2024屆陜西省商洛市部分學(xué)校高三上學(xué)期10月階段性測試(一)數(shù)學(xué)試題(理)(（解析版）)

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省商洛市部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期10月階段性測試(一)數(shù)學(xué)試題(理)一?選擇題1.（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗．故選：B.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，則．故選：D.

3.已知函數(shù)，若，則（）A. B. C. D.10〖答案〗A〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以，又，所以，故選：A4.若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（）A.3 B.7 C.11 D.15〖答案〗C〖解析〗不等式組表示的平面區(qū)域如下圖，目標(biāo)函數(shù)化為，表示斜率為的一組平行線，當(dāng)直線過點(diǎn)時，直線截距最大，即取得最大值，聯(lián)立，得，即，所以.故選：C5.記數(shù)列的前項和為，已知，且是公差為的等差數(shù)列，則的最大值為（）A.12 B.22 C.37 D.55〖答案〗B〖解析〗由題意，且是公差為的等差數(shù)列，可知的首項為，則，故，則數(shù)列為，公差為的等差數(shù)列，且為遞減數(shù)列，令，即等差數(shù)列的前4項為正項，從第5項開始為負(fù)，故的最大值為，故選：B6.對于任意實(shí)數(shù)，用表示不大于的最大整數(shù)，例如：，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗對任意的，記，則，若，則，即，則，因?yàn)椋?，則，由不等式的基本性質(zhì)可得，所以，，所以，，即，所以，“”“”；若，如取，，則，故“”“”.因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.已知函數(shù)，若將的圖象向左平移個單位長度后所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則m的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗的圖象向左平移m個單位長度后，得到的圖象對應(yīng)函數(shù)，因?yàn)榈膱D象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，所以，即，因?yàn)?，故?dāng)時，m取得最小值．故選：B.

8.位于成都市龍泉驛區(qū)的東安湖體育公園是第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會的核心場館，它包含一座綜合運(yùn)動場、一座多功能體育館、一座游泳跳水館和一座綜合小球館．現(xiàn)安排包含甲、乙在內(nèi)的6名同學(xué)到這4個場館做志愿者，每人去1個場館，每個場館至少安排1個人，則甲、乙兩人安排在相同場館的方法種數(shù)為（）A.96 B.144 C.240 D.360〖答案〗C〖解析〗先將6名同學(xué)分成4組：一種方式是甲、乙組成一組，再從另外4人任選2人組成一組，其余的一人一組，另一種方式是甲、乙與另外4人中的1人組成一組，其余的一人一組．再把4組人分到4個場館，所以安排方法種數(shù)為．故選：C.9.如圖所示，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)在棱上，且，則點(diǎn)到平面的距離之和為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在棱長為2的正方體中，平面，平面，則，由，得，在中，，則，即點(diǎn)為中點(diǎn)，又平面，平面，因此平面，于是點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，同理點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，連接，過分作的垂線，垂足分別為，如圖，由，得，解得，在中，，則，所以點(diǎn)到平面的距離之和為.故選：B.10.把過棱錐的頂點(diǎn)且與底面垂直的直線稱為棱錐的軸，過棱錐的軸的截面稱為棱錐的軸截面．現(xiàn)有一個正三棱錐、一個正四棱錐、一個正六棱錐，它們的高相等，軸截面面積的最大值也相等，則此正三棱錐、正四棱錐、正六棱錐的體積之比為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)3個正棱錐的高均為h，軸截面面積的最大值均為S．（1）正三棱錐當(dāng)軸截面與底面的一條棱垂直時，軸截面面積最大，如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長為a，取底邊的中點(diǎn)，則，平面VAD，故平面，即為面積最大的軸截面圖形.所以，即，可得正三棱錐的體積為．（2）正四棱錐當(dāng)軸截面經(jīng)過底面的一條對角線時，軸截面面積最大，如圖，設(shè)正四棱錐底面邊長為b，連接，即為面積最大的軸截面圖形.所以，即，則底面的面積為，可得正四棱錐的體積為．（3）正六棱錐當(dāng)軸截面經(jīng)過底面兩個相對的頂點(diǎn)時，軸截面面積最大，如圖，設(shè)正六棱錐的底面邊長為c，連接，即為面積最大的軸截面圖形.所以，則，可得正六棱錐的體積為．所以正三棱錐、正六棱錐的體積之比為，即．故選：C.11.在中，是線段上的動點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)，，則的最小值是（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值是9，故選：D12.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，線段為半徑作圓，與的右支的一個交點(diǎn)為A，若，則的離心率為（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知，且為銳角，故，而，故，將代入中，得，結(jié)合整理得，即，解得或,由于雙曲線離心率，故舍去，故，故選：D二?填空題13.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與拋物線交于點(diǎn)M，且，則___________．〖答案〗4〖解析〗把代入拋物線方程（），得，得，根據(jù)拋物線的定義有，解得，故〖答案〗為：4.14.