九年級數(shù)學(xué)教案11 四邊形

第十一講四邊形

［教學(xué)內(nèi)容］

《佳一動態(tài)數(shù)學(xué)思維》春季版，九年級第十一講“四邊形”.

［教學(xué)目標(biāo)］

知識技能

1.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的判定方法；

2.了解四邊形在生活中的實例，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)解決實際問題.

數(shù)學(xué)思考

1.經(jīng)歷運用四邊形描述現(xiàn)實世界的過程，發(fā)展學(xué)生抽象思維和形象思維；

2.發(fā)展學(xué)生的動手操作能力、合情推理能力，及對數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識；

3.培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想、方程思想等思想方法.

問題解決

1.經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握

分析問題和解決問題的一些基本方法；

2.能夠運用四邊形的性質(zhì)進行有關(guān)的證明和計算，發(fā)展應(yīng)用意識.

情感態(tài)度

1.感受成功的快樂，體驗獨自克服困難、解決數(shù)學(xué)問題的過程，有克服困難的勇氣，具備學(xué)好

數(shù)學(xué)的信心；

2.在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的習(xí)慣.

［教學(xué)重點、難點］

重點：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的性質(zhì)和判定方法

難點：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等知識的綜合應(yīng)用

［教學(xué)準(zhǔn)備］

動畫多媒體語言課件

第一課時

教學(xué)路徑

師：今天我們來復(fù)習(xí)四邊形的有關(guān)知識.

啟動性問題

俄國作家列夫?托爾斯泰在他的作品中寫了一個故事：有一個叫巴霍姆的人想到草原

上買一塊地.他問：“價錢如何？”賣主答：“一天1000盧布.”意思是如果你愿出1000

盧布，那么你從日出始至日落止，走過的路所圍住的土地就歸你所有；倘若你在日落

之前回不到出發(fā)的地方.，你的錢就白花了.巴霍姆覺得很合算，于是他就給賣地人

1000盧布.第二天，太陽剛剛從地平線露面，他就立即在大草原上狂奔起來.他奔走

的路線大致如下圖.為了不使自己的1000盧布白費，他用盡全身力氣，總算在太陽全

部消失前的一剎那，趕到了出發(fā)地點（A點），可是還沒站穩(wěn)，就口吐鮮血，向前一

撲，再也站不起來了.

師：同學(xué)們不妨猜想一下，巴霍姆所跑的路線.如果是你，你打算如何跑？

可以看出，巴霍姆共跑了40千米的路，他所圍住的是一個梯形.計算其面積為

（5+10）x12=90（.2）如果他圍住的是一個正方形，則面積為（竺了=100（km2）.如果

他圍住的是一個圓，則面積為?（K）2=%>100（km2）.貪婪而又愚蠢的巴霍姆，為

2zrre

了90km?的土地而活活累死，倘若他有一點數(shù)學(xué)頭腦，跑前冷靜地想一想、算一算

的話，又何必累死呢！

師：通過這樣一個數(shù)學(xué)故事我們能夠總結(jié)出怎樣的規(guī)律？（引導(dǎo)學(xué)生自我總結(jié)）

周長相等的多邊形中，邊數(shù)多的一般比邊數(shù)少的面積大，圖形的邊數(shù)越多，面積越大,

當(dāng)邊數(shù)趨向于無窮大時，也就是圓，所以在周長相等的情況下圓的面積最大；邊數(shù)相

等時，正多邊形面積最大.

考點58多邊形及其內(nèi)角和

師：大家先來回顧一下多邊形的相關(guān)性質(zhì)與定理.

回顧：

1.多邊形的定義：（下一步）由八條不在同一直線上的線段首尾順次連接組成的平面

圖形稱為“邊形，又稱為多邊形.（下一步）

對角線：（下一步）連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段.（下一步）

正多邊形：（下一步）各個角都相等，各條邊都相等的多邊形.（下一步）

2.多邊形的內(nèi)角和：（下一步）〃邊形內(nèi)角和為（〃-2）?180°.（下一步）

外角和：（下一步）多邊形的外角和為360°.（下一步）

3.多邊形的有關(guān)性質(zhì)（先紅色字體再陰影）

十JTT,HA一人?乩（n-2）*180'

正〃邊形的每個內(nèi)角：------——

n

〃邊形共有"3）條對角線.

對角線：

穩(wěn)定性：〃邊形具有不穩(wěn)定性（n>3）.

規(guī)律：〃邊形的內(nèi)角中最多有3個是銳角.（下一步）

4.用正多邊形拼地板

鋪滿地面的條件：（下一步）幾個正多邊形的同一個頂點的幾個角的和等于360°.

（下一步）

鋪滿地面方案：（1）用相同的正多邊形可以鋪滿地板有：正三角形，正方形，正六

邊形.

（2）也可用多種正多邊形鋪地板.

師：下面我們就一起來看幾道例題.

初步性問題

探究類型多邊形內(nèi)角和

例若凸〃邊形的內(nèi)角和為1260°,則從一個頂點出發(fā)引的對角線條數(shù)是上—.

師：如何求從一個頂點出發(fā)引的對角線條數(shù)？

生：（預(yù)設(shè)）先求多邊形的邊數(shù)或定點數(shù)，即〃.

師：如何求〃？

生：（預(yù)設(shè)）利用多邊形內(nèi)角和公式.

