2022-2023學(xué)年北京市房山區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年北京市房山區(qū)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共10小題，共50.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.若角a的終邊經(jīng)過點P（L-2）,則sEa=（）

ArB.—警C.-2D.-l

2.在△ABC中，已知a=2,b=3,C=60°,則c等于（）

A.V-7B.7C.D.19

3.下列命題中，正確的是（）

A.一條直線和一個點確定一個平面B.兩個平面相交，可以只有一個公共點

C.三角形是平面圖形D.四邊形是平面圖形

4.在正方體ABCD-AiBiGDi中，異面直線為8,B】C所成角

的大小為（）

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

5.如圖，在正四棱臺488-&8停也中，。1，。分別為上、下

底面中心，％,E分別為BiG，BC的中點，則下列結(jié)論中錯誤的

是（）

A.OiOCG是直角梯形

B.EiECCi是直角梯形

C.直線40與直線當(dāng)8異面

D.直線30與直線8/異面

6.已知平面直角坐標(biāo)系中的3點2（2,2）,8（6,0）"（0,0）,則448。中最大角的余弦值等于（）

7.在三棱錐U-4BC中，VA,VB,PC兩兩垂直，VA=VB=VC=1,則點U到平面ABC的

距離等于（）

A.1B,c.nD?

8.設(shè)a,0是兩個不同的平面，m,n是兩條不同的直線，且m,nca,則“a〃優(yōu)'是"m〃0

旦MB”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.在△4BC中，若8=34,貝?的取值范圍是（）

a

A.（1,2）B.（2,3）C.（1,3）D.（0,3）

10.如圖，在各棱長均為1的的四面體P-ABC中，E是P力的

中點，Q為直線EB上的動點，則AQ+CQ的最小值為（）

A.J竽

C.

D.2

二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）

11.在△4BC中，若cos4=—楙，貝！IsinA=

12.一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，已知扇形的半徑為3,圓心角為與，則扇形的弧長

等于；該圓錐的體積等于

13.己知一個長方體的8個頂點都在一個球面上，且長方體的棱長為2,3,73,則長方體

的體對角線的長等于;球的表面積等于

14.已知，，機(jī)是兩條不同的直線，a,0是兩個不同的平面，從下列四個條件中選擇兩個作

為已知條件，能夠得到/1a的是.（填入條件的序號即可）

①，〃m；②a〃八@m1a；④，10.

15.如圖所示，在傾斜角等于15。的山坡上有一根旗桿，當(dāng)太陽的太陽光線

仰角是45。時，旗桿在山坡上的影子的長是30米，則旗桿的高等于

米.

16.如圖1,在矩形4BCD中，AB=2AD=2,E為AB的中點，將AADE沿DE折起，點A折

起后的位置記為點41,得到四棱錐BCDE,M為4C的中點，如圖2.某同學(xué)在探究翻折過

程中線面位置關(guān)系時，得到下列四個結(jié)論:

①恒有1&E；②恒有〃平面4DE；

③三棱錐&-DEM的體積的最大值為唱；④存在某個位置，使得平面4DE1平面&CD.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題(本大題共5小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題14.0分)

如圖，在正方體ZBCD-2隹1-。1中,E,尸分別為45,D1Q的中點.

(1)求證：平面。避窗；

(2)求證：D1B1AC；

(3)求證：A,C,E,F四點共面.

18.(本小題14.0分)

在ZiaBC中，A=60°,a=b=2.

⑴求48；

(2)求△ABC的面積.

19.(本小題14.0分)

已知函數(shù)/(x)=sin2x+2cos2x—1.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)當(dāng)xe[0,為時，求/(x)的最小值及取得最小值自變量x的值.

20.(本小題14.0分)

如圖，在四棱錐P—ABCC中，底面4BCD為矩形，平面PADL^W\ABCD,PA1PD,PA=PD,

M為4。的中點.

(1)求證：PM1BC；

(2)求證：平面P48_L平面PCD；

(3)在棱PA上是否存在一點N,使得PC〃平面BMN?若存在，求益的值；若不存在，請說明

理由.

21.(本小題14.0分)

某城市計劃新修一座城市運(yùn)動主題公園，該主題公園為平面五邊形ABCDE(如圖所示)，其中

三角形4BE區(qū)域為兒童活動場所，三角形BCO區(qū)域為文藝活動場所，三角形BDE區(qū)域為球類

活動場所，AB,BC,CD,DE,E4為運(yùn)動小道(不考慮寬度)，/.BCD=^BAE=120°,BC=

CD=2A/-3/cm,DE=8km.