某品牌新能源汽車2019-2022年這四年的銷量逐年增長，2019年銷量為5萬輛，2022年銷量為22萬輛，且這四年銷量的中位數(shù)與平均數(shù)相等，則這四年的總銷量為__________萬輛.〖答案〗53〖解析〗設(shè)2020年的銷量為，2021年的銷量為，，由題意可知，中位數(shù)為，平均數(shù)為，由，得，所以這四年的總銷量為萬量.故〖答案〗為：53.15.已知數(shù)列滿足，，則滿足的最小正整數(shù)___________．〖答案〗5〖解析〗由，解得，又，所以．另一方面由，可得，所以是首項為，公比為3的等比數(shù)列，所以，易知是遞增數(shù)列，又，，所以滿足的最小正整數(shù)．故〖答案〗為：5．16.已知定義在R上的函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，若，則滿足不等式的x的取值范圍是___________．〖答案〗〖解析〗由題意，對任意，都有成立，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．不等式即，即．因?yàn)?，所以．故由，?所以不等式的解集為，故〖答案〗為：.三、解答題（一）必考題：共60分.17.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，.（1）求；（2）若，求BC.解：（1）在中，由正弦定理得，即，所以.由題設(shè)知，所以.（2）由題設(shè)及（1）知，，在中，由余弦定理得，所以.18.如圖，在直三棱柱中，，D，E，F(xiàn)分別是棱，BC，AC的中點(diǎn)，．（1）證明：平面平面；（2）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．（1）證明：在中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，所以．平面，平面，則平面，因?yàn)?，則，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，則平面，又因?yàn)椋移矫?，所以平面平面．?）解：因?yàn)椋?，，由余弦定理可得，所以，從而．以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz．故，，，．從而，，．設(shè)平面ABD的法向量為，由，得，取，則為平面ABD的一個法向量，所以，所以直線AC與平面ABD所成角的正弦值為．19.已知橢圓C：過點(diǎn)，且C的右焦點(diǎn)為．（1）求C的離心率；（2）過點(diǎn)F且斜率為1的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，P直線上的動點(diǎn)，記直線PM，PN，PF的斜率分別為，，，證明：．（1）解：由得C的半焦距為，所以，又C過點(diǎn)，所以，解得，所以，．故C的離心率為．（2）證明：由（1）可知C的方程為．設(shè)，，．由題意可得直線MN的方程為，聯(lián)立，消去y可得，則，，則，又，因此．20.小李參加某項專業(yè)資格考試，一共要考3個科目，若3個科目都合格，則考試直接過關(guān)；若都不合格，則考試不過關(guān)；若有1個或2相科目合格，則所有不合格的科目需要進(jìn)行一次補(bǔ)考，補(bǔ)考都合格的考試過關(guān)，否則不過關(guān)．已知小李每個科目每次考試合格的概率均為p（），且每個科目每次考試的結(jié)果互不影響．（1）記“小李恰有1個科目需要補(bǔ)考”的概率為，求的最大值點(diǎn)．（2）以（1）中確定的作為p的值．（?。┣笮±钸@項資格考試過關(guān)的概率；（ⅱ）若每個科目每次考試要繳納20元的費(fèi)用，將小李需要繳納的費(fèi)用記為X元，求．解：（1）由題意知，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取最大值，即．（2）（?。┬±畹谝淮慰荚?個科目都合格的概率為，小李第一次考試有2個科目合格，補(bǔ)考1個科目且合格的概率為，小李第一次考試有1個科目合格，補(bǔ)考2個科目且均合格的概率為，所以小李這項資格考試過關(guān)的概率為．（ⅱ）X的所有可能取值為60，80，100，則，，，故．21.已知函數(shù)，且．（1）若當(dāng)時，恒成立，求m的取值范圍；（2）若，且，使得，求證：．（1）解：當(dāng)時，，所以由，可得．令，則，令，則，而，得．故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以m的取值范圍為．（2）證明：易知，所以，等價于，等價于．不妨設(shè)，由（1）可知．要證，即證，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以需證，即．令，則，當(dāng)時，，，所以，則在上單調(diào)遞增，所以，即，因此，．（二）選考題：請考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，求的值.解：（1）由曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，得普通方程為.因?yàn)椋?，將代入?（2）由于直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，傾斜角為，所以直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，得，設(shè)對應(yīng)參數(shù)分別為，則，所以.[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若關(guān)于不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，可得，當(dāng)時，原不等式可化為，化簡得，不成立；當(dāng)時，原不等式可化為，解得，故；當(dāng)時，原不等式可化為，化簡得，恒成立，故.綜上可知的取值范圍為.（2）因?yàn)?，?dāng)，即時，取最小值，且最小值為，由題可知關(guān)于的不等式的解集為，即不等式恒成立，所以，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.陜西省商洛市部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期10月階段性測試(一)數(shù)學(xué)試題(理)一?選擇題1.（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗．故選：B.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，則．故選：D.

