執(zhí)信中學(xué)等六校高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次聯(lián)考試卷 文（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

-學(xué)年廣東省廣州六中、廣雅中學(xué)、執(zhí)信中學(xué)等六校高三（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={1，4}，則（?UA）∪B為（）A．{1} B．{1，5} C．{1，4} D．{1，4，5}2．若是z的共軛復(fù)數(shù)，且滿足?（1﹣i）2=4+2i，則z=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i3．已知p、q是簡單命題，則“p∧q是真命題”是“?p是假命題”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q=，前n項和為Sn，則=（）A．5 B．7 C．8 D．155．下列四個函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上為增函數(shù)的是（）A．y=x2﹣2x B．y=x3 C．y=ln D．y=|x|+16．已知雙曲線的漸近線方程為y=±x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，0），（，0），則雙曲線方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=17．函數(shù)f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）相鄰兩個對稱中心的距離為，以下哪個區(qū)間是函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間（）A．[﹣，0] B．[0，] C．[，] D．[，]8．曲線y=lnx﹣2x在點(diǎn)（1，﹣2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是（）A． B． C．1 D．29．在邊長為2的正方體內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到正方體8個頂點(diǎn)得距離都不小于1得概率為（）A． B． C． D．1﹣10．一個空間幾何體的三視圖如圖，其中正視圖是邊長為2的正三角形，俯視圖是邊長分別為1，2的矩形，則該幾何體的側(cè)面積為（）A．+4 B．+6 C．2+4 D．2+611．執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸出的n=9，則輸入的整數(shù)p的最小值是（）A．50 B．77 C．78 D．30612．已知拋物線y2=x上一定點(diǎn)B（1，1）和兩個動點(diǎn)P、Q，當(dāng)P在拋物線上運(yùn)動時，BP⊥PQ，則Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．13．已知平面向量=（2，1），=（m，2），且∥，則3+2=．14．已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a5+a9=24，則log2（2a6﹣a7）=．15．設(shè)變量x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最小值為．16．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：f（x+4）=f（x）+f（2），且當(dāng)x∈[0，2]時，y=f（x）單調(diào)遞減，給出以下四個命題：①f（2）=0；②x=﹣4為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；③函數(shù)y=f（x）在[8，10]單調(diào)遞增；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣8．上述命題中所有正確命題的序號為．三、解答題：第17到21題為必做題，從第22、23、24三個小題中選做一題，滿分60分．17．已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對三邊分別為a，b，c，且sin（A﹣）=．（1）求tanA的值；（2）若△ABC的面積S=24，b=10，求a的值．18．年7月16日，電影《捉妖記》上映，上映至今全國累計票房已超過20億，某影院為了解觀看此部電影的觀眾年齡的情況，在某場次的100名觀眾中隨機(jī)調(diào)查了20名觀眾，已知抽到的觀眾年齡可分成5組：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示．（1）根據(jù)已知條件，補(bǔ)充畫完整頻率分布直方圖，并估計該電影院觀看此部電影的觀眾年齡的平均數(shù)；（2）現(xiàn)在從年齡屬于[25，30）和[40，45）的兩組中隨機(jī)抽取2人，求他們屬于同一年齡組的概率．19．如圖所示的長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，BB1=，M是線段B1D1的中點(diǎn)．（1）求證：BM∥平面D1AC；（2）求三棱錐D1﹣AB1C的體積．20．已知函數(shù)f（x）=經(jīng)過點(diǎn)（0，3），且在該點(diǎn)處的切線與x軸平行（1）求a，b的值；（2）若x∈（t，t+2），其中t＞﹣2，討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．21．已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+=0相切．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)P（4，0），A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點(diǎn)，連結(jié)PB交橢圓C于另一點(diǎn)E，證明：直線AE與x軸相交于定點(diǎn)．請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請寫清題號．選修4-1：幾何證明選講22．已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），延長BD至E．（1）求證：AD的延長線平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC邊上的高為1+，求△ABC外接圓的面積．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程23．（秋?廣州校級月考）已知極坐標(biāo)的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同．直線l的極坐標(biāo)方程為：ρ=，點(diǎn)P（2cosα，2sinα+2），參數(shù)α∈[0，2π]．（1）求點(diǎn)P軌跡的直角坐標(biāo)方程；（2）求點(diǎn)P到直線l距離的最大值．選修4-5：不等式選講24．（秋?臨川區(qū)校級期中）設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（1）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）＞3x+2的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集為{x|x≤﹣1}，求a的值．

