線性系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助分析

2012/3/111

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描逑與建模

工;aim力g

2012/3/11

■在線性系統(tǒng)理論中，一般常用的數(shù)學(xué)模型

形式有：

■系統(tǒng)的外部模型

■微分方程模型

■傳遞函數(shù)模型

■零極點(diǎn)增益模型

■部分分式模型

■系統(tǒng)的內(nèi)部模型

■狀態(tài)方程模型，系統(tǒng)仿真中常常使用此類模型

■這些模型之間有內(nèi)在的聯(lián)系，可以相互進(jìn)

行轉(zhuǎn)換。

2012/3/113

線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程模型

■微分方程是控制系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)，一般來

講，利用機(jī)械學(xué)、電學(xué)、力學(xué)等物理規(guī)律,

便可以得到控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程，這些方

程對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)而言是一種常系

數(shù)的線性微分方程。

■如果已知輸入量及變量的初始條件，對微

分方程進(jìn)行求解，就可以得到系統(tǒng)輸出量

的表達(dá)式，并由此對系統(tǒng)進(jìn)行性能分析。

2012/3/114

線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程模型

■通過拉氏變換和反變換，可以得到線性定

常系統(tǒng)的解析解，這種方法通常只適用于

常系數(shù)的線性微分方程

■解析解是精確的，然而通常尋找解析解是

困難的。

■MATLAB提供了odc23、ode45等微分方程的

數(shù)值解法函數(shù)，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，

也適用于非線性及時(shí)變系統(tǒng)。

2012/3/115

控制余統(tǒng)的教學(xué)模型

???—

2012/3/116

■先建立部件（環(huán)節(jié)）的微分方程

■然后建立控制系統(tǒng)的微分方程

■微分方程是系統(tǒng)所遵循的運(yùn)動(dòng)規(guī)律直接得

出的時(shí)域由各變量的關(guān)系式。

■建立模型的方法

根據(jù)不同系統(tǒng)（電、力、熱等）所遵循的

運(yùn)動(dòng)或變化規(guī)律列寫方程。

2012/3/117

線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程模型

exp3_l.m

■電路圖如下，R=L4歐，L=2亨，C=0.32法，初

始狀態(tài)：電感電流為零，電容電壓為0.5V,t=0

時(shí)刻接入IV的電壓，求Ovtvl5s時(shí)，，(t),%(t)的

值，并且畫出電流與電容電壓的關(guān)系曲線。

u=L—Ri+u

dt

i=C--

dt

2

一dudu

LC—f+RC-M+M

dt~dt

2

duRdu。11

+--------——Uc'

2012/3/11drLdtLC8

f⑴

(1)單位脈沖(0

(2)單位階躍1(0

(3)單位的It

2

(4)單位加速度t/2

at

(5)ms*e

(6)正弦豳數(shù)sint

(7)余弦豳敗cost

2012/3/119

M

a1d”a2dM.一?a田C+“m)b2r-mbmr

L:設(shè)初始條件為0

11n-111-2mml

a^+a2sa3s+???ans+an+1Qs)b1S+b2s□+bms*R(s)

???+4)3+i

G(3…笆

H(s)qs〃+a2s...+a“san+x

輸出/輸入

2012/3/1110

傳遞函數(shù)描述

、連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型

■連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下：

C(S)b《+bS'…+b“Sbm+x

n-n---------------------------

R(s)axs+a2s...+ansan+x

■對線性定常系統(tǒng)，式中S的系數(shù)均為常數(shù)，且函不等于零，

這時(shí)系統(tǒng)在MATLAB中可以方便地由分子和分母系數(shù)構(gòu)成

的0個(gè)向量唯一地確定出來，這兩個(gè)向量分別用和

表示。

num=[b1?b2?...,bm?bm+1]

den-[a],a2,???,％聲□+]]

注意：它們都是按s的降幕進(jìn)行排列的。

2012/3/1111

、零極點(diǎn)增益模型

■零極點(diǎn)模型實(shí)際上是傳遞函數(shù)模型的另一種表現(xiàn)形式，其

原理是分別對原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子、分母進(jìn)行分解因式

處理，以獲得系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的表示形式。

G⑸二K:4)(sZ2)…(sz」

(sPi)(sP2)???($

■K為系統(tǒng)增益，4為零點(diǎn)，Pj為極點(diǎn)

