河南省南陽市南召縣2021-2022學年九上期末數(shù)學試卷（解析版）

河南省南陽市南召縣2021-2022學年九年級上學期期末數(shù)學試題一、單選題（每小題3分，共30分）1.下列命題中，不正確的是（）A.對角線相等的平行四邊形是矩形B.有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形C.直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半D.正方形的兩條對角線相等且互相垂直平分【答案】C【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)矩形、等邊三角形、直角三角形及正方形的性質(zhì)進行逐一判斷．解：A、正確，對角線相等的平行四邊形是矩形，屬于矩形的判定；B、正確，有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形屬于等邊三角形的判定；C、錯誤，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；D、正確，是正方形的性質(zhì)．故選C．考點：命題與定理．2.不透明的袋子里共裝有4個黑球和6個白球，這些球除了顏色不同外，其余都完全相同，隨機從袋子中摸出一個球，摸到黑球的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接用黑球的個數(shù)除以球的總個數(shù)即可得到答案．【詳解】解：由題意得：從袋子中隨機摸出一個球，則摸到黑球的概率是．故選D．【點睛】本題主要考查了簡單的概率計算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握概率計算公式．3.下列函數(shù)是關(guān)于的反比例函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)定義回答即可求解．【詳解】解：一般的形如叫做反比例函數(shù)，選項C正確，故選：C．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的定義，正確理解反比例函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．4.如圖，在△ABC中，DE∥BC，S△ADE＝S梯形DBCE，則DE：BC為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，由已知可證S△ADE：S△ABC=1：2，所以相似比是，故DE：BC=．【詳解】解：根據(jù)題意，S△ADE=S梯形DBCE，則S△ADE：S△ABC=1：2，∵DE∥BC，則△ADE∽△ABC，設(shè)相似比是k，則面積的比是k2=，因而相似比是，∴DE：BC=．故選：A．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形面積的比等于相似比的平方．5.某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價，售價由原來的每件25元降到每件16元，則平均每次降價的百分率為（）.A.； B.； C.； D..【答案】A【解析】【分析】可設(shè)降價的百分率為，第一次降價后的價格為，第一次降價后的價格為，根據(jù)題意列方程求解即可.【詳解】解：設(shè)降價的百分率為根據(jù)題意可列方程為解方程得，（舍）∴每次降價得百分率為故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程的在銷售問題中的應用，正確理解題意，找出題中等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.6.初三(1)班周沫同學拿了A，B，C，D四把鑰匙去開教師前、后門的鎖，其中A鑰匙只能開前門，B鑰匙只能開后門，任意取出一把鑰匙能夠一次打開教室門的概率是（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意列表求概率即可．【詳解】解：列表如下ABCD前門開不開不開不開后門不開開不開不開故能一次開鎖的概率為故選：D．【點睛】本題考查了列表法求概率，掌握列表法求概率是解題的關(guān)鍵．7.