-學(xué)年廣東省廣州六中、廣雅中學(xué)、執(zhí)信中學(xué)等六校高三（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={1，4}，則（?UA）∪B為（）A．{1} B．{1，5} C．{1，4} D．{1，4，5}【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】集合．【分析】由全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}先求出CUA={1，5}，再由B={1，4}，能求出（CUA）∪B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，∴CUA={1，5}，∵B={1，4}，∴（CUA）∪B={1，4，5}．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查集合的交、交、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．2．若是z的共軛復(fù)數(shù)，且滿足?（1﹣i）2=4+2i，則z=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】直接利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡求解即可．【解答】解：?（1﹣i）2=4+2i，可得?（﹣2i）=4+2i，可得=（2+i）i=﹣1+2i．z=﹣1﹣2i．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查計算能力．3．已知p、q是簡單命題，則“p∧q是真命題”是“?p是假命題”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】命題的否定；復(fù)合命題的真假；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】規(guī)律型．【分析】由p∧q為真命題，知p和q或者同時都是真命題，由?p是假命題，知p是真命題．由此可知“p∧q是真命題”是“?p是假命題”的充分不必要條件．【解答】解：∵p∧q為真命題，∴p和q或者同時都是真命題，由?p是假命題，知p是真命題．∴“p∧q是真命題”推出“?p是假命題”，反之不能推出．則“p∧q是真命題”是“?p是假命題”的充分而不必要條件．故選A．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)合命題的真假判斷，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解．4．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q=，前n項和為Sn，則=（）A．5 B．7 C．8 D．15【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式即可得出．【解答】解：S3==，a3==，∴=7．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5．下列四個函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上為增函數(shù)的是（）A．y=x2﹣2x B．y=x3 C．y=ln D．y=|x|+1【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】逐一分析四個函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，判斷是否滿足既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上為增函數(shù)，可得答案．【解答】解：函數(shù)y=x2﹣2x為非奇非偶函數(shù)；函數(shù)y=x3為奇函數(shù)；函數(shù)y=ln的定義域?yàn)椋ī?，1），函數(shù)y=|x|+1既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上為增函數(shù)，故選：D【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，熟練掌握各種基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．6．已知雙曲線的漸近線方程為y=±x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，0），（，0），則雙曲線方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)雙曲線的方程是，即．又焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，0），（，0），故λ+2λ=6，由此可知λ=2，代入可得答案．【解答】解：∵雙曲線的漸近線方程為y=±x，∴設(shè)雙曲線的方程是，即．又焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，0），（，0），故λ+2λ=6，∴λ=2，∴雙曲線方程為﹣=1．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，正確設(shè)出方程是關(guān)鍵．7．函數(shù)f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）相鄰兩個對稱中心的距離為，以下哪個區(qū)間是函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間（）A．[﹣，0] B．[0，] C．[，] D．[，]【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的對稱性．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由周期求得ω，再根據(jù)正弦函數(shù)的減區(qū)間求得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．【解答】解：根據(jù)f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）相鄰兩個對稱中心的距離為，可得==，∴ω=2，f（x）=sin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦函數(shù)的減區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．