■在MATLAB中零極點(diǎn)增益模型用[z,p,K]矢量組表示。即：

Z-[Zj,Z2，..??Zm]

P=[P1，P2,…,Pn〕

K=[K]

加函數(shù)可以用來求傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)和增益。

201tf2zp()12

三、部分分式展開

■控制系統(tǒng)常用到并聯(lián)系統(tǒng)，這時(shí)就要對系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行

分解，使其表現(xiàn)為一些基本控制單元的和的形式。

G(s)=--一左(s)

IsPi

■函數(shù)|r,p,k]=residue(b,a)對兩個(gè)多項(xiàng)式的比進(jìn)行部分展

開，以及把傳函分解為微分單元的形式。

■向量b和a是按s的降幕排列的多項(xiàng)式系數(shù)。部分分式展

開后，余數(shù)返回到向量r,極點(diǎn)返回到列向量p,常數(shù)

項(xiàng)返回到k。

■若分子多項(xiàng)式階次與分母多項(xiàng)式相等，k為標(biāo)量，若小

于，該項(xiàng)不存在。

■[b,a]=residue(r,p,k)pT以將部分分式轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式比

2012/3/%)頌0)。13I

舉例

1.傳遞函數(shù)描述

?、12?+24?20

1)G(s)二一7----；----；-------

2/+4?6s2+2s2

》num=[l2,24,0,20];den=[24622];

4(s+2)(16s+6)2

2)G(s)=

s(s+l)3(s33/+2s5)

借助多項(xiàng)式乘法函數(shù)conv來處理：

》num=4*conv([l,2],conv([l,6,6],[1,6,6]));

》den=conv([l,0],conv([l,l],conv([l,l],conv([l,l],[l,392,5]

2012/3/1114

2.零極點(diǎn)增益模型

1+1卜230s

G(s)=

/+9?45?+87550

z=p=k=

》num=[l,11,30,0];0-3.0000+4.0000i1

》den=[l,9,45,87,50];_6-3.0000-4.0000i

》

[z,p,k]=tf2zp(num5den)_5-2.0000

-1.0000

結(jié)果表達(dá)式：G(S)_s(s+6)(s5)

⑻=(s+l)(s2)(s+34力(s+34))

2012/3/1115

3.部分分式展開

2s3+9s1

G(s)=

53+s24s+4

》num=[2,0,9?l];

》den=[l,1,4,4]；rPk

w「…ii、0.0000-0.2500i0.0000+2.0000i2

》[r,p,k]=residue(num?den)

0.0000+0.2500i0.0000-2.0000i

結(jié)果表達(dá)式:-2.0000-1.0000

0.25z0.25z2

G(s)=2---------------1------------

s2is2i5+1

2012/3/1116

內(nèi)部模型

、、研究控制系統(tǒng)的兩種方法

1、建立在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上的經(jīng)典控制理論，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

是微分方程和積分變換。（40—50年代）傳遞函數(shù)描

述實(shí)際是一種外部描述法，即輸入一輸出描述，它的

前提是把系統(tǒng)視為一個(gè)“黑箱”，不去表征系統(tǒng)的內(nèi)

部結(jié)構(gòu)和內(nèi)部變量，只是反映外部變量間的因果關(guān)系,

即輸入一輸出間的因果關(guān)系。（見圖1）

A%

%

*y2

up

系統(tǒng)是由一些相互制約的部分構(gòu)成的整體，方塊以

2012/3/11外部分稱為系統(tǒng)環(huán)境。系統(tǒng)輸入、系統(tǒng)輸出統(tǒng)稱為闔

統(tǒng)外部變量。

2、建立在狀態(tài)空間描述基礎(chǔ)上的現(xiàn)代控制理論，其

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是線性代數(shù)和矩陣?yán)碚?。?0年代一現(xiàn)

在）

現(xiàn)代控制理論一般采用內(nèi)部描述。

內(nèi)部描述是基于系統(tǒng)內(nèi)部分析的一類數(shù)學(xué)模型，

它不僅考慮系統(tǒng)的外部變量（輸入、輸出），還要考

慮系統(tǒng)的內(nèi)部變量（狀態(tài)變量）。它需要有2個(gè)數(shù)學(xué)

方程來組成。一個(gè)是反映系統(tǒng)內(nèi)部變量組和輸入變量

空間的因果關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱狀態(tài)方程。另一個(gè)

是表征系統(tǒng)內(nèi)部變量組及輸入變量組和輸出變量組間

轉(zhuǎn)換關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱輸出方程。

%*Yi

%AY2

Xi,-X3,……,Xn

Tq

2012/3/1118

狀態(tài)空間描述的~

一、基本定義

先看一個(gè)RLC電力的例子

圖中，u-輸入變量

列寫微分方程：---------------

°如二,圖1」

dt

di.

