高考數學二輪復習 考前回扣5 數列講學案 理-人教版高三全冊數學學案

回扣5數列

IT基礎回歸--------------------

1.牢記概念與公式

等差數列、等比數列

等差數列等比數列

=x

通項公式dn3.1(Z7-1)dan=a\(j~(oWO)

Ga」一心

(1)1，Sn—1

心1+a)1—，

S"一2

前〃項和a\—anq

_氏n—l),一1一°；

一Z751「?2d

(2)0=1,Sn=na\

2.活用定理與結論

(1)等差、等比數列｛a｝的常用性質

等差數列等比數列

①若如n,p,q￡N*,且R+〃=夕+q,①若加，77,p,q￡N*,且加+〃=夕

則為+&=劣+%；+Q,則am?an=ap?/；

性質②&?=&+(7?-m)d：②&=amq~'\

③￡,Sim—Sm,SR—￡而，…仍成等差數③Sm,Sim—Sm,SinLSim,…仍成等

列比數列(SHO)

(2)判斷等差數列的常用方法

①定義法

a5—a尸d(常數)(AGN*)。、｝是等差數列.

②通項公式法

a0=pn+q(p，＜7為常數，=｛aj是等差數列.

③中項公式法

2a?+i=an-\-an+2(〃GN*)o｛aj是等差數列.

④前〃項和公式法

S產短+Bn（A,6為常數，”eN*）Q｛a〃｝是等差數列.

（3）判斷等比數列的常用方法

①定義法

—=Q2是不為0的常數，〃6"）=回｝是等比數列.

②通項公式法

n

an=cq（c,g均是不為0的常數，〃GN*）o｛a〃｝是等比數列.

③中項公式法

a：+i=a〃?a”+2（a〃?an+i?a0+2^0,〃eN*）o｛a〃｝是等比數列.

3.數列求和的常用方法

（1）等差數列或等比數列的求和，直接利用公式求和.

⑵形如｛a?4｝（其中｛&｝為等差數列，伍｝為等比數列）的數列，利用錯位相減法求和.

（3）通項公式形如當=’（其中a,瓦，&,c為常數）用裂項相消法求和.

（a〃十。i）（a〃十友）

（4）通項公式形如為=（一?〃或a〃=a?（一1）〃（其中a為常數，〃GN*）等正負項交叉的數

列求和一般用并項法.并項時應注意分〃為奇數、偶數兩種情況討論.

（5）分組求和法：分組求和法是解決通項公式可以寫成以=4+4形式的數列求和問題的方

法，其中—｝與伉｝是等差仕匕）數列或一些可以直接求和的數列.

（6）并項求和法：先將某些項放在一起求和，然后再求S.

Ef易錯提醒------------------------

1.已知數列的前〃項和求為，易忽視〃=1的情形，直接用S—S—1表示.事實上，當〃=1

時，4=S；當77三2時，an=Sn—Sn-l.

2.易混淆幾何平均數與等比中項，正數a,6的等比中項是土，￡.

3.等差數列中不能熟練利用數列的性質轉化已知條件，靈活整體代換進行基本運算.如等

差數列回｝與伍｝的前〃項和分別為S和北，已知2=**,求年時，無法正確賦值求解.

T?2/?+3bn

4.易忽視等比數列中公比gWO導致增解，易忽視等比數列的奇數項或偶數項符號相同造成

增解.

5.運用等比數列的前〃項和公式時，易忘記分類討論.一定分°=1和gWl兩種情況進行

討論.

6.利用錯位相減法求和時，要注意尋找規(guī)律，不要漏掉第一項和最后一項.

7.裂項相消法求和時，分裂前后的值要相等，

11111<11A

如貝〃+2產］—而7^而百二萬色一滔刁.

8.通項中含有（-1）"的數列求和時，要把結果寫成〃為奇數和〃為偶數兩種情況的分段形

式.

m回歸訓練

1.設等差數列｛2｝的前〃項和為S,已知S13>O,Si4<0,若8-8+1V0,則A等于（）

A.6B.7C.13D.14

答案B

解析因為｛a｝為等差數列，S3=132,Si4=7（&+a）,

所以&>0,aVO,&所以k=7.

2.已知在等比數歹（J｛4｝中，a+&=3,&+a=12,則乃5+a等于（）

A.3B.15C.48D.63

答案C

解析晶='=4,所以為+a=（&+&）?/=48.

為十女2

3.設等差數列｛2｝的前〃項和為S,且田>0,&+為0>0,a&VO,則滿足S>0的最大自

然數〃的值為（）

A.6B.7

C.12D.13

答案C

解析V5i>0,乃64<0,

???法>0,與V0,等差數列的公差小于零，

H3+510=3，iH-42>0,a+ai3=2a7<0,

「?Si2>0,Si3V0,

???滿足S>0的最大自然數n的值為12.

4.已知數列｛a｝滿足3%=9?3%（刀￡的且&+a+a=9,則logi（〃5+%+%）等于（）

3

1

A.——B.3

U

1

C.—3D.―

o

答案c

解析由已知3%=9?3""=3°"+2,所以a〃+i=a.+2,所以數列｛aj是公差為2的等差數

列,

含+司7+己9=(&+3由+(2+3扮+(含+3中

—(石2+a+&)+9d=9+9X2=27,

所以logi(〃5+%+。9)=l°gi27=一3.故選C.

