新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)5 .5 .2 簡(jiǎn)單的三角恒等變換

5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

1.能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式，體會(huì)

在對(duì)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用過程中，發(fā)展學(xué)

其中的三角恒等變換的基本思想.

生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素

2.能利用三角恒等變換對(duì)三角函數(shù)式化

養(yǎng).

簡(jiǎn)、求值和證明.

課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究

教材知識(shí)探究

A情境引入

同學(xué)們知道電腦輸入法中的“半角”和“全角”的區(qū)別嗎？半角、全角主要是針

對(duì)標(biāo)點(diǎn)符號(hào)來說的，全角標(biāo)點(diǎn)占兩個(gè)字節(jié)，半角占一個(gè)字節(jié)，但不管是半角還是

全角，漢字都要占兩個(gè)字節(jié).事實(shí)上，漢字字符規(guī)定了全角的英文字符、圖形符

號(hào)和特殊字符都是全角字符，而通常的英文字母、數(shù)字鍵、符號(hào)鍵都非半角字符.

問題1.任意角中是否也有“全角”與“半角”之分，二者有何數(shù)量關(guān)系？

2.半角公式是如何推導(dǎo)出來的？

3.半角公式的符號(hào)是怎樣確定的？

提示是a的半角，a是2a的半角.

2.半角公式的推導(dǎo)是利用公式cos2a=2cos2a-1=1—2sin2a.

3.半角公式的符號(hào)是由半角所在的象限確定的.

A新知梳理

1.半角公式在利用公式時(shí)，注意符號(hào)的選取

1—cosa

sin^=±"

-2~

a1+cosa

COS]=±'-2~

a1—cosabEf

tan2=不嬴(無理形式).

asina1—cosa

tan.（有理形式）.

21+cosasina

2.輔助角公式

______b

asinx+bcos尤.其中tan9=79所在象限由a和。的符號(hào)確定,

ba

或者sin（p=6福’39=莉福?

教材拓展補(bǔ)遺

［微判斷］

1-cos30°

l.sin150=土'—2一.(X)

1—cos30°

提示sin150=

2

2.對(duì)于aWR,sin^=；sina都不成立.(X)

提示，.飛足a=2sin*:os5,只有當(dāng)cos看=1時(shí)sin3=gsina才能成立.

nn1~\~a

3.若5?！聪Α?兀，co^=a9貝ijcos4=—(X)

3兀

提示為第三象限角,

2

［微訓(xùn)練］

1?化簡(jiǎn)急春.噫的結(jié)果為

2sin2acos2a

解析原式=

2cos2a'cos2a=tan2a.

答案tan2a

2.函數(shù)y(x)=5cosx+12sinx的最小值為.

解析7U)=13后cosx+1|sinx

=13sin(x+e)(其中tan°=卷),

??y（X）min=-13.

答案一13

/,心.yj~52y［5,a

3.已矢口sma=亨，cosa=^~^WJ匕丐=.

解析因?yàn)閟in儀=坐＞0,cos。=邛2＞0,所以a的終邊落在第一象限，與的終邊

落在第一、三象限，所以ta琮＞0,=小一

2.

答案小一2

［微思考］

1.半角公式中的符號(hào)是如何確定的？

提示（1）當(dāng)給出角a的具體范圍時(shí)，先求郛范圍，然后根據(jù)郛范圍確定符號(hào).

（2）如果沒有給出決定符號(hào)的條件，那么在根號(hào)前要保留正負(fù)號(hào).

2.sin6+sin8=2而今405寧除了課本上的證明方法，還有什么其它的證明方

法嗎？

。

-26z。^

-夕￡/2

十+?7

2C-s吁COS-Sn

提示右邊=2sin222OSIk22^

cosfcosf+sinfsinf

=2卜磔4c喈+sh4

0.(P(p..也.9ff

sin5cos亍十cos?]sin5cos$十sin;sin]cos]

=sin^-cos^+sin^sin力+cosgsin9+sin學(xué)in0

=sin8+sin9=左邊.

，故等式成立.

課堂互動(dòng)題型剖析

題型一利用半角公式求值

注意角的范圍【例1】已知cosa=g,a為第四象限角,求sin會(huì)cos垓,

a

tan

解?.七為第四象限角,.?成為第二、四象限角.

