高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)

高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)歸

一.集合與簡(jiǎn)易邏輯、推理

集合表示一集合中的關(guān)系一集合運(yùn)算，命題形式一四種命題關(guān)系一充分、必要條件

1.注意區(qū)分集合中元素的形式.如：｛x|y=lgx｝一函數(shù)的定義域：｛y|y=lgx｝一函數(shù)的值域。

2.集合的性質(zhì)：

①任何一個(gè)集合力是它本身的子集，記為4az.

②空集是任何集合的子集,記為0u/.

③空集是任何非空集合的真子集；注意:條件為A^B,在討論的時(shí)候不要遺忘了A=0的情況，

如：〃="|以2—2x—1=0｝,如果/口H+=0,求a的取值.(答：?<0)

④含〃個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)為2"；真子集(非空子集)個(gè)數(shù)為2"-1；非空真子集個(gè)數(shù)為

2"-2.

3.補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問(wèn)題。

如：已知函數(shù)已(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在區(qū)間[—1,1]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使

/'(c)>0,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.(答：(—3：))

2

若存在aG[l,3],使得不等式af+(k2)方2>0成立，則實(shí)數(shù)x取值范圍是

解：不等式即(x2+x)a—2x—2>0,設(shè)/(a)=(f+x)a—2x—2.研究“任意ad[l,3],恒有

/(I)>0,,

/(0>0”.則，］’,解得X€(—OO,—l)U(2,+8)。則實(shí)數(shù)X的取值范圍是［—1,2］.

/(3)>0

4.四種命題：

⑴原命題：若p則q；⑵逆命題：若q則P；⑶否命題：若「p則「q；⑷逆否命題：若則

注：1。原命題與等價(jià)；逆命題與否命題等價(jià)。判斷命題真假時(shí)常常借助判斷其的真假。

2.愈題的貪定是“P命題的韭P命題，也就是'—不變，僅否定______'所得命題"，但否命

題是“既否定原命題的，又否定原命題雨命題pnq否樂(lè)

形式是p至命題是命題"p或(?”的否定是“力且F”；“p且q”的否

定是或「q”.

5.常見(jiàn)結(jié)論的否定形式

原結(jié)論否定原結(jié)論否定

是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有

都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)

大于不大于至少有〃個(gè)

至多有〃-1個(gè)

小于至多有〃個(gè)

不小于至少有附+i個(gè)

對(duì)所有X,成立存在某X,不成立3且F

對(duì)任何X,不成立存在某X,成立p且q或F

6.全稱命題與特稱命

題

短語(yǔ)“所有”在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)V表示。含有全體

量詞的命題，叫做全稱命題。

短語(yǔ)“有一個(gè)”或“有些”或“至少有一個(gè)”在陳述中表示所述事物的個(gè)體或部分，邏輯中通常叫做

存在量詞，并用符號(hào)三表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。

7.對(duì)集合4B,AC\B^0“極端”情況：；

/￡8<=>HClB=力=4UB=8"極端"情況：:

8.充要條件

（1）定義法一一正、反方向推理。關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論（劃主謂賓），由條件可推出結(jié)論，條

件是結(jié)論成立的充分條件：由結(jié)論可推出條件，則條件是結(jié)論成立的必要條件。：

（2）集合解釋，/="|%滿足條件0}8={刈》滿足條件4}

9.命題真假

“或命題”的真假特點(diǎn)是“一真即真，要假全假”；

“且命題”的真假特點(diǎn)是“一假即假，要真全真”；

“非命題”的真假特點(diǎn)是“一真一假”