如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，則tan∠DBE的值是（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】在直角三角形ADE中，，求得AD，AE．再求得DE，即可得到tan∠DBE．【詳解】設(shè)菱形ABCD邊長為t．∵BE＝2，∴AE＝t?2．∴，∴，∴t＝5．∴AE＝5?2＝3．∴DE＝＝＝4．∴tan∠DBE＝＝2．故選：B．【點睛】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應用，要熟練掌握邊角之間的關(guān)系．8.已知，，，是拋物線上的點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)對稱軸方程求出拋物線的對稱軸，再根據(jù)時，離對稱軸越遠的點值越小即可比較.【詳解】解：拋物線的對稱軸為，∵，∴拋物線開口向下，∵，，，，∴，，故選C．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的圖象上點的坐標特征，正確得出拋物線的對稱軸，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9.某商店今年10月份的銷售額是2萬元，12月份的銷售額是2.88萬元，從10月份到12月份，該商店銷售額平均每月的增長率為（）A.44% B.22% C.20% D.10%【答案】C【解析】【分析】設(shè)該商店銷售額平均每月的增長率為x，根據(jù)該商店今年10月份及12月份的銷售額，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)該商店銷售額平均每月的增長率為x，依題意，得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．10.圖是拋物線的部分圖象，其頂點為M，與y軸交于點（0，3），與x軸的一個交點為A，連接MO，MA．以下結(jié)論：①常數(shù)；②拋物線經(jīng)過點（－2，3）；③；④當時，．其中正確的是（）A.①③ B.②③ C.②④ D.①④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線y＝﹣（x+1）2+k與y軸交于點（0，3），可以求得k的值，從而可以判斷①是否正確；然后將x＝﹣2代入求得的函數(shù)解析式，即可判斷②是否正確；然后令y＝0，求出x的值，即可得到點A的坐標，再根據(jù)拋物線解析式可以得到點M的坐標，從而可以求得△OMA的面積，從而可以判斷③是否正確；再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷④是否正確．詳解】解：∵拋物線y＝﹣（x+1）2+k與y軸交于點（0，3），∴3＝﹣（0+1）2+k，解得：k＝4，故①錯誤；∴拋物線y＝﹣（x+1）2+4，當x＝﹣2時，y＝﹣（﹣2+1）2+4＝3，即拋物線過點（﹣2，3），故②正確；當y＝0時，0＝﹣（x+1）2+4，解得，x1＝1，x2＝﹣3，∴點A的坐標為（1，0），∴OA＝1，∵拋物線y＝﹣（x+1）2+4，頂點為M，∴點M的坐標為（﹣1，4），∴S△OMA＝＝2，故③錯誤；∵拋物線y＝﹣（x+1）2+4與x軸的交點為（﹣3，0），（1，0），∴當﹣3＜x＜1時，y＞0，∴當x＝﹣3+時，y＞0，故④正確；故選：D．【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．二、填空題（每小題3，共15分）11.一元二次方程x（x﹣3）=3﹣x的根是____．【答案】x1=3，x2=﹣1．【解析】【分析】整體移項后，利用因式分解法進行求解即可.【詳解】x（x﹣3）=3﹣x，x（x﹣3）-（3﹣x）=0，（x﹣3）（x+1）=0，∴x1=3，x2=﹣1，故答案為x1=3，x2=﹣1．12.設(shè)a，b是方程x2＋x﹣2021＝0兩個實數(shù)根，則a2＋2a＋b的值為____．【答案】【解析】【分析】由于a2＋2a＋b＝（a2＋a）＋（a＋b），故根據(jù)方程的解的意義，求得（a2＋a）的值，由根與系數(shù)的關(guān)系得到（a＋b）的值，即可求解．【詳解】解：∵a，b是方程x2＋x?2021＝0的兩個實數(shù)根，