(1)求BD的長度；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求8E的長度；

(3)在(2)的條件下，應(yīng)該如何設(shè)計，才能使兒童活動場所(即三角形/BE)的面積最大？

條件①：COSZ.DBE=|；

條件②：乙CDE=120°.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

B

C

DE

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：?.?點P(l,-2),

?,?%=1,y=-2,\0P\=71+(-2)2=y/~5,

因此'sina=y^=11=-乎-

故選：B.

由角a的終邊經(jīng)過點P(l,-2),利用任意角的三角函數(shù)定義求出sina即可.

此題考查了任意角的三角函數(shù)定義，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.【答案】A

【解析】解：,??在△ABC中，a=2,b=3,C=60°,

二由余弦定理得：c2—a2+b2—2abcosC=4+9—6=7,

則c=<7.

故選：A.

利用余弦定理列出關(guān)系式，將a,b及cosC的值代入即可求出c的值.

此題考查了余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵.

3.【答案】C

【解析】解：對于4一條直線和直線外一點確定一個平面，故A錯；

對于B：兩個平面相交，有一條公共直線，有無數(shù)個公共點，故B錯；

對于C：三角形的兩條邊一定相交，根據(jù)基本事實1的推論2“過兩條相交直線，有且只有一個平

面”，

所以三角形的兩條邊確定一個平面，而第三邊的兩個端點在該平面內(nèi)，

根據(jù)基本事實2“如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，

那么這條直線在此平面內(nèi)”確定第三邊在該平面內(nèi)，故三角形是一個平面圖形，故C正確；

對于。：如圖四邊形4CSB不是平面圖形，故。錯誤.

故選：c.

根據(jù)基本事實1、2和3及基本事實1的推論逐一判斷.

本題主要考查了平面的基本性質(zhì)及推論，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：因為〃久C,所以4。道81為異面直線4道與BiC所成角的平面角,

因為ADiCBi為正三角形，

所以乙DiCBi=60°,

即異面直線&B,BiC所成角的大小為60。.

故選：B.

先通過平行尋找線線角，再根據(jù)解三角形得結(jié)果.

本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題.

5.【答案】D

【解析】解：由棱臺的定義可知可將正四棱臺4BCD-&B1C1D1補(bǔ)全為如圖所示正四棱錐S-

ABCD,

因為。1，。分別為上、下底面中心，所以S、?！俊?。三點共線,

且S。J?底面4BCD,SO1底面&B1GD1，OCu底面力BCD,OQu底面AiBCD],

所以SO1OC,SO1OiG，

又。C〃O1G，且OiG力。c,所以O(shè)1OCG是直角梯形，故A正確；

因為％,E分別為B1G，BC的中點，ASBC與ASBiG均為等腰三角形，且SB=SC,SBLSJ,

所以S&J.B1C1，SE1BC,

又E】G〃EC,EiGAEC,所以EiECG是直角梯形，故B正確；

因為4D〃BC,BiBCBC=B,所以直線4。與直線異面，故C正確；

由SODSB=S,所以直線。1。與直線BiB相交于點S,故。錯誤.

故選：D.

將正四棱臺補(bǔ)全為正四棱錐，再結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)一一分析即可.

本題主要考查異面直線的判定，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：4(2,2),B(6,0),C(0,0),

AB=(4,-2),^C=(-2,-2),cosA=cos頌，硝=湍關(guān)1==一音:

CB=(6,0),CA=(2.2).cosC=cos(CB,CA)=湍篇=-^==號

——>——>——'—>BABC242yT~5

BA

=(-4,2),BC=(-6.0)，cosB=C0S(BA,BC)=--==—；

由A,B,。為三角形4BC的內(nèi)角，

則cos4<0,cosB>0,cosC>0,于是4是鈍角，B,C是銳角，最大角是4,余弦值為一印.

10

故選：C.

根據(jù)夾角公式算出△4BC每個內(nèi)角的余弦值，然后分析可得結(jié)果.

本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：設(shè)點V到平面4BC的距離為無，

vVA,VB,UC兩兩垂直，且匕4=UB=VC=1,

?1?AB=BC=AC=V_2,SMBC=gxlxl=g,

???ShABC=|xCx。xsing=?，

又匕4_LVB,VA1VC,VBOVC=V,VB,VCu平面VBC,

所以匕41平面ABC,

1

V4%

y8c=-

3Be

111C

-X-X-XX九

3232

/i=?，即點U到平面ABC的距離為?.

故選：D.

根據(jù)匕-BC=(-48C利用等體積法求解即可.