10.類比推理的一般步驟：

（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性：

（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）；

（3）一般地，事物之間各個(gè)性質(zhì)之間并不是孤立存在的，而是相互制約的。如果兩個(gè)事物在某些性

質(zhì)上相同或類似，那么它們?cè)诹硪恍┬再|(zhì)上也可能相同或類似，類比的結(jié)論可能是真的；

（4）在一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出

的命題就越可靠。

注意：歸納推理是由部分到整體，山個(gè)別到一般的推理;類比推理是特殊到特殊的推理。

11.“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：

⑴大前提--------已知的一般結(jié)論；⑵小前提----------所研究的特殊情況；

⑶結(jié)論--------根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況得出的判斷。

12.證明

⑴直接證明：綜合法又叫順推法或由因?qū)Ч?。分析法乂叫逆推證法或執(zhí)果索因法。

用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因；

分析法的書(shū)寫(xiě)格式：要證明命題B為真，只需要證明命題為真，

從而有……，這只需要證明命題為真，從而又有……

這只需要證明命題A為真，而已知A為真，故命題B必為真。

綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出

所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法，

用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論

的一種證明方法。

⑵反證法的步驟：

D假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；

2）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過(guò)推理論證，得出矛盾；

3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。

注意：可能出現(xiàn)矛盾四種情況：①與題設(shè)矛盾；②與反設(shè)矛盾.；③與公理、定理矛盾④在證明過(guò)程中，

推出自相矛盾的結(jié)論。

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二.函數(shù)

函數(shù)概念一函數(shù)圖象一函數(shù)性態(tài)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)、對(duì)稱性、周期性）一特殊函數(shù)圖象與性質(zhì)

一應(yīng)用（內(nèi)部應(yīng)用、應(yīng)用題）

1.映射

①映射/：/-8是：⑴“?對(duì)一或多對(duì)一”的對(duì)應(yīng)；

⑵N中元索必仃象且/中不同元素在8中可以有相同的象：B中元素不一定有原象（即象集工5）.

②一一映射f：ATB：⑴“一對(duì)一”的對(duì)應(yīng)：⑵“中不同元素的象必不同，B中元素都有原象.

2.函數(shù)/：/-3是特殊的映射.特殊在定義域/和值域8都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與x軸的垂線至多有-

個(gè)公共點(diǎn)，但與y軸垂線的公共點(diǎn)可能沒(méi)有,也可能有任意個(gè).

3.函數(shù)的三要素：定義域,值域,對(duì)應(yīng)法則.研究函數(shù)的問(wèn)題一定要注意定義域優(yōu)先的原則.

4.求定義域：

使函數(shù)解析式有意義(如:分母*0;偶次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；

對(duì)數(shù)真數(shù)>0,底數(shù)>0且*1；如lgx<l的解集：0<x<10；卜=加工單調(diào)增區(qū)間(0,+00)；

零指數(shù)案的底數(shù)70；

實(shí)際問(wèn)題有意義；若/(x)定義域?yàn)閇。,切，復(fù)合函數(shù)/[g(x)]定義域由。4g(x)46解出：若/[g(x)]定義域?yàn)?/p>

[a,b],則/(x)定義域相當(dāng)于xe[a,b]時(shí)g(x)的值域.

5.求值域常用方法：

①配方法(二次函數(shù)類)；②導(dǎo)數(shù)法(一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù))；③換元法(特別注意新元的范圍).④三角有界法：轉(zhuǎn)

化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來(lái)求值域；⑤不等式法；⑥單調(diào)性法；⑦數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的兒何意義，

利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)求值域；⑧判別式法(慎用)

6.求函數(shù)解析式的常用方法：

⑴待定系數(shù)法(已知所求函數(shù)的類型)；⑵代換(配湊)法；

⑶方程的思想一一對(duì)已知等式進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于/(X)及另外一個(gè)函數(shù)的方程組；

(4)坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法。

7.函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性

⑴函數(shù)有奇偶性的必要條件是其定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，確定奇偶性方法有定義法、圖像法等；⑵若/(%)是偶函數(shù)，

那么/(%)=/(-%)=/(|x|)；定義域含零的奇函數(shù)必過(guò)原點(diǎn)(/(0)=0)：

⑶判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式：f(x)±/(-*)=0或/(-9=±1(/*)#0)；

f(x)

注意：若判斷較為復(fù)雜解析式函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先化簡(jiǎn)再判斷；既奇又偶的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)

(如f(x)=0定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可).

(5)奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性：

⑹確定函數(shù)單調(diào)性的方法有定義法、導(dǎo)數(shù)法，以及圖像法和特值法(用于小題)等；

⑺復(fù)合函數(shù)單調(diào)性由“同增異減”判定.(提醒：求單調(diào)區(qū)間時(shí)注意定義域)

如：函數(shù)卜=1。81(——+2工)的單調(diào)遞增區(qū)間是.(答：(1,2))

2

函數(shù)y=x-1的單調(diào)增區(qū)間是.(答：(-8,0)和(0,+8))你能畫(huà)出圖像嗎？

X

8.函數(shù)圖象的幾種常見(jiàn)變換

⑴平移變換：左右平移一一“左加右減”(注意是針對(duì)X而言)：上下平移一一“上加下減”(注意是針對(duì)/(X)而

三)

/翻折變換：/(x)f/(x)|；/(x)^/(|x|).

