湖北省武漢市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考題含解析

Page24高二數(shù)學(xué)試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），滿分100分，考試用時(shí)120分鐘．留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考號等填寫在答題卡上，并用鉛筆在答題卡上的相應(yīng)位置填涂．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，必需用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必需寫在答卷各題目指定區(qū)域內(nèi)，不準(zhǔn)運(yùn)用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．第Ⅰ卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.某中學(xué)高三年級共有學(xué)生900人，為了解他們視力狀況，用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為45的樣本，若樣本中共有女生11人，該校高三年級共有男生（）人A.220 B.225 C.680 D.685【答案】C【解析】【分析】利用分層抽樣比例一樣得到相關(guān)方程，從而得解.【詳解】依題意，設(shè)高三男生人數(shù)為人，則高三女生人數(shù)為人，由分層抽樣可得，解得.故選：C.2.方程表示圓，則的范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)方程表示圓，應(yīng)當(dāng)滿意求解即可.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，所以，解得：.故選：B.3.已知直線，相互垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.或 C. D.或【答案】A【解析】【分析】依據(jù)兩一般式直線相互垂直求的值，留意驗(yàn)證求得的值是否滿意直線方程.【詳解】因?yàn)橹本€，相互垂直，所以，所以或，當(dāng)，直線不存在，故.故選：A4.如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖象計(jì)算即可.【詳解】由，，得故選：C.5.直線的傾斜角是（）A.41° B.49° C.131° D.139°【答案】D【解析】【分析】確定直線的斜率為，得到傾斜角.【詳解】直線的斜率為，故直線的傾斜角為.故選：D.6.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，依據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果、可以推斷出確定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A.平均數(shù)為2，方差為3.1； B.中位數(shù)為3，方差為1.6；C.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2； D.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2.【答案】A【解析】【分析】利用反證法即可證得選項(xiàng)A推斷正確；利用舉反例法即可證得選項(xiàng)BCD推斷錯(cuò)誤.【詳解】對于A，若平均數(shù)為2，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，可得方差，故平均數(shù)為2，方差為3.1，確定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故A正確.對于B，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為3，3，3，5，6時(shí)，滿意中位數(shù)為3，方差為：，此時(shí)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為6，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時(shí)，滿意中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，1，2，5，6時(shí)，滿意平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故D錯(cuò)誤.故選：A7.柏拉圖多面體是柏拉圖及其追隨者對正多面體進(jìn)行系統(tǒng)探討后而得名的幾何體．下圖是棱長均為1的柏拉圖多面體，分別為的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量運(yùn)算得，，再求即可.【詳解】由柏拉圖多面體的性質(zhì)可知，側(cè)面均為等邊三角形，四邊形為邊長為1的菱形，又≌，所以，故四邊形為正方形，同理四邊形也為正方形．取的中點(diǎn)，連接，則，同理，．故選：A．8.已知三棱錐的體積為15，是空間中一點(diǎn)，，則三棱錐的體積是（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，由空間向量的運(yùn)算可得，再由空間向量基本定理可得，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋瑒t，即，即，所以，因?yàn)椋煽臻g向量基本定理可知，在平面內(nèi)存在一點(diǎn)，使得成立，即，所以，即，則，又三棱錐的體積為15，則.故選：C二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下列說法，不正確的是（）A.在空間直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)平面的一個(gè)法向量B.