專題05 平行四邊形（解析版）-2024年九年級數(shù)學(xué)暑假講義（北師版）

專題05平行四邊形目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點1多邊形的內(nèi)角和與外角和】 2【考點2利用三角形的中位線求線段長】 5【考點3利用平行四邊形的性質(zhì)求角度】 7【考點4利用平行四邊形的性質(zhì)求邊長】 9【考點5利用平行四邊形的性質(zhì)求解折疊問題】 12【考點6判斷能否構(gòu)成平行四邊形】 16【考點7平行四邊形的判定和性質(zhì)】 18【考點8平行四邊形與中位線的綜合問題】 22【過關(guān)檢測】 271.平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形.2.三角形中位線3.多邊形考點剖析【考點1多邊形的內(nèi)角和與外角和】例題：（2024·重慶·二模）一個多邊形的內(nèi)角和是這個多邊形的外角和的3倍，則該多邊形邊數(shù)為【答案】8/八【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和公式，多邊形外角和定理，解題關(guān)鍵是掌握多邊形內(nèi)角和公式：以及多邊形的外角和等于．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理列出方程，求解即可得到答案．【詳解】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)題意得：，解得：，故答案為：8．【變式訓(xùn)練】1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，正六邊形的兩個頂點與正方形的兩個頂點重合，且正方形與正六邊形的中心（點O）重合，則度．【答案】【分析】此題考查了正多邊形的性質(zhì)，連接，先求出，，由正六邊形是軸對稱圖形可得，即可得到答案．【詳解】解：連接，∵正六邊形的兩個頂點與正方形的兩個頂點重合，∴，，由正六邊形是軸對稱圖形可得，，∴，故答案為：．2．（2024九年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，將正五邊形紙片折疊，使點B與點E重合，折痕為，展開后，再將紙片折疊，使邊落在線段上，點B的對應(yīng)點為點，折痕為，則的大小為度．【答案】45【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和的應(yīng)用，根據(jù)題意求得正五邊形的每一個內(nèi)角為，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵正五邊形的每一個內(nèi)角為，將正五邊形紙片折疊，使點與點重合，折痕為，則，∵將紙片折疊，使邊落在線段上，點的對應(yīng)點為點，折痕為，∴，，在中，，故答案為：．3．（2024·山東菏澤·二模）如圖，正三角形、正四邊形、正五邊形中，點E在的延長線上，點D在另一邊反向延長線上，且延長線交于點F．圖1中的度數(shù)為，圖2中度數(shù)為，若將條件“正三角形、正四邊形、正五邊形”改為“正n邊形”，其它條件不變，則度數(shù)為．（用含n的代數(shù)式表示）【答案】【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角．通過證明，即可分別求出正三角形、正四邊形、正五邊形時的度數(shù)，找出規(guī)律即可解答．【詳解】解：圖1：在中，，，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴；圖2：∵四邊形為正方形，∴，又，∴，∴，又∵，∴；圖3：∵五邊形為正五邊形，∴，∴，又，∴，∴，又∵，∴；∴“正n邊形”，其它條件不變時，的度數(shù)等于該多邊形的一個內(nèi)角，即度數(shù)為．故填：，，．【考點2利用三角形的中位線求線段長】例題：（22-23九年級上·河南南陽·期末）如圖，在中，，，于點，．若，分別為，的中點，則的長為．【答案】【分析】本題考查三角形中求線段長，涉及等腰直角三角形性質(zhì)、含的直角三角形性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)含的直角三角形性質(zhì)及勾股定理列方程求出，最后由三角形這中位線的判定與性質(zhì)計算即可得到答案．熟練掌握三角形相關(guān)性質(zhì)，運用三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，在中，，，，在中，，則，，設(shè)，則，由勾股定理可得，，解得，則，，分別為，的中點，是的中位線，，故答案為：4．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·山東淄博·期末）如圖，已知，，，垂足為，點分別是的中點．若，則的長為．

