第02講 菱形的判定（原卷版）-2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假講義（北師版）

第02講菱形的判定模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．理解并掌握菱形的判定方法；2．能夠運(yùn)用綜合法證明菱形的判定定理及其推論進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算；3．經(jīng)歷探索菱形判定的過程，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、觀察能力及推理能力。菱形的判定菱形的判定方法有三種：1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.四條邊相等的四邊形是菱形.要點(diǎn)：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.考點(diǎn)一：菱形的判定例1．如圖，下列條件中不能使成為菱形的是（

）

A． B． C． D．【變式1-1】如圖，已知，下列不能判斷是菱形的條件是（

）A． B．C． D．平分【變式1-2】如圖，根據(jù)下面平行四邊形中所標(biāo)注的條件，不能判定其為菱形的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式1-3】如圖，的對(duì)角線交于點(diǎn)O，下列條件不能判定是菱形的是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)二：添一個(gè)條件使四邊形是菱形例2.在中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，在不添加任何輔助線的情況下，要使是菱形，需添加的一個(gè)條件是．(寫出一個(gè)即可)【變式2-1】如圖，在中，D為上一點(diǎn)，，．請你再添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：，使四邊形為菱形．【變式2-2】如圖，四邊形是平行四邊形，分別延長至點(diǎn)F、E，使得，連接．請?jiān)偬砑右粋€(gè)條件：，使得四邊形是菱形，并說明理由．（不再添加任何線條、字母）【變式2-3】如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O．（1）添加一個(gè)條件，則可判定四邊形是菱形；（2）若，，則與的周長之差為．考點(diǎn)三：利用菱形的判定與性質(zhì)求角度例3.如圖，①以點(diǎn)A為圓心長為半徑畫弧分別交的兩邊、于點(diǎn)B、；②以點(diǎn)B為圓心，長為半徑畫弧，再以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；③分別連接、、，若，則的大小為°．【變式3-1】如圖，已知四邊形的四邊都相等，等邊的頂點(diǎn)E、F分別在上，且，則．

【變式3-2】在中，的平分線交線段于點(diǎn)，交線段的延長線于點(diǎn)，以、為鄰邊作，若，則．

【變式3-3】如圖，在四邊形中，對(duì)角線互相垂直平分，點(diǎn)，Q分別是邊，線段上的點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)．，且，則；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則的長．（用含a的代數(shù)式表示）．

考點(diǎn)四：利用菱形的判定與性質(zhì)求長度例4.如圖，以O(shè)為圓心，為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)C，D，再分別以C，D為圓心長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，連接，則的長為．【變式4-1】已知中，對(duì)角線平分線，若，則的周長為．【變式4-2】如圖，為邊的中點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，連接，平分，作，垂足為．若，，則．

【變式4-3】如圖，在四邊形中，，，對(duì)角線交于點(diǎn)，平分，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接，，，則的長為．

考點(diǎn)五：利用菱形的判定與性質(zhì)求面積例5.如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形，若測得A，D之間的距離為，點(diǎn)A，C之間的距離為，則四邊形的面積為．【變式5-1】如圖，已知，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑作圓弧，與角的兩邊分別交于，兩點(diǎn)，分別以點(diǎn)，為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于內(nèi)一點(diǎn)，作射線．以點(diǎn)為圓心，長為半徑作圓弧，恰好經(jīng)點(diǎn)，與射線交于點(diǎn)，連接，．若，則四邊形的面積為．【變式5-2】如圖，線段，分別以，為圓心，大于的長為半徑畫弧交于點(diǎn)，，作直線，連接，，，．若，則四邊形的面積為．【變式5-3】如圖，在平行四邊形中，，，．E為邊上一點(diǎn)，且滿足，作的平分線交于點(diǎn)F，則的長度為考點(diǎn)六：利用菱形的判定與性質(zhì)作圖（含無刻度作圖）例6.如圖，在平行四邊形中，(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)完成以下基本作圖：作的平分線交于點(diǎn)E，在線段上截取，使(保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)在(1)所作的圖形中，連接，求證∶四邊形是菱形．【變式6-1】如圖，在菱形中，連接，是的中點(diǎn)，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．

