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2024成都中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)之第四章微專題遇到角平分線如何添加輔助線知識精練1.(2023隨州)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D為AC上一點,若BD是∠ABC的角平分線,則AD=________.第1題圖2.如圖,在△ABC中,CD平分∠ACB,過點D作DE∥BC交AC于點E,作DF⊥BC于點F,若DF=4,DE=5,則△CDE的面積為________.第2題圖3.如圖,在△ABC中,∠ABC=30°,BD是∠ABC的平分線,交邊AC于點D,E為BD上一點,過點E作EF⊥AB于點F,若EF=2,則線段BF的長為________.第3題圖4.如圖,在△ABC中,∠BAC的平分線交BC于點D,且3BD=2CD,若AC=3,則AB的長為________.第4題圖5.如圖,在?ABCD中,BG,AG分別平分∠ABC與∠BAD,GH⊥AB,GH=5,BC=15,則?ABCD的面積是________.第5題圖6.如圖,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分線,延長BD至點E,使DE=AD,連接CE.求證:BC=AB+CE.第6題圖7.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD是∠ABC的平分線,且CE⊥BD交BD的延長線于點E.(1)若AD=1,求DC的長;(2)求證:BD=2CE.第7題圖參考答案與解析1.5【解析】如解圖,過點D作AB的垂線,垂足為P,在Rt△ABC中,∵AC=8,BC=6,∴AB=eq\r(AC2+BC2)=eq\r(82+62)=10.∵BD是∠ABC的角平分線,∴∠CBD=∠PBD,∵∠C=∠BPD=90°,BD=BD,∴△BDC≌△BDP(AAS),∴BC=BP=6,CD=PD,設(shè)CD=PD=x,在Rt△ADP中,∵PA=AB-BP=4,AD=8-x,∴x2+42=(8-x)2,∴x=3,∴AD=5.第1題解圖2.10【解析】如解圖,過點D作DG⊥AC于點G,∵CD平分∠ACB,DF⊥BC,DG⊥AC,∴∠BCD=∠ACD,DG=DF=4.∵DE∥BC,∴∠CDE=∠BCD,∴∠CDE=∠ACD,∴CE=DE=5,∴S△CDE=eq\f(1,2)CE·DG=eq\f(1,2)×5×4=10.第2題解圖3.4+2eq\r(3)【解析】如解圖,過點E作EG∥BC交AB于點G,則∠GEB=∠EBC,∵BD是∠ABC的平分線,∠ABC=30°,∴∠EBC=∠FBE=15°,∴∠FBE=∠GEB=15°,∴BG=GE.∴∠FGE=30°.∵EF⊥AB,∴GE=2FE=4,GF=GE·cos30°=2eq\r(3),∴BF=BG+GF=4+2eq\r(3).第3題解圖4.2【解析】如解圖,過點B作BE∥AD交CA的延長線于點E,則∠E=∠CAD,∠ABE=∠BAD,∴△CBE∽△CDA,∴eq\f(EC,AC)=eq\f(BC,DC).∵3BD=2CD,∴BC=eq\f(5,3)CD,∴eq\f(EC,AC)=eq\f(5,3).∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠ABE=∠E,∴AB=AE.∵EC=AC+AE,∴eq\f(AC+AB,AC)=eq\f(5,3),即eq\f(3+AB,3)=eq\f(5,3),解得AB=2.第4題解圖5.150【解析】如解圖,作GE⊥AD交AD于點E,EG的延長線交BC于點F,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC.∵GE⊥AD,∴EF⊥BC.∵BG,AG分別平分∠ABC與∠BAD,∴GE=GH=5,GF=GH=5,∴EF=5+5=10,?ABCD的面積為BC×EF=15×10=150.第5題解圖6.證明:如解圖,在BC上截取BF=AB,連接DF.∵BD是∠ABC的平分線,∴∠1=∠2=eq\f(1,2)∠ABC=20°.在△ABD與△FBD中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB=FB,,∠1=∠2,,BD=BD,))∴△ABD≌△FBD(SAS),∴DF=DA=DE,∠BAD=∠BFD.又∵∠A=100°,∠ABC=40°,∴∠ACB=∠ABC=40°,∠DFC=180°-∠BFD=180°-∠A=80°,∴∠FDC=180°-∠DFC-∠DCF=60°.∵∠EDC=∠ADB=180°-∠1-∠A=180°-20°-100°=60°,∴∠FDC=∠EDC.在△DCE與△DCF中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE=DF,,∠EDC=∠FDC,,CD=CD,))∴△DCE≌△DCF(SAS),∴CE=CF,∴BC=BF+CF=AB+CE,即BC=AB+CE.第6題解圖7.(1)解:如解圖①,過點D作DH⊥BC于點H,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠BCA=45°,∴DH=CH.∵BD是∠ABC的平分線,∴DH=AD=1,∴在Rt△CHD中,DC=eq\r(CH2+HD2)=eq\r(2);圖①圖②第7題解圖(2)證明:如解圖②,延長CE,BA相交于點F,∵∠EBF+∠F=90°,∠ACF+∠F=90°,∴∠EBF=∠ACF.在△ABD和△ACF中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABD=∠ACF,,AB=AC,,∠BAD=∠CAF,))∴△ABD≌△ACF(ASA),∴BD=CF.∵BD平分∠ABC,∴∠EB
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