3.已知函數(shù)，若，則（）A. B. C. D.10〖答案〗A〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以，又，所以，故選：A4.若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（）A.3 B.7 C.11 D.15〖答案〗C〖解析〗不等式組表示的平面區(qū)域如下圖，目標(biāo)函數(shù)化為，表示斜率為的一組平行線，當(dāng)直線過點(diǎn)時，直線截距最大，即取得最大值，聯(lián)立，得，即，所以.故選：C5.記數(shù)列的前項和為，已知，且是公差為的等差數(shù)列，則的最大值為（）A.12 B.22 C.37 D.55〖答案〗B〖解析〗由題意，且是公差為的等差數(shù)列，可知的首項為，則，故，則數(shù)列為，公差為的等差數(shù)列，且為遞減數(shù)列，令，即等差數(shù)列的前4項為正項，從第5項開始為負(fù)，故的最大值為，故選：B6.對于任意實(shí)數(shù)，用表示不大于的最大整數(shù)，例如：，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗對任意的，記，則，若，則，即，則，因?yàn)?，，則，由不等式的基本性質(zhì)可得，所以，，所以，，即，所以，“”“”；若，如取，，則，故“”“”.因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.已知函數(shù)，若將的圖象向左平移個單位長度后所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則m的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗的圖象向左平移m個單位長度后，得到的圖象對應(yīng)函數(shù)，因?yàn)榈膱D象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，所以，即，因?yàn)?，故?dāng)時，m取得最小值．故選：B.

8.位于成都市龍泉驛區(qū)的東安湖體育公園是第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動會的核心場館，它包含一座綜合運(yùn)動場、一座多功能體育館、一座游泳跳水館和一座綜合小球館．現(xiàn)安排包含甲、乙在內(nèi)的6名同學(xué)到這4個場館做志愿者，每人去1個場館，每個場館至少安排1個人，則甲、乙兩人安排在相同場館的方法種數(shù)為（）A.96 B.144 C.240 D.360〖答案〗C〖解析〗先將6名同學(xué)分成4組：一種方式是甲、乙組成一組，再從另外4人任選2人組成一組，其余的一人一組，另一種方式是甲、乙與另外4人中的1人組成一組，其余的一人一組．再把4組人分到4個場館，所以安排方法種數(shù)為．故選：C.9.如圖所示，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)在棱上，且，則點(diǎn)到平面的距離之和為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在棱長為2的正方體中，平面，平面，則，由，得，在中，，則，即點(diǎn)為中點(diǎn)，又平面，平面，因此平面，于是點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，同理點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，連接，過分作的垂線，垂足分別為，如圖，由，得，解得，在中，，則，所以點(diǎn)到平面的距離之和為.故選：B.10.把過棱錐的頂點(diǎn)且與底面垂直的直線稱為棱錐的軸，過棱錐的軸的截面稱為棱錐的軸截面．現(xiàn)有一個正三棱錐、一個正四棱錐、一個正六棱錐，它們的高相等，軸截面面積的最大值也相等，則此正三棱錐、正四棱錐、正六棱錐的體積之比為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)3個正棱錐的高均為h，軸截面面積的最大值均為S．（1）正三棱錐當(dāng)軸截面與底面的一條棱垂直時，軸截面面積最大，如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長為a，取底邊的中點(diǎn)，則，平面VAD，故平面，即為面積最大的軸截面圖形.所以，即，可得正三棱錐的體積為．（2）正四棱錐當(dāng)軸截面經(jīng)過底面的一條對角線時，軸截面面積最大，如圖，設(shè)正四棱錐底面邊長為b，連接，即為面積最大的軸截面圖形.所以，即，則底面的面積為，可得正四棱錐的體積為．（3）正六棱錐當(dāng)軸截面經(jīng)過底面兩個相對的頂點(diǎn)時，軸截面面積最大，如圖，設(shè)正六棱錐的底面邊長為c，連接，即為面積最大的軸截面圖形.