當(dāng)為為第二象限角時(shí),

a/I-cosa小a/l+cosaA/6a11-cosa

s嗎3,cos]=—3,tan]=_y7T

.亞

2，

當(dāng)今為第四象限角時(shí),

a/I-cosa也

tan2-1+cosa~2,

規(guī)律方法利用半角公式求值的思路

(1)觀察角：若已知三角函數(shù)式中的角是待求三角函數(shù)式中角的兩倍，則求解時(shí)

常常借助半角公式求解.

(2)明范圍：由于半角公式求值常涉及符號(hào)問題，因此求解時(shí)務(wù)必依據(jù)角的范圍,

求出相應(yīng)半角的范圍.

⑶選公式：涉及半角公式的正切值時(shí)，常用匕談=京=號(hào)詈，其優(yōu)點(diǎn)

是計(jì)算時(shí)可避免因開方帶來的求角的范圍問題；涉及半角公式的正、余弦值時(shí),

小士qim.必1—cosaM1+cosa

常先利用sin?=----2----，cos2=-----2----計(jì)算.

(4)下結(jié)論：結(jié)合(2)求值.

37，

【訓(xùn)練1】已知sin。=—3兀＜。＜］兀，則tan/的值為()

A.3B.-3

40

一一7兀3-nsin1

解析：3兀＜8＜爹，sin0=一予cos0=52

la1+cosf)

答案B

題型二三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)注意'是。的半角，a是2a的半角

【例2】化簡(jiǎn):

(1-sina~cosa)fsin^+cos^

■(-7t<a<0).

y]2—2cosa

[2sin2?—2sin^cosyVsiny+cosz

解原式二^----------1——…△,---------------'一

2X2sin2^

「a.aa}.a.a

2sin吹sin/-cos現(xiàn)sin/+cos/

2

因?yàn)橐?i＜a＜0,所以甘多。所以sin^＜0,

.a

-sin^cosa

所以原式=■=cosa.

—si談

規(guī)律方法探究三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的要求、思路和方法

(1)化簡(jiǎn)的要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②盡量使三角函數(shù)種數(shù)最少；③盡量

使項(xiàng)數(shù)最少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).

(2)化簡(jiǎn)的思路：對(duì)于和式，基本思路是降次、消項(xiàng)和逆用公式；對(duì)于三角分式,

基本思路是分子與分母約分或逆用公式；對(duì)于二次根式，注意二倍角公式的逆用.

另外，還可以用切化弦、變量代換、角度歸一等方法.

1

【訓(xùn)練】設(shè)(當(dāng),兀)，化簡(jiǎn):-+

2aS222a

題型三三角恒等式的證明原則：由繁到簡(jiǎn)

【例3】證明：

2sinxcosx______________1+cosx

(sinx+cosx—1)(sinx-cosx+1)sinx,

證明左邊=

2sinxcosx

(2sin^cos^+1-Zsin2^-1)(2sinycos^-1+2sin2^+1)

2sinxcosx

(cosz-sin^)?2s詩(cosz+sinT)

.XXX

c.2sin^cos^cos^

_2smxcosx______22____2

xx'

4sin^cosx2si9n^sing

l+2cos2^-1x

cos2

右邊=

.xx

zsin^cos^sin受

所以左邊=右邊，即等式成立.

規(guī)律方法探究證明三角恒等式的原則與步驟

(1)觀察恒等式的兩端的結(jié)構(gòu)形式，處理原則是從復(fù)雜到簡(jiǎn)單，高次降低次，復(fù)

角化單角，如果兩端都比較復(fù)雜，就將兩端都化簡(jiǎn)，即采用“兩頭湊”的思想.

(2)證明恒等式的一般步驟：

①先觀察，找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異；

②本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”“變換式子結(jié)構(gòu)”“變量集中”等原則，

設(shè)法消除差異，達(dá)到證明的目的.

【訓(xùn)練3】求證：一tan0-tan26/=1.

cos

f口口]/1c八1sin8sin2。

1月cos20tan?tan-os2。cos^cos20

_cos夕——2sin2ecos9_cos夕(1—Zsiir2。)_1—Zsin)一

cosOcos29cosOcos20cos29

cos2"

-cos20~,

題型四利用輔助角公式研究函數(shù)性質(zhì)

[例4]已知函數(shù)/（x）=d5sin（2x—W+Zsiir2'—專

|(x￡R).