解析：

邊形內(nèi)角和為（rt-2）?180°；（下一步）

（2）〃邊形一個頂點出發(fā)引的對角線的條數(shù)為（〃-3）條.

答案：6.

類似性問題

1.一個多邊形的內(nèi)角和是900°,則這個多邊形的邊數(shù)是（）

A.6B.7C.8D.9

2.如果一個多邊形的內(nèi)角和是其外角和的一半，那么這個多邊形是（）

A.六邊形B.五邊形

C.四邊形D.三角形

解析：

多邊形的外角和為360°.

考點59平行四邊形

師：我們知道平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定方法，是得出其他特殊四邊形的定義、

性質(zhì)和判定方法的基礎(chǔ)，相關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理都很多，需要我們理清它們之間

的區(qū)別和聯(lián)系.

回顧：

1.定義：（卜.一步）兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.（下一步）

2.平行四邊形的性質(zhì)：（下一步）

r兩組對邊分別平行、

〉邊

四邊形ABCD是平行四邊形匚＞J兩組對邊分別相等,

兩組對角分別相等（鄰角互補）——角

〔對角線互相平分-----對角線

（下一步）

3.平行四邊形的判定：（下一步）

兩組對邊分別平行、

邊--------兩組對邊分別相等

一組對邊平行且相等、的四邊形是平行四邊形

角--------兩組對角分別相等

對角線-----對角線互相平分j

（下一步）

4.解題技巧：（1）解平行四邊形相關(guān)問題時，對角線是解決問題的常用線段.要用到

全等三角形法、特殊三角形的性質(zhì).

（2）在涉及三角形中線問題時，常延長并加倍中線，構(gòu)成平行四邊形，在平行四邊

形的背景下探索問題，利用平行四邊形豐富的性質(zhì)為解題服務(wù).（下一步）

5.兩條平行線間的距離：（下一步）兩條平行線中一條直線上任意一點到另一條直線

的距離叫做兩條平行線間的距離.（下一步）

常用結(jié)論：兩條平行線間的平行線段相等.

師：接下來我們來看幾道相關(guān)例題.

初步性問題

探究類型之一平行四邊形的性質(zhì)

例1如圖，已知E、F是口ABCD對角線AC上的兩點，且BE1AC,DFLAC.

（1）求證：XkBEQXCDF：

（2）請寫出圖中除aABE會△<?￡>尸外其余兩對全等三角形（不再添加輔助線）.

解析：

根據(jù)平行四邊形對邊平行，對邊相等得出證明三角形全等的條件.

師：如何證明兩個三角形全等？

生：（預(yù)設(shè)）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到對邊平行且相等，進而得到角相等，通過兩

角一邊證全等.

師：還有哪兩組三角形是全等的？

生：（預(yù)設(shè)）剩下的兩對三角形都是全等的.

答案：

證明（1）???四邊形A3CO是平行四邊形，

：.AB=CD,AB^CD,

:.ZBAE=ZFCD,

XVBE1AC,DFLAC,

：.ZAEB=ZCFD=90°,

:.△ABEgACDF（AAS）.

（下一步）（2）

類似性問題

2.如圖，8。是Z=7ABC。的對角線，NABQ的平分線BE交AO于點E,NCQ8的

平分線。尸交3c于點F.

求證：AABE咨ACDF.

答案：

證明：OABCD,AB=CD,NA=/C,AB〃CD,

：.NABD=NCDB.

'：ZABE=-/ABD,ZCDF=-NCDB,

22

，ZABE=ZCDF.

在AABE與△<?￡>尸中，

NA=NC,

XAB=CD,

、/ABE=/CDF,

：./\ABE^/\CDF.

初步性問題

探究類型之二平行四邊形的判定

例2如圖，已知。是△ABC上AB邊上一點，CE〃A3,OE交AC于點0,且。A=OC,

猜想線段C。與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

L

解析：猜想：CD〃AE,CD=AE,證明四邊形AOCE是平行四邊形.

師：你的猜想結(jié)論是？

生：（預(yù)設(shè)）平行且相等.

師：如何證明？

生：（預(yù)設(shè)）利用平行四邊形證明.

師：如何證明是平行四邊形

生：（預(yù)設(shè)）一組對邊平行且相等

師：還有別的方法嗎？

生：（預(yù)設(shè)）對角線互相平分.

師：非常好，思考一下結(jié)論.

師：一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形，但“一組對邊平行，另一

組對邊相等”和“一組對邊相等，一組對角相等”的四邊形不一定是平行四邊形.（可

在此時重點討論判定平行四邊形的易錯點）

答案：

答：線段CO與線段AE的大小關(guān)系和位置關(guān)系是：平行且相等.證明如下:

證明：?:CE〃AB,

：.ZDAO=ZECO,

'：OA=OC,ZDOA=ZEOC,

：./\DAO^^\ECO,

：.AD=CE,

...四邊形AOCE是平行四邊形，

:.CD〃AE,CD=AE.

類似性問題

1.四邊形A5CO中，對角線AC,8。相交于點0,給出下列四組條件：①AB4CD,

AD〃BC；@AB=CD,AD=BC；?AO=CO,BO=DO；@AB//CD,AD=BC.其中一

定能判定這個四邊形是平行四邊形的條件有（）

A.1組B.2組C.3組D.4組

解析：

@AB^CD,兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（下一步）

②AB=CD,AD=BC,兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（下一步）

③AO=CO,對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；（下一步）

@AB^CD,A￡>=BC不能判定平行四邊形.