⑶對(duì)稱變換：①證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性,即證圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上.

②函數(shù)y=/(x)與y=—/(-%)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

③函數(shù)y=/(x)與y=/(—x)的圖像關(guān)于直線x=0(y軸)對(duì)稱：函數(shù)歹=/(x)與函數(shù)y=/(—x)的圖像關(guān)于直線

y=0(x軸)對(duì)稱：

④函數(shù)y=/(x)對(duì)xeR時(shí)，f(a+x)=-x)或/(x)=/(2。一x)恒成立，則y=/(x)圖像關(guān)于直線x=。對(duì)稱;

⑤若V=f(x)對(duì)xeR時(shí)，f(a+x)=f(b-x)恒成立,則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a—對(duì)稱；

2

h—d

⑥函數(shù)y=j\a+x),y=/(b—x)的圖像關(guān)于直線工=----對(duì)稱(由。+工=6-%確定)；

2

9.函數(shù)的周期性：⑴若y=/(x)對(duì)x-7?時(shí)/(x+a)=/(x-a)恒成立,則f(x)的幫颯21al；

⑵若y=/W是偶函數(shù),其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，貝ijf(x)的周期為21。|；

⑶若y=/(x)奇函數(shù),其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則/(x)的周期為41a|；

⑷若y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對(duì)稱,則/(%)的周期為21a—b|；

(5)y=/(x)對(duì)XEH時(shí)，/'(工+。)=一/(%)或/(工+。)=-1，則y=1(x)的周期為2|a|；

f(x)

10.對(duì)數(shù)：⑴log”b=log?b"(a>O.a*l,b>0,〃eR+)；

⑵對(duì)數(shù)恒等式/小=N(a>0,a/1,N>0)：

M

⑶log“(M-N)=log?M+log"N;log。一=log"M-lognN;log(,M"=nlogHM；

log“俑=!log“M；⑷對(duì)數(shù)換底公式log,N=108色(。>0,。*1/>0力片1)；

nlog方a

推論：log?blogbc?log,4=1nlog”%.log%a3……log4Ta"=10§?,a?-

(以上A/>0,N>OM>0,。wl,b〉0,6w1,。>0,cw1,%,%,>0且《，生,…?！熬坏扔?)

11.方程％=/(x)有解=%E。(。為/(%)的值域)；a>/*)恒成立oaN［/(X)］最大值，

。4/(X)恒成立<=>a<［/(x)］顯小值.

12.恒成立問(wèn)題的處理方法：⑴分離參數(shù)法(最值法)；⑵轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問(wèn)題；

1).恒成立問(wèn)題

若不等式/(x)>A在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于:

若不等式,/,(X)<B在區(qū)間D上恒成立,等價(jià)于/(x)皿<B.

2).能成立問(wèn)題

若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式/(x)>A成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上/(x)mis>A；

若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)X使不等式/(x)<B成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上的.

3).恰成立問(wèn)題：恒成立最值法,如：。最大值，則。>/(x)恒成立.。</(%)最小值，則a</(x)恒成立.

若不等式/(x)>A在區(qū)間D上恰成立，則等價(jià)于不等式/(x)>A的解集為D；若不等式/(x)<B在區(qū)間D上恰

成立，則等價(jià)于不等式/(x)<8的解集為。.13.處理二次函數(shù)的問(wèn)題勿忘數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求

最值問(wèn)題用“兩看法”：

一看開(kāi)口方向；二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系：

14.二次函數(shù)解析式的三種形式：①一般式：/(x)=a?+bx+cmxO)；②頂點(diǎn)式：

2

f(x)=a(x-h)+k(a*0)；③零點(diǎn)式：f(x)=a(x-x,)(x-x2)(a0).

15.?元二次方程實(shí)根分布:先畫(huà)圖再研究△>()、軸與區(qū)間關(guān)系、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)；

16.復(fù)合函數(shù)：⑴復(fù)合函數(shù)定義域求法：若/(x)的定義域?yàn)椋?句,其復(fù)合函數(shù)/［g(x)］的定義域可由不等式

a4g(x)4b解出;若/［g(x)］的定義域?yàn)榍?(x)的定義域，相當(dāng)于xw［。,勾時(shí)，求g(x)的值域；⑵復(fù)合函數(shù)

的單調(diào)性由“同增異減”判定.