8．曲線y=lnx﹣2x在點(diǎn)（1，﹣2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是（）A． B． C．1 D．2【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把x=1代入求出切線的斜率，代入點(diǎn)斜式方程并化簡，分別令x=0和y=0求出切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再代入面積公式求解．【解答】解：由題意得y′=﹣2，則在點(diǎn)M（1，﹣2）處的切線斜率k=﹣1，故切線方程為：y+2=﹣（x﹣1），即y=﹣x﹣1，令x=0得，y=﹣1；令y=0得，x=﹣1，∴切線與坐標(biāo)軸圍成三角形的面積S==，故選A．【點(diǎn)評】試題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法和三角形的面積公式，考查考生的計算能力．9．在邊長為2的正方體內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到正方體8個頂點(diǎn)得距離都不小于1得概率為（）A． B． C． D．1﹣【考點(diǎn)】幾何概型．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)題意，求出滿足條件的點(diǎn)P所組成的幾何圖形的體積是多少，再將求得的體積與整個正方體的體積求比值即可．【解答】解：符合條件的點(diǎn)P落在棱長為2的正方體內(nèi)，且以正方體的每一個頂點(diǎn)為球心，半徑為1的球體外；根據(jù)幾何概型的概率計算公式得，P==1﹣．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了幾何概型中的體積類型的應(yīng)用問題，基本方法是：分別求得構(gòu)成事件A的區(qū)域體積和試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域體積，兩者求比值，即得概率．10．一個空間幾何體的三視圖如圖，其中正視圖是邊長為2的正三角形，俯視圖是邊長分別為1，2的矩形，則該幾何體的側(cè)面積為（）A．+4 B．+6 C．2+4 D．2+6【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】由已知中的三視力可得該幾何體是一個四棱錐，計算出各個側(cè)面的面積，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三視力可得該幾何體是一個四棱錐，其直觀圖如下圖所示：則△SAD是邊長為2的正三角形，其面積為：，∵AB⊥平面SAD，可得：△SAB是兩直角邊長為1和2的直角三角形，故△SAB的面積為1，同理，△SCD的面積也為1，又由△SAD的高SO=，OE=AB=1，可得SE=2，故△SBC是底邊長2，高為2的等腰三角形，故△SBC的面積為2，綜上所述，幾何體的側(cè)面積為+4，故選：A【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀．11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸出的n=9，則輸入的整數(shù)p的最小值是（）A．50 B．77 C．78 D．306【考點(diǎn)】程序框圖．【專題】算法和程序框圖．【分析】模擬程序框圖的運(yùn)行過程，即可得出輸入的P的最小值．【解答】解：模擬程序框圖的運(yùn)行過程，如下；n=1，S=0，輸入P，S=0+2=2，n=2，S≤P，S=2+22=6，n=3，S≤P，S=﹣6+23=2，n=4，S≤P，S=2+24=18，n=5，S≤P，S=﹣18+25=14，n=6，S≤P，S=14+26=78，n=7，S≤P，S=﹣78+27=50，n=8，S≤P，S=50+28=306，n=9，S＞P，終止循環(huán)，輸出n=9；所以P的最小值為78．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題目．12．已知拋物線y2=x上一定點(diǎn)B（1，1）和兩個動點(diǎn)P、Q，當(dāng)P在拋物線上運(yùn)動時，BP⊥PQ，則Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】先假設(shè)P，Q的坐標(biāo)，利用BP⊥PQ，可得=0，從而可得方程，再利用方程根的判別式大于等于0，即可求得Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．【解答】解：設(shè)P（t2，t），Q（s2，s）∵BP⊥PQ，∴=0，即（t2﹣1，t﹣1）?（s2﹣t2，s﹣t））=0即t2+（s+1）t+s+1=0∵t∈R，P，Q是拋物線上兩個不同的點(diǎn)∴必須有△=（s+1）2﹣4（s+1）≥0．即s2﹣2s﹣3≥0，解得s≥3或s≤﹣1．∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【點(diǎn)評】本題重點(diǎn)考考查取值范圍問題，解題的關(guān)鍵是利用=0構(gòu)建方程，再利用方程根的判別式大于等于0進(jìn)行求解．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．13．已知平面向量=（2，1），=（m，2），且∥，則3+2=（14，7）．【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】計算題；平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)平面向量平行的坐標(biāo)表示，求出m的值，再計算3+2即可．【解答】解：∵向量=（2，1），=（m，2），且∥，∴1?m﹣2×2=0，解得m=4，∴=（4，2）；∴3+2=（6，3）+（8，4）=（14，7）．故答案為：（14，7）．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量平行和線性運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目．14．已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a5+a9=24，則log2（2a6﹣a7）=3．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件求得2a6﹣a7=a5=8，由此利用對數(shù)性質(zhì)能求出log2（2a6﹣a7）的值．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}滿足a1+a5+a9=24，∴a5=8，∴2a6﹣a7=2（a1+5d）﹣（a1+6d）=a1+4d=a5=8，∴l(xiāng)og2（2a6﹣a7）=log28=3．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．15．