若是直線方向向量，則（）也是直線的方向向量C.若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底D.對空間隨意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，若，則，，，四點(diǎn)共面【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)法向量的定義即可推斷A；依據(jù)直線的方向向量的定義即可推斷B；依據(jù)平面對量共面定理結(jié)合空間向量基本定理即可推斷C；依據(jù)共面對量定理的推論即可推斷D.【詳解】對于A，因?yàn)榇怪逼矫?，所以是坐?biāo)平面的一個(gè)法向量，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，不是直線的方向向量，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)闉榭臻g的一個(gè)基底，所以不共面，假設(shè)共面，則存在唯一實(shí)數(shù)對，使得，即，所以，方程組無解，所以不存在實(shí)數(shù)對，使得，所以不共面，所以構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故C正確；對于D，若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，，，四點(diǎn)共面，而，，所以，，，四點(diǎn)不共面，故D錯(cuò)誤.故選：BD.10.從裝有2個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，則下列選項(xiàng)中的兩個(gè)事務(wù)為不是互斥事務(wù)的是（）A.至多有1個(gè)白球；都是紅球 B.至少有1個(gè)白球；至少有1個(gè)紅球C.恰好有1個(gè)白球；都是紅球 D.至多有1個(gè)白球；全是白球【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)互斥事務(wù)的概念推斷即可.【詳解】對于A：“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個(gè)白球”與“都是紅球”不是互斥事務(wù)．故A正確；對于B：“至少有1個(gè)白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個(gè)紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個(gè)白球”與“至少有1個(gè)紅球”不是互斥事務(wù)．故B正確；對于C：“恰好有1個(gè)白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個(gè)白球”與“都是紅球”是互斥事務(wù)．故C錯(cuò)誤；對于D：“至多有1個(gè)白球”包含都是紅球和一紅一白，“全是白球”包含都是白球，所以“至多有1個(gè)白球”與“全白球”是互斥事務(wù)．故D錯(cuò)誤．故選：AB．11.如圖，在直三棱柱中，，，、分別為，的中點(diǎn)，過點(diǎn)、、作三棱柱的截面，則下列結(jié)論中正確的是（）A.三棱柱外接球的表面積為B.C.若交于，則D.將三棱柱分成體積較大部分和體積較小部分的體積比為【答案】AD【解析】【分析】對于A，將該三棱柱視為正方體的一部分，利用正方體的對角線為外接球的直徑即可求解；對于B，延長與交于點(diǎn)，連接交于，連接得到截面，利用相像三角形可求得，即可推出與不平行；對于C，在中，計(jì)算即可推斷；對于D，利用割補(bǔ)法以及體積公式即可求得.【詳解】如圖所示：將該三棱柱視為正方體的一部分，則三棱柱外接球的半徑，，其表面積為，故A正確；延長與交于點(diǎn)，連接交于，連接，則平面即為截面，因?yàn)?，是中點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，由與相像，得，得，而是的中點(diǎn)，所以與不平行且必相交，所以與截面不平行，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，又，所以在中，則，故C錯(cuò)誤；延長交的反向延長線于點(diǎn)，易知與全等，則，則將三棱柱分成體積較大部分的體積為：，所以較小部分體積為，所以體積之比為，故D正確.故選：AD.12.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)是平面上動(dòng)點(diǎn)，其軌跡為．則下列結(jié)論正確的是（）A.若動(dòng)點(diǎn)滿意，則曲線的方程為B.若動(dòng)點(diǎn)軌跡為：，則最小值為10C.若動(dòng)點(diǎn)滿意，則曲線關(guān)于軸對稱D.若動(dòng)點(diǎn)滿意，則面積的最大值為6【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)，對于A，代入化簡即可推斷；對于B，設(shè)，連接，，由三角形相像可得，將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，結(jié)合圖象，求解即可；對于C，代入化簡得，將換成，即可推斷；對于D，由可得，再由即可推斷.【詳解】解：設(shè)，對于A，當(dāng)，則有，化簡得：，故錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)軌跡為：，表示以為圓心，為半徑的圓，設(shè)，連接，，如圖所示：因?yàn)?，所?又因?yàn)?所以,所以，所以，所以，當(dāng)與重合時(shí)，，即，故正確；對于C，動(dòng)點(diǎn)滿意，即有，整理得，將換成，得，所以曲線關(guān)于軸對稱，故正確；對于D，由C可知方程確定有解，所以，所以，即，所以，當(dāng)時(shí)，等號成立，故正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是在B選項(xiàng)中將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值.