LFRi4+〃2

dt

LC、RC皿uc+u

消去中間變量：dtdt

U"1

U(s)LCS^RCS1

2012/轉(zhuǎn)函表示形式:19

一階微分方程表示形式：

.du1.

u=-c--i

cdtc

：di1R.1

i——=—u?—i—u

dtLcLL

向量矩陣表示形式：

uc07?u0

=

J1R;1

T1T

在向量矩陣表示形式中，如果令占=%X2=i

則其變?yōu)?/p>

60/匹0

二u

土J_區(qū)Y±

?/V°TT9r

2012/3/1120

X00

Y—1,A_L,b=

R'J_

再令LLL

則可寫為：X=AXbu

1、狀態(tài)變量：足以完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最

小個(gè)數(shù)的一組變量稱為狀態(tài)變量。如果給定了

t二to時(shí)刻這組變量值，和t>=to時(shí)輸入的時(shí)間

函數(shù)，那么，系統(tǒng)在t〉二to的任何瞬間的行為

就完全確定了。

2、狀態(tài)向量：以狀態(tài)變量為元所組成的向量，稱

為狀態(tài)向量。如Xi(t)、X2(t)……X"t)是系統(tǒng)

一組狀態(tài)變量。則狀態(tài)向量為：

工()

X。)=2」或x7再⑺，》2。)…%?)]

2012/3/11%”)21

3、狀態(tài)空間：以狀態(tài)變量Xi，X2,…Xn為坐標(biāo)軸，

組成的n維空間稱為狀態(tài)空間。狀態(tài)空間中的

每一點(diǎn)都代表了狀態(tài)變量的唯一的，特定的一

組值。狀態(tài)隨時(shí)間的變化過程，則構(gòu)成了狀態(tài)

空間中的一條軌跡，這條軌跡稱為狀態(tài)軌跡。

4、狀態(tài)方程：由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微

分方程組稱為狀態(tài)方程。狀態(tài)方程反映了輸入

與狀態(tài)變量間的關(guān)系。

X—AXbu

5、輸出方程：系統(tǒng)輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)

系。例如，前例中，若取心為輸出，則有y二『

寫出矩陣形式：歹=口0］西

2012/3/11Y22

若指定i為輸出，貝1Jy=ix2y=[。i]

若指定外,妁為輸出，則

x

必二以i必=1o演Y=(

=ix1

y22y2°9

、狀態(tài)空間表達(dá)式:

系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程合起來稱為系統(tǒng)的狀

態(tài)空間表達(dá)式，或稱狀態(tài)空間描述。

對于前例，其狀態(tài)空間描述為：

rX-AXbu

ty=cx

2012/3/1123

一般，多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為:

X=AXBU

U

2012/3/1124

必

2012/3/1125

狀態(tài)空間描述

■狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為狀態(tài)空間表達(dá)式，又

稱為動(dòng)態(tài)方程，經(jīng)典控制理論用傳遞函數(shù)將輸入一輸

出關(guān)系表達(dá)出來，而現(xiàn)代控制理論則用狀態(tài)方程和輸

出方程來表達(dá)輸入一輸出關(guān)系，揭示了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)

對系統(tǒng)性能的影響。

x=AxBu

y=CxDu

■在MATLAB中，系統(tǒng)狀態(tài)空間用（A,B,C,D）矩陣組

表示.