∴a2＋a?2021＝0，即a2＋a＝2021，a＋b＝＝?1，

∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋a＋b＝2021?1＝，故答案：．【點睛】本題綜合考查了一元二次方程的解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系，要正確解答本題還要能對代數(shù)式進行恒等變形．13.如圖所示，某商場要在一樓和二樓之間搭建扶梯，已知一樓與二樓之間的地面高度差為米，扶梯的坡度，則扶梯的長度為_________米．【答案】【解析】【分析】如圖所示，過點C作地面的垂線，垂直為D，由題意得：，據(jù)此利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點C作地面的垂線，垂直為D，由題意得：，∴，∴，故答案為：7．【點睛】本題主要考查了勾股定理和坡度，正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．14.如圖，四邊形ABCD是矩形，AB＝2，AD＝，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交CD于點E，交AD的延長線于點F，則圖中陰影部分的面積是_____．【答案】2﹣2【解析】【分析】根據(jù)題意可以求得和的度數(shù)，然后根據(jù)圖形可知陰影部分的面積就是矩形的面積與矩形中間空白部分的面積之差再加上扇形與的面積之差的和，本題得以解決．【詳解】解：連接，，，，，，，，，陰影部分的面積是：，故答案為：．【點睛】本題考查扇形面積的計算、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．15.如圖，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一動點，以AD為直徑的⊙O交BD于點E，則線段CE的最小值是___．【答案】8【解析】【分析】連接AE，可得∠AED＝∠BEA＝90°，從而知點E在以AB為直徑的⊙Q上，繼而知點Q、E、C三點共線時CE最小，根據(jù)勾股定理求得QC的長，即可得線段CE的最小值．【詳解】解：如圖，連接AE，則∠AED＝∠BEA＝90°，∴點E在以AB為直徑的⊙Q上，∵AB＝10，∴QA＝QB＝5，當點Q、E、C三點共線時，QE＋CE＝CQ（最短），而QE長度不變，故此時CE最小，∵AC＝12，∴QC＝，∴CE＝QC?QE＝13?5＝8，故答案為：8．【點睛】本題考查了圓周角定理和勾股定理的綜合應用，解決本題的關(guān)鍵是確定E點運動的軌跡，從而把問題轉(zhuǎn)化為圓外一點到圓上一點的最短距離問題．三、解答題（8小題，共75分）16.已知x＝1是一元二次方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0的一個根，求a的值．【答案】a＝﹣2【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義將x＝1代入方程即可求出答案．【詳解】解：將x＝1代入（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0，得（a﹣2）+（a2﹣3）﹣a+1＝0，∴a2﹣4＝0，∴a＝±2，由于a﹣2≠0，故a＝﹣2.【點睛】本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．17.已知：為實數(shù)，且，化簡：．【答案】-1.【解析】【分析】根據(jù)所給的已知式子，由二次根式有意義的條件，可求x取值范圍，得到x，然后求出y的取值范圍，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意可知:且18.已知關(guān)于x的方程ax2+（a﹣3）x﹣3＝0（a≠0）．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程有兩個不相等的負整數(shù)根，求整數(shù)a的值．【答案】（1）見詳解；（2）a=-1．【解析】【分析】（1）先判斷出方程為一元二次方程，再判斷出，問題得證；（2）先解方程得，根據(jù)方程有負整數(shù)根且a為整數(shù)，求出a=-1或a=-3，根據(jù)方程的兩個負整數(shù)根不相等，求出a=-1．【詳解】解：（1）證明：∵a≠0，∴原方程為一元二次方程，∴，∴方程總有兩個實數(shù)根；（2）解方程ax2+（a﹣3）x﹣3＝0得，∵方程有兩個負整數(shù)根，且a為整數(shù)，∴a=-1或a=-3，當a=-1時，，當a=-3時，∵方程的兩個負整數(shù)根不相等，∴a≠-3．∴a=-1．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，方程的解等知識，熟知一元二次方程根的判別式并判斷根的情況，正確解出含字母系數(shù)的方程是解題關(guān)鍵．19.如圖，AB＝AC，CA平分∠BCD，E點在BC上，且∠BAE＝∠CAD＝90°，求證：CD＝BE．【答案】見解析【解析】【分析】先根據(jù)等邊對等角可得∠B＝∠ACB，再結(jié)合角平分線的定義等量代換可得∠B＝∠ACD，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)即可證得結(jié)論．【詳解】證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵CA平分∠BCD，∴∠ACD＝∠ACB，∴∠B＝∠ACD，與中，，∴，∴BE＝CD．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．20.如圖，在中，，，以邊上上一點為圓心，為半徑作，恰好經(jīng)過邊的中點，并與邊相交于另一點．（1）求證:是的切線．（2）若，是半圓上一動點，連接，，．填空：①當?shù)拈L度是________時，四邊形是菱形；②當?shù)拈L度是___________時，是直角三角形．【答案】（1）見解析（2）①②或【解析】【分析】（1）首先連接OD，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，⊙O恰好經(jīng)過邊BC的中點D，易得AB=BD，繼而證得∠ODB=∠BAC=90°，即可證得結(jié)論；

