人教版高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)(原卷版+解析)

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、符號法則與比較大小實(shí)數(shù)的符號：任意，則（為正數(shù)）、或（為負(fù)數(shù)）三種情況有且只有一種成立.兩實(shí)數(shù)的加、乘運(yùn)算結(jié)果的符號具有以下符號性質(zhì)：①兩個(gè)同號實(shí)數(shù)相加，和的符號不變符號語言：；②兩個(gè)同號實(shí)數(shù)相乘，積是正數(shù)符號語言：； ③兩個(gè)異號實(shí)數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)符號語言：④任何實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的平方為0符號語言：，.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的法則：對任意兩個(gè)實(shí)數(shù)、①；②；③.對于任意實(shí)數(shù)、，，，三種關(guān)系有且只有一種成立.知識點(diǎn)詮釋：這三個(gè)式子實(shí)質(zhì)是運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系.它是本章的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù).知識點(diǎn)二、不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)兩部分基本性質(zhì)有：(1)對稱性：(2)傳遞性：(3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b，運(yùn)算性質(zhì)有：(1)可加法則：(2)可乘法則：(3)可乘方性：知識點(diǎn)詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù).知識點(diǎn)三、比較兩代數(shù)式大小的方法作差法：任意兩個(gè)代數(shù)式、，可以作差后比較與0的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大小.①；②；③.作商法：任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大小.①；②；③.中間量法：若且，則（實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性）.一般選擇0或1為中間量.【題型歸納目錄】題型一：用不等式(組)表示不等關(guān)系題型二：作差法比較兩數(shù)(式)的大小題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍【典型例題】題型一：用不等式(組)表示不等關(guān)系例1．（2022·湖南·衡陽市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）鐵路乘車行李規(guī)定如下：乘動(dòng)車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過Mcm.設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為a、b、c（單位：cm），這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（

）A．a(chǎn)+b+c≤M B．a(chǎn)+b+c>M C．a(chǎn)+b+c≥M D．a(chǎn)+b+c<M例2．（2022·貴州畢節(jié)·高一階段練習(xí)）某學(xué)生月考數(shù)學(xué)成績x不低于100分，英語成績y和語文成績z的總成績高于200分且低于240分，用不等式組表示為（

）A． B．C． D．例3．（2022·江蘇淮安·高一期中）某公司準(zhǔn)備對一項(xiàng)目進(jìn)行投資，提出兩個(gè)投資方案：方案為一次性投資萬；方案為第一年投資萬，以后每年投資萬.下列不等式表示“經(jīng)過年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．例4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）請根據(jù)“糖水加糖變得更甜了”提煉出一個(gè)不等式：______（設(shè)糖水為a克，含糖為b克，加入的糖為m克）．例5．（2022·遼寧葫蘆島·高一期末）社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)是青年學(xué)生按照學(xué)校培養(yǎng)目標(biāo)的要求，利用節(jié)假日等課余時(shí)間參與社會(huì)政治、經(jīng)濟(jì)、文化生活的教育活動(dòng).通過社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，可以使學(xué)生豐富對國情的感性認(rèn)識，加深對社會(huì)、對人民群眾的了解，從而增強(qiáng)擁護(hù)和執(zhí)行黨的基本路線的自覺性；可以使學(xué)生在接觸實(shí)際的過程中鞏固和深化課堂知識，鍛煉和增強(qiáng)解決實(shí)際問題的能力.某學(xué)校要建立社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組，小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；②女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；③教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).若男學(xué)生人數(shù)為，則女學(xué)生人數(shù)的最小值為___________；若男學(xué)生人數(shù)未知，則該小組人數(shù)的最小值為___________.【方法技巧與總結(jié)】將不等關(guān)系表示成不等式(組)的思路(1)讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量.(2)用適當(dāng)?shù)牟坏忍栠B接.(3)多個(gè)不等關(guān)系用不等式組表示.題型二：作差法比較兩數(shù)(式)的大小例6．（2022·安徽·高一期中）已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法確定例7．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．例8．（2022·新疆克孜勒蘇·高一期中）已知，，則_______．（填“>”或“<”）例9．（2022·廣西·高一階段練習(xí)）（1）比較與的大?。唬?）已知，求證：．例10．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，試比較的大小.【方法技巧與總結(jié)】作差法比較大小的步驟題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假例11．（2022·四川成都·高一期末（文））若a，b為實(shí)數(shù)，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則例12．（2022·陜西·咸陽市高新一中高一期中）如果，那么（