【答案】【分析】本題考查求線段長，涉及平行四邊形性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、含的直角三角形性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線的判定與性質(zhì)等知識，證明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理結(jié)合含角的直角三角形的性質(zhì)得出，最后再由三角形中位線定理即可得出答案，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：在，，則，，，在中，由等腰直角三角形性質(zhì)得到，在，則，在中，，設(shè)，則，解得，，點分別是的中點，是的中位線，則，故答案為：．2．（23-24八年級上·山東濟(jì)寧·期末）如圖，在等邊三角形中，，，點E是線段上一動點，連接，將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則長的最小值為．【答案】【分析】取的中點K，連接、，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到，，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明，有，故當(dāng)最小時，最小，此時，由是的中位線，可得，從而長的最小值為．【詳解】解：如圖，取的中點K，連接、，是等邊三角形，，，，，將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，，，，，在和中，，，，當(dāng)最小時，最小，此時，，，是的中位線，長的最小值為，故答案為：．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．【考點3利用平行四邊形的性質(zhì)求角度】例題：（2024·遼寧葫蘆島·二模）如圖，在中，，以點為圓心，為半徑作弧交于另一點，再分別以點和點為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線交于點，若，則的度數(shù)為．【答案】20【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，尺規(guī)作垂線，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，推出，作圖可知，三角形的內(nèi)角和定理求出即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，由作圖可知，∴，∴；故答案為：20．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級下·海南省直轄縣級單位·期中）若平行四邊形的兩個內(nèi)角，則的度數(shù)是．【答案】/60度【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)．注意掌握平行四邊形的鄰角互補定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．由在平行四邊形中，已知，根據(jù)平行四邊形的鄰角互補，即可求得答案．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，，，，故答案為：．2．（23-24九年級上·吉林·期末）如圖，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，若點的對應(yīng)點恰好落在邊上，則．【答案】106【分析】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出的度數(shù)，再利用平行四邊形的性質(zhì)得出的度數(shù)．【詳解】解：平行四邊形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到平行四邊形（點與點是對應(yīng)點，點與點是對應(yīng)點，點與點是對應(yīng)點），，，，．故答案為：106．3．（2024八年級下·上海·專題練習(xí)）如圖，在中，，將繞頂點順時針旋轉(zhuǎn)到，當(dāng)首次經(jīng)過頂點時，旋轉(zhuǎn)角度．【答案】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．由，可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，則，根據(jù)，求解作答即可．【詳解】解：∵，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，∴，∴，故答案為：．【考點4利用平行四邊形的性質(zhì)求邊長】例題：（22-23八年級下·遼寧沈陽·期末）如圖，平行四邊形中，和的平分線交于邊上一點，且，，則的長是．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)；根據(jù)和的平分線交于邊上一點，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，得出，，在中，勾股定理求得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，分別是和的平分線，，，，，，，，，，，，．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·山東泰安·期末）如圖，在平行四邊形中，平分，交于點，平分，交于點，，，則的長為．【答案】4【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義，轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由角平分線可得，所以，所以，同理可得，則根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，∴平分，∴，∴，∴，同理可得，∴．故答案為：4．2．（22-23八年級下·山東青島·期末）在中，的平分線與的延長線交于點，與交于點．若點為的中點，于，且，，則的長為．【答案】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義，證明是等腰三角形，進(jìn)而得到，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，利用勾股定理，求出，進(jìn)而得到，再證明，得到，即可求出的長．【詳解】解：，，，，為的中點，，平分，，，，，是等腰三角形，，，，，在中，，，，，在和中，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)等知識，靈活運用相關(guān)知識解決問題是解題關(guān)鍵．【考點5利用平行四邊形的性質(zhì)求解折疊問題】例題：（2024·福建漳州·二模）如圖，將的兩邊與分別沿翻折，點A，C恰好與點B重合，則的大小為．

