高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前回扣5 數(shù)列講學(xué)案 理-人教版高三全冊數(shù)學(xué)學(xué)案

回扣5數(shù)列

IT基礎(chǔ)回歸--------------------

1.牢記概念與公式

等差數(shù)列、等比數(shù)列

等差數(shù)列等比數(shù)列

=x

通項(xiàng)公式dn3.1(Z7-1)dan=a\(j~(oWO)

Ga」一心

(1)1，Sn—1

心1+a)1—，

S"一2

前〃項(xiàng)和a\—anq

_氏n—l),一1一°；

一Z751「?2d

(2)0=1,Sn=na\

2.活用定理與結(jié)論

(1)等差、等比數(shù)列｛a｝的常用性質(zhì)

等差數(shù)列等比數(shù)列

①若如n,p,q￡N*,且R+〃=夕+q,①若加，77,p,q￡N*,且加+〃=夕

則為+&=劣+%；+Q,則am?an=ap?/；

性質(zhì)②&?=&+(7?-m)d：②&=amq~'\

③￡,Sim—Sm,SR—￡而，…仍成等差數(shù)③Sm,Sim—Sm,SinLSim,…仍成等

列比數(shù)列(SHO)

(2)判斷等差數(shù)列的常用方法

①定義法

a5—a尸d(常數(shù))(AGN*)。、｝是等差數(shù)列.

②通項(xiàng)公式法

a0=pn+q(p，＜7為常數(shù)，=｛aj是等差數(shù)列.

③中項(xiàng)公式法

2a?+i=an-\-an+2(〃GN*)o｛aj是等差數(shù)列.

④前〃項(xiàng)和公式法

S產(chǎn)短+Bn（A,6為常數(shù)，”eN*）Q｛a〃｝是等差數(shù)列.

（3）判斷等比數(shù)列的常用方法

①定義法

—=Q2是不為0的常數(shù)，〃6"）=回｝是等比數(shù)列.

②通項(xiàng)公式法

n

an=cq（c,g均是不為0的常數(shù)，〃GN*）o｛a〃｝是等比數(shù)列.

③中項(xiàng)公式法

a：+i=a〃?a”+2（a〃?an+i?a0+2^0,〃eN*）o｛a〃｝是等比數(shù)列.

3.數(shù)列求和的常用方法

（1）等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和，直接利用公式求和.

⑵形如｛a?4｝（其中｛&｝為等差數(shù)列，伍｝為等比數(shù)列）的數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和.

（3）通項(xiàng)公式形如當(dāng)=’（其中a,瓦，&,c為常數(shù)）用裂項(xiàng)相消法求和.

（a〃十。i）（a〃十友）

（4）通項(xiàng)公式形如為=（一?〃或a〃=a?（一1）〃（其中a為常數(shù)，〃GN*）等正負(fù)項(xiàng)交叉的數(shù)

列求和一般用并項(xiàng)法.并項(xiàng)時(shí)應(yīng)注意分〃為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論.

（5）分組求和法：分組求和法是解決通項(xiàng)公式可以寫成以=4+4形式的數(shù)列求和問題的方

法，其中—｝與伉｝是等差仕匕）數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列.

（6）并項(xiàng)求和法：先將某些項(xiàng)放在一起求和，然后再求S.

Ef易錯(cuò)提醒------------------------

1.已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和求為，易忽視〃=1的情形，直接用S—S—1表示.事實(shí)上，當(dāng)〃=1

時(shí)，4=S；當(dāng)77三2時(shí)，an=Sn—Sn-l.

2.易混淆幾何平均數(shù)與等比中項(xiàng)，正數(shù)a,6的等比中項(xiàng)是土，￡.

3.等差數(shù)列中不能熟練利用數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，靈活整體代換進(jìn)行基本運(yùn)算.如等

差數(shù)列回｝與伍｝的前〃項(xiàng)和分別為S和北，已知2=**,求年時(shí)，無法正確賦值求解.

T?2/?+3bn

4.易忽視等比數(shù)列中公比gWO導(dǎo)致增解，易忽視等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同造成

增解.