本題主要考查等體積法的運(yùn)用，考查點到平面的距離求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：由面面平行的性質(zhì)可知：膘Rua01nl小且可/0，充分性成立，

當(dāng)m〃n時，若m,nca,m//a,n//p,則a,n可能平行或相交，必要性不成立;

???“a〃段’是“m〃/?且n〃段'的充分而不必要條件.

故選：A.

由面面平行的判定與性質(zhì)判斷充分性和必要性即可.

本題主要考查充分條件、必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】解：由正弦定理可得2=若=*=也2幽s處咨.竺也

asinAsinAsinA

_2sinAcos2A+cos2AsinA

sinA

=2cos2A+cos2A=4cos2A-1；

田%(0<B=3A<7t

因“<8+4=44VTT'

所以0<力<也所以容<COS4<1，則義<COS24<1,

則1<3,BP-E(1,3).

1<4COS2/1—a

故選：c.

利用正弦定理將邊化角，再利用兩角和的正弦公式及二倍角公式轉(zhuǎn)化為4的三角函數(shù)，再結(jié)合4的

范圍計算可得.

本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】B

【解析】解：各棱長均為1的的四面體P—ABC中，E是P4的中點,

則BE1PA,AE=^,BE=CE=?，

BE2+CE2-BC2

由余弦定理可.得

在△BCE中,cos/BEC=-2BECE-=§>0,

可知z_BEC為銳角，可得sinzBEC=V1—cos2/-BEC=?

將△BCE和△ABE折成一個平面，連接4C,

可知4Q+CQN4C,當(dāng)且僅當(dāng)A,Q,C三點共線時，等號成立,

21C

X-X

型ACE中，由余弦定理可得心=的+/-24E.CEcos^AEC=：+-22

(嚀=1+?,

即4c=J1+y,所以4Q+"的最小值為J1+票

故選:B.

根據(jù)題意將aBCE和AABE折成一個平面，可知4Q+CQZ4C,結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.

本題主要考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題.

11.【答案】5

【解析】解：因為siM/+cos2>l=1,且cosA=-|,所以sinA=

又在△ABC中，AG(O,TT),sinA>0,所以si7i4=/.

故答案為：

根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及角的范圍得答案.

本題主要考查三角函數(shù)的同角關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】2兀學(xué)

P

【解析】解：因為扇形的半徑為3,圓心角為冷，則扇形的弧長等于當(dāng)X3=A

如，/1\

設(shè)圓錐的底面半徑為r(r>0),/：\

所以27r=2yrxr,解得r=l,/；\

則圓錐的高為P。=V9—1=2，至，三:----'Q'

所以圓錐的體積為:兀x2/7=4.

故答案為：2兀；言史.

利用扇形的弧長公式可得扇形的弧長；求出圓錐的底面半徑和高可得圓錐的體積.

本題主要考查了圓錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】416兀

【解析】解：依題意長方體的體對角線即為外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為R,

則(2R)2=22+32+(<3)2=16.

所以2R=4,R=2,

即長方體的體對角線為4,

則外接球的表面積S=4TT/?2=167r.

故答案為：4；167r.

依題意長方體的體對角線即為外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為R,利用勾股定理求出體對角線,

即可求出R,再根據(jù)球的表面積公式計算可得.

本題主要考查了長方體的外接球問題，屬于中檔題.

14.【答案】①③(或②④)

【解析】解：選①②=，_La,

若〃/m,a〃0,則可能Iua,不正確；

選①③=1，a，

若m1a,貝!H1a,正確；

選①④=>/1

若〃/m,Zljg,則可能2ua,不正確；

選②③=2-La，

若a〃3，m1a,則可能Iua,不正確；

選②④=ZJLa，

若a〃出116,則）1%正確；

選③④=>/1a,

若mJ.Q,11/?,則可能Eua,不正確.

故答案為：①③（或②④）.

由直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系對選項一一分析即可得出答案.

本題考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】15A/-2

【解析】解：如圖所示:

由題意得4B4C=15°,4BAD=45°,

則=30°,Z.ADC=45°,AC=30米，

在△ACD中，由正弦定理得一年壽二-^亍，即與=$,

s\nZ.DACsinZ.ADCsi九30sin45

解得CD=15/1..

故答案為：15，9.

利用正弦定理求解，即可得出答案.

