新教材2024高考數學二輪專題復習分冊二探究一五數列

五數列必記結論1.等差數列設Sn為等差數列{an}的前n項和，則(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an.(2)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構成的數列是等差數列．(3)＝n＋是關于n的一次函數或常數函數，數列也是等差數列．(4)Sn＝＝＝＝….(5)若等差數列{an}的項數為偶數)，公差為d，全部奇數項之和為S奇，全部偶數項之和為S偶，則全部項之和S2m＝m(am＋am＋1)(am，am＋1為中間兩項)，S偶－S奇＝md，＝.(6)若等差數列{an}的項數為奇數2m－1(m∈N*)，全部奇數項之和為S奇，全部偶數項之和為S偶，則全部項之和S2m－1＝(2m－1)am(am為中間項)，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.(7)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，則Sm＋n＝－(m＋n).2．等比數列(1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；反之，不愿定成立(m，n，p，q∈N*)．(3){an}，{bn}成等比數列，則{λan}，，{anbn}，成等比數列(λ≠0，n∈N*)．(4)若等比數列的項數為2n(n∈N*)，公比為q，奇數項之和為S奇，偶數項之和為S偶，則＝q.(5)通項公式an＝a1qn－1＝·qn，從函數的角度來看，它可以看作是一個常數與一個關于n的指數函數的積，其圖象是指數型函數圖象上一系列孤立的點．(6)與等差中項不同，只有同號的兩個數才能有等比中項；兩個同號的數的等比中項有兩個，它們互為相反數．(7)三個數成等比數列，通常設這三個數分別為，x，xq；四個數成等比數列，通常設這四個數分別為，xq，xq3.3．求數列通項公式的常用方法(1)已知Sn(a1＋a2＋…＋an＝Sn)，求an，用作差法：an＝(2)已知a1·a2·…·an＝f(n)，an≠0，求an，用作商法：an＝(3)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)．(4)已知＝f(n)，求an，用累乘法：an＝··…··a1＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2)．(5)構造等比數列法：若已知數列{an}中，an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，a1≠，設存在非零常數λ，使得an＋1＋λ＝＋λ)，其中λ＝，則數列就是以a1＋為首項，p為公比的等比數列，先求出數列的通項公式，再求出數列{an}的通項公式即可．4．數列求和的常用方法(1)公式法：①等差數列的求和公式；②等比數列的求和公式；③常用公式，即1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n∈N*.(2)分組求和法：當干脆運用公式法求和有困難時，常將“和式”中的“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和．(3)倒序相加法：在數列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項的和有共性，則?？紤]選用倒序相加法進行求和．(4)錯位相減法：假如數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成的，那么常選用錯位相減法將其和轉化為“一個新的等比數列的和”，從而進行求解．(5)裂項相消法：假如數列的通項可分裂成“兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和．常用的裂項形式有①＝；②＝；③<＝，＝<<＝；④＝[].易錯剖析易錯點1不清晰an與Sn的關系【突破點】已知數列{an}的前n項和Sn，求an時，利用an＝Sn－Sn－1，需留意分n＝1和n≥2兩種狀況探討．易錯點2不清晰裂項和拆項的規(guī)律，導致多項或少項【突破點】“裂項法”的特點：①分式的每個分子相同，分母都是兩個(或三個)代數式相乘，若不具備就須要轉化；②剩余項一般是前后對稱．常見形式有：.易錯點3忽視對等比數列中公比的分類探討【突破點】在解決等比數列{an}的前n項和時，通常只想到Sn＝，把q＝1的狀況不自覺地解除在外，這是對前n項和公式理解不透所致．解等比數列的問題，確定要留意對公比的分類探討．易錯快攻易錯快攻一忽視對n＝1的檢驗失分1[2024·新高考Ⅰ卷]記Sn為數列{an}的前n項和，已知a1＝1，{}是公差為的等差數列．(1)求{an}的通項公式；(2)證明：＋…＋<2.易錯快攻二忽視公比q的取值2已知數列{an}的前n項和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，則“A＝－B”是“數列{an}是等比數列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件五數列[典例1](1)解析：∵a1＝1，∴S1＝a1，∴＝1，又∵{}是公差為的等差數列，∴＝1＋(n－1)＝，∴Sn＝，∴當n≥2時，Sn－1＝，∴an＝Sn－Sn－1＝，整理得：(n－1)an＝(n＋1)an－1，即＝，∴an＝a1××…×＝1××…×＝，明顯對于n＝1也成立，∴{an}的通項公式an＝.(2)[典例2]解析：當A＝－B時，Sn＝Aqn－A，則an＝Aqn－1(q－1)，當q＝1或A＝0時，an＝0，此時數列{an}不是等比數列．若