5.運(yùn)用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式時(shí)，易忘記分類討論.一定分°=1和gWl兩種情況進(jìn)行

討論.

6.利用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，要注意尋找規(guī)律，不要漏掉第一項(xiàng)和最后一項(xiàng).

7.裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，分裂前后的值要相等，

11111<11A

如貝〃+2產(chǎn)］—而7^而百二萬色一滔刁.

8.通項(xiàng)中含有（-1）"的數(shù)列求和時(shí)，要把結(jié)果寫成〃為奇數(shù)和〃為偶數(shù)兩種情況的分段形

式.

m回歸訓(xùn)練

1.設(shè)等差數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S,已知S13>O,Si4<0,若8-8+1V0,則A等于（）

A.6B.7C.13D.14

答案B

解析因?yàn)椋鸻｝為等差數(shù)列，S3=132,Si4=7（&+a）,

所以&>0,aVO,&所以k=7.

2.已知在等比數(shù)歹（J｛4｝中，a+&=3,&+a=12,則乃5+a等于（）

A.3B.15C.48D.63

答案C

解析晶='=4,所以為+a=（&+&）?/=48.

為十女2

3.設(shè)等差數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S,且田>0,&+為0>0,a&VO,則滿足S>0的最大自

然數(shù)〃的值為（）

A.6B.7

C.12D.13

答案C

解析V5i>0,乃64<0,

???法>0,與V0,等差數(shù)列的公差小于零，

H3+510=3，iH-42>0,a+ai3=2a7<0,

「?Si2>0,Si3V0,

???滿足S>0的最大自然數(shù)n的值為12.

4.已知數(shù)列｛a｝滿足3%=9?3%（刀￡的且&+a+a=9,則logi（〃5+%+%）等于（）

3

1

A.——B.3

U

1

C.—3D.―

o

答案c

解析由已知3%=9?3""=3°"+2,所以a〃+i=a.+2,所以數(shù)列｛aj是公差為2的等差數(shù)

列,

含+司7+己9=(&+3由+(2+3扮+(含+3中

—(石2+a+&)+9d=9+9X2=27,

所以logi(〃5+%+。9)=l°gi27=一3.故選C.

33

5.已知正數(shù)組成的等比數(shù)列｛a｝,若&?&°=100,那么與+如的最小值為()

A.20B.25

C.50D.不存在

答案A

解析在正數(shù)組成的等比數(shù)列｛a｝中，因?yàn)閍?心=100,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得演?的)

2?517=100,那么a十4?&4=24100=20,當(dāng)且僅當(dāng)&=劭4=10時(shí)取等號(hào)，所以

鄉(xiāng)+&4的最小值為20.

6.已知數(shù)列｛a｝的前刀項(xiàng)和為S,若S=2a—4(〃￡N*),則為等于()

A.2"+iB.2”

C.2”TD.2n~2

答案A

解析為+i=S+i—S=2a+i—4—(24-4)=a+i=2a,再令77=1,.??S=2&-4=@=4,

???數(shù)列｛a｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

.?.&=4?2〃T=2"+I,故選A.

a成等比數(shù)歹b則史什等于

7.已知等差數(shù)列｛a｝的公差和首項(xiàng)都不等于0,且色,1

)

A.2B.3C.5D.7

答案B

解析???在等差數(shù)列｛&｝中,改，電，，成等比數(shù)列,

國+與+3915a1

宕=/備，，(國+3d)2=(2+d)(&+7d),：?(}=aid,,:拄G,：?d=ai,：、

色+85al

=3,故選B.

8.已知S為數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和，若為(4+cos刀兀)=〃(2—cos〃兀)，則曲等于()

A.31B.122

C.324D.484

答案B

解析由題意可知，因?yàn)閍(4+cOS77Jl)=77(2—COS刀兀)，

246

所以S1—1,32=三,芻=3,34=~金=5,…，

55f5

99

所以數(shù)列｛a｝的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)%公差為匚的

等差數(shù)列，

所以So=(ai+&+...+49)+(石2+&+…+/0)=122,

故選B.