17.函數(shù)y="±e(crO,“i/Hbc)的圖像是雙曲線：①兩漸近線分別直線x=-且(由分母為零確定)和直線

cx+ac

y=9(由分子、分母中x的系數(shù)確定)：②對(duì)稱中心是點(diǎn)(-d,@)：③反函數(shù)為了=比辿；

cccex-a

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三.不等式、線性規(guī)劃、算法

1.掌握課本上的幾個(gè)不等式性質(zhì)，注意使用條件，另外需要特別注意：

①若ab>0,6〉。，則1>1.即不等式兩邊同號(hào)時(shí),不等式兩邊取倒數(shù),不等號(hào)方向要改變.

ab

②如果對(duì)不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)代數(shù)式,要注意它的正負(fù)號(hào),如果正負(fù)號(hào)未定,要注意分類討論.

③取倒數(shù)：Q<6<0Oa>h>0<^>o<-<-；如一1<，<2,等價(jià)于一1<!<0或0<，<2

ababxXX

2.掌握幾類不等式(一元一次、二次、絕對(duì)值不等式、簡(jiǎn)單的指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式)的解法，尤其注意用分類討論的思想解含

參數(shù)的不等式；勿忘數(shù)軸標(biāo)根法，零點(diǎn)分區(qū)間法.______

3.掌握重要不等式，(1)均值不等式：若a,b>0,則2而NJ，(當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào))使用條

一十一

ab

件：“一正二定三相等”，常用的方法為:拆、湊、平方等;

222

(2)a,b9ceR,a+b+c>ab+be+ca(當(dāng)且僅當(dāng)。=6=c時(shí)，取等號(hào));

22

(3)公式注意變形如：4^匕>(―),ah<(―):若a>b>0,m>0,則<2t2(真分?jǐn)?shù)的性質(zhì))；

222aa+m

4.證明不等式常用方法:

⑴比較法：作差比較：/-8400/48.注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以通過(guò)它們的平方差來(lái)比較大??；⑵

綜合法：由因?qū)Ч?；⑶分析法：?zhí)果索因.基本步驟：要證…需證…，只需證…；⑷反證法：正難則反；

⑸放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的.

放縮法的方法有：①添加或舍去一些項(xiàng)，如：7771>ia?；向麗〉〃?②將分子或分母放大(或縮小)③利用基本不

等式，如：+1)<”+("+1).④利用常用結(jié)論:1°=r—!一L〈二;

2\/k+\+yjk2\lk

2°1一—!_=_!_<二<_!_=」—一」(程度大)；3°】<，_=!(」———1—)(程度小);

k&+1(*+1)及k2(k-\)kk-\kkk2k-l氏+1

⑹換元法：減少不等式中變量，以使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元、代數(shù)換元.

,,,?V2八

如：知x+y'=a，可設(shè)x=acos6,y=asin。；,+，可設(shè)％=ocos。/=6sin。；

6.(1)一元二次不等式g?+bx+c>0(aH0)或ax?+6x+c<0(aw0)二>分a>0及a<0情況分別解

之，如設(shè)a>0,是方程ax2+bx+c=0的兩實(shí)根，且玉<々，則其解集如下表:

ax2++c>0ax2+bx+c>0ax2+bx+c<0ax2++cK0

{x|x<x<x}

A>0{x1XV項(xiàng)或X>}{x[x(X]或xN/}{x|Xj<x<x2}12

r.b、{x|x=一，}

A-0{x\x^--}R歲

2a2a

R

A<0R</>。

如解關(guān)于x的不等式：ax2-(<7+l)x+1<0.

