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文檔簡介
2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入,,則計算機輸出的數(shù)是()A. B. C. D.2.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點,是它們的-一個公共點,且,設橢圓和雙曲線的離心率分別為,則的關系為()A. B.C. D.3.“學習強國”學習平臺是由中宣部主管,以深入學習宣傳習近平新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容,立足全體黨員?面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺,現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)?緊跟時代脈搏的熱門?該款軟件主要設有“閱讀文章”?“視聽學習”兩個學習模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項答題”?“挑戰(zhàn)答題”四個答題模塊?某人在學習過程中,“閱讀文章”不能放首位,四個答題板塊中有且僅有三個答題板塊相鄰的學習方法有()A.60 B.192 C.240 D.4324.在菱形中,,,,分別為,的中點,則()A. B. C.5 D.5.已知向量滿足,且與的夾角為,則()A. B. C. D.6.設函數(shù),若在上有且僅有5個零點,則的取值范圍為()A. B. C. D.7.設,是非零向量,若對于任意的,都有成立,則A. B. C. D.8.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.109.已知數(shù)列,,,…,是首項為8,公比為得等比數(shù)列,則等于()A.64 B.32 C.2 D.410.已知函數(shù),為圖象的對稱中心,若圖象上相鄰兩個極值點,滿足,則下列區(qū)間中存在極值點的是()A. B. C. D.11.設、,數(shù)列滿足,,,則()A.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立B.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立C.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立D.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立12.已知是定義是上的奇函數(shù),滿足,當時,,則函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)是()A.3 B.5 C.7 D.9二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知角的終邊過點,則______.14.已知橢圓:的左、右焦點分別為,,如圖是過且垂直于長軸的弦,則的內(nèi)切圓方程是________.15.設實數(shù)x,y滿足,則點表示的區(qū)域面積為______.16.已知全集為R,集合,則___________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當時,判斷函數(shù),()有幾個零點,并證明你的結(jié)論;(3)設函數(shù),若函數(shù)在為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷,規(guī)定凡在該超市購物滿400元的顧客,均可獲得一次摸獎機會.摸獎規(guī)則如下:獎盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個球(紅、黃、黑、白).顧客不放回的每次摸出1個球,若摸到黑球則摸獎停止,否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎勵20元,摸到白球或黃球獎勵10元,摸到黑球不獎勵.(1)求1名顧客摸球2次摸獎停止的概率;(2)記X為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.19.(12分)已知函數(shù).其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)求函數(shù)在點處的切線方程;(2)若不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,為側(cè)棱上一點,已知.(Ⅰ)證明:平面平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.21.(12分)已知,,為正數(shù),且,證明:(1);(2).22.(10分)已知函數(shù)的導函數(shù)的兩個零點為和.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若的極小值為,求在區(qū)間上的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