3.如圖，分別以RtAABC的直角邊AC及斜邊A8向外作等邊△AC。、等邊△ABE.已

知/BAC=30°,EF1AB,垂足為尸，連接。R

（1）試說明AC=￡E；

（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形.

（1）

解析：

證明RtAABC^RtAEAF即可.

答案:

證明：???△ABE都是等邊三角形，

：.ZEAF=QO°,AB=AE.

'：EFVAB,

：.ZEFA=ZACB=90°,

VZfiAC=30°,

，NABC=60°,

NABC=NEAF,

A/XABC^/XEAF(AAS),

：.AC=EF.

(2)

解析：

i正明AD〃EF且AC=EF=AD即可.

答案：

證明：???△AC。是等邊三角形，

：.ZDAC=^Q°,

AZDAC+ZCAB=ZDAF=90°,

,：EFLAB,

：.ZDAF=ZAFE=9Q°,

：.AD^EF,

'：AC=EF,AC=AD,

：.AD=EF,

，四邊形ADFE是平行四邊形.

師：平行四邊形的判定，常和全等三角形證明結(jié)合在一起，要求我們能夠熟練掌握三

角形全等的證明.

考點60矩形

師：我們都知道矩形是特殊的平行四邊形，它的特殊之處在哪里？

生：有一個角是直角.

師：由于矩形比平行四邊形多了個“有一個角是直角”的條件，因此它增加了一些

特殊的性質(zhì)，讓我們一起來學(xué)習(xí)，首先先回顧矩形的性質(zhì)和判定定理.

回顧：

定義：（下一步）有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

性質(zhì)：（下一步）（1）矩形的四個角都是直角.

（2）矩形的對角線相等.（下一步）

判定：（下一步）（1）有三個角是直角的四邊形是矩形.

（2）對角線相等的平行四邊形是矩形.

師：接下來我們來看幾道例題.

初步性問題

探究類型之一矩形的性質(zhì)

例1已知矩形ABC。中，對角線AC、8。相交于點O,E、尸是對角線8。上的兩

點，且

（1）按邊分類，ZSAOB是_眄」三角形；

BC

解析：

由于矩形的對角線相等且互相平分，所以0A=0B.

答案：k：腰

（2）猜想線段AE、。尸的大小關(guān)系，并證明你的猜想.

解析：

猜想AE=CF,通過全等三角形或平行四邊形的性質(zhì)證明線段相等.

答案：

證法一：?.?四邊形ABCO是矩形，

:.AD〃BC,且:./ADB=NCBD,

'：DE=BF,：.AADE^/\CBF(SAS),：.AE=CF.

證法二：?..四邊形ABC。是矩形，：,OA=OC,OB=OD,

,:DE=BF,：.OE=OF,

y.ZAOE=ZCOF,：./XAOE^ACOF(SAS),/.AE=CF.

證法三：如圖，連接A/、CE,

由四邊形A8CO是矩形得0A=0C,0B=0D,

'：DE=BF,：.0E=0F,A^-

二四邊形AECF是平行四邊形，

Bc

：.AE=CF.

師：按邊分類，三角形是特殊三角形嗎？

生：（預(yù)設(shè)）是等腰三角形.

師：為什么?

生：（預(yù)設(shè)）對角線相等且互相平分.

師：第二問，你的猜想結(jié)論是？

生：（預(yù)設(shè)）線段相等.

師：如何證明？

生：（預(yù)設(shè)）通過三角形全等證明.

師：還有別的方法嗎？

生：（預(yù)設(shè)）利用平行四邊形的性質(zhì)證明.

師：證明線段相等的方法有很多，利用特殊四邊形的性質(zhì)證明是方法之一.

探究類型之二矩形的判定

初步性問題

例2如圖，在△ABC中，點。是AC邊上（端點除外）的一個動點，過點。作直

線MN〃BC.設(shè)MN交NBCA的平分線于點E,交NBCA的外角平分線于點F,連接

AE.A廳那么當(dāng)點。運動到何處時，四邊形AECT是矩形？并證明你的結(jié)論.

A

師：通過分析條件我們可以得到哪些結(jié)論？

生：（預(yù)設(shè)）NECF直角.

師：你是如何得到的？

生：（預(yù)設(shè)）由基本型平行加角平分線我們可以得到等腰三角形，進而得到三角形ECF

一邊上的中線等于這邊的一半,根據(jù)以前得到的結(jié)論，我們可知這是一個直角三角形.

師：非常好，題目問題是當(dāng)點。運動到何處時，四邊形AEC尸是矩形，如何確定點。

的位置？

生：（預(yù)設(shè)）由于已經(jīng)有一個直角了，如果，根據(jù)。點的位置，我們只要對角線互相

平分即可，所以點0運動到線段AC的中點時四邊形AECF是矩形.

師：此題我們通過分析題目條件和結(jié)論最后得到答案，也是猜想證明型幾何題常用的

解題思路.

解析：

通過探索猜想：當(dāng)點0運動到AC的中點（或。4=。。）時，四邊形AEC尸是矩

形.先證明四邊形AEb是平行四邊形，再證明有一個角是直角.

