專題07 與三角形有關(guān)的線段壓軸題型全攻略（解析版）四川成都七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)-

專題07與三角形有關(guān)的線段壓軸題型全攻略【例題精講】例1.（等積轉(zhuǎn)化）如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊BC，AC上一點(diǎn)，BD＝2CD，AE＝CE，連接AD，BE交于點(diǎn)F，若△ABC的面積為18，則△BDF與△AEF的面積之差S△BDF﹣S△AEF等于（

）A．3 B． C． D．6【答案】A【分析】由△ABC的面積為18，根據(jù)三角形的面積公式和等積代換即可求得．【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴，∴①，同理，∵，，∴，，∴，∴②，由①-②得：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的面積及等積變換，解答此題的關(guān)鍵是等積代換．例2．（中線與高線綜合）【問(wèn)題情境】如圖1，是的中線，與的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作邊上的高，根據(jù)中線的定義可知．又因?yàn)楦呦嗤?，于是．?jù)此可得結(jié)論：三角形的一條中線平分該三角形的面積．

【深入探究】（1）如圖2，點(diǎn)在的邊上，點(diǎn)在上．①若是的中線，求證：；②若，則______．【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長(zhǎng)四邊形的各邊，使得點(diǎn)、、、分別為、、、的中點(diǎn)，依次連結(jié)、、、得四邊形．①求證：；②若，則______．【答案】（1）①證明見解析；②；（2）①證明見解析；②【分析】（1）①根據(jù)中線的性質(zhì)可得，點(diǎn)為的中點(diǎn)，推得是的中線，，即可證明；②設(shè)邊上的高為，根據(jù)三角形的面積公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可證明；（2）①連接，，，根據(jù)中線的判定和性質(zhì)可得，，，，推得，，即可求得，即可證明，②由①可得，同理可證得，根據(jù)，即可推得，即可求解．【詳解】（1）①證明：∵是的中線，∴，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴是的中線，∴，∴，即；②，解：設(shè)邊上的高為，則，，∵，∴，同理，則，即，∴．（2）①證明：連接，，，如圖：

∵點(diǎn)、、、分別為、、、的中點(diǎn)，∴，，，分別為，，，的中位線，∴，，，，∴，∵，即；②15，解：由①可得，同理可證得，，即，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握三角形的一條中線把原三角形分成兩個(gè)等底同高的三角形是題的關(guān)鍵．例3．（高線培優(yōu)）閱讀下列材料：陽(yáng)陽(yáng)同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，是的高，是邊上一點(diǎn)，、分別與直線，垂直，垂足分別為點(diǎn)、．求證：．陽(yáng)陽(yáng)發(fā)現(xiàn)，連接，有，即．由，可得．他又畫出了當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且上面問(wèn)題中其他條件不變時(shí)的圖形，如圖2所示，他猜想此時(shí)、、之間的數(shù)量關(guān)系是：．請(qǐng)回答：（1）請(qǐng)補(bǔ)全陽(yáng)陽(yáng)同學(xué)證明猜想的過(guò)程；證明：連接．________，________________．，．（2）參考陽(yáng)陽(yáng)同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：在中，，是的高．是所在平面上一點(diǎn)，、、分別與直線、、垂直，垂足分別為點(diǎn)、、．①如圖3，若點(diǎn)在的內(nèi)部，猜想、、、之間的數(shù)量關(guān)系并寫出推理過(guò)程．②若點(diǎn)在如圖4所示的位置，利用圖4探究得此時(shí)、、、之間的數(shù)量關(guān)系是：_______．（直接寫出結(jié)論即可）【答案】（1）S△APB；PN；PM；（2）①BD＝PM＋PN＋PQ，證明見解析②BD＝PM＋PQ?PN．【分析】（1）根據(jù)圖形，結(jié)合閱讀材料填寫即可；（2）①連接AP、BP、CP，根據(jù)S△ABC＝S△APC＋S△APB＋S△BPC得出AC?BD＝AC?PN＋AB?PM＋BC?PQ，由AB＝AC＝BC，即可得出BD＝PM＋PN＋PQ；②連接AP、BP、CP，根據(jù)S△ABC＝S△APB＋S△BPC?S△APC，得出AC?BD＝AB?PM＋BC?PQ?AC?PN，由于AB＝AC＝BC，即可證得BD＝PM＋PQ?PN．【詳解】解：（1）證明：連接AP．∵S△ABC＝S△APC?S△APB，∴AC?BD＝AC?PN?AB?PM．∵AB＝AC，∴BD＝PN?PM．故答案為：S△APB；PN；PM；（2）①BD＝PM＋PN＋PQ；如圖3，連接AP、BP、CP，∵S△ABC＝S△APC＋S△APB＋S△BPC∴AC?BD＝AC?PN＋AB?PM＋BC?PQ，∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PN＋PQ；②BD＝PM＋PQ?PN；如圖4，連接AP、BP、CP，∵S△ABC＝S△APB＋S△BPC?S△APC．∴AC?BD＝AB?PM＋BC?PQ?AC?PN，∵AB＝AC＝BC，∴BD＝PM＋PQ?PN．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積等，作出輔助線構(gòu)建三個(gè)三角形是解題的關(guān)鍵．例4．（角平分線綜合）如圖①，在中，，平分，于點(diǎn)．試探究與，的數(shù)量關(guān)系．