【答案】【分析】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變換是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．先證明和是等邊三角形，可得，再由折疊性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，，，四邊形是平行四邊形，和是等邊三角形，，，故答案為：【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級下·重慶萬州·期中）如圖，在中，，，將沿對角線翻折，交于點，點的對應(yīng)點為點，則的度數(shù)是．【答案】/100度【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，由平行四邊形的性質(zhì)得出，由等邊對等角得出，由折疊的性質(zhì)可得：，由三角形外角的定義與性質(zhì)得出，即可得解．【詳解】解：四邊形為平行四邊形，，，，，，由折疊的性質(zhì)可得：，，，故答案為：．2．（2024八年級下·浙江·專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，連結(jié)，將沿折疊得到，交于點，則的長度是．【答案】//【分析】見詳解的作圖，欲求的長，猜想構(gòu)造直角，依據(jù)勾股定理求解．因是含角的直角三角形，故可求得的長，進(jìn)一步求得的長，由全等三角形及折疊性可證得，則，于是將直角三角形中的已知與待求的通過勾股定理聯(lián)系起來了，即可求得的長．【詳解】過點A作延長線的垂線，垂足為H，見下圖．

∵四邊形為平行四邊形，∴，∴由得，，∵，∴．∴．則．∵平行四邊形，∴，又，∴，∴∴（等角對等邊）．設(shè)，則，在直角中，即：，解得：故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形、折疊圖形、勾股定理、等角對等邊等性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求證，并運用勾股定理求解．3．（23-24八年級下·江蘇無錫·期中）已知在平行四邊形中，，點在上，，將沿翻折到，連接．則的長為，的長為．

【答案】【分析】過B作交延長線于G，于H，先證明是等腰直角三角形求得，設(shè)，則，，然后在中，利用勾股定理求得，進(jìn)而求得；由翻折性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)求得，證明是等腰直角三角形，∴，然后在中，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：過B作交延長線于G，過E作于H，則，

∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，設(shè)，則，，在中，由得，解得，∴；由翻折性質(zhì)得，，∵，，∴，∴，∵EH⊥BF，∴是等腰直角三角形，∴，∴，在中，．故答案為：5，．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、翻折性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題是解答的關(guān)鍵．【考點6判斷能否構(gòu)成平行四邊形】例題：（23-24八年級上·山東菏澤·期末）下列條件不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】此題主要考查了平行四邊形的判定定理，準(zhǔn)確無誤的掌握定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的判斷定理分別作出判斷得出即可．【詳解】解：A、根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可以判定四邊形為平行四邊形，故A不合題意；B、根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可以判定四邊形為平行四邊形，故B不合題意；C、，，不能判斷這個四邊形是平行四邊形，故C符合題意；D、∵，，，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，故D不符合題意；故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·山東濟(jì)南·期末）如圖，四邊形的對角線相交于點O，下列條件不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【詳解】解：A、，，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得四邊形為平行四邊形，故本選項正確，不符合題意；B、，不能判定四邊形是平行四邊形，故本選項錯誤，符合題意；C、∵，∴，又∵，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可得四邊形為平行四邊形，故本選項正確，不符合題意；D、，根據(jù)兩對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可得四邊形為平行四邊形，故本選項正確，不符合題意．故選：B．2．（22-23八年級下·江西贛州·期末）如圖，在中，點，分別在，上．下列條件中，不能得出四邊形一定為平行四邊形的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法逐項判斷即可．【詳解】A、∵四邊形為平行四邊形，∴，即．又，∴四邊形為平行四邊形．（一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形）該選項不符合題意．B、無法證明四邊形為平行四邊形，該選項符合題意．C、∵四邊形為平行四邊形，∴，即．又，∴四邊形為平行四邊形．（兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形）該選項不符合題意．D、∵四邊形為平行四邊形，∴，．又，，，∴．∵，，∴．∴四邊形為平行四邊形．（兩組對角分別相等的四邊形為平行四邊形）該選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，牢記平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【考點7平行四邊形的判定和性質(zhì)】例題：（22-23八年級下·廣東深圳·期末）已知：如圖，E、F是對角線上的兩點．

(1)若，求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，垂足分別為E、F，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接交于O，根據(jù)，得，，繼可證得，即可由平行四邊形的判定定理得出結(jié)論．（2）先由，，得出，，再證，得，從而證得四邊形是平行四邊形，即可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得．【詳解】（1）證明：連接交于O，

