2024成都中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)之第四章 微專題 遇到角平分線如何添加輔助線 知識精練(含答案)

2024成都中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)之第四章微專題遇到角平分線如何添加輔助線知識精練1.(2023隨州)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D為AC上一點，若BD是∠ABC的角平分線，則AD＝________．第1題圖2.如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，過點D作DE∥BC交AC于點E，作DF⊥BC于點F，若DF＝4，DE＝5，則△CDE的面積為________．第2題圖3.如圖，在△ABC中，∠ABC＝30°，BD是∠ABC的平分線，交邊AC于點D，E為BD上一點，過點E作EF⊥AB于點F，若EF＝2，則線段BF的長為________．第3題圖4.如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點D，且3BD＝2CD，若AC＝3，則AB的長為________．第4題圖5.如圖，在?ABCD中，BG，AG分別平分∠ABC與∠BAD，GH⊥AB，GH＝5，BC＝15，則?ABCD的面積是________．第5題圖6.如圖，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分線，延長BD至點E，使DE＝AD，連接CE.求證：BC＝AB＋CE.第6題圖7.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分線，且CE⊥BD交BD的延長線于點E.(1)若AD＝1，求DC的長；(2)求證：BD＝2CE.第7題圖參考答案與解析1.5【解析】如解圖，過點D作AB的垂線，垂足為P，在Rt△ABC中，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(82＋62)＝10.∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠CBD＝∠PBD，∵∠C＝∠BPD＝90°，BD＝BD，∴△BDC≌△BDP(AAS)，∴BC＝BP＝6，CD＝PD，設(shè)CD＝PD＝x，在Rt△ADP中，∵PA＝AB－BP＝4，AD＝8－x，∴x2＋42＝(8－x)2，∴x＝3，∴AD＝5.第1題解圖2.10【解析】如解圖，過點D作DG⊥AC于點G，∵CD平分∠ACB，DF⊥BC，DG⊥AC，∴∠BCD＝∠ACD，DG＝DF＝4.∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∴∠CDE＝∠ACD，∴CE＝DE＝5，∴S△CDE＝eq\f(1,2)CE·DG＝eq\f(1,2)×5×4＝10.第2題解圖3.4＋2eq\r(3)【解析】如解圖，過點E作EG∥BC交AB于點G，則∠GEB＝∠EBC，∵BD是∠ABC的平分線，∠ABC＝30°，∴∠EBC＝∠FBE＝15°，∴∠FBE＝∠GEB＝15°，∴BG＝GE.∴∠FGE＝30°.∵EF⊥AB，∴GE＝2FE＝4，GF＝GE·cos30°＝2eq\r(3)，∴BF＝BG＋GF＝4＋2eq\r(3).第3題解圖4.2【解析】如解圖，過點B作BE∥AD交CA的延長線于點E，則∠E＝∠CAD，∠ABE＝∠BAD，∴△CBE∽△CDA，∴eq\f(EC,AC)＝eq\f(BC,DC).∵3BD＝2CD，∴BC＝eq\f(5,3)CD，∴eq\f(EC,AC)＝eq\f(5,3).∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ABE＝∠E，∴AB＝AE.∵EC＝AC＋AE，∴eq\f(AC＋AB,AC)＝eq\f(5,3)，即eq\f(3＋AB,3)＝eq\f(5,3)，解得AB＝2.第4題解圖5.150【解析】如解圖，作GE⊥AD交AD于點E，EG的延長線交BC于點F，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∵GE⊥AD，∴EF⊥BC.∵BG，AG分別平分∠ABC與∠BAD，∴GE＝GH＝5，GF＝GH＝5，∴EF＝5＋5＝10，?ABCD的面積為BC×EF＝15×10＝150.第5題解圖6.證明：如解圖，在BC上截取BF＝AB，連接DF.∵BD是∠ABC的平分線，∴∠1＝∠2＝eq\f(1,2)∠ABC＝20°.在△ABD與△FBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝FB，,∠1＝∠2，,BD＝BD，))∴△ABD≌△FBD(SAS)，∴DF＝DA＝DE，∠BAD＝∠BFD.又∵∠A＝100°，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°－∠BFD＝180°－∠A＝80°，∴∠FDC＝180°－∠DFC－∠DCF＝60°.∵∠EDC＝∠ADB＝180°－∠1－∠A＝180°－20°－100°＝60°，∴∠FDC＝∠EDC.在△DCE與△DCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE＝DF，,∠EDC＝∠FDC，,CD＝CD，))∴△DCE≌△DCF(SAS)，∴CE＝CF，∴BC＝BF＋CF＝AB＋CE，即BC＝AB＋CE.第6題解圖7.(1)解：如解圖①，過點D作DH⊥BC于點H，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠BCA＝45°，∴DH＝CH.∵BD是∠ABC的平分線，∴DH＝AD＝1，∴在Rt△CHD中，DC＝eq\r(CH2＋HD2)＝eq\r(2)；圖①圖②第7題解圖(2)證明：如解圖②，延長CE，BA相交于點F，∵∠EBF＋∠F＝90°，∠ACF＋∠F＝90°，∴∠EBF＝∠ACF.在△ABD和△ACF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABD＝∠ACF，,AB＝AC，,∠BAD＝∠CAF，))∴△ABD≌△ACF(ASA)，∴BD＝CF.∵BD平分∠ABC，∴∠EB