【探究】小明嘗試代入，的值求的值，得到下面幾組對(duì)應(yīng)值：（單位：度）707580（單位：度）304520（單位：度）2015a（1）上表中________，猜想得到與，的數(shù)量關(guān)系為________；（2）證明（1）中猜想得到的與，的數(shù)量關(guān)系；【應(yīng)用】如圖②，在中，平分，是線段上一點(diǎn)，于點(diǎn)．若，，則的大小為________度；【拓展】如圖③，在中，，平分，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，于點(diǎn)，分別作和的平分線，交于點(diǎn)．設(shè)，，則的大小為__________（用含，的式子表示）．【答案】探究：（1）30，；（2）見解析；應(yīng)用：15；拓展：【分析】探究：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和等于，求得，根據(jù)三角形的角平分線可求得，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可求得，由此即可得到答案；根據(jù)表中三組數(shù)據(jù)即可猜想與，的數(shù)量關(guān)系；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和等于，求得，根據(jù)三角形的角平分線可求得，然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可求得，最后計(jì)算即可證得答案；應(yīng)用：根據(jù)三角形的角平分線可求得，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于，求得，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余即可得到答案；拓展：根據(jù)三角形內(nèi)角和等于，求得，根據(jù)三角形的角平分線可求得，，再根據(jù)三角形的外角定理可求得，進(jìn)一步計(jì)算即可求得答案．【詳解】探究：（1）當(dāng)，時(shí)，，平分，，，，，故答案為：30．根據(jù)表中三組數(shù)據(jù)可猜想與，的數(shù)量關(guān)系為：，故答案為：．（2）證明：，，平分，，，，，，，；應(yīng)用：平分，，，，，，，故答案為：15．拓展：當(dāng)，時(shí)，如圖④，記與交于點(diǎn)M，，平分，，平分，，，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角定理，直角三角形的性質(zhì)，三角形的角平分線，熟知相關(guān)知識(shí)并能靈活運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵．【課后訓(xùn)練】1．如圖，的面積為，，分別是，上的點(diǎn)，且．連接，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則四邊形的面積為．【答案】/【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得出，，繼而得出，設(shè)，由，得出，則，進(jìn)而得出，根據(jù)三角形的面積得出，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵，則，，∴，設(shè)，∵，∴，，∴，∴，則，∴，∴，∵（等底的三角形的面積比等于高的比），∴（等高的三角形的面積等于底的比），即，∴，∵的面積為，∴，∴四邊形的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，掌握三角形的中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，已知為的中線，過(guò)點(diǎn)A作分別交、于點(diǎn)F、E，連接，若，，，則．【答案】84【分析】根據(jù)為的中線，可得，，通過(guò)題中條件可求得，根據(jù)，可得，，設(shè)，則，，故，根據(jù)，列方程，即可解答．【詳解】解：為的中線，，，，，，，，設(shè)，則，，，根據(jù)，列方程，解得，．故答案為：84．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，根據(jù)題中的邊長(zhǎng)之比得出對(duì)應(yīng)的三角形的面積之比是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·重慶沙坪壩·七年級(jí)重慶一中?？计谀┤鐖D，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，連接，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，連接，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接交線段于點(diǎn)，若的面積是12，則的面積是．

【答案】【分析】連接，．由題意中的線段的比和，可推出，，從而可求出，．結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)即得出，從而可求出，進(jìn)而得出，最后即得出，最后即可求出．【詳解】解：如圖，連接，．