⑵指數(shù)不等式a,M>ag(JC)=>(1)當(dāng)a>l口寸，/(x)>g(x)；(2)當(dāng)0<a<l時(shí)，/(x)<g(x)；

[g(x)>0/(x)>o

對(duì)數(shù)不等式kg/(x)>kg,g(x)=(1)當(dāng)a>1時(shí)，\；(2)當(dāng)0<a<l時(shí)，

/(x)>g(x)/(X)<g(x)

7.線性規(guī)劃

二元一次不等式Nx+By+C>0表示Nx+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域。我們把直線畫(huà)成虛線以表

示區(qū)域不包括邊界直線。不等式Ax+By+C>Q所表示的平面區(qū)域邊界線畫(huà)成實(shí)線。

說(shuō)明：⑴取一個(gè)特殊點(diǎn)(鼻,%)，從』Xo+圾o+C的正負(fù)即可判斷4r+為+。>0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域。

(2)當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)位于直線與+耳％+。=0兩側(cè)，(4再+6%+C)(4*2+故2+。)<0(或<0)

(3)求z=d%+勿+C的最大值，將直線/():ar+勿+C=0平移正方向服從〃=(a,b)；

(4)/〉0Zx+6y+C>0表示直線的右側(cè)；8〉0++C>0表示直線上方；

(5)二元?次不等式表示的平面區(qū)域：

①法一：先把二元一次不等式改寫(xiě)成歹>"+6或y〈h+6的形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的

卜方區(qū)域；法二：用特殊點(diǎn)判斷；②無(wú)等號(hào)時(shí)用虛線表示不包含直線/，有等號(hào)時(shí)用實(shí)線表示包含直線/；

③設(shè)點(diǎn)尸(X”乂)，0(々,%),若2%+繪1+。與4^+繪2+。同號(hào)，則「，Q在直線/的同側(cè)，異號(hào)則在直

線/的異側(cè)。如已知點(diǎn)A(—2,4),B(4,2),且直線/：?="-2與線段AB恒相交，則左的取值范圍是

(6)線性規(guī)劃問(wèn)題中的有關(guān)概念：

①滿足關(guān)于的一次不等式或?次方程的條件叫線性約束條件。

②關(guān)于變量的解析式叫目標(biāo)函數(shù)，關(guān)于變量X,y一次式的目標(biāo)函數(shù)叫線性目標(biāo)函數(shù)；

③求目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，稱為線性規(guī)劃問(wèn)題；

④滿足線性約束條件的解(x,y)叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域；

⑤使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解：

(7)求解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟是什么？

①根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的約束條件列出不等式；②作出可行域，寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)；

③確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解。

8.算法

1.季序框圖：

①終端框（起止況）；3/輸入、輸出框；⑥°連接點(diǎn)。

<1）輸入語(yǔ)句的格式：INPUT"提示內(nèi)容”；變量

（2）輸出語(yǔ)句的一般格式：PRINT”提示內(nèi)容”；表達(dá)式，例如：PRINT"S="；S

（3）賦值語(yǔ)句的一般格式：變量=表達(dá)式作用：賦值語(yǔ)句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量:

（4）條件語(yǔ)句

“IF—THEN—ELSE”語(yǔ)句格式:“IF—THEN”語(yǔ)句格式:

IF條件THENIF條件THEN

語(yǔ)句1

語(yǔ)句

ELSEENDIF

語(yǔ)句2

（5）循環(huán)語(yǔ)句

當(dāng)型（而LE型）語(yǔ)句的一般格式為：直到型（UNTIL型）語(yǔ)句的一般格式為：

WHILE條件DO

循環(huán)體循環(huán)體

說(shuō)明：當(dāng)型循我魏“前測(cè)試型”循環(huán),也就是我們經(jīng)常講超硬測(cè)牌%行條中“先判斷后循環(huán)”.

循環(huán)結(jié)構(gòu)分為：I.當(dāng)型（while型）——先判斷條件，滿足則執(zhí)行循環(huán)體，一直到不滿足就退出；

II.直到型（until型）一先執(zhí)行一次循環(huán)體，再判斷條件不滿足就循環(huán)，直到滿足就退出。

高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)歸類

四.數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法

1.由求.注意驗(yàn)證q是否包含在后面q,的公式中，若不符合要單獨(dú)列

〔S,-S“T（〃N2,〃eN）

出.如：數(shù)列｛（｝滿足q=4,S.+S“+|=：<7,用，求a“（答：4

2.等差數(shù)列｛?！ǎ齩an-an_｝=d（d為常數(shù)）=2an=an+｝+an_1（n>2,nEN*）

=a=cm+b（a=d,b=%—d）=S=An2+Bn（A==

22

3.等差數(shù)列的性質(zhì)：①4=am+（n-m）d,d=乜曰；

m-n

②加+〃=/+A=>+a“=q+可.（反之不一定成立）；特別地，當(dāng)》?+〃=2p時(shí)，有a,”+/=2%；

③若｛%｝、｛4｝是等差數(shù)列,則依4+仍“｝（k、t是非零常數(shù)）是等差數(shù)列；

④等差數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列”即Sm,S2m-S?,,S.m-S2m,……仍是等差數(shù)列；

⑤等差數(shù)列｛q｝,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2〃時(shí)，S儡一S奇=,匹=2；項(xiàng)數(shù)為2〃一1時(shí)，

S偶an+i

S偶-S奇=&=a"（"eN*）,$2時(shí)|=（2〃-1）4，且&=_1_；殳=/（"）=>&=/（2〃-l）.

