高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)專題題組訓(xùn)練4歐拉教師版

專題4歐拉一、單選題1．1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫下公式，這個(gè)公式在復(fù)變函數(shù)中有特別重要的地位，即聞名的“歐拉公式”，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，據(jù)歐拉公式，則下列選項(xiàng)不正確的是（

） B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依據(jù)可推斷ABD，依據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可推斷C.【詳解】因?yàn)樗?，故A正確，，故B正確，故C錯(cuò)誤，故D正確故選：C2．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉通過(guò)探討，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系，得到聞名的歐拉公式(為虛數(shù)單位)，此公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于（

）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】【分析】由題可知對(duì)應(yīng)在復(fù)平面的點(diǎn)為，由可推斷和的正負(fù)，進(jìn)而得到答案.【詳解】由題，，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,因?yàn)橹?，，，所以點(diǎn)在其次象限，故選：B3．歐拉恒等式（為虛數(shù)單位，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）被稱為數(shù)學(xué)中最奇異的公式.它是復(fù)分析中歐拉公式的特例：當(dāng)自變量時(shí)，，得.依據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（

）象限.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【解析】【分析】依據(jù)歐拉公式得到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，進(jìn)而推斷出復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】依據(jù)題意，故其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為在第三象限，故選：C.4．歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉獨(dú)創(chuàng)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有特別重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面內(nèi)（

）．A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】【分析】依據(jù)歐拉公式，得到，再利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)，然后利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】解：因?yàn)?，，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于其次象限，故選：B．5．歐拉公式（i為虛數(shù)單位）是由瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉獨(dú)創(chuàng)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有特別重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面內(nèi)（

）．A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【分析】依據(jù)定義可得，代入結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算求解處理．【詳解】∵，此復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：D．6．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點(diǎn)分別為隨意的外心?重心?垂心，則下列各式確定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)三點(diǎn)共線和長(zhǎng)度關(guān)系可知AB正誤；利用向量的線性運(yùn)算可表示出，知CD正誤.【詳解】依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，，，，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；，D正確.故選：D.7．歐拉是18世紀(jì)最宏大的數(shù)學(xué)家之一，在很多領(lǐng)域都有杰出的貢獻(xiàn)．由《物理世界》發(fā)起的一項(xiàng)調(diào)查表明，人們把歐拉恒等式“”與麥克斯韋方程組并稱為“史上最宏大的公式”．其中，歐拉恒等式是歐拉公式：的一種特別狀況．由歐拉公式，復(fù)數(shù)z滿意，則z的虛部是（

）A．i B．1 C． D．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，化簡(jiǎn)可得復(fù)數(shù)z的表達(dá)式，依據(jù)復(fù)數(shù)的概念，即可得答案.【詳解】由題意得，所以，所以，則z的虛部是.故選：D8．費(fèi)馬數(shù)是以法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的一組自然數(shù)，具有形式為記做，其中為非負(fù)數(shù)．費(fèi)馬對(duì)，，，，的情形做了檢驗(yàn)，發(fā)覺這組費(fèi)馬公式得到的數(shù)都是素?cái)?shù)，便提出猜想：費(fèi)馬數(shù)是質(zhì)數(shù)．直到年，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺為合數(shù)，宣布費(fèi)馬猜想不成立．?dāng)?shù)列滿意，則數(shù)列的前項(xiàng)和滿意的最小自然數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意得到，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得，進(jìn)而求得的最小自然數(shù)，得到答案.【詳解】由題意，可得數(shù)列滿意，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，又由，所以單調(diào)遞增，所以的最小自然數(shù)為.故選：B.9．有一個(gè)特別好玩的數(shù)列叫做調(diào)和數(shù)列，此數(shù)列的前n項(xiàng)和已經(jīng)被探討了幾百年，但是迄今為止照舊沒有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：當(dāng)n很大時(shí)，，其中稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，……，至今為止都還不確定是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)．由于上式在n很大時(shí)才成立，故當(dāng)n較小時(shí)計(jì)算出的結(jié)果與實(shí)際值之間是存在確定誤差的，已知，．用上式估算出的與實(shí)際的的誤差確定值近似為（

