【難點突破】指數(shù)復合型函數(shù)的對稱性（教師版）

指數(shù)復合型函數(shù)的對稱性核心結(jié)論：證明思路：設f(x)的對稱中心為（m,n)，則f(m-x)+f(m+x)=2n.記憶方法：橫下對，縱半分（橫坐標是使分母取對數(shù)的值，縱坐標是分母、分子中的常數(shù)分別作為分母、分子的值的一半）【例1】函數(shù)【解析】觀察解析式，利用結(jié)論可知函數(shù)圖象關于（2，18衍生結(jié)論1：推導思路：先分離常數(shù)，則然后利用圖象的平移關系，得到【例2】已知，則．【解析】觀察解析式，可知函數(shù)圖象關于（12，2中心對稱，則，注意到，由此即可進一步求解.因為，又，所以.衍生結(jié)論2：推導思路：先分離常數(shù)，則然后利用圖象的平移變換關系，得到【例3】【解析】觀察解析式，由結(jié)論可知函數(shù)圖象關于（2，40392所以M+N=4039跟蹤訓練1．已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】一方面由題意有，另一方面若有成立，結(jié)合以上兩方面有，且注意到，所以由復合函數(shù)單調(diào)性可得在上嚴格單調(diào)遞增，若，則只能，因此當且僅當；又已知，所以，即，由基本不等式得，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為.故選：C.2．（多選）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的為（

）A．若為奇函數(shù)，則B．時，在R單調(diào)遞增，且值域為C．無論a取何值，均有對稱中心D．已知時，和交于,則【答案】BCD【分析】對于A：舉例說明即可；對于B：整理得，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)結(jié)合不等式性質(zhì)分析判斷；對于C：分類討論a的符號，根據(jù)對稱性的定義分析判斷；對于D：若，由選項C可知的定義域為，且為的對稱中心，令，可知和交點橫坐標即為的零點，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理分析判斷.【詳解】對于選項A：例如，則的定義域為，且，所以為奇函數(shù)，故A錯誤；對于選項B：因為，若，則，可知的定義域為，因為在R單調(diào)遞增，則在R單調(diào)遞減，所以在R單調(diào)遞增；由可得，由，則，可得；綜上所述：在R單調(diào)遞增，且值域為，故B正確；對于選項C：若，的定義域為，則為的對稱中心；若，則的定義域為，且；可知：為的對稱中心；若，則的定義域為，且；可知：為的對稱中心；綜上所述：無論a取何值，均有對稱中心，故C正確；對于選項D：因為的定義域為，且，可知為的對稱中心，若，由選項C可知的定義域為，且為的對稱中心，令，可知的定義域為，且為的對稱中心，不妨設，可知和交點橫坐標即為的零點，當時，，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則在內(nèi)單調(diào)遞減，且，可知在內(nèi)存在唯一零點，根據(jù)對稱性可知：在內(nèi)存在唯一零點，且，故D正確；故選：BCD.我們知道，函數(shù)的圖象關于坐標原點成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，由此可以推廣得到：函數(shù)的圖象關于點成中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，利用題目中的推廣結(jié)論，若函數(shù)的圖象關于點成中心對稱，則.【答案】【詳解】由題意為奇函數(shù)，所以，則，所以，所以恒成立，故或，所以.故答案為：已知函數(shù)，，則在區(qū)間上的最大值與最小值之和為.【答案】【詳解】因為，所以，在上函數(shù)滿足：奇函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值互為相反數(shù)，其和為.已知定義在上的函數(shù)，滿足不等式，則的取值范圍是．【答案】【詳解】易知函數(shù)在上為單調(diào)性遞增，即可得是上的增函數(shù)，令，則是上的增函數(shù)，易知，可得,即的圖象關于點成中心對稱，由可得，即，由可得；所以，利用是上的增函數(shù)可得，解得.即的取值范圍是.已知函數(shù).(1)求證為定值；(2)若數(shù)列的通項公式為（為正整數(shù)，，，，），求數(shù)列的前項和；【詳解】（1