∵，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：∵，，∴，，∵，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形∴．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·吉林·期末）如圖，在中，，于點D，延長到點E，使，過點E作交的延長線于點F，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）證，得，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得，再由等腰三角形的性質(zhì)得，則，進(jìn)而由勾股定理得，然后利用勾股定理求出的長即可．【詳解】（1）證明：，，在與中，，，,又，四邊形是平行四邊形；（2）解：由（1）可知四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，．2．（22-23八年級下·四川·期末）如圖，在中，，．以為邊向形外作等邊，以為邊向形外作等邊，以為邊向上作等邊，連接．

(1)記的面積為，的面積為，則的值是______；(2)求證：四邊形是平行四邊形．(3)連接，若，求四邊形的面積．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）利用等邊三角形的面積公式及勾股定理即可得解；（2）通過證明推得，同理可證得，繼而得證；（3）先推證得,則設(shè)設(shè)，則，在中，利用勾股定理計算得,繼而得解；【詳解】（1）是等邊三角形，又，故答案為：（2）是等邊三角形，,,,又為等邊三角形，,,同理可證：,四邊形是平行四邊形．（3）四邊形是平行四邊形．又,又,,又設(shè)，則，在中，,,即，解得：，【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，含的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握并應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．【考點8平行四邊形與中位線的綜合問題】例題：（22-23八年級上·山東濟(jì)寧·期末）如圖，在中，點是邊的中點，點在內(nèi)，平分，，點F在邊AB上，．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）延長交于點，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到，再利用三角形的中位線定理證明，再由可證出結(jié)論；（2）先利用三角形中位線定理證明，再證明，可得到．【詳解】（1）證明：延長交于點，

∵，∴，在和中，，∴（）．∴．∵∴為的中位線，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴．∵D、E分別是、的中點，∴．∵，∴，∴∴．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，題目綜合性較強(qiáng)，證明，再利用三角形中位線定理證明是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級下·江西景德鎮(zhèn)·期末）如圖，在中，點E是邊上任意一點，連接、，點F、G分別是和的中點，連接、．

(1)求證：(2)當(dāng)點E在邊上什么位置時，四邊形是平行四邊形？并證明．【答案】(1)見解析(2)當(dāng)點E在邊上的中點時，四邊形是平行四邊形，理由見解析【分析】（1）先證明是是中位線，即有，問題隨之得解；（2）結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)有，，再根據(jù)點E在邊上的中點，可得，即有且，問題得解．【詳解】（1）又點F、G分別是AE和BE的中點，是的中位線．，中，，．（2）當(dāng)點E在邊上的中點時，四邊形是平行四邊形．證明：在中，．是的中位線，．．點E在邊上的中點，．．且．∴四邊形是平行四邊形．【點睛】本題主要考查了三角形中位線的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，掌握三角形中位線的判定與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．2．（22-23八年級下·安徽六安·期末）如圖1，在四邊形中，對角線與相交于點O，，．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)如圖2，若E，F(xiàn)，G分別為，，的中點，．①四邊形是哪種特殊的四邊形，證明你的結(jié)論；②連接，若，，求的周長．【答案】(1)見解析(2)①平行四邊形，證明見解析；②24【分析】（1）首先證明出，得到，然后結(jié)合即可證明出四邊形是平行四邊形；（2）①首先根據(jù)題意得到，，然后得到，進(jìn)而證明出，，即可證明出四邊形是平行四邊形；②連接，首先證明出四邊形是平行四邊形，得到，然后利用等腰三角形三線合一性質(zhì)得到，然后利用勾股定理和直角三角形的性質(zhì)得到，，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）∵，，，∴∴又∵∴四邊形是平行四邊形；（2）①∵E，F(xiàn)分別為，的中點，∴，∵點G為的中點∴∴∵∴∴四邊形是平行四邊形；②如圖所示，連接