設(shè)變量x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最小值為4．【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（1，1），化目標(biāo)函數(shù)z=3x+y為y=﹣3x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=﹣3x+z過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為3×1+1=4．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．16．已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：f（x+4）=f（x）+f（2），且當(dāng)x∈[0，2]時，y=f（x）單調(diào)遞減，給出以下四個命題：①f（2）=0；②x=﹣4為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；③函數(shù)y=f（x）在[8，10]單調(diào)遞增；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣8．上述命題中所有正確命題的序號為①②④．【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】根據(jù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2可得f（﹣2）=f（2）=0，從而有f（x+4）=f（x），故得函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，再結(jié)合y=f（x）單調(diào)遞減、奇偶性畫出函數(shù)f（x）的簡圖，最后利用從圖中可以得出正確的結(jié)論．【解答】解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（﹣x）=f（x），可得f（﹣2）=f（2），在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2得f（2）=f（﹣2）+f（2），∴f（﹣2）=f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，又當(dāng)x∈[0，2]時，y=f（x）單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)的奇偶性畫出函數(shù)f（x）的簡圖，如圖所示．從圖中可以得出：②x=﹣4為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；③函數(shù)y=f（x）在[8，10]單調(diào)遞減；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣8．故答案為：①②④．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷，考查學(xué)生的綜合分析與轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．三、解答題：第17到21題為必做題，從第22、23、24三個小題中選做一題，滿分60分．17．已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對三邊分別為a，b，c，且sin（A﹣）=．（1）求tanA的值；（2）若△ABC的面積S=24，b=10，求a的值．【考點(diǎn)】解三角形．【專題】綜合題；解三角形．【分析】（1）利用差角的正弦公式，即可求tanA的值；（2）若△ABC的面積S=24，b=10，可求c，利用余弦定理求a的值．【解答】解：（1）∵sin（A﹣）=，∴（sinA﹣cosA）=，∴sinA﹣cosA=，∴sinAcosA=，∴sinA=，cosA=，∴tanA=；（2）∵△ABC的面積S=24，b=10，∴24=，∴c=6，∴a==8．【點(diǎn)評】本題考查差角的正弦公式、三角形的面積公式，考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．18．年7月16日，電影《捉妖記》上映，上映至今全國累計票房已超過20億，某影院為了解觀看此部電影的觀眾年齡的情況，在某場次的100名觀眾中隨機(jī)調(diào)查了20名觀眾，已知抽到的觀眾年齡可分成5組：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示．（1）根據(jù)已知條件，補(bǔ)充畫完整頻率分布直方圖，并估計該電影院觀看此部電影的觀眾年齡的平均數(shù)；（2）現(xiàn)在從年齡屬于[25，30）和[40，45）的兩組中隨機(jī)抽取2人，求他們屬于同一年齡組的概率．【考點(diǎn)】頻率分布直方圖．【專題】應(yīng)用題；概率與統(tǒng)計．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，利用頻率=，計算出對應(yīng)的頻率，補(bǔ)充完整頻率分布直方圖，再計算觀看此部電影的觀眾年齡平均數(shù)即可；（2）求出年齡在[25，30）和[40，45）內(nèi)的頻率與頻數(shù)，用列舉法求出對應(yīng)的基本事件數(shù)，計算概率即可．【解答】解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，年齡在[25，30）的頻率為1﹣（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.2，∴年齡在[25，30）的小矩形的高為=0.04，補(bǔ)充畫完整頻率分布直方圖如圖所示，∴估計該電影院觀看此部電影的觀眾年齡的平均數(shù)為22.5×0.01×5+27.5×0.04×5+32.5×0.07×5+37.5×0.06×5+42.5×0.02×5=33.5；（2）年齡在[25，30）內(nèi)的頻率為0.2，對應(yīng)的人數(shù)為20×0.2=4，記為a、b、c、d；年齡在[40，45）內(nèi)的頻率為0.02×5=0.1，對應(yīng)的人數(shù)為20×0.1=2，記為E、F；現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人，基本事件是ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，共15種，屬于同一年齡組的基本事件是ab、ac、ad、bc、bd、cd、EF，共7種，所以，所求的概率是P=．【點(diǎn)評】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了用列舉法求古典概型的概率問題，是基礎(chǔ)題目．19．如圖所示的長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，BB1=，M是線段B1D1的中點(diǎn)．（1）求證：BM∥平面D1AC；（2）求三棱錐D1﹣AB1C的體積．【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】計算題；證明題．