）A．0.073 B．0.081 C．0.122 D．0.657【答案】B【解析】【分析】依據(jù)所給數(shù)據(jù)求出的估計(jì)值，再依據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求出，即可得解；【詳解】解：依題意所以，又所以估算出的與實(shí)際的的誤差確定值近似為；故選：B10．歐拉公式（為虛數(shù)單位，）是由瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，依據(jù)此公式可知，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，以及弧度制即可求解.【詳解】解：，又，為其次象限角，故，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于其次象限.故選：B.11．歐拉是世紀(jì)最宏大的數(shù)學(xué)家之一，在很多領(lǐng)域中都有杰出的貢獻(xiàn)．由《物理世界》發(fā)起的一項(xiàng)調(diào)查表明，人們把歐拉恒等式“”與麥克斯韋方程組并稱為“史上最宏大的公式”．其中，歐拉恒等式是歐拉公式：的一種特別狀況．依據(jù)歐拉公式，若復(fù)數(shù)z滿意，則z的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，化簡(jiǎn)可得復(fù)數(shù)z的表達(dá)式，依據(jù)復(fù)數(shù)的概念，即可得答案.【詳解】由題意得，所以，所以，則z的虛部是1.故選：A12．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同始終線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知的頂點(diǎn)，且，則的歐拉線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】因?yàn)?，結(jié)合題意可知的歐拉線即為線段的垂直平分線，利用點(diǎn)斜式求方程．【詳解】∵，結(jié)合題意可知的歐拉線即為線段的垂直平分線的中點(diǎn)為，斜率，則垂直平分線的斜率則的歐拉線的方程為，即故選：D．13．歐拉公式被稱為世界上最完備的公式，歐拉公式又稱為歐拉定理，是用在復(fù)分析領(lǐng)域的公式，歐拉公式將三角函數(shù)與復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)相關(guān)聯(lián)，即（）.依據(jù)歐拉公式，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．對(duì)隨意的， B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在其次象限C．的實(shí)部為 D．與互為共軛復(fù)數(shù)【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的概念、幾何意義、復(fù)數(shù)的模的概念及共軛復(fù)數(shù)的含義即得.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，而，，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在其次象限，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，實(shí)部為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，又，故與互為共軛復(fù)數(shù)，D正確.故選：C.14．大數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺的公式把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，虛數(shù)單位i和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，這個(gè)公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．若復(fù)數(shù)z的模是1，純虛數(shù)（a是實(shí)數(shù)），則的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】由題目分析可求出，則，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，因?yàn)閺?fù)數(shù)z的模是1，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在單位圓上，即可求出的最大值.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z的模是1，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在單位圓上，又是純虛數(shù)，所以，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以的最大值是2．故選：B．15．形如的數(shù)被稱為費(fèi)馬數(shù)，費(fèi)馬完成了,,,,的驗(yàn)證后，于1640年提出猜想：費(fèi)馬數(shù)都是質(zhì)數(shù)，但由于及之后的費(fèi)馬數(shù)都實(shí)在太大了，費(fèi)馬也未能完成驗(yàn)證及證明.直到1732年才被數(shù)學(xué)家歐拉算出不是質(zhì)數(shù)，從而宣告了費(fèi)馬數(shù)的猜想不成立.現(xiàn)設(shè)，若隨意，使不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．(1,+∞) B． C．(,+∞) D．【答案】B【解析】【分析】由題知，，進(jìn)而依據(jù)裂項(xiàng)求和得，進(jìn)而依據(jù)不等式恒成立即可得答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以所以，?duì)隨意，使不等式恒成立，則.所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B16．若正整數(shù)、只有為公約數(shù)，則稱、互質(zhì).對(duì)于正整數(shù)，是小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù).函數(shù)以其首名探討者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則【答案】D【解析】【分析】利用題中定義可推斷A選項(xiàng)；利用特別值法可推斷B選項(xiàng)；求出的值，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可推斷C選項(xiàng)；計(jì)算出，利用錯(cuò)位相減法可求得，可推斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在不超過(guò)的正整數(shù)中，與互質(zhì)的正整數(shù)有：、、、，故，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，，明顯、、不成等差數(shù)列，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，為質(zhì)數(shù)，在不超過(guò)的全部正整數(shù)中，能被整除的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為，全部與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為，所以，，因此，，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)闉橘|(zhì)數(shù)，在不超過(guò)的正整數(shù)中，全部偶數(shù)的個(gè)數(shù)為，所以，，所以，，則，所以，，上述兩個(gè)不等式作差可得，所以，，D對(duì).故選：D.17．在數(shù)學(xué)和很多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)?公式和定理，如：歐拉函數(shù)（）的函數(shù)值等于全部不超過(guò)正整數(shù)n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，（互素是指兩個(gè)整數(shù)的公約數(shù)只有1），例如：；（與3互素有1?2）；（與9互素有1?2?4?5?7?8）.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依據(jù)歐拉函數(shù)定義得出，然后由錯(cuò)位相減法求得和，從而可得．【詳解】因?yàn)榕c互素的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，則，于是①，②，由①-②得，則.于是.故選：A．18．歐拉是十八世紀(jì)宏大的數(shù)學(xué)家，他奇異地把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，虛數(shù)單位i，三角函數(shù)和聯(lián)系在一起，得到公式，這個(gè)公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”.依據(jù)該公式，可得的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】【分析】利用題目所給公式寫出表達(dá)式，然后利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式以及幫助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得到最值.【詳解】∵∴最大值為2，故選：C.19．對(duì)正整數(shù)a，函數(shù)表示小于或等于a的正整數(shù)中與a互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目，此函數(shù)以其首位探討者歐拉命名，故稱為歐拉函數(shù)．例如：因?yàn)榫?互質(zhì)，所以．基于上述事實(shí)，（