）A． B． C． D．例13．（2020·新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）若，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則<例14．（多選題）（2022·湖北·測試·編輯教研五高一階段練習(xí)）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【方法技巧與總結(jié)】運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷真假的技巧(1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì).(2)解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗(yàn)證計(jì)算.題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式例15．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）利用不等式的性質(zhì)證明下列不等式：(1)若，，則；(2)若，，則．例16．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，求證：(1)；(2).例17．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知下列三個(gè)不等式：①，②，③，以其中兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，可組成幾個(gè)真命題？請證明你的結(jié)論.例18．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若，則.(1)若存在常數(shù)，使得不等式對任意正數(shù)，恒成立，試求常數(shù)的值，并證明不等式：；(2)證明不等式：.【方法技巧與總結(jié)】對利用不等式的性質(zhì)證明不等式的說明(1)不等式的性質(zhì)是證明不等式的基礎(chǔ)，對任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b有a-b>0?a>b；a-b=0?a=b；a-b<0?a<b.這是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的依據(jù)，也是證明不等式的基礎(chǔ).(2)利用不等式的性質(zhì)證明不等式，關(guān)鍵要對性質(zhì)正確理解和運(yùn)用，要弄清楚每一條性質(zhì)的條件和結(jié)論，注意條件的加強(qiáng)和減弱、條件和結(jié)論之間的相互聯(lián)系.(3)比較法是證明不等式的基本方法之一，是實(shí)數(shù)大小比較和實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用.題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小例19．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高一階段練習(xí)（理））下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則例20．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰市元寶山區(qū)第一中學(xué)高一期中）若，則下列不等式不能成立的是（

）A． B． C． D．例21．（多選題）（2022·江蘇·揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）已知，，下列不等式中正確的是（

）A． B． C． D．例22．（多選題）（2022·廣東·小欖中學(xué)高一階段練習(xí)）對于實(shí)數(shù)，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則例23．（多選題）（2022·貴州貴陽·高一期末）下列說法正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則例24．（多選題）（2022·廣東·深圳科學(xué)高中高一期中）下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．，則 D．若，則【方法技巧與總結(jié)】注意點(diǎn)：①記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用；②應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍例25．（2020·廣東·新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知，，則的取值范圍是例26．（2022·徐州市第三十六中學(xué)（江蘇師范大學(xué)附屬中學(xué)）高一階段練習(xí)）已知，則的取值范圍為例27．（2022·吉林延邊·高一期末）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例28．（2020·浙江臺州·高一期中）已知且，則的取值范圍是例29．（多選題）（2022·新疆·烏魯木齊市第70中高一階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則（

）A． B． C． D．例30．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知且滿足，則的取值范圍是例31．（2022·福建·廈門市國祺中學(xué)高一期中）若，，，則t的取值范圍為______．例32．（2022·全國·高一期中）已知，且，則的取值范圍是___________.例33．（2022·湖北·車城高中高一階段練習(xí)）（1）已知，，求和的取值范圍；（2）已知，，求的取值范圍.例34．（2022·湖北·武漢市鋼城第四中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，，求，，的范圍.【方法技巧與總結(jié)】利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍.如已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范圍，不能分別求出x，y的范圍，再求2x＋3y的范圍，應(yīng)把已知的“x＋y”“x－y”視為整體，即2x＋3y＝eq\f(5,2)(x＋y)－eq\f(1,2)(x－y)，所以需分別求出eq\f(5,2)(x＋y)，－eq\f(1,2)(x－y)的范圍，兩范圍相加可得2x＋3y的范圍．“范圍”必須對應(yīng)某個(gè)字母變量或代數(shù)式，一旦變化出其他的范圍問題，則不能再間接得出，必須“直來直去”，即直接找到要求的量與已知的量間的數(shù)量關(guān)系，然后去求．注意同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·山西師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）若，且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022·寧夏·銀川二中高二期中（理））已知且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．3．（2022·湖北·隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則可能取的值為（