答案：

答：當(dāng)點。運動到AC的中點（或OA=OC）時，四邊形AECF是矩形.證明如

下：

證明：YCE平分NBC4,

.".Z1=Z2,

又?：MN〃BC,

/.Z1=Z3,

.,.Z3=Z2,

：.EO=CO.

同理，F(xiàn)O=CO,

：.EO=FO.

又OA=OC,

四邊形AECF是平行四邊形.

又?.?N1=N2,Z4=Z5,

.,.Z1+Z5=Z2+Z4.

XVZl+Z5+Z2+Z4=180°,

/.Z2+Z4=90o,

，四邊形AECF是矩形.

類似性問題

1.在四邊形ABC。中，AB=DC,AO=8C請再添加一個條件，使四邊形A5CO是矩形.

你添加的條件是.（寫出一種即可）

答案：

/A=90°或/8=90°或/C=90°或/。=90°或AC=8。（答案不唯一，寫出一

種即可）

類似性問題

3.如圖，將口A3C。的邊DC延長到點E,使CE=DC,連接AE,交BC于點F.

(1)求證：AABF^AECF；

(2)若NAPC=2NO,連接AC、BE,

求證：四邊形ABEC是矩形.

(1)

解析：

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明.

答案：

證明：?..四邊形A8CO是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD.：.ZABF=ZECF.

'：EC=DC,：.AB=EC.

.?.在△AB/7和△EC尸中，

'NABF=NECF,

<ZAFB=ZEFC,

、AB=EC,

(2)

解析：

先證明四邊形A8EC是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定證明四邊形ABEC是矩形.

答案：

解法一：

i正明：'：AB=EC,AB〃EC,

...四邊形ABEC是平行四邊形.

：.AF=EF,BF=CF.

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

，ZABC=ZD,

又；ZAFC=2ZD,

：.ZAFC=2ZABC.

"：ZAFC=ZABF+ZBAF,

:.NABF=NBAF.

：.FA=FB.

：.FA=FE=FB=FC,

：.AE=BC,

...oABC。是矩形.

解法二：

證明：?:AB=EC,AB//EC,

四邊形A8EC是平行四邊形.

四邊形ABCD是平行四邊形,

:.AD〃BC,

：.ZD=ZBCE.

又：ZAFC=2ZD,

：.ZAFC=2ZBCE,

?:/AFC=/FCE+NFEC,

：.ZFCE=ZFEC,

：.ZD=ZFEC,

：.AE=AD.

又?：CE=DC,

...AC_LOE,即NACE=90°.

二口ABC。是矩形.

初步性問題

例3如圖，將長8cm,寬4cm的矩形紙片ABC。折疊，使點A與C重合，則折

痕EF的長為_____cm.

師：如何求折痕的長？

生：（預(yù)設(shè)）根據(jù)基本型:角平分線加平行線得等腰和勾股定理求得CF、CE、8E的

長，然后利用勾股定理求得線段EE的長.

解析:

D'F=DF,在RtACFD'^P，由勾股定理得出D'F的長.過尸點作FG±AB,

垂足為G,所以FG=A。,易證下，得到。下=8E,從而得出GE的

長.在RtAFGE中，由勾股定理得到EF的長.

答案：

解：由折疊性質(zhì)得。下=DRD'C=DA=^,設(shè)DF=DF=x,則FC=8-x,

在RtACbZT中，由勾股定理D'F2+DC2=FC2,

故/+42=(87)2,

解得x=3,即DF=D'F=3,FC=5,

又ND，CE=/BCE=gO°,

:.ZD'CF=ZECB,

且NO'=N8=90°,D'C=BC,

二△CBEq△CD'F,則BE=D'F=3.

作FGLAB,垂足為G,

二四邊形G3CF矩形，

:.GB=CF=5,

：.GE=29

在RlZ\FGE中，由勾股定理G^+EG?=￡7*得EF=2小.

類似性問題

2.如圖，點。是矩形ABCD的中心，E是A8上的點，沿CE折疊后，點8恰好與點

O重合，若BC=3,則折痕CE的長為（

A.2GB.-C.y/3D.6

2

解析:

沿CE折疊后，點B恰好與點。重合，所以3C=OC=OA=3,所以NBAC=

ZACE=ZBCE=30°,所以CE="U=W=2百.

cos304

師：正確的應(yīng)用圖形的對稱性是解決折疊問題的關(guān)鍵.

考點61菱形

師：我們繼續(xù)學(xué)習(xí)另外一種特殊的四邊形，菱形.

回顧：

定義：（下一步）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.（下一步）

性質(zhì)：（下一步）（1）菱形的四條邊相等.

（2）菱形的兩條對角線互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角.（下一步）

判定：（下一步）（1）四條邊相等的四邊形是菱形.

（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

（3）每條對角線平分一組對角的四邊形是菱形.（下一步）

菱形面積：（下一步）（1）可用平行四邊形的面積公式，即面積=底義高.

（2）菱形的面積等于兩對角線積的一半.

初步性問題

探究類型之一菱形的性質(zhì)

例1如圖，菱形ABCD的對角線AC,8。相交于點。，且AC=8,BD=6,過點。作

■

OHLAB,垂足為H,則點0到邊AB的距離。”=_旨

師：如何求點到直線的距離？

生：（預(yù)設(shè)）利用面積公式求線段的長度，AAOB的面積是可求的.

解析：

解：菱形的對角線互相垂直平分，AO=-AC=-XS=4,OB=-BD=-X6=3,

2222

-------------------------------------11]0

所以+=5,S=-OAXOB=-OHXABM^OH=—.