本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.【答案】①②③

【解析】解：矩形ABCC中，???ADJ.4E,.?.&￡?，4透，①正確;

取CD中點“，連接MH,BH,M和H分別是&C,C。的中點，MH//ArD,???MH在平面&DE外,

〃平面AiDE,???E是矩形4BCD的4B邊中點，.?.=EB,DH//EB,.-.HB//DE,

???在平面4DE外，二Z/B〃平面&DE,又HBnMH=H,.?.平面HBM〃平面4北，

???BMu平面HBM,二BM〃41DE,②正確；

取。E的中點0,連接40,如圖所示：

當(dāng)平面&DE，平面BC0E時，必到平面BCDE的距離最大.

因為4i￡)=4E,。為DE中點，所以a0J.DE.

又因為平面&DEn平面BCDE=DE,所以4。1BCDE.

DE=7I2+了=7-2,所以40=J12_4)2=?.

所以四棱錐&-BCDE體積最大值為"x處等xy=?,

所以四棱錐為一CDE體積最大值為:xVA1_BCDE=,x?=?,

M為AC的中點，三棱錐4一/^”的體積的最大值為3*匕「°?！?；'?=M，故③正確；

平面4DE1平面AiCD,平面AiDEFI平面&CD=Ai。，A^E1A^D,&Eu平面&DE,

???AXE1平面&CD,ArE1AiC.AiE=1,EC=<7,

???&C=1,△&0C,ATD=1,???A^+A^=2=DC,④錯誤.

故答案為：①②③.

根據(jù)原圖形判斷①，根據(jù)面面平行得出線面平行判斷②，結(jié)合面面垂直及體積公式判斷體積最大

值得出③，應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理及反證法得出④.

本題考查線線垂直的證明，線面平行的證明，三棱錐的體積的最值的求解，屬中檔題.

17.【答案】證明：(1)由正方體的性質(zhì)&AC平面D1&B,u平面。聲道,

所以4遇〃平面

(2)由正方體的性質(zhì)。J1平面ABC。，ACa^lfiiABCD,所以

又ABCD為正方形，所以4C_LBD,BDC\DDA=D,BD,皿u平面88也。，

所以AC，平面BBi&D,又Z\Bu平面BB15D,

所以1AC.

(3)連接&G，因為E,尸分別為4。1，AG的中點,

所以E/7/aG，

又44〃CC1且=CC1，所以441GC為平行四邊形，

所以4C〃&G，

所以4C〃EF,所以A,C,E,F四點共面.

【解析】(1)由正方體的性質(zhì)得到4Z〃BBi，即可得證；

⑵通過證明4C_L平面BB/iD,即可得證；

(3)連接&C],即可得到EF〃4G，再由正方體的性質(zhì)得到4C〃4iG，即可得證.

本題主要主要考查直線與平面垂直，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)因為4=60。，a=y/~6,b=2,

由正弦定理號=與，即Q=芻，解得sinB=孕,

stnAsinBsin600stnB2

又a>b,所以4>B,所以B=45。；

(2)由(1)可得C=180°-60°-45°=75°,

所以sinC=sin750=sin(45°+30°)=sin45°cos300+cos450sin300="寸一

所以SAABC=；absinC=-x2x\l~f>x[?=3+^3-

【解析】(1)利用正弦定理計算可得；

(2)首先利用兩角和的正弦公式求出sinC,在根據(jù)面積公式計算可得.

本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(1)/(%)=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x=V~-2sin(2x+：),

故最小正周期為7=與=兀，

(2)由于％€[0序，則2%+注6,曲,

注意到y(tǒng)=sinx在[0,兀]上滿足s譏x>0,(兀,靠上sinx<0,

于是要求/(乃的最小值只用考慮(兀，手]的情況，

由y=sinx在生架上單調(diào)遞減,(吟c歲第，

于是y=S仇X在(兀,當(dāng)上遞減，

故2%+(=苧時,即T，/?(%)取到最小值/6)=一L

【解析】(1)根據(jù)二倍角公式，輔助角公式將函數(shù)化簡，然后根據(jù)三角函數(shù)的周期公式求解;

(2)根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合xe[0,月的范圍進(jìn)行求解.

本題主要考查三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：⑴證明：因為P4=PD,M為4D的中點，所以PM—D,

又底面4BCD為矩形，所以4D〃BC,所以PM1BC.

(2)證明：???底面2BCD為矩形，:2B14D.

?.?平面PAD1平面A8CD,平面PADn平面ABCD=AD,

ABu平面ABC。，AB_L平面P/W,

又POu平面24。，ABLPD.

又P41PD,PACiAB=A,PA,ABu平面PAB,:.PD1?平面PAB,

而PCu平面PCD,.?.平面P481平面PC。；

⑶存在，且第=3,理由如下：

連接BM、AC,BMnAC=0,連接ON,

因為力BCD是矩形，且M為AD的中點，所以△C