）A． B．0 C． D．4．（2022·河南·夏邑第一高級中學(xué)高二期中（文））若a是實(shí)數(shù)，，，則P，Q的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．由a的取值確定5．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）若a，b都是非零實(shí)數(shù)，滿足，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．6．（2022·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）古希臘時(shí)期，人們把寬與長之比為的矩形稱為黃金矩形，把這個(gè)比值稱為黃金分割比例.如圖為希臘的一座古建筑，其中圖中的矩形ABCD，EBCF，F(xiàn)GHC，F(xiàn)GJI，LGJK，MNJK均為黃金矩形，若M與K間的距離超過1.5米，C與F間的距離小于11米，則該古建筑中A與B間的距離可能是（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）A．30.3米 B．30.1米 C．29.2米 D．27.4米7．（2020·湖北·襄陽市第二十四中學(xué)高一階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則8．（2022·陜西·西安中學(xué)高二期末（文）），，，，設(shè)，則下列判斷中正確的是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）若a，b，，則下列命題正確的是（

）A．若且，則 B．若，則C．若且，則 D．10．（2022·廣東佛山·模擬預(yù)測）下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，，則11．（2022·黑龍江·大慶外國語學(xué)校高一開學(xué)考試）若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足，則以下不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．12．（2022·安徽·涇縣中學(xué)高一階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，且，記，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題13．（2022·新疆·莎車縣第一中學(xué)高二期中（文））設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系__________．14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，，設(shè)，則的最小值為__．15．（2020·上海市晉元高級中學(xué)高一期中）給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③對于正數(shù)，若，則.其中真命題的序號是__________.16．（2022·全國·高一課前預(yù)習(xí)）已知，，且，記，，，則按從小到大的順序排列是________.四、解答題17．（2022·河南·濮陽市油田第二高級中學(xué)高二階段練習(xí)（文））（1），，其中x，y均為正實(shí)數(shù)，比較a，b的大?。唬?）證明：已知，且，求證：.18．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）回答下列問題：(1)若，且，能否判斷與的大??？舉例說明．(2)若，且，能否判斷與的大?。颗e例說明．(3)若，且，能否判斷與的大??？舉例說明．(4)若，，且，，能否判斷與的大??？舉例說明．19．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）求證：(1)若，且，則；(2)若，且，同號，，則；(3)若，且，則．20．（2022·全國·高一課前預(yù)習(xí)）某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共，擬分割成大、小兩類房間作為旅游客房，大房間面積為，可住游客5人，每名游客每天住宿費(fèi)40元；小房間每間面積為，可住游客3人，每名游客每天住宿費(fèi)50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元，如果他只能籌款8000元用于裝修，試寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式.21．（2022·安徽·涇縣中學(xué)高一階段練習(xí)）（1）已知，求的取值范圍；（2）已知一桶食鹽水中含有克食鹽，克水，再在桶中添加克食鹽和克水（假設(shè)食鹽全部溶解，食鹽水沒有溢出）.請判斷當(dāng)滿足什么樣的關(guān)系式時(shí)，食鹽水的濃度變大？變?。坎蛔?？22．（2022·北京石景山·高一期末）若實(shí)數(shù)，，滿足，則稱比遠(yuǎn)離.(1)若比遠(yuǎn)離，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，，試問：與哪一個(gè)更遠(yuǎn)離，并說明理由.2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、符號法則與比較大小實(shí)數(shù)的符號：任意，則（為正數(shù)）、或（為負(fù)數(shù)）三種情況有且只有一種成立.兩實(shí)數(shù)的加、乘運(yùn)算結(jié)果的符號具有以下符號性質(zhì)：①兩個(gè)同號實(shí)數(shù)相加，和的符號不變符號語言：；②兩個(gè)同號實(shí)數(shù)相乘，積是正數(shù)符號語言：； ③兩個(gè)異號實(shí)數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)符號語言：④任何實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的平方為0符號語言：，.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的法則：對任意兩個(gè)實(shí)數(shù)、①；②；③.對于任意實(shí)數(shù)、，，，三種關(guān)系有且只有一種成立.知識點(diǎn)詮釋：這三個(gè)式子實(shí)質(zhì)是運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系.它是本章的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù).知識點(diǎn)二、不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)兩部分基本性質(zhì)有：(1)對稱性：(2)傳遞性：(3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b，運(yùn)算性質(zhì)有：(1)可加法則：(2)可乘法則：(3)可乘方性：知識點(diǎn)詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù).知識點(diǎn)三、比較兩代數(shù)式大小的方法作差法：任意兩個(gè)代數(shù)式、，可以作差后比較與0的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大小.①；②；③.作商法：任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大小.①；②；③.中間量法：若且，則（實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性）.一般選擇0或1為中間量.【題型歸納目錄】題型一：用不等式(組)表示不等關(guān)系題型二：作差法比較兩數(shù)(式)的大小題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍【典型例題】題型一：用不等式(組)表示不等關(guān)系例1．（2022·湖南·衡陽市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）鐵路乘車行李規(guī)定如下：乘動(dòng)車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過Mcm.設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為a、b、c（單位：cm），這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（