2012/3/1126

狀態(tài)空間描述

系統(tǒng)為一個(gè)兩輸入兩輸出系統(tǒng)

1691046

3126824

X=XU

4791122

512131410

0021

y=x

8022

》A=[l6910;31268;47911;5121314];

》B=[46;24;22;10];

》C=[0021;8022];

》D=zeros(2,2);

2012/3/1127

模型的轉(zhuǎn)換

一、模型的轉(zhuǎn)換

■在一些場合下需要用到某種模型，而在另外一些場合

下可能需要另外的模型，這就需要進(jìn)行模型的轉(zhuǎn)換。

■模型轉(zhuǎn)換的函數(shù)包括：

residue：傳遞函數(shù)模型與部分分式模型互換

ss2tf：狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型

ss2zp：狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型

tf2ss：傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型（可控標(biāo)準(zhǔn)型）

tf2zp：傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型

zp2ss：零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型

zp2tf：零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型

2012/3/1128

模型的轉(zhuǎn)換

1)已知系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為：/=；；X；〃

A=[01;l-2];B=[0;l];

C=[1,3]；D=[1]；V=3卜u

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)

%iu用來指定第n個(gè)輸入，當(dāng)只有一個(gè)輸入時(shí)可忽略。

》num=l52;den=l21;

s2+5s2

G(s)=

s?+2sT

》[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,iu)

》z=-4.5616p=-1k=l

-0.4384-1

l*(s+4.5616)(s0.4384)

G(s)=

2012/3/1129

模型的轉(zhuǎn)換

2)已知一個(gè)單輸入三輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為:

G]](s)=九2——/--------G21(^)=-——1——

〃(s)513+6s211s+6/6s~+lls6

S2+2S

q(\+K“+6

num=[O0-2;0-1-5;12O];den=[l6116];

[A,B,C,D]=tf2ss(num?den)

》A=-6-11-6B=1C=00-2D=0

10000-1-50

01001200

2012/3/1130

3）系統(tǒng)的零極點(diǎn)增益模型:

6(s+3)

G(s)=

(s+l)(s2)(s+5)

z=[-3];p=[-l,-2,-5];k=6;

[num,den]=zp2tf(z9p,k)

》num=00618den=181710

[a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k)

有兩個(gè)內(nèi)部

》a=-1.000000b=l變量

2.0000-7.0000-3.16231

03.162300

c=001.8974d=0

股。涉蠢1零極點(diǎn)的輸入可以寫出行向量，也可以寫出列向量。31

4）已知部分分式:

0.25z0.25/2

G(s)=2-----1----------

s2，52/s+1

r=[-0.25i,0.25i,-2];

p=[2i,-2i,-l];k=2;

[num,den]=residue(r,p,k)

》num=

2091

》den=

1144

■注意余式一定要與極點(diǎn)相對應(yīng)。

2012/3/1132

模型的連接

并聯(lián)

麗，

控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)一MATLAB語

2012/3/11言與應(yīng)用

parallel

[a,b?c,d]=parallel(al,bl,cl,dl,a2,b2,c2,d2)

■并聯(lián)連接兩個(gè)狀態(tài)空間系統(tǒng)。

[a,b,c?d]=parallel(al,bl,cl,dl#2,b2,c2,d2,inp1,inp2,outl?out2)

■inpl和inp2分別指定兩系統(tǒng)中要連接在一起的輸入端編號，從

ul,u2,...,un依次編號為1,2,…再；outl和out2分別指定要作相加的輸

出端編號，編號方式與輸入類似。inpl和inp2既可以是標(biāo)量也可以

是向量。outl和out2用法與之相同。如inpl=l,inp2=3表示系統(tǒng)1的第

一個(gè)輸入端與系統(tǒng)2的第三個(gè)輸入端相連接。

■若inpl=[l3],inp2=[21]則表示系統(tǒng)1的第一個(gè)輸入與系統(tǒng)2的第二個(gè)

輸入連接，以及系統(tǒng)1的第三個(gè)輸入與系統(tǒng)2的第一個(gè)輸入連接。

[num,den]=parallel(numl,denl,num2,den2)

■將并聯(lián)連接的傳遞函數(shù)進(jìn)行相加。

2012/3/1134

串聯(lián)

前一環(huán)節(jié)的輸出景是后一環(huán)節(jié)的輸入景的連接稱為

環(huán)節(jié)的串聯(lián)。如下圖所示，

RM)RJ7R/&)

控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)一MATLAB語

2012/3/11言與應(yīng)用

2.串聯(lián):series

[a5b5c5d]=series(al5bl5cl,dl,a2,b2,c2,d2)