S偶n—\紇b”

a>0

⑥首項(xiàng)為正(或?yàn)樨?fù))的遞減(或遞增)的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大(或最小)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為解不等式《n(或

9用40

<0

"一).也可用+的二次函數(shù)關(guān)系來(lái)分析.

“+R0

⑦若an=m,am=n(m豐〃),則am+?=0；若S“=在5叫=n(m豐〃)，則Sm+?=-(m+〃)；

若S1n=Sn(mri),則S““=0；S3.=3(S2.-S.)：Sm+n-Sm+Sn+mud.

n

4.等比數(shù)列｛qj=—=q(qW0)oa：=。，一⑼用(n>2,weN*)oan=ayq''.

5.等比數(shù)列的性質(zhì)

m

①an=amq"-,q=K；②若｛a,,｝、｛b,,｝是等比數(shù)列，則｛hz〃｝、｛anbn｝等也是等比數(shù)列；

町(g=D町(g=l)

③Sn=,%(1-g")_?°；@m+〃=/+%=a,“a“=馬心(反之不一定成

__l_g”+

i-q1-q1-q

mn

立)；Sm+?=Sm+qS?=S?+qSm.⑤等比數(shù)列中-S-S3nl-S?*,……(注：各項(xiàng)均不為0)仍是等

比數(shù)列.⑥等比數(shù)列｛4｝當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2〃時(shí)，$更=q；項(xiàng)數(shù)為2〃-1時(shí)，=江=?.

S奇S偶

6.數(shù)列的通項(xiàng)的求法：⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式.

S[,(〃=1)

⑵已知S“(即q+兄+…+4=/(〃))求凡用作差法：dn=\

7(1),(^=1)

⑶已知勾?a,.......?！?/(〃)求為用作商法：%《/(〃)e>2).

⑷若a?+1-a?=/(〃)求an用迭加法.⑸己知也=/(?),求an用迭乘法.

⑹已知數(shù)列遞推式求％,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)：①形如an=kh+b,a“=kan_,+h",

a“=k*+a?〃+b(A,6為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為％的等比數(shù)列后，再求a“.

②形如a?=a"-'的遞推數(shù)列都可以用“取倒數(shù)法”求通項(xiàng).

ka?-\+h

提醒：(D求等比數(shù)列前〃項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比q是否為1,再由q的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判

斷公比q是否為1時(shí)，要對(duì)q分q=1和q#1兩種情形討論求解。但是用整體思想可以不免討論：

如：設(shè)等比數(shù)列｛4“｝的公比為夕，前〃項(xiàng)和為S“，若5”十1,5“，5“+2成等差數(shù)列，則4的值為；

(2)不要忽視對(duì)于”=1的驗(yàn)證：

3(”=1)

已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S“滿足log2(S“+1)=〃+1,求數(shù)列｛a,J的通項(xiàng)公式。an=<

2"(n>2)

n!

已知數(shù)列｛a”｝,滿足。i=l,a『ai+2a2+3。3+…+(〃-則｛a“｝n》2的.通項(xiàng)一

2

(3)用構(gòu)造法新構(gòu)造出來(lái)的數(shù)列的首項(xiàng)容易搞錯(cuò)

1

已知數(shù)列｛a,,｝滿足q=\,an—3a+3"\n>2),求an.an—n3"

(4)待定系數(shù)法求通項(xiàng)注意設(shè)元技巧

,,+1

設(shè)q=1,an+l=2an+“+1。求｛a.｝的通項(xiàng)公式；；.an=2-n—2

+1M+2

已知數(shù)列｛a.｝滿足q=l,a?=3"+2a”_](〃-2).求a?.an=3"-2

7.數(shù)列求和的方法：①公式法：等差數(shù)列,等比數(shù)列求和公式；②分組求和法；③倒序相加：④錯(cuò)位相減：⑤分

1

裂通項(xiàng)法.—：-一-)；---=-[——_-一一]：

網(wǎng)〃+1)nn+ln(n+k)knn+kn(n-lX?+l)2網(wǎng)〃+1)(n+lX?+2)

---=——————常見(jiàn)放縮公式：2('>/w+1—>/n)=—r—―—-r-<[「<”]"2[?=2(&—《"-I'.