9.已知等差數(shù)列｛&｝的公差杉0,且a,改，為3成等比數(shù)列，若a=1,S是數(shù)列｛2｝的前

刀項(xiàng)和，則二^(〃￡N*)的最小值為()

為十3

A.4B.3

C.2小一2D.|

答案A

解析由題意43成等比數(shù)列，可得(1+242=1+124解得4=2,故為=2〃-1,

2s+162/+16。+8(刀+i)2—2(〃+1)+99

Sn=n,因此d+3=2刀+2=刀+1=不=(7?+1)42,由基本不

9C+1Q/Q

等式知，V^=(〃+1)+F—222\/(〃+1)XF—2=4,當(dāng)〃=2時(shí)取得最小值4.

為+3n+1Y'7n+1

10.已知尸(x)=｛x+；］—1是R上的奇函數(shù)，數(shù)列｛aj滿足a”=F(0)+----1-/^^+

『(l)(〃eN*),則數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為()

A.4=〃1B.4=77

C.d,n~~n~\~1D.5/7—77

答案c

解析由題意b(x)=(x+，-1是R上的奇函數(shù)，即尸(x)關(guān)于(0,0)對(duì)稱，則/"(x)關(guān)于1

對(duì)稱.

即f(O)+f⑴=2,

1

+…+㈠+廣⑴=刀+1.

則為=廣(0)+

11.在等差數(shù)列｛品｝中，已知2+為=10,則3a+乃7=.

答案20

解析設(shè)公差為4則為+備=2a+9d=10,

3a5+&=3(2+4初+(a+6初=4&+18d=2X10=20.

12.若等比數(shù)列數(shù)j的各項(xiàng)均為正數(shù),且40&1+乃9al2=2/,則In&+lna2T--Fin&o=

答案50

解析:數(shù)列｛a｝為等比數(shù)列，且40為1+國&2=2e。

??HioZii+a9al2=2aioaii=2e，??<310511~e，

/.In491+Ina2H-----bln&o=In(&&???&())

=ln(aioan)10=ln(e5)10=lne50=50.

13.數(shù)列｛a｝的前刀項(xiàng)和為Sn.已知51=2,S+1+(—1)"5=2〃，則Sioo=.

答案198

解析當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，S+i+S=2〃，S+2—S+I=2/?+2,所以S+2+S=4/?+2,故S+4+S

+2=4(刀+2)+2,所以S+4—S=8,由劭=2知，S=2,又S—S=2,所以S=4,因?yàn)閃

+5=4X2+2=10,所以2=6,所以反一&=8,Si2—&=8,…，Soo一&=8,所以Soo=

24X8+2=192+6=198.

14.若數(shù)列｛劣｝滿足…>A+LA>…，則稱數(shù)列｛a｝為“差遞減”

數(shù)列.若數(shù)列｛aj是“差遞減”數(shù)列，且其通項(xiàng)2與其前〃項(xiàng)和S(〃GN*)滿足2s=3&+2才

—1(〃GN*),則實(shí)數(shù)X的取值范圍是.

答案\，+s)

解析當(dāng)〃=1時(shí)，2a1=3劭+24—1,ai=l—2,當(dāng)時(shí)，2S—i=3d—1+24一1,所

以2a=3&—32_1,d=3劣一1,所以a=(1—24)3"一1,劣一&_1=(1—24)3"一1一(1一24)

3"T=(2_4X)3"T,依題意(2—44)3T是一個(gè)減數(shù)列，所以2—4A<0,^>1.

15.S為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，且&=1,岳=28.記4=[1ga],其中[%]表示不超過x

的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[1g99]=1.

⑴求A,611,加1；

(2)求數(shù)列｛4｝的前1000項(xiàng)和.

解(1)設(shè)｛a｝的公差為名由已知可知，

,7X(7-1),

S=7X&+-~~-X67=7+2167=28,

解得d=\,所以｛&｝的通項(xiàng)公式為a=1+(72—1)X1=72.

61=