）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】C【解析】【分析】先由對(duì)數(shù)的運(yùn)算計(jì)算，再由歐拉函數(shù)的定義求解即可.【詳解】∵小于或等于32的正整數(shù)中與32互質(zhì)的實(shí)數(shù)為，，共有16個(gè)，.故選：C20．1614年納皮爾在探討天文學(xué)的過(guò)程中為了簡(jiǎn)化計(jì)算而獨(dú)創(chuàng)對(duì)數(shù)；1637年笛卡爾起先運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算；1770年，歐拉發(fā)覺了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，指出：對(duì)數(shù)源于指數(shù)，對(duì)數(shù)的獨(dú)創(chuàng)先于指數(shù)，稱為數(shù)學(xué)史上的珍聞，對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，即對(duì)數(shù)函數(shù)（且）的反函數(shù)為（且）．已知函數(shù)，，則對(duì)于隨意的，有恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)為增函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)得到關(guān)于實(shí)數(shù)k的不等式，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)k的取值范圍【詳解】由題意，的反函數(shù)．對(duì)于隨意的，有，即，可轉(zhuǎn)化為，則函數(shù)在上單調(diào)遞增．設(shè)，則在上恒成立即在上恒成立又，則，故選：D．21．宏大的數(shù)學(xué)家歐拉28歲時(shí)解決了困擾數(shù)學(xué)界近一世紀(jì)的“巴賽爾級(jí)數(shù)”難題．當(dāng)時(shí)，，又依據(jù)泰勒綻開式可以得到，依據(jù)以上兩式可求得（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由同時(shí)除以x，再利用綻開式中的系數(shù)可求出.【詳解】由，兩邊同時(shí)除以x，得，又綻開式中的系數(shù)為，所以，所以．故選：A．二、填空題22．歐立公式（為虛數(shù)單位，為自然底數(shù)）是瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，在復(fù)變函數(shù)論中占有特別重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋"，若將其中取作就得到了歐拉恒等式，它將兩個(gè)超越數(shù)——自然底數(shù)，圓周率，兩個(gè)單位一虛數(shù)單位，自然數(shù)單位1，以及被稱為人類宏大發(fā)覺之一0聯(lián)系起來(lái)，數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)建的公式”.由歐拉公式可知，若復(fù)數(shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】本題可以依據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，也可以運(yùn)用復(fù)數(shù)三角表示處理．【詳解】解法一：則；解法二：∵∴故答案為：．23．歐拉恒等式:被數(shù)學(xué)家們驚羨為“上帝創(chuàng)建的等式”.該等式將數(shù)學(xué)中幾個(gè)重要的數(shù):自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，圓周率π，虛數(shù)單位i、自然數(shù)1和0完備地結(jié)合在一起，它是由歐拉公式:，令得到的.依據(jù)歐拉公式，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第_____象限.【答案】二【解析】【分析】利用歐拉公式，結(jié)合三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)，即可得到答案.【詳解】依據(jù)歐拉公式，.因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在其次象限.故答案為：二24．歐拉公式：（是虛數(shù)單位）是由瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉獨(dú)創(chuàng)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立起三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，求的最大值為_____【答案】【解析】【分析】依據(jù)歐拉公式和復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，求得，進(jìn)而求得其最大值.【詳解】由歐拉公式，可得，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.故答案為：.25．據(jù)記載，歐拉公式是由瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，該公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．依據(jù)歐拉公式復(fù)數(shù)的虛部為__________．【答案】【解析】【分析】由題意可得，代入三角函數(shù)值即可得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，所以，故虛部為．故答案為?6．?dāng)?shù)學(xué)家也有很多漂亮的錯(cuò)誤，如法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出了是質(zhì)數(shù)的猜想，直到1732年才被擅長(zhǎng)計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出.

也就是說(shuō)不是質(zhì)數(shù)，這個(gè)猜想不成立．設(shè)是數(shù)列前n項(xiàng)和，若對(duì)恒成立，則m的最大值是______．【答案】##【解析】【分析】依據(jù)條件化簡(jiǎn)得，再求前n項(xiàng)和，依據(jù)不等式恒成立可求解.【詳解】由題意可知，，，明顯當(dāng)時(shí)，m取到最大值為．故答案為：27．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學(xué)》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為歐拉線．若△ABC中，，，則下列各式中正確的序號(hào)是______．①

②

③

④【答案】①③④【解析】【分析】依據(jù)歐拉線定理可推斷①；利用向量的加、減運(yùn)算可推斷②；利用向量的數(shù)量積可推斷③；利用向量的加法運(yùn)算以及歐拉線定理可推斷④．【詳解】解：對(duì)于①，由題意得，即，故①正確；對(duì)于②，由是的重心，設(shè)為中點(diǎn)，可得，所以，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，過(guò)的外心分別作，的垂線，垂足為，，如圖，易知，分別是，的中點(diǎn)，則，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)闉榈闹匦?，所以，故，所以由歐拉線定理可得，所以，故④正確，故答案為：