（2）①易得當DE⊥AC時，四邊形ABDE是菱形，然后求得∠AOE的度數(shù)，半徑OD的長，則可求得答案；

②分別從∠ADE=90°，∠DAE=90°，∠AED=90°去分析求解即可求得答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵在中，，，∴，∵是的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴是的切線.（2）解：①當DE⊥AC時，四邊形ABDE是菱形；

如圖2，設(shè)DE交AC于點M，連接OE，則DE=2DM，

∵∠C=30°，

∴CD=2DM，∴DE=CD=AB=BC，

∵∠BAC=90°，

∴DE∥AB，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∵AB=BD，

∴四邊形ABDE是菱形；

∵AD=BD=AB=CD=BC=，

∴△ABD是等邊三角形，OD=CD?tan30°=1，

∴∠ADB=60°，

∵∠CDE=90°-∠C=60°，

∴∠ADE=180°-∠ADB-∠CDE=60°，

∴∠AOE=2∠ADE=120°，

∴的長度為：；

故答案為：；

②若∠ADE=90°，則點E與點F重合，此時的長度為：=π；

若∠DAE=90°，則DE是直徑，則∠AOE=2∠ADO=60°，此時的長度為：π；

∵AD不是直徑，∴∠AED≠90°；

綜上可得：當?shù)拈L度是π或π時，△ADE是直角三角形．

故答案為：π或π．【點睛】本題屬于圓的綜合題．考查了切線的判定與性質(zhì)、菱形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及弧長公式等知識．注意準確作出輔助線，利用分類討論思想求解是解題的關(guān)鍵．21.在中與中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，連接，點分別是的中點，連接．（1）觀察猜想如圖1，當點與點重合時，與的數(shù)量關(guān)系是__________，位置關(guān)系是__________；（2）類比探究當點與點不重合時，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請僅就圖2的情形給出證明；如果不成立，請說明理由．（3）問題解決在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出的面積的最大值與最小值．【答案】（1）CG=CF，CF⊥CG；（2）成立，CG=CF，CF⊥CG；（3）△CFG的面積最大值，最小值．【解析】【分析】（1）觀察猜想

由直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半再結(jié)合30°直角三角形三邊比即可證明；（2）類比探究