所以，則，可得正六棱錐的體積為．所以正三棱錐、正六棱錐的體積之比為，即．故選：C.11.在中，是線段上的動點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)，，則的最小值是（）A.6 B.7 C.8 D.9〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值是9，故選：D12.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，線段為半徑作圓，與的右支的一個交點(diǎn)為A，若，則的離心率為（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知，且為銳角，故，而，故，將代入中，得，結(jié)合整理得，即，解得或,由于雙曲線離心率，故舍去，故，故選：D二?填空題13.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與拋物線交于點(diǎn)M，且，則___________．〖答案〗4〖解析〗把代入拋物線方程（），得，得，根據(jù)拋物線的定義有，解得，故〖答案〗為：4.14.某品牌新能源汽車2019-2022年這四年的銷量逐年增長，2019年銷量為5萬輛，2022年銷量為22萬輛，且這四年銷量的中位數(shù)與平均數(shù)相等，則這四年的總銷量為__________萬輛.〖答案〗53〖解析〗設(shè)2020年的銷量為，2021年的銷量為，，由題意可知，中位數(shù)為，平均數(shù)為，由，得，所以這四年的總銷量為萬量.故〖答案〗為：53.15.已知數(shù)列滿足，，則滿足的最小正整數(shù)___________．〖答案〗5〖解析〗由，解得，又，所以．另一方面由，可得，所以是首項為，公比為3的等比數(shù)列，所以，易知是遞增數(shù)列，又，，所以滿足的最小正整數(shù)．故〖答案〗為：5．16.已知定義在R上的函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，若，則滿足不等式的x的取值范圍是___________．〖答案〗〖解析〗由題意，對任意，都有成立，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．不等式即，即．因?yàn)?，所以．故由，?所以不等式的解集為，故〖答案〗為：.三、解答題（一）必考題：共60分.17.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，.（1）求；（2）若，求BC.解：（1）在中，由正弦定理得，即，所以.由題設(shè)知，所以.（2）由題設(shè)及（1）知，，在中，由余弦定理得，所以.18.如圖，在直三棱柱中，，D，E，F(xiàn)分別是棱，BC，AC的中點(diǎn)，．（1）證明：平面平面；（2）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．（1）證明：在中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，所以．平面，平面，則平面，因?yàn)?，則，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，則平面，又因?yàn)?，且平面，所以平面平面．?）解：因?yàn)?，，，由余弦定理可得，所以，從而．以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz．故，，，．從而，，．設(shè)平面ABD的法向量為，由，得，取，則為平面ABD的一個法向量，所以，所以直線AC與平面ABD所成角的正弦值為．19.已知橢圓C：過點(diǎn)，且C的右焦點(diǎn)為．（1）求C的離心率；（2）過點(diǎn)F且斜率為1的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，P直線上的動點(diǎn)，記直線PM，PN，PF的斜率分別為，，，證明：．（1）解：由得C的半焦距為，所以，又C過點(diǎn)，所以，解得，所以，．故C的離心率為．（2）證明：由（1）可知C的方程為．設(shè)，，．由題意可得直線MN的方程為，聯(lián)立，消去y可得，則，，則，又，因此．20.小李參加某項專業(yè)資格考試，一共要考3個科目，若3個科目都合格，則考試直接過關(guān)；若都不合格，則考試不過關(guān)；若有1個或2相科目合格，則所有不合格的科目需要進(jìn)行一次補(bǔ)考，補(bǔ)考都合格的考試過關(guān)，否則不過關(guān)．已知小李每個科目每次考試合格的概率均為p（），且每個科目每次考試的結(jié)果互不影響．（1）記“小李恰有1個科目需要補(bǔ)考”的概率為，求的最大值點(diǎn)．（2）以（1）中確定的作為p的值．（?。┣笮±钸@項資格考試過關(guān)的概率；（ⅱ）若每個科目每次考試要繳納20