∵∴∵，，∴，∴四邊形是平行四邊形∴∵∴∵點E是的中點∴∵，，點G是的中點∴∴，∴∴∴∴的周長．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．【過關(guān)檢測】過關(guān)檢測一、單選題1．（23-24七年級下·江蘇連云港·期中）正十邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正多邊形的每個內(nèi)角都相等和多邊形內(nèi)角和公式進(jìn)行列式求解即可．【詳解】解：正十邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是：，故選：A．2．（2024八年級下·山東·專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，要使得四邊形是平行四邊形，可添加的條件不正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查平行四邊形的判定，掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的判定方法，逐項判斷即可．【詳解】解：A、，添加時，一組對邊分別平行且相等，可證明四邊形為平行四邊形，故此選項不符合題意；B、，添加時，兩組對邊分別平行，可證明四邊形為平行四邊形，故此選項不符合題意；C、當(dāng)，添加時，四邊形可能為等腰梯形，故此選項符合題意；D、∵，∴，添加，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，故此選項不符合題意．故選：C．3．（23-24八年級下·重慶萬州·期中）如圖，平行四邊形的對角線與相交于點，，若，，則的長是（）

A． B． C．4 D．【答案】D【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，由等腰直角三角形的判定與性質(zhì)得出，由平行四邊形的性質(zhì)得出，，由勾股定理得出，即可得解．【詳解】解：，，，為等腰直角三角形，，四邊形為平行四邊形，，，，，故選：D．4．（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形紙片中，，將紙片沿對角線對折，邊與邊交于點E，若恰為等邊三角形，則的長度是（）．A．6 B． C．8 D．10【答案】A【分析】本題考查了翻折變換，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，由折疊的性質(zhì)可得，由平行線的性質(zhì)可得，可證，由等邊三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，，∵將紙片沿對角線對折，，，，是等邊三角形，，，，故選：A．5．（2024·浙江·二模）四邊形具有不穩(wěn)定性，教材是在平行四邊形概念的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)矩形定義的，教材提出的情景問題是：“在這些平行四邊形中，有沒有一個面積最大的平行四邊形”，因此通過平行四邊形變形可以得到矩形．某同學(xué)將平行四邊形的邊與邊分別繞點A、點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，若此時、、恰好共線，cm，cm，那么邊掃過的面積為（