先證明△BCD∽△ACE，再證明△ACG∽△BCF，可得結(jié)論；

（3）問題解決

延長BC至H，使BC=CH=1，連接DG，由三角形中位線定理結(jié)合三角形面積公式可求△CFG的面積=，求出DH最小值即可．【詳解】（1）觀察猜想

∵在Rt△ABC中與Rt△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=，

∴AE=2DC=2，AC=BC=，AB=2BC，∠CDE=60°，

∴BC=1，AB=2，

∵點F，G分別是BD，AE的中點，

∴CG=AE=，CG=AG，CF=AB=1，CF=AF，

∴CG=CF，∠GDC=∠GCD=60°，∠ACF=∠FAC=30°，

∴∠FCG=90°，

∴CF⊥CG，

故答案為：CG=CF，CF⊥CG；

（2）類比探究

仍然成立，

理由如下：

∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=，

∴∠BCD=∠ACE，AC=BC，CE=CD，

∴，

∴△BCD∽△ACE，

∴，∠CAE=∠CBD，

∵點F，G分別是BD，AE的中點，

∴BF=BD，AG=AE，

∴∴△ACG∽△BCF，

∴，∠BCF=∠ACG，

∴CG=CF，∠ACB=∠FCG=90°，

∴CF⊥CG；（3）問題解決

如圖，延長BC至H，使BC=CH=1，連接DH，

∵點F是BD中點，BC=CH=1，

∴CF=DH，

由（2）可知，CF⊥CG，

∴△CFG的面積=×CF×CG=CF2，

∴△CFG的面積=，

∴當DH取最大值時，△CFG的面積有最大值，當DH取最小值時，△CFG的面積有最小值，

∵CD=，

∴點D在以點C為圓心，為半徑的圓上，

∴當點D在射線HC的延長線上時，DH有最大值為+1，

∴△CFG的面積最大值=，∴當點D在射線CH長線上時，DH有最小-1，

∴△CFG的面積最小值=．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積公式，證明△ACG∽△BCF是本題的關(guān)鍵．22.如圖，已知反比例函數(shù)y1＝的圖象與一次函數(shù)y2＝x+b的圖象交于點A（1，4），點B（﹣4，n）．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）求△OAB的面積；（3）直接寫出y2＞y1時自變量x的取值范圍．【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為y1＝，一次函數(shù)得到解析式為y2＝x+3；（2）7.5；（3）當﹣4＜x＜0或x＞1時，y2＞y1【解析】【分析】（1）由題意把點A坐標代入反比例函數(shù)求出m的值，也就求出了反比例函數(shù)解析式，再把點B的坐標代入反比例函數(shù)解析式求出n的值，得到點B的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)題意先求出直線與x軸交點坐標，從而x軸把△AOB分成兩個三角形，結(jié)合點A、B的縱坐標分別求出兩個三角形的面積，進而相加即可；（3）根據(jù)函數(shù)的圖象結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)進行分析求得即可．【詳解】解：（1）點A（1，4）在反比例函數(shù)y1＝的圖象上，∴k＝1×4＝4，∴反比例函數(shù)的表達式為y1＝，∵點B（﹣4，n）也在反比例函數(shù)y1＝的圖象上，∴n＝＝﹣1，即B（﹣4，﹣1），把點A（1，4），點B（﹣4，﹣1）代入一次函數(shù)y2＝kx+b中，可得，解得，∴一次函數(shù)的表達式為y2＝x+3；故反比例函數(shù)解析式為y1＝，一次函數(shù)得到解析式為y2＝x+3；（2）設(shè)直線與x軸的交點為C，在y2＝x+3中，當y＝0時，得x＝﹣3，∴直線y2＝x+3與x軸的交點為C（﹣3，0），∵線段OC將△AOB分成△AOC和△BOC，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×1＝7.5；（3）從圖象看，當﹣4＜x＜0或x＞1時，y2＞y1．【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，注意掌握此類題目的求解一般都是先把已知點的坐標代入反比例函數(shù)表達式求出反比例函數(shù)解析式，然后再求一次函數(shù)解析式．23.問題探究（1）如圖1，AB是半圓O的直徑，AB＝8．P是上一點，且＝2，連接AP，BP．∠APB的平分線交AB于點C，過點C分別作CE⊥AP、CF⊥BP，垂足分別為E、F．求線段CF的長．問題解決（2）如圖2，是某公園內(nèi)“青少年活動中心”的設(shè)計示意圖．已知⊙O的直徑AB＝70m，點C在⊙O上，且CA＝CB．在AB上任取一點P，連接CP并延長，交⊙O于點D，連接AD、BD．過點P分別作PE⊥AD、PF⊥BD，垂足分別為E、F．按設(shè)計要求，四邊形PEDF內(nèi)部為室內(nèi)活動區(qū)，陰影部分是戶外活動區(qū)，圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū)．設(shè)AP的長為x（m），陰影部分的面積為y（m2）．①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；②按照“青少年活動中心”的設(shè)計要求，發(fā)現(xiàn)當AP的長度為30m時，整體布局比較合理．當AP＝30m時，試求室內(nèi)活動區(qū)（四邊形PEDF）的面積．【答案】（1）CF=6﹣2；（2）①y=﹣x2+35x+1225；②當AP=30米時，室內(nèi)活動區(qū)（四邊形PEDF）的面積為576平方米【解析】【分析】（1）連接OP，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理求出∠ABP，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求出AP、PB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到CE=CF，根據(jù)三角形的面積公式計算即可；（2）①在DF上取點A′，使FA′=EA，證明四邊形PEDF是正方形，根據(jù)正方