(?+1)!n\(n+1)!yjn+1+vnJ"vw+\ln-1

8.求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)

“首正”的遞減等差數(shù)列中，前八項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和：“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前”項(xiàng)和的最小值是

所有非正項(xiàng)之和。法一:由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前〃

項(xiàng)是關(guān)于〃的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求：次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性〃eN*

9.利率問(wèn)題：①單利問(wèn)題：如零存整取儲(chǔ)蓄（單利）本利和計(jì)算模型：若每期存入本金p元，每期利率為人則〃

期后本利和為：S“=p（l+r）+Ml+2廠）+…Ml+〃r）=P（"+險(xiǎn)土”廠）（等差數(shù)列問(wèn)題）；②復(fù)利問(wèn)題：按

2

揭貸款的分期等額還款（復(fù)利）模型：若貸款（向銀行借款）p元,采用分期等額還款方式，從借款日算起,一期（如一年）

后為第一次還款日，如此下去，分〃期還清.每期利率為r（按復(fù)利），那么每期等額還款x元應(yīng)滿足：

p（l+r）n=x（l+r）"~'+x（l+r）"-2+---+x（l+r）+x（等比數(shù)列問(wèn)題）.

10.數(shù)學(xué)歸納法公理：

如果（1）當(dāng)〃取第一個(gè)值%（例如%=1,2等）時(shí)結(jié)論正確；

（2）假設(shè)當(dāng)〃=左（kGN*,且左2%）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)〃=左+1時(shí)結(jié)論也正確.

那么，命題對(duì)于從％開(kāi)始的所有正整數(shù)〃都成立.

注意：（1）這兩個(gè)步驟是缺一不可的.數(shù)學(xué)歸納法的步驟（1）是命題論證的基礎(chǔ)，步驟（2）是判斷命題的正確性能否遞

推卜去的保證；

（2）在數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵，在第二步，即〃=人+1時(shí)為什么成立？n=k+1時(shí)成立是利用假設(shè)n=k

時(shí)成立，根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證〃=左+1出時(shí)成立，而不是直接代入，否則〃=%+1時(shí)也

成假設(shè)了，命題并沒(méi)有得到證明；

（3）用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問(wèn)題，但并不是所有的正整數(shù)問(wèn)題都是用數(shù)學(xué)歸納法證明，學(xué)習(xí)時(shí)要具體問(wèn)題

具體分

（4）游戲:在一個(gè)平面上擺一排破（每塊磚都豎起），假定這排秘有無(wú)數(shù)塊，我們要使所有的病都倒下，只要做兩件

事就行了.第一，使第?塊磚倒下；第二，保證前一塊磚倒下后一定能擊倒下一塊磚.

高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)歸類

五.三角函數(shù)

1.a終邊與e終邊相同oa=，+2Z乃（ZwZ）；

2.孤長(zhǎng)公式：扇形面積公式：s1a脛=；＞=；|用產(chǎn)；1弧度（上次/）-57.3°.

3.角函數(shù)定義：角a中邊上任意一點(diǎn)尸為（x,y）,設(shè)|。尸|=r則：sina=—,cosa=—,tana=—

rrx

三角函數(shù)符號(hào)（“正號(hào)”）規(guī)律記憶口訣：“全二正弦，三切四余弦”.

注意：tanl5°=cot75°=2-6：tan75°=cot15°=2+73；

三角函數(shù)線的特征是：

正弦線“站在x軸上（起點(diǎn)在x軸上）”、

余弦線“躺在x軸上（起點(diǎn)是原點(diǎn)）”、

正切線”站在點(diǎn)/（1,0）處（起點(diǎn)是A）''.