【分析】（Ⅰ）由四邊形D1OBM是平行四邊形得D1O∥BM，由線面平行的判定得到BM∥平面D1AC（Ⅱ）由OB1⊥D1O，AC⊥D1O，得到D1O⊥平面AB1C，確定D1O為三棱錐D1﹣AB1C的高，同時確定△AB1C為底．【解答】解：（Ⅰ）連接D1O，如圖，∵O、M分別是BD、B1D1的中點(diǎn)，BD1D1B是矩形，∴四邊形D1OBM是平行四邊形，∴D1O∥BM．（2分）∵D1O?平面D1AC，BM?平面D1AC，∴BM∥平面D1AC．（4分）（Ⅱ）連接OB1，∵正方形ABCD的邊長為2，，∴，OB1=2，D1O=2，則OB12+D1O2=B1D12，∴OB1⊥D1O．（6分）又∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥D1D，且BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BDD1B1，又D1O?平面BDD1B1，∴AC⊥D1O，又AC∩OB1=O，（10分）∴D1O⊥平面AB1C，即D1O為三棱錐D1﹣AB1C的高．（12分）∵，D1O=2∴．14（5分）【點(diǎn)評】本題主要考查平面圖形中的線線關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生平面與空間的轉(zhuǎn)化能力，熟練應(yīng)用線面平行和線面垂直的判定定理．20．已知函數(shù)f（x）=經(jīng)過點(diǎn)（0，3），且在該點(diǎn)處的切線與x軸平行（1）求a，b的值；（2）若x∈（t，t+2），其中t＞﹣2，討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】分類討論；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）由f（0）=3，可得b=3，求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得a=﹣3；（2）求出導(dǎo)數(shù)，對t討論，①當(dāng)﹣2＜t＜﹣1時，②當(dāng)﹣1≤t＜0時，③當(dāng)t≥0時，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間；由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間．【解答】解：（1）∵經(jīng)過點(diǎn)（0，3），∴b=3，∴，，由條件，∴a=﹣3；（2）由（1），導(dǎo)函數(shù)，①當(dāng)﹣2＜t＜﹣1時，x∈（t，﹣1），f′（x）＜0，f（x）遞減；x∈（﹣1，0），f′（x）＞0，f（x）遞增；x∈（0，t+2），f′（x）＜0，f（x）遞減，②當(dāng)﹣1≤t＜0時，x∈（t，0），f′（x）＞0，f（x）遞增；x∈（0，t+2），f′（x）＜0，f（x）遞減；③當(dāng)t≥0時，x∈（t，t+2），f′（x）＜0，f（x）遞減．綜上：①當(dāng)﹣2＜t＜﹣1時，f（x）遞減區(qū)間為（t，﹣1）和（0，t+2），遞增區(qū)間為（﹣1，0）；②當(dāng)﹣1≤t＜0時，f（x）遞減區(qū)間為（0，t+2），f（x）遞增區(qū)間為（t，0）；③當(dāng)t≥0時，f（x）遞減區(qū)間為（t，t+2）．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．21．已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+=0相切．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)P（4，0），A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點(diǎn)，連結(jié)PB交橢圓C于另一點(diǎn)E，證明：直線AE與x軸相交于定點(diǎn)．【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】計算題；分類討論；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）利用橢圓的離心率e，以及圓心（0，0）到直線x﹣y+的距離求出a，b，即可求解橢圓的方程．（2）設(shè)直線PB的方程為y=k（x﹣4）聯(lián)立，設(shè)點(diǎn)B（x1，y1），E（x2，y2），通過韋達(dá)定理求出直線方程，即可求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）由題意知e==，∴=，即a2=…（2分）又∵圓心（0，0）到直線x﹣y+的距離為，∴b=．∴a=2，故橢圓的方程為：…（4分）（2）由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)直線PB的方程為y=k（x﹣4）聯(lián)立，得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0①…（6分）設(shè)點(diǎn)B（x1，y1），E（x2，y2），則A（x1，﹣y1），直線AE的方程為令y=0，得x=，…（8分）再將y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入整理得x=②…（10分）由①得x1+x2=，x1x2=，代入②整理得x=1，所以直線AE與x軸相交于定點(diǎn)（1，0）…（12分）．【點(diǎn)評】本題考查直線方程與橢圓方程的綜合應(yīng)用，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請寫清題號．選修4-1：幾何證明選講22．已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），延長BD至E．（1）求證：AD的延長線平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC邊上的高為1+，求△ABC外接圓的面積．【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段．【專題】選作題；推理和證明．【分析】（1）要證明AD的延長線平分∠CDE，即證明∠EDF=∠CDF，轉(zhuǎn)化為證明∠ADB=∠CDF，再根據(jù)A，B，C，D四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，和等腰三角形角之間的關(guān)系即可得到．（2）求△ABC外接圓的面積．只需解出圓半徑，故作等腰三角形底邊上的垂直平分線即過圓心，再連接OC，根據(jù)角之間的關(guān)系在三角形內(nèi)即可求得圓半徑，可得到外接圓面積．【解答】（1）證明：如圖，設(shè)F為AD延長線上一點(diǎn)，A?B?C?D四點(diǎn)共圓．∴∠CDF=∠ABC，又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF對頂角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，即AD的