AOAB225

答案：■

5

類似性問題

1.如圖，菱形A8C。的邊長是2cm,E是A3中點，J3.DELAB,則菱形ABC。的面

積為cm2.

解析：

利用勾股定理和平行四邊形的面積公式進行求解.

答案：

在三角形ADE中，DE=JAZ>2_￡>￡：2:倉一儼=3

菱形ABCD的面積為ABXDE=2X6=2后.

師：下面我們來學(xué)習(xí)菱形的判定.

探究類型之二菱形的判定

例2如圖，在中，E,產(chǎn)分別為邊A8,CO的中點，8。是對角線，過A

點作AG〃DB交CB的延長線于點G.'一r------7~

(1)求證：DE〃BF；

(2)若/G=90°,求證四邊形OEB尸是菱形.一/

師：如何證明平行？

生：(預(yù)設(shè))放在四邊形中證明.

師：如何證明四邊形是菱形？

生：(預(yù)設(shè))由第一問知已經(jīng)是平行四邊形，只要再證一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直即

可，這里根據(jù)條件證明一組鄰邊相等.

(1)

解析：

利用平行四邊形的性質(zhì)證明DE〃BF.

答案：

證明：?.?四邊形A8CO是平行四邊形，

:.AB〃CD,AB=CD,

,:E,?分別為AB,CD的中點,

：.DF=-DC,BE=-AB,

22

:.DF〃BE,DF=BE,

...四邊形DEBF為平行四邊形，

，DE〃BF.

(2)

解析：

由四邊形EDBP是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等.

答案：

證明：'：AG^BD,

：.ZG=ZDBC=90°,

ADBC為直角三角形.

又???/為邊。。的中點，

:.BF=-DC=DF.

2

又?..四邊形OE3F為平行四邊形，

...四邊形。f是菱形.

類似性問題

2.如圖，在平行四邊形A8CD中，對角線AC,BO相交于點0,過點。作直線E/LL

BD,分別交A。，BC于點E和點尸，求證：四邊形b是菱形.

解析：

先證明四邊形尸是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等.

答案：

證明：?.?四邊形ABCO是平行四邊形，

:.AD〃BC,OB=OD,

ZEDO=ZFBO,ZOED=ZOFB,

：./\OED^^\OFB,

：.DE=BF,

又<DE〃BF,

四邊形BE。尸是平行四邊形，

,:EFLBD,

.??四邊形BEDE是菱形.

師：這是菱形判定的另外一種情況，即先證明平行四邊形，再證明對角線垂直.

3.如圖，0為矩形A8CD對角線的交點，OE，4C,CE〃BD.

（1）試判斷四邊形OCED的形狀，并說明理由；

nD

（2）若AB=6,BC=8,求四邊形。CEO的面積.

°XC>

解析：

（1）先證明四邊形OCEO是平行四邊形，再由矩形的性質(zhì)證明四邊形OCEO是

菱形.（下一步）

（2）連接。E.（作圖）利用菱形面積等于兩對角線積的一半可得菱形面積.

第二課時

教學(xué)路徑

考點62正方形

師：我們接下來學(xué)習(xí)最后一類特殊的平行四邊形，正方形.首先一起回顧正方形的性

質(zhì)和判定定理.

回顧：

定義：（下一步）有一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.（下

一步）

性質(zhì)：（下一步）（1）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等.

（2）正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.（下一

步）

判定：（下一步）（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；

（2）有一個角是直角的菱形是正方形；

（3）四邊相等，四個角也相等的四邊形是正方形；

（4）對角線互相垂直的矩形是正方形；

（5）對角線相等的菱形是正方形；

（6）對角線相等，且互相垂直平分的四邊形是正方形.

師：讓我們利用這些性質(zhì)和判定定理完成下面的題目.

初步性問題

探究類型之-正方形的性質(zhì)

例1如圖，在正方形ABC。中，E為對角線AC上一點，連接E8,ED.

（1）求證：四△OEC；

（2）延長BE交AO于點R若NDEB=140°,求NAfE的度數(shù).

師：如何證明全等？

生：（預(yù)設(shè)）根據(jù)正方形的軸對稱性即可證明.

師：如何求NAFE的度數(shù)？

生：（預(yù)設(shè)）根據(jù)已知條件可求出△人正中內(nèi)角的度數(shù)，利用三角形內(nèi)角和即可求出.

師：正方形是特殊的平行四邊形，還是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有

這些圖形的所有性質(zhì)，利用這些性質(zhì)可以為我們完成題目提供重要的信息.

解析：

（1）根據(jù)正方形的對稱性可知△8EC<△DEC；（下一步）

（2）圖中NDEC=ZBEC=ZAEF,ND4c=45°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和求N

AFE的度數(shù).

答案：

（1）證明：?.?四邊形A8CO是正方形，

：.CD=CB,

???AC是正方形的對角線，

：.ZDCA=ZBCA,

又CE=CE,

:.ABEgADEC.(下一步)

(2)解：■:NDEB=140°,

由可得NOEC=NBEC=140°-2=70°,

/.ZAEF=ZBEC=70°,

又；AC是正方形的對角線，ZDAB=9Q°,

：.ZDAC=ZBAC=90°+2=45°,

在△AEF中，ZAFE=18Q°-70°-45°=65°.