先明確該程序框圖的功能是計算兩個數(shù)的最大公約數(shù),再利用輾轉(zhuǎn)相除法計算即可.【詳解】本程序框圖的功能是計算,中的最大公約數(shù),所以,,,故當輸入,,則計算機輸出的數(shù)是57.故選:B.【點睛】本題考查程序框圖的功能,做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么,本題是一道基礎題.2、A【解析】
設橢圓的半長軸長為,雙曲線的半長軸長為,根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得:,解得,然后在中,由余弦定理得:,化簡求解.【詳解】設橢圓的長半軸長為,雙曲線的長半軸長為,由橢圓和雙曲線的定義得:,解得,設,在中,由余弦定理得:,化簡得,即.故選:A【點睛】本題主要考查橢圓,雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應用,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.3、C【解析】
四個答題板塊中選三個捆綁在一起,和另外一個答題板塊用插入法.注意按“閱讀文章”分類.【詳解】四個答題板塊中選三個捆綁在一起,和另外一個答題板塊用插入法,由于“閱讀文章”不能放首位,因此不同的方法數(shù)為.故選:C.【點睛】本題考查排列組合的應用,考查捆綁法和插入法求解排列問題.對相鄰問題用捆綁法,不相鄰問題用插入法是解決這類問題的常用方法.4、B【解析】
據(jù)題意以菱形對角線交點為坐標原點建立平面直角坐標系,用坐標表示出,再根據(jù)坐標形式下向量的數(shù)量積運算計算出結(jié)果.【詳解】設與交于點,以為原點,的方向為軸,的方向為軸,建立直角坐標系,則,,,,,所以.故選:B.【點睛】本題考查建立平面直角坐標系解決向量的數(shù)量積問題,難度一般.長方形、正方形、菱形中的向量數(shù)量積問題,如果直接計算較麻煩可考慮用建系的方法求解.5、A【解析】
根據(jù)向量的運算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【詳解】.故選:A.【點睛】本題主要考查數(shù)量積的運算,屬于基礎題.6、A【解析】
由求出范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象零點特征,建立不等量關系,即可求解.【詳解】當時,,∵在上有且僅有5個零點,∴,∴.故選:A.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),整體代換是解題的關鍵,屬于基礎題.7、D【解析】
畫出,,根據(jù)向量的加減法,分別畫出的幾種情況,由數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由題意,得向量是所有向量中模長最小的向量,如圖,當,即時,最小,滿足,對于任意的,所以本題答案為D.【點睛】本題主要考查了空間向量的加減法,以及點到直線的距離最短問題,解題的關鍵在于用有向線段正確表示向量,屬于基礎題.8、C【解析】
根據(jù)復數(shù)模的性質(zhì)計算即可.【詳解】因為,所以,,故選:C【點睛】本題主要考查了復數(shù)模的定義及復數(shù)模的性質(zhì),屬于容易題.9、A【解析】
根據(jù)題意依次計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意知:,,故,,.故選:.【點睛】本題考查了數(shù)列值的計算,意在考查學生的計算能力.10、A【解析】
結(jié)合已知可知,可求,進而可求,代入,結(jié)合,可求,即可判斷.【詳解】圖象上相鄰兩個極值點,滿足,即,,,且,,,,,,當時,為函數(shù)的一個極小值點,而.故選:.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)的簡單應用,解題的關鍵是性質(zhì)的靈活應用.11、D【解析】
取,可排除AB;由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列的單調(diào)情況,進而得到要使,只需,由此可得到答案.【詳解】取,,數(shù)列恒單調(diào)遞增,且不存在最大值,故排除AB選項;由蛛網(wǎng)圖可知,存在兩個不動點,且,,因為當時,數(shù)列單調(diào)遞增,則;當時,數(shù)列單調(diào)遞減,則;所以要使,只需要,故,化簡得且.故選:D.【點睛】本題考查遞推數(shù)列的綜合運用,考查邏輯推理能力,屬于難題.12、D【解析】
根據(jù)是定義是上的奇函數(shù),滿足,可得函數(shù)的周期為3,再由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知可得,利用周期性可得函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù).【詳解】∵是定義是上的奇函數(shù),滿足,,可得,
函數(shù)的周期為3,
∵當時,,
令,則,解得或1,
又∵函數(shù)是定義域為的奇函數(shù),
∴在區(qū)間上,有.
由,取,得,得,
∴.