⑴求函數(shù)?x）的最小正周期；

（2）求使函數(shù)式尢）取得最大值的x的集合.

解（l）,?7U）=/sin（2xY）+2sin2（x-田

=2sin（2x—號(hào)+1,

2兀

的最小正周期為T=-^=n.

（2）當(dāng)/U）取得最大值時(shí)，sin（2x—胃）=1,

兀兀

有2x—w=2E+1(Aez),

即x=E+含Z6Z),

???所求x的集合為

(,?5兀，J

jxr=E+五，左GZj.

規(guī)律方法(1)為了研究函數(shù)的性質(zhì)，往往要充分利用三角變換公式轉(zhuǎn)化為正弦

型(余弦型)函數(shù)，這是解決問題的前提.

(2)解此類題時(shí)要充分運(yùn)用兩角和(差)、二倍角公式、輔助角轉(zhuǎn)換公式消除差異，

減少角的種類和函數(shù)式的項(xiàng)數(shù)，為討論函數(shù)性質(zhì)提供保障.

【訓(xùn)練4】已知函數(shù)式x)=cos停+，cos停一x),g(x)=1sin2x-^.

⑴求函數(shù)/U)的最小正周期；

(2)求函數(shù)%(x)=/(x)—g(x)的最大值，并求使/?(x)取得最大值時(shí)x的集合.

解(l)Xx)=^cosx+坐isnx

2sl

11+cos2x3(1—cos2x)

=4C0Sx-88

=/cos2x—a，

2兀

x)的最小正周期為T=—=n.

(2)/z(x)=fix)—g(x)=^cos2x-gsin2x

=^cos(2x+S

TT

當(dāng)2x+a=2E伙GZ),

jr、歷

即x="-g(&￡Z)時(shí)，〃(x)有最大值

此時(shí)x的集合為卜x=E一去ZSZj.

核心素養(yǎng)全面提升

一'素養(yǎng)落地

1.在推導(dǎo)公式和應(yīng)用公式的過程中，熟悉角的轉(zhuǎn)化方法和換元法的應(yīng)用，不斷提

升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，并通過本節(jié)的asinx+Aos_x=W^sin(x

+8)的轉(zhuǎn)化過程，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素

養(yǎng).

2.學(xué)習(xí)三角恒等變換，千萬不要只顧死記硬背公式，而忽視對(duì)思想方法的理解，

要學(xué)會(huì)借助前面幾個(gè)有限的公式來推導(dǎo)后繼公式，立足于在公式推導(dǎo)過程中記憶

公式和運(yùn)用公式.

3.asinx+/?cosx=q^TPsin(x+gXaOWO),其中tan夕=',夕所在象限由a,b

確定，掌握實(shí)質(zhì)并能熟練應(yīng)用.

二'素養(yǎng)訓(xùn)練

4兀

1.若cos2a=一5,且a6兀，則sina=()

A巡R近

A。10B-10

D.普

7T1-cos2。

解析因?yàn)?i,所以sina>0,由半角公式可得sin~~2

3Vio

io,

答案A

2.下列各式與tana相，)

1—cos2asina

A，'1+cos2a1+cosa

sina1-cos2a

C，l-cos2aDsin2a

解析1—cos2a」_sina

，sin2a2sinacosacosa

答案D

3.設(shè)5兀＜。＜6兀,cos]=。,

A.年

1~\~a-a

2

c.-~17

吼e

一

,4

角翠析,**5K＜。＜6兀,<4

1-a

~17-

4.已知2cos2x+sin2x=Asin（（ux+^）+b（A＞0,bGR）,則A=,b=

解析2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1

=V^sin（2x+：）+l,:.A=巾,b=\.

答案小1

“1+cos6+sicg1-cos6+sicH

同’1-cos^+sin31+cosO+sin夕

c41c?夕e

2cos/十2smicosg

解原式=-----Z------7）―

2sin弓+2sin2cos]

2sm?十2sin5cos/

2cos弓+2sin^cos^

e（0..ff

2cos21cos^+sin^

身

e。

n一

2Cs2si2

夕

。

應(yīng)

一s

?-m?