■串聯(lián)連接兩個(gè)狀態(tài)空間系統(tǒng)。

[a?b?c,d]=series(al?bl5cl,dl，a2,b2,c2,d2,out1,in2)

■outl和in2分別指定系統(tǒng)1的部分輸出和系統(tǒng)2的部分輸入進(jìn)行連

接。

[num?den]=series(numl?denl,num2,den2)

■將串聯(lián)連接的傳遞函數(shù)進(jìn)行相乘。

2012/3/1136

R(s)

B(s)

2012/3/1137

3.反饋，feedback

[a,b,c,d]=feedback(al,bl,cl,dl,a2,b2,c2,d2)

■將兩個(gè)系統(tǒng)按反饋方式連接，一般而言，系統(tǒng)1為對象，系統(tǒng)2為反

饋控制器。

[a,b,c?d]=feedback(al,bl,cl,dl,a2,b2,c2,d2,)

■系統(tǒng)1的所有輸出連接到系統(tǒng)2的輸入，系統(tǒng)2的所有輸出連接到系

統(tǒng)1的輸入，sign用來指示系統(tǒng)2輸出到系統(tǒng)1輸入的連接符號，sign

缺省時(shí)，默認(rèn)為負(fù)，即sign=-l。總系統(tǒng)的輸入/輸出數(shù)等同于系統(tǒng)1。

[a,b,c,d]=feedback(al,bl?cl,dl,a2,b2,c2,d2,inp1,outl)

■部分反饋連接，將系統(tǒng)1的指定輸出。utl連接到系統(tǒng)2的輸入，系統(tǒng)2

的輸出連接到系統(tǒng)1的指定輸入inpl,以此構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)。

[num,den]=feedback(numl,deni,num2,den2,sign)

■可以得到類似的連接，只是子系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)均以傳遞函數(shù)的形式

表示。sign的含義與前述相同。

2012/3/1138

單位反饋

R(s)E(s)C(s)

—>0—G(s)

_A

C(s)

2012/3/1139

4.閉環(huán)：cloop(單位反饋)

[ac?bc,cc,dc]=cloop(a,b9c,d,sign)

■通過將所有的輸出反饋到輸入，從而產(chǎn)生閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間

模型。當(dāng)sign=l時(shí)采用正反饋；當(dāng)sign=-l時(shí)采用負(fù)反饋；sign

缺省時(shí)，默認(rèn)為負(fù)反饋。

[ac,be,cc,dc]=cloop(a,b,c,d,outputs,inputs)

■表示將指定的輸出outputs反饋到指定的輸入inputs,以此構(gòu)成

閉環(huán)系卷勺狀態(tài)空間模型。一般為正反饋，形成負(fù)反饋時(shí)應(yīng)在

inputs中采用負(fù)值。

[numc,denc]=cloop(num9den,sign)

■表示由傳遞函數(shù)表示的開環(huán)系統(tǒng)構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)，sign意義與上

述相同。

2012/3/1140

1)exp3_2.m

■系統(tǒng)1為：010

x.=M

11211

%=口3]匹/

■系統(tǒng)2為：

010

y2=[14民

■求按串聯(lián)、并聯(lián)、正反饋、負(fù)反饋連接時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)方程

及系統(tǒng)1按單位負(fù)反饋連接時(shí)的狀態(tài)方程。

2012/3/1141

2)exp3_3.m

■系統(tǒng)1、系統(tǒng)2方程如下所示。求部分并聯(lián)后的狀態(tài)空間,

要求ull與u22連接，ul3與u23連接，yll與y21連接。

■^11144孫01011\1

，12=

221X\2100〃12

"13

Y362%13001〃13

X]]u\1

九001010

W

—工1212

h2011101

%13〃13

“21

110X2l100〃21

—

%22321%22010觀22

文23161%23001〃23

%21u21

y21010110

X

—22u22

?22101101

X23u23

2012/3/1142

■線性系統(tǒng)定性分析

2012/3/1143

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

■給定線性系統(tǒng)模型，如何分析穩(wěn)定性?