）A． B． C． D．8【答案】A【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．連接，，以A為圓心，的長為半徑，作,以B為圓心，的長為半徑，作,平行四邊形的面積就是掃過的面積.【詳解】解：連接，，以A為圓心，的長為半徑，作,以B為圓心，的長為半徑，作,掃過的面積為,及，圍成的面積，即平行四邊形的面積就是掃過的面積.由旋轉(zhuǎn)可知，，，是平行四邊形，中，，，，故答案為：A．二、填空題6．（23-24八年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，在四邊形中，與相交于點，，添加條件，可得四邊形為平行四邊形（只需添加一個條件）．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．由平行四邊形的判定方法即可得出結(jié)論．【詳解】解：添加條件，可得四邊形為平行四邊形，理由如下：∵，，∴四邊形為平行四邊形，故答案為：（答案不唯一）．7．（23-24八年級下·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，某公園有一塊三角形空地米，沿放置一道柵欄把分成兩個區(qū)域種植不同的花卉，D、E分別是的中點，則柵欄的長為米．【答案】6【分析】本題考查三角形的中位線定理，根據(jù)題意，得到是的中位線，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵D、E分別是的中點，∴是的中位線，∴；故答案為：6．8．（23-24八年級下·遼寧遼陽·期中）如圖，在中，平分交于點E，交的延長線于點F，若，則的長為．【答案】/8厘米【分析】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，利用平行四邊形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，再利用角平分線的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，即可得出，同理可得：，即可得出答案，得出，是解題關(guān)鍵．【詳解】解：平行四邊形，，，平分，，，，同理可得：，，，，，故答案為：．9．（23-24八年級下·浙江·期中）如圖，在中，對角線與交于點的平分線與交于點F，點E是的中點，連接，若，則長為．【答案】1【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，中位線定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合角的平分線，得到，再由角平分線及等量代換確定，根據(jù)等角對等邊得出，結(jié)合E是的中點，O是的中點，得到是的中位線，計算即可，【詳解】∵平行四邊形的對角線、相交于點O，∴，，O是的中點，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵E是的中點，O是的中點，∴是的中位線，∴，故答案為：1．10．（23-24八年級下·廣東廣州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，有四個點，若以為頂點的四邊形是平行四邊形，則坐標(biāo)是．【答案】【分析】根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，利用分類思想和中點坐標(biāo)公式計算即可，本題考查了平行四邊形的判定和中點坐標(biāo)公式的應(yīng)用，熟練掌握判定和公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，為頂點的四邊形是平行四邊形，設(shè)，當(dāng)為對角線時，其中點坐標(biāo)為；此時，為另一對角線，其中點坐標(biāo)為，根據(jù)中點的唯一性，∴與是重合的，∴，解得，故；當(dāng)，為對角線時，其中點坐標(biāo)為；此時，為另一對角線，其中點坐標(biāo)為，根據(jù)中點的唯一性，∴與是重合的，∴，解得，故；當(dāng)，為對角線時，其中點坐標(biāo)為；此時，為另一對角線，其中點坐標(biāo)為，根據(jù)中點的唯一性，∴與是重合的，∴，解得，故；故答案為：．三、解答題11．（2024八年級下·天津·專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，平分，已知，，，(1)求的長；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)10(2)【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，角平分線的定義，等角對等邊，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，平分，可得，由等角對等邊可得，根據(jù)，，即可求得，進(jìn)而求得；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得，由勾股定理的逆定理可得，根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵平分，∴，∴．∴．∵，，∴．∴．（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，，∴，∴是直角三角形且．∵，∴．∵，∴．∴．12．（2024八年級下·天津·專題練習(xí)）如圖，在中，于點，于點，若的周長為，，(1)求和之間的距離及和之間的距離．(2)求平行四邊形的面積．【答案】(1)和之間的距離，和之間的距離(2)【分析】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握以下知識點：（1）平行四邊形的兩組對邊分別相等；（2）平行四邊形的面積等于邊長乘以高．（1）根據(jù)平行線間的距離求解即可；（2）已知平行四邊形的高，，根據(jù)“等面積法”列方程，求出BC＝8，根據(jù)平行四邊形的面積＝底乘以高可得出答案．【詳解】（1）解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴和之間的距離，和之間的距離；（2）∵的周長為，∴，又，即，∴，∴，∴，∴．13．（23-24八年級下·山東濱州·期中）如圖，在中，，，，過的中點作，垂足為點，與的延長線相交于點．(1)求的長；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查對平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角三角形、三角形的面積、三角形的內(nèi)角和定理等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，求出、、，即可；（2）根據(jù)全等三角形的得出，根據(jù)三角形的面積公式求的面積，即可求出答案．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，，，，為中點，，，，，，在中，由勾股定理得：；（2），，在和中，，，，，，．的面積為．14．（21-22八年級下·廣東湛江·期中）如圖所示，四邊形是平行四邊形，的角平分線交于點F，交的延長線于點E．(1)求證：；(2)若恰好平分，連接，求證：四邊形是平行四邊形；(3)若，，，求平行四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)等腰三角形的判定即可得證；（2）根據(jù)證明得，根據(jù)平行四邊形判定定理可得證；（3）先證是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理和平行四邊形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴；（2）證明：由（1）知，∵平分，∴，在和中，∵，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形；（3）解：由（1）知，又∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴在中，由勾股定理得，，∵，，，∴，∴平行四邊形的面積＝的面積．15．（23-24八年級下·山東濱州·期中）（1）如圖①，在四邊形中，、、、分別是、、、的中點．求證：四邊形是平行四邊形．（2）如圖②，在四邊形中，、、、分別為、、、的中點，求證：與互相平分．【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】本題主要考查了三角形中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半”可得，，，，進(jìn)而可得且，即可證明結(jié)論；（2）連接、、、，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可證明四邊形是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)即可證明結(jié)論．【詳解】證明：（1）連接，∵、分別為、的中點，∴為的中位線,，∴，，同理可得，∴為的中位線，∴，，∴且，∴四邊形是平行四邊形；（2）如下圖，連接、、、，

∵、、、分別為、、、的中點，∴且，且，∴且，∴四邊形是平行四邊形，∴與互相平分．16．（