類似性問題

1.下列四邊形中，對角線相等且互相垂直平分的是()

A.平行四邊形B.正方形C.等腰梯形D.矩形

類似性問題

2.如圖，點E是正方形A3CD內(nèi)一點，△CDE是等邊三角形，連接EB,EA,延長

BE交邊AD于點F.

(1)求證：AADE絲ABCE；

(2)求乙4尸8的度數(shù).

解析：

(1)利用正方形和等邊三角形的性質(zhì)證明.(下一步)

(2)在證明的基礎(chǔ)上，利用等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)求

解.

初步性問題

探究類型之二正方形的判定

例2如圖所示，順次延長正方形A8C。的各邊AB,BC,CD,DA至E,F,G,H,

且使BE=CF=OG=AH.求證：四邊形EFG"是正方形.

師：如何證明四邊形是正方形？

生：（預(yù)設(shè)）先證四邊形是菱形，再證一個角為直角.

師：如何證明四邊形是菱形？

生：（預(yù)設(shè)）四條邊都相等.

師：如何證明四條邊都相等？

生：（預(yù)設(shè)）利用全等證明.

解析：

此題先根據(jù)正方形ABCD的性質(zhì)，可證△AEHg△8莊鄉(xiāng)△CGF^/\DHG（HL）,

得四邊形EFGH為菱形,再求一個角是直角從而證明它是正方形.

答案：

證明：???四邊形A8CD是正方形，

：.AB=BC=CD=DA,/EBF=/HAE=/GDH=NFCG,

又,：BE=CF=DG=AH,

CG=DH=AE=BF,

：.AAEH^△CGF^/\DHG^/\BFE,

：.EF=FG=GH=HE,4EFB=NHEA,

四邊形EFGH為菱形.

"：ZEFB+ZFEB=90a,ZEFB=ZHEA,

：.ZFEB+ZHEA=^°,

...菱形MG”是正方形.

師：那么下面我們利用另外一種判定方法來證明，完成一道練習(xí)題.

類似性問題

3.已知：如圖，在中，NACB=90°,C。為NACB的平分線，DELBC于

點E,皿UAC于點尺

求證：四邊形CE0F是正方形.|\

解析：cEB

先判定四邊形是矩形，再證明有一組鄰邊相等.

考點63梯形

師：學(xué)習(xí)完了幾類特殊的平行四邊形，讓我們一起學(xué)習(xí)梯形.同學(xué)們先回憶一下梯

形的概念、性質(zhì)及判定方法.

回顧：

1.梯形的有關(guān)概念

梯形：（下一步）只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形.（下一步）

兩類特殊的梯形：等腰梯形和直角梯形.

2.等腰梯形

定義：（下一步）兩腰相等的梯形叫等腰梯形.（下一步）

性質(zhì)：（下一步）（1）等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等；

（2）等腰梯形的兩條對角線相等.（下一步）

說明：等腰梯形是軸對稱圖形，對稱軸是兩底中點所在的直線.（下一步）

判定：（下一步）（1）同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；

（2）對角線相等的梯形是等腰梯形.（下一步）

3.輔助線的作法

在梯形中通常作腰的平行線，構(gòu)成平行四邊形、三角形，利用平行四邊形的性質(zhì)，

把分散的條件集中到一個特殊圖形中.輔助線作法一般有如下四種：（下一步）

（1）移動一腰，即從梯形的一個頂點作一腰的平行線，把梯形分成一個平行四邊形

和一個三角形.（下一步）

（2）從同一底的兩端作另一底的垂線，把梯形分成一個矩形和兩個直角三角形.（下

一步）

（3）移動一條對角線，即過底的一端作對角線的平行線，可以借助所得到的平行四

邊形來研究梯形.（下一步）

（4）延長梯形的兩腰交于一點，得到兩個三角形，如果是等腰梯形，則得到兩個分

別以梯形兩底為底的等腰三角形.（下一步）

4.梯形的中位線

梯形的中位線：（下一步）連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線.（下一步）

梯形中位線定理：（下一步）梯形的中位線平行于兩底并且等于兩底之和的一半.

師：接下來我們來看一道例題.

初步性問題

探究類型之一梯形

例1如圖，在梯形A8CD中，AD/7BC,ZB=90°E

為A8中點，EF〃DC交BC于點、F,求Eb的長.

師：如何求線段的長?

生：（預(yù)設(shè)）平移一腰，利用三角形中位線證明.

師：解決梯形問題的基本方法是：（1）平移一腰；（2）過同一底上的兩個點作高；（3）

平移對角線；（4）延長兩腰.

解析:

平移一腰，即過點A作（在圖中作出），把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形與三

角形.

答案：

解：過點4作

：.ZC=ZAGB=45°

?:AD〃BC,

：.四邊形AGCD是平行四邊形，

：.GC=AD,

：.BG=BC-AD=4~l=3,

在RtAABG中，AG=y]2BG2=372,

,:EF〃DC〃AG,又E為4?重點，

，EE是三角形AG8的中位線，

.“1“3&

??EF=—AG=---?

22

初步性問題

探究類型之二等腰梯形的性質(zhì)

例2如圖，在梯形A3CQ中，AD^BC,AB=DC,E是3c的中點，連接AE,DE,

求證：AE=DE.

師：如何證明線段相等？B乙----￥----

生：（預(yù)設(shè)）利用三角形全等證明.