又∵函數(shù)是周期為3的周期函數(shù),
∴方程=0在區(qū)間上的解有共9個,
故選D.【點睛】本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷,考查抽象函數(shù)周期性的應用,考查邏輯思維能力與推理論證能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和差正弦公式,求得的值.【詳解】解:∵角的終邊過點,∴,,∴,故答案為:.【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和差正弦公式,屬于基礎題.14、【解析】
利用公式計算出,其中為的周長,為內(nèi)切圓半徑,再利用圓心到直線AB的距離等于半徑可得到圓心坐標.【詳解】由已知,,,,設內(nèi)切圓的圓心為,半徑為,則,故有,解得,由,或(舍),所以的內(nèi)切圓方程為.故答案為:.【點睛】本題考查橢圓中三角形內(nèi)切圓的方程問題,涉及到橢圓焦點三角形、橢圓的定義等知識,考查學生的運算能力,是一道中檔題.15、【解析】
先畫出滿足條件的平面區(qū)域,求出交點坐標,利用定積分即可求解.【詳解】畫出實數(shù)x,y滿足表示的平面區(qū)域,如圖(陰影部分):則陰影部分的面積,故答案為:【點睛】本題考查了定積分求曲邊梯形的面積,考查了微積分基本定理,屬于基礎題.16、【解析】
先化簡集合A,再求A∪B得解.【詳解】由題得A={0,1},所以A∪B={-1,0,1}.故答案為{-1,0,1}【點睛】本題主要考查集合的化簡和并集運算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間為,;(2)有2個零點,證明見解析;(3)【解析】
對函數(shù)求導,利用導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;函數(shù)有2個零點.根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理即可證明;記函數(shù),求導后利用單調(diào)性求得,由零點存在性定理及單調(diào)性知存在唯一的,使,求得為分段函數(shù),求導后分情況討論:①當時,利用函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為的問題;②當時,當時,在上恒成立,從而求得的取值范圍.【詳解】(1)由題意知,,列表如下:020極小值極大值所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,.(2)函數(shù)有2個零點.證明如下:因為時,所以,因為,所以在恒成立,在上單調(diào)遞增,由,,且在上單調(diào)遞增且連續(xù)知,函數(shù)在上僅有一個零點,由(1)可得時,,即,故時,,所以,由得,平方得,所以,因為,所以在上恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,因為,所以,由,,且在上單調(diào)遞減且連續(xù)得在上僅有一個零點,綜上可知:函數(shù)有2個零點.(3)記函數(shù),下面考察的符號.求導得.當時恒成立.當時,因為,所以.∴在上恒成立,故在上單調(diào)遞減.∵,∴,又因為在上連續(xù),所以由函數(shù)的零點存在性定理得存在唯一的,使,∴,因為,所以∴因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,,所以在,上恒成立.①當時,在上恒成立,即在上恒成立.記,則,當變化時,,變化情況如下表:極小值∴,故,即.②當時,,當時,在上恒成立.綜合(1)(2)知,實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值和利用零點存在性定理判斷函數(shù)零點個數(shù)、利用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍;考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、邏輯推理能力、運算求解能力;通過構造函數(shù),利用零點存在性定理判斷其零點,從而求出函數(shù)的表達式是求解本題的關鍵;屬于綜合型強、難度大型試題.18、(1);(2)20.【解析】
(1)1名顧客摸球2次摸獎停止,說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球,第二次摸的是黑球,即求概率;(2)的可能取值為:0,10,20,30,1.分別求出取各個值時的概率,即可求出分布列和數(shù)學期望.【詳解】(1)1名顧客摸球2次摸獎停止,說明第一次是從紅球、黃球、白球中摸一球,第二次摸的是黑球,所以1名顧客摸球2次摸獎停止的概率.(2)的可能取值為:0,10,20,30,1.,∴隨機變量X的分布列為:X01020301P數(shù)學期望.【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望,屬于中檔題.19、(1);(2).【解析】
(1)利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,再求出切點坐標即可得在點處的切線方程;(2)令,然后利用導數(shù)并根據(jù)a的情況研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.【詳解】(1),,∴,又,∴切線方程為,即.(2)令,,①若,則在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立,∴在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立.②若,令,∴,易知與在上單調(diào)遞減,∴在上單調(diào)遞減,,當即時,在上恒成立,∴在上單調(diào)遞減,即在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立,∴在上單調(diào)遞減,又,∴恒成立,當即時,使,∴在遞增,此時,∴,∴在遞增,∴,不合題意.綜上,實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義及構造函數(shù)解決含參數(shù)的不等式恒成立時求參數(shù)的取值范圍問題,第二問的難點是構造函數(shù)后二次求導問題,對分類討論思想及化歸與等價轉(zhuǎn)化思想要求較高,難度較大,屬拔高題.20、(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)先證明
,再證明平面,利用面面垂直的判定定理,即可求證所求證;(Ⅱ)根據(jù)題意以為軸、軸、軸建立空間直角坐標系,求出平面和平面的向量,利用公式即可求解.【詳解】(Ⅰ)證:由已知得又平面,平面,,而故,平面平面,平面平面(Ⅱ)由(Ⅰ)知,推理知梯形中,,,有,又,故所以相似,故有,即所以,以為
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