第Ⅱ卷三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案干脆填寫在答題卡相應(yīng)位置上．）13.甲、乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為，被甲或乙解出的概率為，則該題被乙獨(dú)立解出的概率為______．【答案】##【解析】【分析】因?yàn)榧?、乙兩人是否完成任?wù)是相互獨(dú)立的，故結(jié)合獨(dú)立事務(wù)和對立事務(wù)的概率計(jì)算公式可求解【詳解】設(shè)該題被乙獨(dú)立解出的概率為，并且甲獨(dú)立解出的概率為，則甲、乙兩人都解不出來的概率為，又因被甲或乙解出的概率為，故，即，故，解得，故答案為：.14.設(shè)點(diǎn)、，若直線過點(diǎn)且與線段不相交，則直線的斜率的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】計(jì)算，，再依據(jù)圖像得到答案.【詳解】，，直線過點(diǎn)且與線段不相交，故，即.故答案為：.15.若直線：，：（）相交于點(diǎn)，過作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最大值為______．【答案】7【解析】【分析】依據(jù)已知確定的軌跡為，再由圓切線性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為求的最大值，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系求其最大值，即可確定的最大值.【詳解】由題設(shè)，，即，又、分別恒過、，故交點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，圓心為，半徑為，故的軌跡為，由到的距離為，即兩圓相離，如下圖，由圓切線性質(zhì)，，要使的最大值，只需最大，且為，所以.故答案為：716.數(shù)學(xué)中有很多形態(tài)美麗，寓意獨(dú)特的幾何體，圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一，該禮品包裝盒可以看成是一個(gè)十面體，其中上、下底面為全等的正方形，全部的側(cè)面是全等的三角形．將長方體的上底面圍著其中心旋轉(zhuǎn)得到如圖2所示的十面體．已知，，是底面正方形內(nèi)的點(diǎn)，且到和的距離都為，過直線作平面，則十面體外接球被平面所截的截面圓面積的最小值是______．【答案】【解析】【分析】先求外接球半徑，再結(jié)合空間向量求出球心到直線EP的距離，結(jié)合球的結(jié)構(gòu)特征即可求出截面圓的最小值.【詳解】由下圖可知，上底面的平面圖如下所示：記的中心為，連接，因?yàn)樾D(zhuǎn)了，所以為等邊三角形，，又因?yàn)殚L方體中，平面，平面，所以，所以，解得，因?yàn)槭骟w是將長方體的上底面圍著其中心旋轉(zhuǎn)60°得到的，所以長方體的外接球就是十面體的外接球；設(shè)十面體的外接球半徑為R，則即，以D為原點(diǎn)建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合第一幅圖可知，，可得，，所以，又因?yàn)镻到AB，AD的距離為，所以，球心，所以，球心O到PE的距離為，所以最小截面圓的半徑為，此時(shí)截面圓面積為，故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.在中，邊所在的直線斜率為，其中頂點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求邊上的高所在的直線方程；（2）若，的中點(diǎn)分別為，，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）為邊上的高所在的直線與所在的直線相互垂直且過點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式計(jì)算可得；（2）首先求出的中點(diǎn)的坐標(biāo)，依題意，則，即可求出的方程.【小問1詳解】由題意知邊上的高過，，因?yàn)檫吷系母咚诘闹本€與所在的直線相互垂直，故高線的斜率為，所以邊上的高所在的直線方程為：，即；【小問2詳解】由已知點(diǎn)坐標(biāo)為，，故的中點(diǎn)為，因?yàn)槭堑囊粭l中位線，所以，而，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，化簡可得．18.2024年4月16日，神舟十三號載人飛船返回艙勝利著陸，航天員翟志剛、王亞平、葉光富完成在軌駐留半年的太空飛行任務(wù)，標(biāo)記著中國空間站關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證階段圓滿完成．并將進(jìn)入建立階段，洪山區(qū)為了激發(fā)市民對天文學(xué)的愛好，開展了天文學(xué)問競賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，這人按年齡分成5組，其中第一組：，其次組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．（1）依據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人的第60百分位數(shù)；（精確到0.1）（2）現(xiàn)從第四組和第五組用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人，擔(dān)當(dāng)“黨章黨史”宣揚(yáng)使者．