師：等腰梯形是一類特殊的梯形，它的特殊之處在于兩腰相等.除了梯形本身的性

質(zhì)，它還具有哪些性質(zhì)？

生：對角線相等；同一底上兩個底角相等.

解析：

利用等腰梯形的性質(zhì)證明△ABEgZSOCE后，利用全等三角形的性質(zhì)即可證得

兩對應(yīng)線段相等.

答案：

證明：???梯形A3CO是等腰梯形，，NB=NC

；E是的中點，BE=EC.

在AABE和△OCE中，

rAB=DC,

NB=NC,

BE=EC.

：.AABE名/\DCE,：.AE=DE.

初步性問題

探究類型之三等腰梯形的判定

例3如圖，在四邊形A8CO中，DB平分NADC,ZABC=120°,ZC=60°,

ZBDC=30°；延長CO到點E,連接AE,使得NE=，NC.

2

(1)求證：四邊形ABQE是平行四邊形;

(2)若。C=12,求AO的長.

解析：

(1)利用已知得出A8〃OC,即A5〃EO以及AE〃B。進而得出結(jié)論；(下一

步)

(2)根據(jù)已知，ZC=60°,ZBDC=30°,得出ND8C=90°,利用OC=：L2,

得出AD=BC=-DC.

2

答案：

(1)證明：VZABC=\20°,ZC=60°,ZABC+ZBCD=180°,

；.AB〃DC,即AB//ED.

又,.,NC=60。，Z￡=-ZC,ZBDC=30°.

2

：.ZE=ZBDC=30°，:.AE〃BD,

二四邊形ABDE是平行四邊形.

(下一步)

(2)由(1)問，AB〃DC.

...四邊形ABC。是梯形.

?；。8平分/4。。，ZBDC=30°,

AZADC=ZBCD=60°,

，四邊形A8CO是等腰梯形，

:.BC=AD.

?.?在△38中，ZC=60°,ZBDC=3Q°,

ZDBC=90°.

又已知DC=12,

：.AD=BC=-DC=&.

2

師：如何證明四邊形是平行四邊形？

生：（預(yù)設(shè)）證明兩組對邊分別平行.

師：如何證明平行？

生：（預(yù)設(shè)）通過同旁內(nèi)角互補和同位角相等證明.

師：如何求線段的長？

生：（預(yù)設(shè)）找等量線段，然后利用直角三角形的性質(zhì)或銳角三角函數(shù)求.

師：證明等腰梯形首先要滿足梯形的定義，再證明兩腰相等，或同一底上的兩角相

等，或?qū)蔷€相等即可

考點64四邊形的動態(tài)問題

師：同學(xué)們先了解一下什么是動態(tài)幾何問題.

回顧：

動態(tài)幾何問題，是指以圖形為背景，滲入運動變化的幾何問題.常見的有動點問

題、動線問題、動形問題，這類題型已成為中考命題的一個熱點.（下一步）

解決這類問題的策略,簡而言之,就是同學(xué)們耳熟能詳?shù)陌俗衷E“動中分析,靜中

求解”.

師：下面我們就一起來看幾道例題.

初步性問題

探究類型四邊形的動態(tài)問題

師：動態(tài)幾何問題是近年興起的一種新題型，要求我們?nèi)嬲w地把握題目的意思,

對于我們的綜合能力要求比較高，做題中重點注意不要漏掉某些特殊情況.

例如圖，矩形A3C。中，點P是線段AO上一動點，。為3。的中點，PO的延

長線交于。.

（1）求證：OP=OQ；

（2）若A￡>=8cm,AB=6cm,P從點A出發(fā),以1cm/s的速度向。運動（不與。

A

重合）.設(shè)點P運動時間為/s,請用1表示P。的長，并求，為何值時，四邊形P8QD

是菱形.

(1)

解析：

根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，證明△P。。且△。。氏

答案：

證明：?.?四邊形ABCO是矩形，

:.AD〃BC,

.'.ZPDO=ZQBO,

又OB=OD,NPOD=/QOB,

：.APOD^/^QOB,

：.OP=OQ.

(2)

方法一：

解析：

當(dāng)四邊形PBQD是菱形時，PQ1BD,可由△OOPs/ViOB,利用絲=42求

解.

答案：

解：AP=tcm,PD=(8-r)cm.

?.?四邊形ABC。是矩形，

.?.NA=90°,

"."AD=8cm,A8=6cm,

.,.BD=IOcm,

.?.00=5cm.

當(dāng)四邊形P8。。是菱形時，PQLBD,

：.ZPOD=ZA,

又NODP=NADB,

:.△ODPs^ADB,

.ODAD58

??=,Hn---=—,

PDBD8T10

7

解得

4

7

即運動時間為;秒時，四邊形PBQD是菱形.

方法二：

解析：

當(dāng)四邊形是菱形時，PB=PD,在RtaABP中利用勾股定理求解.

答案：

解：AP=tcm,PD=(8-/)cm.

當(dāng)四邊形P3。。是菱形時，P8=PD=(8-f)cm,

???四邊形ABC。是矩形，

AZ4=90°,

在RtZkABP中，AB=6cm,

:.AP2+AB?=BP2,

，t2+62=(8T)2,

解得f=Z,

4

7

即運動時間為小秒時，四邊形P8QO是菱形.

