接、、、、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅?，則，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得，平面，因?yàn)?，、平面，所以平面平面，?dāng)點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)（異于點(diǎn)）時，則平面，則平面，故點(diǎn)的軌跡為的邊（除去點(diǎn)），因?yàn)椋砜傻?，結(jié)合圖形可得，B正確；當(dāng)時，、分別為、的中點(diǎn)，如圖所示：此時點(diǎn)、、，，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動時，設(shè)點(diǎn)，其中，，則，因?yàn)?，則，解得，設(shè)點(diǎn)的軌跡分別交棱、于點(diǎn)、，則、，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動時，設(shè)點(diǎn)，其中，，，則，設(shè)點(diǎn)的軌跡交棱于點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)的軌跡交棱于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四邊形為平行四邊形，且，，因此，點(diǎn)的軌跡的長度即為平行四邊形的周長，C對；對于D選項(xiàng)，設(shè)截面交棱于點(diǎn)，連接、，題意可知，截面與平面重合，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四邊形為平行四邊形，易知，其中，所以，，所以，故與不可能垂直，故平行四邊形不可能為矩形，故過、、三點(diǎn)的截面不可能是矩形，D錯.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13. 14. 15. 16.16.解：過點(diǎn)作，垂足為，如圖1.∵為等腰梯形，，，∴，，∴，由余弦定理得，即，∵，∴，易知，當(dāng)平面平面時，三棱錐體積最大，如圖2此時，平面，易知，，記為外接球球心，半徑為，∵平面，，∴到平面的距離，又的外接圓半徑，∴，∴圖1 圖2四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.解：記，，，則，∴……2分（1）……4分∴……5分（2）∵，，∴，……7分∴……9分∴.……10分18.解：（1）在中，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，所以?分∵、，則，所以，因此.……6分（2）∵，且，，∴，，……7分在中，由余弦定理有，即，即，∵，解得……10分所以.……12分19.解：（1）∵每組小矩形的面積之和為1，∴，∴.……2分（2）成績落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，設(shè)第75百分位數(shù)為，由，得，故第75百分位數(shù)為84；……6分（3）由圖可知，成績在的市民人數(shù)為，成績在的市民人數(shù)為，故……9分設(shè)成績在中10人的分?jǐn)?shù)分別為；成績在中20人的分?jǐn)?shù)分別為，則由題意可得，，∴，，∴……12分20.證明：（1）連接與交于點(diǎn)，連接∵為三棱柱，∴為平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)又∵為的中點(diǎn)，則又∵平面，平面，∴平面.……4分（2）∵，，，∴平面，∵平面，∴，∴∵，，，∴，即……6分以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，∴，，，……8分設(shè)平面的法向量為，則，即令，，，∴……10分設(shè)直線與平面的夾角為，∴∴直線與平面的夾角的正弦值為.……12分21.解：（1）記，拿到冠軍分別為事件，，淘汰賽賽制下，只需要連贏兩場即可拿到冠軍，因此，……2分對于想拿到冠軍，首先得戰(zhàn)勝，然后戰(zhàn)勝，中的勝者，因此.……5分（2）記兩種賽制下獲得冠軍的概率分別為，，則.……6分而雙敗賽制下，獲得冠軍有三種可能性：①直接連贏三局；②從勝者組掉入敗者組然后殺回總決賽；③直接掉入敗者組拿到冠軍.∴，……8分∴，則不論哪種賽制下，獲得冠軍的概率均小于……10分而若，則，若，則綜上可知：雙敗賽制下，會使得強(qiáng)者拿到冠軍概率變大，弱者拿到冠軍的概率變低，更加有利于篩選出“強(qiáng)者”，人們“對強(qiáng)者不公平”的質(zhì)疑是不對的.……12分22.證明：（1）連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，為中點(diǎn)，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，……2分由題設(shè)知四邊形為菱形，∴，∵，分別為，中點(diǎn)，∴，∴，又，，平面