∵，，∴，．又∵，∴，．∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即,∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查線段的中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的n等分點(diǎn)的性質(zhì)，與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題．正確的連接輔助線是解題關(guān)鍵．5.如圖1所示的圖形，像我們常見的符號(hào)——箭號(hào)．我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”．探究：（1）觀察“箭頭四角形”，試探究與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；應(yīng)用：（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，若，則；②如圖3，、的2等分線（即角平分線）、相交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù)；拓展：（3）如圖4，，分別是、的2020等分線（），它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則度．【答案】（1），理由見詳解；（2）①30；②；（3）．【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，，再根據(jù)等量代換即可得出答案；（2）①根據(jù)（1）的結(jié)論可得，由此即可得出答案；②先根據(jù)（1）的結(jié)論可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)（1）的結(jié)論即可得；（3）先根據(jù)（1）的結(jié)論可得，再根據(jù)角2020等分線的定義可得，然后根據(jù)（1）的結(jié)論即可得．【詳解】（1），理由如下：如圖，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，由三角形的外角性質(zhì)得：，，則；（2）①由題意得：，由（1）可知，，，，解得，故答案為：30；②由（1）可知，，，，，解得，、分別是、的2等分線（即角平分線），，，又由（1）可知，，即的度數(shù)為；（3）由（1）可知，，，，解得，，分別是、的2020等分線（），，，又由（1）可知，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義、角n等分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），掌握理解角n等分線的定義是解題關(guān)鍵．5．設(shè)的面積為．(1)如圖1，延長(zhǎng)的各邊得到，且，，，記的面積為，則______．（用含的式子表示）(2)如圖2，延長(zhǎng)的各邊得到，且，，，記的面積為，則________．（用含的式子表示）(3)如圖3，P為內(nèi)一點(diǎn)，連接、、并延長(zhǎng)分別交邊、、于點(diǎn)D、E、F，則把分成六個(gè)小三角形，其中四個(gè)小三角形面積已在圖上標(biāo)明，則計(jì)算得到的面積________．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】此題是三角形的綜合題，主要考查了面積及等積變換，利用三角形同高則面積比與底邊關(guān)系分別分析得出是解題關(guān)鍵．（1）利用三角形同高等底面積相等，進(jìn)而求出即可；（2）利用三角形同高不等底面積比為底邊長(zhǎng)的比，進(jìn)而求出即可；（3）利用三角形面積之間關(guān)系得出其邊長(zhǎng)比，得出關(guān)于，的方程求出即可．【詳解】（1）如圖,連接，,，，，同理可得出：，，故答案為:；（2）如圖，連接，，根據(jù)等高兩三角形的面積比等于底之比，，，，同理可得出：，∴；故答案為:；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，即，同理，設(shè)，，，即；，，，又，，，故答案為:．6．在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是射線AC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交直線BD于點(diǎn)F，∠CEF的角平分線所在直線與射線BD交于點(diǎn)G．(1)如圖1，點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)．①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，則∠BGE＝______°；②若∠A＝70°，則∠BGE＝______；③探究∠BGE與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若點(diǎn)E在射線DC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BGE與∠A之間的數(shù)量關(guān)系與（1）③中的數(shù)量關(guān)系是否相同？若不同，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【答案】(1)①50°；②55°；③∠BGE=90°-∠A，理由見解析；(2)不同，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上，∠BGE=∠A；當(dāng)點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，∠BGE=90°+∠A，理由見解析．【分析】（1）①先求出∠FBC=20°，再求出∠EFB=∠CBF=20°，∠C=∠CEF=60°，進(jìn)而求出∠FEG=30°，即可求出∠BGE=50°；②如圖，根據(jù)角平分線的定義得到∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)一步得到∠2=∠C，∠3=∠ABC，即可得到∠BGE=∠2+∠3=∠C+∠ABC=（∠180°-∠A）=55°；③如圖，根據(jù)角平分線的定義得到∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)一步得到∠2=∠C，∠3=∠ABC，即可得到∠BGE=∠2+∠3=∠C+∠ABC=（∠180°-∠A）=90°-∠A；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上，畫出圖形，類比（1）即可求出∠BGE=∠A；當(dāng)點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，畫出圖形，∠BGE=90°+∠A．【詳解】（1）解：（1）①∵BG平分∠ABC，∴∠FBC=∠ABC=20°，∵EF//BC，∴∠EFB=∠CBF=20°，∠C=∠CEF=60°，∵EG平分∠FEC，∴∠FEG=∠FEC=30°，∴∠BGE=∠EFG+∠FEG=50°．故答案為：50；

②如圖，∵BD、EG分別平分∠ABC和∠CEF，∴∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，∵EF//BC∴∠C＝∠CEF，∠3=∠1，∴∠2=∠C，∠3=∠ABC，∴∠BGE=∠2+∠3=∠C+∠ABC=（∠C+∠ABC）=（∠180°-∠A）=（∠180°-70°）=55°．故答案為：55°；③∠BGE=90°-∠A理由：∵BD、EG分別平分∠ABC和∠CEF，∴∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，∵EF//BC∴∠C＝∠CEF，∠3=∠1，∴∠2=∠C，∠3=∠ABC，∴∠BGE=∠2+∠3=∠C+∠ABC=（∠C+∠ABC）=（∠180°-∠A）=90°-∠A；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上，如圖，若GE交BC于點(diǎn)H，由（1）知：∠1＝∠ABC，∠2=∠CEF，∵EF//BC，∴∠CEF=180°-∠C，∴∠2=∠3=（180°-∠C）∵∠1+∠A+∠BDA＝180°，∠3+∠BGE+∠EDG＝180°且∠BDA＝∠EDG，∴∠3+∠BGE=∠1+∠A，∠BGE=∠1+∠A-∠3即∠BGE=