(1)在圖1中的上找一點(diǎn)，連接，使得．(2)在圖2中的上找一點(diǎn)，連接，使得．【變式6-2】如圖，在菱形中是的中點(diǎn)．請僅用無刻度直尺完成下列作圖，(1)在圖1中，過點(diǎn)作的平行線，與交于點(diǎn)．(2)在圖2中，作線段的垂直平分線，垂足為點(diǎn)．【變式6-3】菱形中，，點(diǎn)E、F分別是邊、邊上的動(dòng)點(diǎn)，且．(1)如圖1，連接，求證：是等邊三角形；(2)如圖2，已知M為的中點(diǎn)，當(dāng)最短時(shí)，請用無刻度的直尺在圖中作出點(diǎn)E與點(diǎn)F（不寫作法，保留作圖痕跡）．考點(diǎn)七：利用菱形的判定與性質(zhì)多結(jié)論性問題例7.如圖，分別以直角的斜邊，直角邊為邊向外作等邊和等邊，F(xiàn)為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)G，與交于點(diǎn)H，，．給出如下結(jié)論：①平分；②；③；④，其中正確結(jié)論的為（）A．①③④ B．②③ C．①④ D．①②③④【變式7-1】如圖，中，，F(xiàn)是中點(diǎn)，作，垂足是E，連接、．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式7-2】如圖，分別是的中點(diǎn)，且，下列結(jié)論；①；②四邊形是矩形；③平分；④；⑤四邊形的周長等于，其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式7-3】如圖，在菱形中，，與交于點(diǎn)，為延長線上一點(diǎn)，且，連接，分別交，于點(diǎn)、，連接、，則下列結(jié)論：①；②四邊形是菱形；③四邊形與四邊形面積相等．其中正確的有（

）

A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)考點(diǎn)八：利用菱形的判定與性質(zhì)解決綜合性問題例8.如圖，在等腰中，，平分，過點(diǎn)作交的延長線于，連接，過點(diǎn)作交的延長線于．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)若，，求的長．【變式8-1】如圖，在中，，平分，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若菱形的周長為，，求的長度．【變式8-2】已知，四邊形是菱形．(1)若，則菱形的周長______；(2)如圖①，、是對(duì)角線，則與的位置關(guān)系是_______．(3)如圖②，點(diǎn)、分別在、上，且，，，點(diǎn)、分別在、上，與相交于點(diǎn)．求證：四邊形是菱形．【變式8-3】如圖1，在等邊三角形中，，射線，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)如圖2，連接，若經(jīng)過邊的中點(diǎn)D．①求證：四邊形是平行四邊形；②求此時(shí)t的值．(2)是否存在t，使得以點(diǎn)A，E，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．一、單選題1．（23-24八年級(jí)下·天津和平·期中）順次連接梯形四邊中點(diǎn)得到一個(gè)菱形，則該梯形的兩條對(duì)角線（

）A．相等 B．互相垂直 C．互相平分 D．互相垂直且平分2．（2024·上海楊浦·三模）在四邊形中，，，添加下列條件后仍然不能推得四邊形為菱形的是（

）A． B． C． D．3．（2024·天津河西·二模）如圖，，平分，交于C，以點(diǎn)B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交于M，N兩點(diǎn)，再分別以M，N兩點(diǎn)為圓心，都以一個(gè)大于的長度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，射線與相交于點(diǎn)D．若，，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2024八年級(jí)下·安徽·專題練習(xí)）如圖，剪兩張對(duì)邊平行且寬度相同的紙條隨意交叉疊放在一起，轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張，重合部分構(gòu)成一個(gè)四邊形，則下列結(jié)論中不一定成立的是（

）A．， B．C．， D．5．（22-23八年級(jí)下·新疆巴音郭楞·期末）如圖，平行四邊形中，與交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊上的中點(diǎn)，連接，，，．有下列結(jié)論：①是等邊三角形；②的周長是20，③的邊上的高是，④是菱形，⑤的面積是48．其中正確的是（

）

A．②③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．②③④⑤二、填空題6．（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖所示，在中，于點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接，當(dāng)滿足條件時(shí)，四邊形是菱形．（填一個(gè)你認(rèn)為恰當(dāng)?shù)臈l件即可）7．（23-24八年級(jí)下·山東泰安·期中）如圖，在中，以點(diǎn)A為圓心AB長為半徑作弧交于點(diǎn)F，分別以點(diǎn)B、F為圓心，大于的長度為半徑作弧，交于點(diǎn)G，連接并延長交于點(diǎn)E，若，，則的長為．

8．（23-24八年級(jí)下·北京·期中）如圖，在平行四邊形中，，，平分，是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．9．（2024九年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)O，連接，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)F，連接．若，則四邊形的面積為．10．（23-24八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）如圖，中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)F，，且，若點(diǎn)P是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使至，得連接，取的中點(diǎn)O，連接，則在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的最小值為．三、解答題11．（23-24八年級(jí)下·湖北宜昌·期中）如圖，在平行四邊形中，F(xiàn)是對(duì)角線的交點(diǎn)，E是邊的中點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)當(dāng)與滿足________時(shí)，四邊形是菱形，并證明你的結(jié)論；12．（23-24八年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)E，平分，交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)P，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．13．（2024·江蘇鹽城·二模）如圖，已知，連接．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）作的垂直平分線分別交于點(diǎn)M，N，O，連接和；(2)在（1）的條件下，若四邊形的周長為16，求的長．14．（23-24八年級(jí)下·天津·期中）如圖，在四邊形