高中數學必修第一冊課后限時訓練45　單調性與最值

高中數學必修第一冊課后限時訓練45單調性與最值

題組1

1.下列不等式成立的是（）

A.sin（—J>sind）B.sin3>sin2

C.sin^7c>sin^—|ir^D.sin2>cos1

角星析：**sin2=COSQ-2）=cos（2—/）,

且0<2—Zcos^2—^>cos1,

即sin2>cos1.

答案：D

2.下列函數中，周期為兀，且在區(qū)間「，①上單調遞減的是（）

A.產sin（2x+/）B.產cos（2x+/）

C.y=sin（%+]）D.y=cos（無+]）

解析：C,D兩項中函數的周期都為2兀，不符合題意，排除選項C,D；B項中產cos=—sin2%,

該函數在區(qū)間[：,]上單調遞增，不符合題意；A項中y=sin(2%+])=cos2x,該函數符合題意，選A.

答案：A

3.當一衿xW1時，函數段)=2sin(%+§有()

A.最大值1,最小值一1B.最大值1,最小值號

C.最大值2,最小值一2D.最大值2,最小值一1

解析：因為一所以一衿"十三工■所以一；<sin(%+,)W1.所以—1〈於)<2.

答案：D

4.函數產如七4的單調遞增區(qū)間是()

A.[4E,(4攵+1)兀]/￡Z)B.[4攵，44+2](A￡Z)

C.[2E,(22+2)TI](A￡Z)D.[2左，2Z+2](&￡Z)

解析：產sin=%=sin(三一g),由一g+ZEW9—gW；+2也(AGZ),得2EW竽W兀+2E(左￡Z).所以函數

y=sin與兀的單調遞增區(qū)間是[4k,4%+2](%GZ).

答案：B

5.若函數丫二百門》的定義域為[a,b],值域為[-1,i],則h—a的最大值和最小值之和等于()

A.yB.yC.2兀D.4兀

解析：作出產sinx的一個簡圖如圖所示.因為函數產sinx在[m上的值域為[―1,

.IT.5Tt1?3TCI

且sin7=sin—=sin—=-1,

o6zZ

所以在定義域[a,/?]上，〃一〃的最小值為警—孚=今，

Zo3

h-a的最大值為2兀+]—?=號，

oo3

所以b—。的最大值與最小值之和為2兀

答案：C

6.函數y=2cosQ%+勃':]的值域為.

解析：：問-『*.⑵*卜?y],

/.cos（2x+H）e[-i,1],

.：函數），的值域為[-1,2].

答案:[-1.2J

7.函數y=sin2x—4sinx的最大值為.

解析：y=sin2x—4sinx=（sinx—2）2—4.

丁一IWsinxWl,.:當sinx=-1時，y取最大值＞皿=（—1—2）?—4=5.

答案：5

8.已知函數產3sin（2%+*xe[o,月的單調遞增區(qū)間為。，川，則實數根的值為

解析：由一0+2EW2x+：W5+2E,k?Z,得一當&￡Z.

L4Zoo

又因為04母，所以04W，即函數y=3sin（2%+*xe[o,1的單調遞增區(qū)間為[o,

所以m=^.

O

答案：I

9.已知函數人r）=2sin（2x+,）（—1＜9＜今，且段）的圖象經過點（0,1）.

（1）求函數7U）的最小正周期及（p的值；

（2）求函數火x）的最大值及取得最大值時自變量x的取值集合；

（3）求函數/U）的單調遞增區(qū)間.

解析：（1）函數?x）的最小正周期為7=奪=兀

因為/U）的圖象經過點（0,1）,

所以?0）=2sin0=1,即sin

又因為一所以8二1.

LLo

⑵由（1）可知於）=2sin（2%+）所以函數於）的最大值是2,此時2%=知攵詠6）,

即x=”+E（&￡Z）,

6

所以於）取得最大值時x的取值集合是{尤卜=>而，ZGZ}.

⑶由⑴可知/（x）=2sin（2%+胃

由一日+2EW2x+?<?+2E（攵￡Z）,得一?+EWxW?+E（/：￡Z）,

LOL3O

所以函數危）的單調遞增區(qū)間為[一號+kn,*+kn]（ACZ）.

題組2

l.v=3咯的最小值是（）

Jsmx+2

A.2B.-2C.1D.-1

解析：由尸筆=2—f,

Jsmx+2sinx+2

當sinx=_1時，y=-^吟取得最小值一2.

Jsmx+2

答案：B

2.設函數/）=2sin（/x+g）,若對任意x￡R都有701）（/（4亦加2）成立，則g—切的最小值為（）

A.4B.2C.1D.1

解析：由題意可得函數於）=2sin（務+以的周期丁=爭=4,對任意x￡R,都有於1）勺沁勺⑴）成立，說明

?X]）為最小值，兀⑵為最大值,

T

故|汨—X2|min=2=2.

答案：B

3.已知函數人無尸sin3（3>0）在區(qū)間[一與，朗上單調遞增，且存在唯一xoe[O,K],使得"xo）=l,則實數

。的取值范圍為（）

A以|]Bj,|）C.瑞，|]D,圉|]

角不析：由2E——5<COXW2Z：7C+5（AWZ）,

得也I-白0W四+白（&GZ）.

a）2a）a）2a）

所以函數?=sin5（。>0）的單調遞增區(qū)間為管一言，等+品（&GZ）.又因為函數危）在區(qū)間[一莖,

2n5rt]JL_L]

爭上單調遞增，且存在唯一xoC[O,n],使得假）=1,所以1T3'6j—I2」23「‘解得白“w|,

島e[0,n],

故選A.

答案：A

4.已知函數_/（x）=sinox在區(qū)間（0,弓）內單調遞增，則下列結論正確的是.（將所有符合題意的序

號填在橫線上）

①函數/）=sinox在區(qū)間（一?0）內單調遞增；

②滿足條件的正整數3的最大值為3；

③詹）三公）

解析：因為/（x）=sin公1的定義域為R,且式-x）=sin（—cvx）=—sin5=—所以人工）為奇函如又因為

7（x）=sinGX在區(qū)間（0,內單調遞增，所以函數大幻=sintzzx在區(qū)間（一/，0）內單調遞增，故①正確；由

題意可知％oWg解得即滿足條件的正整數①的最大值為3,故②正確；由題意可得對稱軸

oZ6

又因為"+A/2x/所以尼）為（雪），故③正確.

答案：①②③

5.設函數/x）=asin（2x+,）+B.

（1）若a>0,求火x）的單調遞增區(qū)間；

（2）當xe[o,]時，?r）的值域為[1,3],求”，〃的值.

解析：⑴因為〃>0,令2kt—^W2x+衿2E+/（Aez）,得E—招《航+也止2）,

所以/（x）的單調遞增區(qū)間是[E—瑞，E+工]（Jiez）.

⑵當XG[。，皆時，產2%+*朗，則3sM2x+§Wl.又因為危）的值域為[1,3],

a>0,

Q+b=3,解得I。一%

1（b=-1.

{-a+b=1,

6.已知函數於）=2sin（2x—§+L

⑴求函數/U）的周期；

（2）求函數7U）在區(qū)間（