日

€<、

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憶目二貨門n1

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甘

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L

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仙d二一%3..f、.jt,0^.'./KTH-MWkQ./'I/rsxfcfjf.?I，-、.^->rv^?I號,

般口#題LL爛J■+uier<-邂罰冊:野密油*燹蠟幅%升

■由控制理論可知，用Routh

表格可以判定該系統(tǒng)穩(wěn)定性。

■EdwardJohnRouth(1831-1907)

■歷史局限性

2012/3/1144

狀態(tài)方程系統(tǒng)的穩(wěn)定性

■連續(xù)線性狀態(tài)方程

(x(t)=Ax(t)+Bu(t)

1期(t)=Cx(t)+Du(t)

■解析解

x(t)=以珀)+feA(t~T)

Jo

■穩(wěn)定性：A矩陣的特征根均有負(fù)實(shí)部

2012/3/1145

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性

■離散系統(tǒng)狀態(tài)方程

Jx[(k+1)T]=Fx(kT)+Gu(kT)

In(kT\**\-??-—7。、工■W(kJT?\-—4-一Fh、,i+K-?-k/T、

■離散系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)解析解

k—1

x(kT)=Fkx(Q)+￡尸J-G似漢)

i=0

■穩(wěn)定性判定：所有特征根均在單位圓內(nèi)

2012/3/1146

Routh判據(jù)的歷史局限性

■Routh判據(jù)提出時(shí)，沒有求多項(xiàng)式根的方法

■現(xiàn)在求解矩陣特征根、求解多項(xiàng)式方程的

根輕而易舉，無需間接方法

■Routh判據(jù)只能得出是否穩(wěn)定，進(jìn)一步信息

得不出來，如系統(tǒng)是否振蕩

■離散系統(tǒng)無法由Routh方法直接判定，得借

助于Jury判據(jù)，更復(fù)雜

■穩(wěn)定性分析方法不統(tǒng)一

2012/3/1147

■直接判定

■狀態(tài)方程模型

■由eig(A)可以求出所有特征根

■離散系統(tǒng)：abs(eig(A))

■傳遞函數(shù)模型：完全同樣方法

■圖解判定法

■連續(xù)系統(tǒng)：pzmap(G)

「曷散系統(tǒng)：pzmap(G)，同時(shí)畫出單位圓

2012/3/1148

例4」高階系統(tǒng)穩(wěn)定性判定

■直接分析方法

?num=[l?,5?,108,180,4?]；

den=[l,21,184,870,2384,3664,2496,0]；

G=tf(num,den);GG=feedback(G,1);

pzmap(GG)

eig(GG)'

exaiqdel

2012/3/1149

例4-2高階離散單位負(fù)反饋系統(tǒng)模型

6Z2-0.6Z-0.12

H⑶二

z4-z3+0.25?+0.25--0.125

z-0.6

Gc(z)=0.3T=0A

z+0.8

■MATLAB求解

X?den=[1-1Q.250.25-0.125];

num=[6-?.6-0.12];H=tf(num,den,'Ts'.1);

z=tf('z','Ts'Gc=0.3-(z-0.6)/(z+0.8);

「「—crHr-IF廣z-?1、■

5JT-JLUUUL/ClJJV11JLkJL,XJ,

pzmap(GG),abs(eig(GG)')

example2

2012/3/1150

線性反饋系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性

■輸入、輸出穩(wěn)定是不夠的，因?yàn)槿魞?nèi)部信

號可能過大，對系統(tǒng)作硬件破壞

■應(yīng)該引入內(nèi)部穩(wěn)定性概念，保證內(nèi)部信號

也是穩(wěn)定的。

2012/3/1151

■由給定穩(wěn)定輸入K4〃到內(nèi)部信號孫孫X3

都穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為內(nèi)部穩(wěn)定系統(tǒng)

■傳遞函數(shù)矩陣

修11-G(s)H(s)-H(s)

1

%2二Gc(s)1—Gc(s)"(s)

A"八

Gin1

工3一\^z

其中M(s)=1+G(s)Gc(s)H(s)

■逐一判定每個(gè)子傳遞函數(shù)的穩(wěn)定性很煩瑣

■內(nèi)部穩(wěn)定性定理

2012/3/1152

內(nèi)部穩(wěn)定性定理

■閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定的充要條件為

■1+H(s)G(s)Gc(s)沒有不穩(wěn)定極點(diǎn)