33

5.已知正數組成的等比數列｛a｝,若&?&°=100,那么與+如的最小值為()

A.20B.25

C.50D.不存在

答案A

解析在正數組成的等比數列｛a｝中，因為a?心=100,由等比數列的性質可得演?的)

2?517=100,那么a十4?&4=24100=20,當且僅當&=劭4=10時取等號，所以

鄉(xiāng)+&4的最小值為20.

6.已知數列｛a｝的前刀項和為S,若S=2a—4(〃￡N*),則為等于()

A.2"+iB.2”

C.2”TD.2n~2

答案A

解析為+i=S+i—S=2a+i—4—(24-4)=a+i=2a,再令77=1,.??S=2&-4=@=4,

???數列｛a｝是以4為首項，2為公比的等比數列,

.?.&=4?2〃T=2"+I,故選A.

a成等比數歹b則史什等于

7.已知等差數列｛a｝的公差和首項都不等于0,且色,1

)

A.2B.3C.5D.7

答案B

解析???在等差數列｛&｝中,改，電，，成等比數列,

國+與+3915a1

宕=/備，，(國+3d)2=(2+d)(&+7d),：?(}=aid,,:拄G,：?d=ai,：、

色+85al

=3,故選B.

8.已知S為數列｛a｝的前〃項和，若為(4+cos刀兀)=〃(2—cos〃兀)，則曲等于()

A.31B.122

C.324D.484

答案B

解析由題意可知，因為a(4+cOS77Jl)=77(2—COS刀兀)，

246

所以S1—1,32=三,芻=3,34=~金=5,…，

55f5

99

所以數列｛a｝的奇數項構成首項為1,公差為2的等差數列，偶數項構成首項%公差為匚的

等差數列，

所以So=(ai+&+...+49)+(石2+&+…+/0)=122,

故選B.

9.已知等差數列｛&｝的公差杉0,且a,改，為3成等比數列，若a=1,S是數列｛2｝的前

刀項和，則二^(〃￡N*)的最小值為()

為十3

A.4B.3

C.2小一2D.|

答案A

解析由題意43成等比數列，可得(1+242=1+124解得4=2,故為=2〃-1,

2s+162/+16。+8(刀+i)2—2(〃+1)+99

Sn=n,因此d+3=2刀+2=刀+1=不=(7?+1)42,由基本不

9C+1Q/Q

等式知，V^=(〃+1)+F—222\/(〃+1)XF—2=4,當〃=2時取得最小值4.

為+3n+1Y'7n+1

10.已知尸(x)=｛x+；］—1是R上的奇函數，數列｛aj滿足a”=F(0)+----1-/^^+

『(l)(〃eN*),則數列｛aj的通項公式為()

A.4=〃1B.4=77

C.d,n~~n~\~1D.5/7—77

答案c

解析由題意b(x)=(x+，-1是R上的奇函數，即尸(x)關于(0,0)對稱，則/"(x)關于1

對稱.

即f(O)+f⑴=2,

1

+…+㈠+廣⑴=刀+1.

則為=廣(0)+

11.在等差數列｛品｝中，已知2+為=10,則3a+乃7=.

答案20

解析設公差為4則為+備=2a+9d=10,

3a5+&=3(2+4初+(a+6初=4&+18d=2X10=20.

12.若等比數列數j的各項均為正數,且40&1+乃9al2=2/,則In&+lna2T--Fin&o=

答案50

解析:數列｛a｝為等比數列，且40為1+國&2=2e。

??HioZii+a9al2=2aioaii=2e，??<310511~e，

/.In491+Ina2H-----bln&o=In(&&???&())

=ln(aioan)10=ln(e5)10=lne50=50.

13.數列｛a｝的前刀項和為Sn.已知51=2,S+1+(—1)"5=2〃，則Sioo=.

答案198

解析當〃為偶數時，S+i+S=2〃，S+2—S+I=2/?+2,所以S+2+S=4/?+2,故S+4+S

+2=4(刀+2)+2,所以S+4—S=8,由劭=2知，S=2,又S—S=2,所以S=4,因為W

+5=4X2+2=10,所以2=6,所以反一&=8,Si2—&=8,…，Soo一&=8,所以Soo=

24X8+2=192+6=198.

14.若數列｛劣｝滿足…>A+LA>…，則稱數列｛a｝為“差遞減”

數列.若數列｛aj是“差遞減”數列，且其通項2與其前〃項和S(〃GN*)滿足2s=3&+2才

—1(〃GN*),則實數X的取值范圍是.

答案\，+s)

解析當〃=1時，2a1=3劭+24—1,ai=l—2,當時，2S—i=3d—1+24一1,所

以2a=3&—32_1,d=3劣一1,所以a=(1—24)3"一1,劣一&_1=(1—24)3"一1一(1一24)

3"T=(2_4X)3"T,依題意(2—44)3T是一個減數列，所以2—4A<0,^>1.

15.S為等差數列｛4｝的前〃項和，且&=1,岳=28.記4=[1ga],其中[%]表示不超過x

的最大整數，如[0.9]=0,[1g99]=1.

⑴求A,611,加1；

(2)求數列｛4｝的前1000項和.

解(1)設｛a｝的公差為名由已知可知，

,7X(7-1),

S=7X&+-~~-X67=7+2167=28,

解得d=\,所以｛&｝的通項公式為a=1+(72—1)X1=72.

61=