4.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：①sin（a±￡）=sinacos夕土cosasS尾網(wǎng)"

②cos(a士￡)=cosacos/?工sinasin/?：③tan(a±6)-tana士tan尸。④

1+tantan0

22tana

sinla=2sinacosa；⑤cos2a=cosa—sin2anZcoLa-lul-ZsiOa；⑥1an2a

1-tan2a

5.對(duì)于誘導(dǎo)公式，可用“奇變偶不變，符號(hào)看象限”概括；（注意：公式中始終視a為銳角）誘導(dǎo)公式

k

（一萬(wàn)+a）可簡(jiǎn)記為：奇變偶不變，符號(hào)看象限.其中奇是指.偶是指.變

2

是指.看符號(hào)時(shí)要將a(不論具體是多少度)一律視為銳角.

6.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路是：

①.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。(1)常值代換：特別是用“1”的代換

(2)項(xiàng)的分拆與角的配湊。分拆項(xiàng)：sin2x+2cos?x==l+cos2x；

oc+Boi--B

配湊角：a=(a+P)-P,B=———--------匕等。

22

(3)降次與升次。即倍角公式降次與半角公式升次。

(4)化弦(切)法。(5)引入輔助角。asinO+bcosOnJa?+6?sin(O+Q),角的值由確定。

②證明三角等式的思路和方法。

(1)思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。

(2)證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。

③證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位

圓三角函數(shù)線及判別法等。

④解答三角高考題的策略：(1)發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行“差異分析”。

(2)尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。

(3)合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓剑偈共町惖霓D(zhuǎn)化。“一角二名三結(jié)構(gòu)”。即首先觀察角與角之間的關(guān)系；第二看函數(shù)名

稱之間關(guān)系，通?！扒谢摇?；第二觀察代數(shù)式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。角的變換：已知角與特殊角、已知角與目標(biāo)角、已知角與其倍角

或半角、兩角與其和差角等變換.如：a={a+p)-p；2a=(a+p)+(a-/3)：2a=(j3+ci)-(j3-c^a+；

竺^=(a-‘)一等；"1"的變換：I=sin2x+cos2x=tanx-cotx=2sin30o=tan45°；sin<7+cosa

222

sina-cosa、sina?cosa三者中任何一個(gè)，都可以視為一個(gè)整體，通過(guò)換元、平方等手段，互相轉(zhuǎn)化。

7.重要結(jié)論：asinx+6cosx=+—sin(x+s)其中tans=')；重要公式sin?a=,儂”；

a2

21+cos2aasina1-cosa/----------/0,.0、2,0,?.

cosa=--------；tan—=---------=---------；V1±sin6>=A/(cos-±sin-)=|cos-±sin-|.

221+cosasinaV2222

?c2tana。1-tan2a,2tancr

萬(wàn)能公式：sin2a=------；cos2a=------「：tannla=------.

I+tan~a1+tan-aI-tana

正弦型曲線y=/sin(ox+e)的對(duì)稱軸x="*—一夕什.Z)：對(duì)稱中心(把二堂,0)(*eZ)：

a)(0

k冗_(dá)fnk兀+(P

余弦型曲線y=^C0S(GX+e)的對(duì)稱軸x=------(A：GZ);對(duì)稱中心(2,0)(^GZ)；

CD(O

8.函數(shù)歹=/sin(3x+e)圖象的畫(huà)法：

①“五點(diǎn)法”一一設(shè)X=0x+>,令X=0,工，匹吻,2萬(wàn)求出相應(yīng)的X值，計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象：

22

②圖象變換法：將y=si/ix圖象上的點(diǎn)沿x軸向(伊>0)或向(°<0)平移個(gè)單位，得到函數(shù)

的圖象，再將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)(或縮短)到原來(lái)的倍，到函數(shù)的圖象，最后將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(或縮短)到原來(lái)的

倍，得到y(tǒng)=/s加(mv+o)簡(jiǎn)圖.

9.運(yùn)用整體思想研究對(duì)稱問(wèn)題

研究三角復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱性的通法，一般是將其化歸成研究基本三角函數(shù)y二sina、y=cosay=tana的對(duì)

rr

稱性，y=tanx圖像無(wú)對(duì)稱軸，對(duì)稱中心是(右r,0)或伏萬(wàn)+萬(wàn),0)注意正切函數(shù)對(duì)稱中心有兩個(gè)。

求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問(wèn)題的通法是，直接觀察基本三角函數(shù)丁=sinx、y=cosa、y=tan(z的單調(diào)區(qū)間，從而得

到三