■H(s)G(s)Gc(s)沒有不穩(wěn)定零極點(diǎn)對消

■第一個(gè)條件等效于輸入輸出穩(wěn)定性

■判定第2條件即可

■可以編寫MATLAB函數(shù)判定內(nèi)部穩(wěn)定性

key=intstable(G

2012/3/1153

■判定的MATLAB函數(shù)

fimctioiikeysintstiihl?(-G,GcyH)

533

￡*>-?CV_J:三，常斤。4的,,?_."自1-：■-f率弟自j褶信腐r'lfei、\f竦\7」恭德旅7aH">Y,，#、可

Go=H^G^Gc;Gol^inreal(Go)i

j、八；/■：,尸尸1冷\,：?絲e/炒瑜一...,一卷醞_也々塔靜/啰回0皿胃3一口,G疥\J.L匐,r.iiI-號if運(yùn)'(C提'/r：x24上/\沙?■

.曷冬"Setdi￡￡C混醺5zl)I

￡產(chǎn)/譯F-『奇飛.噌后喃公宗座融,設(shè)湘后糜

IX1顯31圈費(fèi)墨)您施I闖蹴薪修值步訓(xùn)歐

key=any(abs(p)>1);

ifk.eyss?kkey^2*awCcbs(^K)>1);end

else.%一經(jīng)秦編判定

l<@y=any(realL.Cp>>?)；

gSteyH?啜,翅螂歲(>ecO，C燙念)j;EITCI

end

2012/3/1154

■系統(tǒng)的狀態(tài)方程表示稱為系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)

■不同狀態(tài)選擇下，狀態(tài)方程不惟一

■相似變換

■非奇異矩陣7

■狀態(tài)變換N=T^X

■新狀態(tài)方程模型

z(一t^=Atz(+RQM一八，且二(0)二77i冗(0)

期。=Ctz(t)+Dtu(t)

2012/3/1155

■狀態(tài)變換公式

X

At=T^AT,Bt=T-B

Ct=CT.Dt=D

■MATLAB求解方法

Gi=ss2ss(G,T)|

2012/3/1156

例4-3已知系統(tǒng)和轉(zhuǎn)換矩陣

■MATLAB求解

；??1叱???II;一②奄.一5?—事寫一?!!?』?

@1二第儂川鶴洞漕聞，葭裳241<%』?>

工三會走鯉迅縝&璘怨<鼻??:磴二您邀濾潘國《（氤L有O

2012/3/1157

■變換結(jié)果

/

-10-35-50-241

1000,、0/、

之⑺=00N⑺十0譏⑺

,Loo100

、）0=[172424]n⑴

■可見，相似變換能改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

■引入相似變換矩陣，可以將已知系統(tǒng)轉(zhuǎn)換

成其他的形式

2012/3/1158

4.1.4線性系統(tǒng)的可拄性分析

■可控性定義

■假設(shè)系統(tǒng)由狀態(tài)方程（AS,C,_D）給出，對

任意的初始時(shí)刻如果狀態(tài)空間中仟一狀

9-------b-A■，/.P,f——?9T—

r--■/

態(tài)修⑺可以從初始狀態(tài)犬Bo）處，由有界的輸

人信號”⑺的驅(qū)動(dòng)下.在有限時(shí)間U內(nèi)能夠到

達(dá)任意預(yù)先指定的狀態(tài)看（外，則稱此狀態(tài)是可控

的。如果系統(tǒng)中所有的狀態(tài)都是可控的，則稱該

系統(tǒng)為完全可控的系統(tǒng)C

■系統(tǒng)的可控性就是指系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)是不是可以由外

部輸出信號控制的性質(zhì)，

2012/3/1159

比如一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為:

X40$1

.—〃"［。6］匹

x205x20

X=4再u

寫成標(biāo)量方程組的形式為:

y=6X2

可以直觀地看出，再受U的控制，即可以通過選擇U,

使瞰任意值，而堪不受U的控制，不能

通過U的選擇，使X取我們所需的值。

線性系統(tǒng)的可控性判定

■可控性判定矩陣

2nl

Tc=[B,AB9AB9---,A-B]

T.1f/▲■,■tTTt、,*IAI-ta.1，、■*—-A,A廣L——

■若他I峰是滿杵一則條約寸全口|肉八

'I~~I，*4—^II—lV\，7_>?「71/、7/7，7、；J，J―1_^y7

■基于MATLAB的判定方法

rank(15"|

■構(gòu)造可控性判定矩陣|￡=ctrb(4,B)

2012/3/1161

例4-4離散狀態(tài)方程的可控性

-2.2-0.71.5—169

0.2-6.36-1.54

x[(M)T]二縱kT)+4似⑺

0.6-0.9-2-0.54

1.4-0.1-1-3.584

■MATLAB求解

>>A—F-2,2.—0.7；1.5；-1；Q.2.—6.3；6；—1?5：.