①有甲（年齡36），乙（年齡42），且甲、乙確定入選，從6人中要選擇兩個(gè)人擔(dān)當(dāng)組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上組長的概率；②若第四組宣揚(yáng)使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和，第五組宣揚(yáng)使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和1，據(jù)此估計(jì)這人中35～45歲全部人的年齡平均數(shù)和方差．【答案】（1）（2）①；②平均數(shù)為38，方差約為10【解析】【分析】（1）先確定第60百分位數(shù)所在小組，再依據(jù)求百分位數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算；（2）①求出從第四組和第五組所抽人數(shù)，寫出樣本空間，利用古典概型求概率公式進(jìn)行計(jì)算；②依據(jù)數(shù)據(jù)求出第四組和第五組全部宣揚(yáng)使者的年齡平均數(shù)，從而利用局部方差和整體方差的公式進(jìn)行求解.【小問1詳解】設(shè)第60百分位數(shù)為，∵，，∴位于第三組：內(nèi)；故；【小問2詳解】①由題意得，第四組和第五組抽取人數(shù)之比為，即第四組4人，記為，，，甲，第五組2，記為，乙，對應(yīng)的樣本空間為：，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，，乙，甲，甲乙，乙，共15個(gè)樣本點(diǎn)．設(shè)事務(wù)為“甲、乙兩人至少一人被選上”，則有甲，乙，甲，乙，甲，乙，甲，甲乙，乙，共有9個(gè)樣本點(diǎn)．∴；②設(shè)第四組的宣揚(yáng)使者的年齡平均數(shù)分為，方差為，設(shè)第五組的宣揚(yáng)使者的年齡平均數(shù)為，方差為，第四組和第五組全部宣揚(yáng)使者的年齡平均數(shù)為，方差為則，即第四組和第五組全部宣揚(yáng)使者的年齡平均數(shù)為38，．即第四組和第五組全部宣揚(yáng)使者的年齡方差為10；據(jù)此估計(jì)這人中年齡在35～45歲全部人的年齡的平均數(shù)為38，方差約為10．19.如圖，在平行六面體中，，，分別在，，上，且，，．（1）求證：；（2）若底面，側(cè)面都是正方形，且二面角的大小為120°，，若是的中點(diǎn)，求的長度．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依題意利用空間向量的線性運(yùn)算，可得出，從而可得出；（2）依據(jù)平行六面體的結(jié)構(gòu)特征及向量對應(yīng)的線性位置關(guān)系，結(jié)合向量的加法、數(shù)乘的幾何意義，用、、表示出，再應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求得，從而得出的長度.【小問1詳解】證明：在平行六面體中，∵，，，∴，，，，∴，∴.【小問2詳解】由題意可知：，，面面∴為二面角的平面角，即在平行六面體中有：，，，∵是的中點(diǎn)∴即．20.第19屆亞運(yùn)會(huì)2024年9月在杭州市舉辦，本屆亞運(yùn)會(huì)以“綠色、智能、節(jié)儉、文明”為辦會(huì)理念，展示杭州生態(tài)之美、文化之韻，充分發(fā)揮國際重大賽事對城市發(fā)展的牽引作用，從而促進(jìn)經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展．本次亞運(yùn)會(huì)祥瑞物是一組名為“江南憶”的機(jī)器人．三個(gè)祥瑞物分別取名“琮琮”、“蓮蓮”和“宸宸”，分別代表世界遺產(chǎn)“良渚古城遺址”、“西湖”、“京杭大運(yùn)輸河”．亞運(yùn)期間，籃球競賽間隙支配了機(jī)器人祥瑞物表演，由后臺志愿者操控，，三個(gè)開關(guān)，分別可操控“琮琮”、“蓮蓮”和“宸宸”，當(dāng)閉合時(shí)“琮琮”、“蓮蓮”表演；當(dāng)閉合時(shí)“蓮蓮”和“宸宸”表演；當(dāng)閉合時(shí)“琮琮”和“宸宸”表演，若，，三個(gè)開關(guān)閉合的概率分別為，，，且相互獨(dú)立．（1）求機(jī)器人“琮琮”表演的概率；（2）求機(jī)器人“蓮蓮”和“宸宸”都表演的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）事務(wù)“機(jī)器人“琮琮”表演”發(fā)生，則A、C兩個(gè)開關(guān)至少一個(gè)閉合，利用獨(dú)立事務(wù)的概率乘法公式求解；（2）分B開關(guān)閉合或者B開關(guān)不閉合，A，C同時(shí)閉合兩種狀況，利用互斥事務(wù)以及獨(dú)立事務(wù)的概率乘法公式求解.【小問1詳解】設(shè)，，分別為開關(guān)，，閉合的概率，則，，記“機(jī)器人“琮琮”表演”為事務(wù)，發(fā)生則須要、兩個(gè)開關(guān)至少一個(gè)閉合∴，由于開關(guān)閉合相互獨(dú)立，則，所以，機(jī)器人“琮琮”表演的概率為.【小問2詳解】記“機(jī)器人“蓮蓮”和“宸宸”都表演”為事務(wù)，分為兩類狀況：開關(guān)閉合；或者開關(guān)不閉合，，同時(shí)閉合，則：,所以，機(jī)器人“蓮蓮”和“宸宸”都表演的概率為.21.在三棱錐中，底面為等腰直角三角形，．（1）求證：；（2）若，，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)等腰三角形可得線線垂直，即可由線面垂直的判定定理求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解.【小問1詳解】取的中點(diǎn)為，連接，，∵，是中點(diǎn)，∴，在和中，，，∴，∴，∵的中點(diǎn)為E，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴【小問2詳解】過作平面，垂足為，連接，，∴∵，，，平面，所以平面，∴，同理，∵底面為等腰直角三角形，，，∴四邊形為正方形且邊長為．,以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，，，設(shè)平面的法向量，則，解得，取，則，，∴，設(shè)平面的法向量，則，解得，取，則，，∴，設(shè)平面與