4

師：如何證明線段相等？

生：(預(yù)設(shè))利用全等或者三角形一邊平行線的性質(zhì)定理證明.

師：如何求f值？

生：(預(yù)設(shè))當(dāng)四邊形是菱形時，四條邊都相等，則可根據(jù)勾股定理求值.

師：還有別的方法嗎？

生：(預(yù)設(shè))根據(jù)對角線互相垂直可利用相似三角形或銳角三角函數(shù)求解.

類似性問題

如圖所示，在梯形ABC。中，AD〃BC,ZB=90°,AB=14cm,40=所cm,BC=21

cm,點P從點A開始沿AO邊向點。以1cm/s的速度移動，點Q從點C開始沿

CB邊向點3以2cm/s的速度移動，如果P,。分別從點A,C同時出發(fā)，設(shè)移動

時間為，秒，求/為何值時，梯形PQC。是等腰梯形？

解析:

如圖，因為AQ/6C,等腰梯形是軸對稱圖形，要說明四邊形P。。。是等腰梯

形，可以利用QN=MC列方程求解.(下一步)

特別需要注意的是P,。的運動方向是相反的.

答案：

解：設(shè)P,。運動到如圖位置時，梯形PQCO是等腰梯形，平移A8到PN,DM

位置，由平移的性質(zhì)，得QN=MC=BC-BM=8C-AQ=21-18=3(cm).

又QN=BN-BQ=AP-BQ=t~(21-2r)=(3L21),所以3L21=3,即r=8.

所以r=8時，梯形是等腰梯形.

師：通過今天的學(xué)習(xí)，我們可以看到幾何動態(tài)問題，是一類綜合應(yīng)用問題，解決問

題的方法很多，選擇其中一種自己擅長的完成即可.

考點65中點四邊形

師：下面我們來回顧下線段垂直平分線的定義、性質(zhì)及判定方法.

回顧：

L順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形，我們稱之為中點四邊形.(下一步)

2.常用結(jié)論：(下一步)

(1)任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形；

(2)對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形；

(3)對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形是矩形；

(4)對角線相等且互相垂直的四邊形的中點四邊形是正方形.

師：這些常用的結(jié)論，同學(xué)們都會證明嗎？證明過程中，都運用了哪些性質(zhì)和定理？

生：矩形、菱形還有正方形的性質(zhì)，中位線定理.

師：那我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容就主要運用這些性質(zhì)和定理完成.

初步性問題

探究類型中點四邊形

例如圖，四邊形ABC。中,AC=a,BD=b,且AC,3。,順次連接四邊形ABC。各邊中

點，得到四邊形44GA，再順次連接四邊形AqG。各邊中點，得到四邊形

482Gz)2,…，如此進行下去，得到四邊形4，紇.下列結(jié)論正確的有(|)

①四邊形是矩形；

②四邊形A4B4c4A是菱形；

③四邊形4為。5a的周長審；

④四邊形A“B,C”&的面積是絲.

〃""""2"+i

A.①②B.②③C.②③④D.①②③④

師：四邊形482G3是矩形嗎？

生：（預(yù)設(shè)）不是，是菱形.

師：也就是說？

生：（預(yù)設(shè)）連接矩形各邊中點的四邊形式菱形.

師：第二個呢？

生：（預(yù)設(shè)）正確，當(dāng)〃為偶數(shù)時，4坊「a是菱形.

師：第三個命題呢？

生：（預(yù)設(shè)）正確，agCQ的周長是。+力，的周長是3!出，465Go$的周

師：第四個命題呢？

生：（預(yù)設(shè)）正確，根據(jù)已知條件，每個四邊形的面積都是前一個四邊形面積的一半.

解析：

①連接AG，BR.

?.?在四邊形ABC。中，順次連接四邊形A8CO各邊中點，得到四邊形4耳GA，

AQ〃BD,B|G〃BD,C,D,//AC,Ag〃AC,

...AR//B￡,A4//C,Dt,

???四邊形44G2是平行四邊形.

'：AC±BD,

...四邊形A￡G"是矩形，

...BQ=4G（矩形的兩條對角線相等）；

/.AD2=C2D2=C2B2=B2A（中位線定理），

...四邊形482G4是菱形，

故本選項錯誤；（下一步）

②由①知，四邊形A&GA是菱形，

根據(jù)中位線定理知，四邊形A484aA是菱形，故本選項正確；（下一步）

③根據(jù)中位線的性質(zhì)易知，~—A四工一X—AlB[--X—X—ACf

22222

BSC5=-B,Q=-X1B,C,=-X-!-xifiD,

55222222

/.四邊形gCsA的周長是2X；（“+/；戶笥2,故本選項正確；（下一步）

④??,四邊形ABCD中，AC=a,BD=b,且AC_L8￡>,

??S四邊形ABCD=abr2.

由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，

每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

四邊形的面積是第，故本選項正確；（動圖）

綜上所述，②③④正確.故選C.

師：讓我們一起完成幾道相應(yīng)的練習(xí)題.

類似性問題

1.如圖,順次連接矩形ABGA四邊的中點得到四邊形4與62，再順次連接四邊形

四邊的中點得四邊形4員。3。3,…，按此規(guī)律得到四邊形4紇Q9.若矩

形44GA的面積為24,那么四邊形A“B”C”D”的面積為.

Bl

B2G

解析：

由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼?/p>

一半.

師：這道題目的解題思路和例題的第4