?.6,—0.9,—2,-0.5;1.4,-3.5];

C「尸C4L44C,rm1XAc、

I5=LO,y；4,0；4,4；6,4J；1C=CLFD,15J

Jv.3KAn.JiLVX>.\AJ/

2012/3/1162

■判定矩陣

Tcl=[B,A*B,A^2*B,A^3-B];

■這樣的判定方法同樣適合于連續(xù)系統(tǒng)和離

散系統(tǒng)。也適用于多變量模型

2012/3/1163

■給線性系統(tǒng)一個(gè)激勵(lì)信號，輸出是什么?

■有兩大類方法

■解析解方法

■求解微分方程、差分方程解析解

■數(shù)值解方法

■主要內(nèi)容

■基于狀態(tài)方程的解析解方法

■基于傳遞函數(shù)部分方式展開的解析解方法

■二階系統(tǒng)的解析解方法

2012/3/1164

基于方程的解析解方法

■狀態(tài)方程模型(x(t)=Axify+Bu(f)

[y(t)=Cx(t)+Du(t)

■解析解

x(t)=e""—，。)以m)+CeA(t~r)Bu(T)dT

Jto

"求解難點(diǎn)reA^Bu(T)dT

Jo

2012/3/1165

基于部分分式展開方法求解

■連續(xù)系統(tǒng)的解析解法

bi”+外弗-\+,??+bmS+)"?+[

ZX

3#=

Sn+Q]S齊一]+。2§九―2+-----1-^n-ls+an

■輸入信號的Laplace變換U(s)

■輸出信號的Laplace變換丫⑸=G(s)U(s)

■無重根時(shí)部分方式展開

小)=口+上+…+—

S-PiS-P2S~Pm

2012/3/1166

■由Laplace反變換求解析解

Pmt

⑺二夕一[y⑸]=+廠2。*'+???+rmc

■有重根時(shí)

_2_++…+

s-Pj(S—P/)20_Pj)m

■相應(yīng)項(xiàng)的解析解為

叮+,l打TeP#

勺城產(chǎn)+n

1!(m-1)!

11

二廠廣江川+…+而二五3時(shí)1嚴(yán)TePjt

2012/3/1167

■部分分式的MATLAB求解

[r,p,K]=residue(num,den)|

例4-110+7/4-35+4

G(s)=

_JL.r_2.QRFR_./

S'十/3?十1/SJ十1/5+0

輸入信號為階躍信號R(s)=1/5

■輸出信號計(jì)算

r+7”+35+4

y($)二

一+7$4+17$3+17@+6s

2012/3/1168

■MATLAB求解

"?num=[l734];den=[1717176];

TTTTTTTTWIIfo

[R,P,K]=residue(num,[den,0]);

[R,P]

■解析解

)0=2.5833e-3J9e-2f+5.75eT—3.5忙—+0667

■解析解精確值

,、31__237T2

)0二萬e3rJ-n9e2r+ye--ze+-

exaiq)le3

2012/3/1169

例4-12帶有復(fù)數(shù)極點(diǎn)的系統(tǒng)

、s+3

G")="7----;-----5----------

$4+2$3+11§2十Rs十18

■階躍響應(yīng)解析解

1O1O1.

，*?nuiii—[1,3];den=[1211±OXOJ,

[r,p,k]=residue(num,[den,0]);[r,p]

■解析解

y(t)=(0.002+0.0255j)e取+(0.002-0.0255j)e-3jr

+(-0.0853+0.0088j)e(-1+j)z

4-(-0.0853一0.0088j)e(TT"+0.1667

example4

2012/3/1170

■基于Euler公式的化簡

(Q+.gO+j，"+(。一hj)e(bTM，-4e"