2SI2si22

)s

。

夕

?

0-夕

。n

Lsi2sl

sln22n2

課后作業(yè)鞏固提高

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.函數(shù)y=3sin4x+小cos4x的最大值是（）

A.小B.2小

C.3D.6

角星析y=3sin4x+小cos4x

=2小（當(dāng)sin4x+gcos4x）

=2小sin（4x+5）,

，ymax=2S，故選B.

答案B

2.已知sin2a=；,則cos?］。一￡）=（）

A--3BLI

c4D.f

缶期/研l(wèi)+cos（2a—2）i+sm2a1+32

斛析cos2"-.=--------2--------=~~2~~=T-=3-

答案D

3.在AABC中，若sinAsinB=cos（，則△48。是（）

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.不等邊三角形D.直角三角形

解析sinAsinB=^(l+cosQ,

即2sinAsinB=1+cosC,

/.2sinAsinB=1—cosAcosB+sinAsinB,

故得cos（4—8）=1,

又因?yàn)锳—86(一兀，兀)，

.,.A-B=O,即A=8,則△ABC是等腰三角形.

答案B

4.函數(shù)y(x)=g(l+cos2%).5皿2》(》61i)是()

A.最小正周期為兀的奇函數(shù)

B.最小正周期為方的奇函數(shù)

C.最小正周期為兀的偶函數(shù)

D.最小正周期為微的偶函數(shù)

解析由題意，得./(x)="(l+cos2x)(1—cos2x)=^(1—COS22^)=^sin22x=1(1-

jr

cos4x).X/(—x)=J(x),所以函數(shù)_/(x)是最小正周期為]的偶函數(shù)，選D.

答案D

,,a

41+tan2

5?若cosa=—亍a是第二象限角，則----^等于()

l-tan]

A-2B-2

C.2D.-2

4

解析???。是第三象限角，cosa=一亍

_3

..3.asina5

..sina=~7,..tan7：=~.=7=—3,

521+cosa14

r

1Ia

1+tan^[[

._____21—3o1

a=T+3=-2-

1—tan,

答案A

二'填空題

6.化簡(jiǎn)?l+sin2的結(jié)果是.

解析^/1+sin2=^/sin2l+cos2l+2sinIcos1

(sin1+cos1)2=|sin1+cos1|,

TT

因?yàn)閘￡(0,]),所以sinl>0,cosl>0,

則W+sin2=sin1+cos1.

答案sin1+cos1

]B+C

7.在△ABC中，若cosA=1,則sin2-—+cos2A=.

.B+C,1-cos(B+C)

解析sin-2-+cos2A=--------------------j-2cos2A—1

1+cosA?1

92

----2+2cosA—1=-Q.

答案

8.函數(shù),*x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期為.

j-cos2x113

角星析/(x)=sin2x+sinxcosx+l=-----------+/sin2x+l=](sin2x—cos2x)+5

=^sin(2x-^+|,

??T=兀.

答案兀

三、解答題

.A.js…八rr、，一,心6F-COSB-b

9.在△ABC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知C°SA=F^,求

tan^4y

證—

R=a—b'

tan2

4cosB—b

證明因?yàn)閏osA=

a-b'cosB'

Ca+b)?(1—cosB)

所以1—cosA=

a—b-cosB

(a-b)?(1+cosB)

1+cosA=

a—b-cosB

l-cos/l(a+Z?)?(1—cosB)

所以

1+cosA(a-b)?(1+cosB)

1—cosAsin24

而7Vl=「二小吁

2cos2

1-cosB2sin2f,B

l+cos『2c°sk昨

所以tan^=------tan27r,

2a—b2

4

a+b

即-

.R=-a—bA.

tan1

10.已知a為鈍角，口為銳角，且sina=,,sin夕=將求cos。?”與tan"之'的

值.

,,412

解因?yàn)閍為鈍角，尸為銳角，sina=§,si”=行，

jrjr

因?yàn)?<a<7i,且0<^<2?

所以Q<a—[i<n,即

__________.a-§

Sin

、土上ca—§7t/B.a.8l~.a.fi2

法一由0<-yJ<],傳sin—/1—cos255?所以tan-y=—

cos2

4

7,

33

法