）A．a(chǎn)+b+c≤M B．a(chǎn)+b+c>M C．a(chǎn)+b+c≥M D．a(chǎn)+b+c<M【答案】A【解析】【分析】根據(jù)長、寬、高的和不超過Mcm可直接得到關(guān)系式.【詳解】長、寬、高之和不超過Mcm，.故選：A.例2．（2022·貴州畢節(jié)·高一階段練習(xí)）某學(xué)生月考數(shù)學(xué)成績x不低于100分，英語成績y和語文成績z的總成績高于200分且低于240分，用不等式組表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用題設(shè)條件即得.【詳解】數(shù)學(xué)成績不低于100分表示為，英語成績y和語文成績z的總成績高于200分且低于240分表示為，即.故選：D.例3．（2022·江蘇淮安·高一期中）某公司準(zhǔn)備對一項(xiàng)目進(jìn)行投資，提出兩個(gè)投資方案：方案為一次性投資萬；方案為第一年投資萬，以后每年投資萬.下列不等式表示“經(jīng)過年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由不等關(guān)系求解即可.【詳解】經(jīng)過年之后，方案的投入為，故經(jīng)過年之后，方案的投入不大于方案的投入，即故選：D例4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）請根據(jù)“糖水加糖變得更甜了”提煉出一個(gè)不等式：______（設(shè)糖水為a克，含糖為b克，加入的糖為m克）．【答案】【解析】【分析】克糖水中有克糖，若再添克糖，濃度發(fā)生了變化，只要分別計(jì)算出添糖前后的濃度進(jìn)行比較即得．【詳解】克糖水中有克糖，糖水的濃度為：；克糖水中有克糖，若再添克糖，則糖水的濃度為，又糖水變甜了，說明濃度變大了，，，，，.故答案為：，例5．（2022·遼寧葫蘆島·高一期末）社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)是青年學(xué)生按照學(xué)校培養(yǎng)目標(biāo)的要求，利用節(jié)假日等課余時(shí)間參與社會(huì)政治、經(jīng)濟(jì)、文化生活的教育活動(dòng).通過社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，可以使學(xué)生豐富對國情的感性認(rèn)識，加深對社會(huì)、對人民群眾的了解，從而增強(qiáng)擁護(hù)和執(zhí)行黨的基本路線的自覺性；可以使學(xué)生在接觸實(shí)際的過程中鞏固和深化課堂知識，鍛煉和增強(qiáng)解決實(shí)際問題的能力.某學(xué)校要建立社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組，小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；②女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；③教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).若男學(xué)生人數(shù)為，則女學(xué)生人數(shù)的最小值為___________；若男學(xué)生人數(shù)未知，則該小組人數(shù)的最小值為___________.【答案】

【解析】【分析】設(shè)男學(xué)生、女學(xué)生、教師的人數(shù)分別為、、，可得出，當(dāng)時(shí)，討論的取值，結(jié)合不等式的性質(zhì)可求得的最小值；當(dāng)?shù)闹滴粗獣r(shí)，討論的取值，結(jié)合不等關(guān)系可求得的最小值.【詳解】設(shè)男學(xué)生、女學(xué)生、教師的人數(shù)分別為、、，則.若，則，可得，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，即男學(xué)生人數(shù)為，則女學(xué)生人數(shù)的最小值為；若的值未知，當(dāng)時(shí)，則，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，則，不合乎題意，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，，則，合乎題意.故當(dāng)男學(xué)生人數(shù)未知，則該小組人數(shù)的最小值為.故答案為：；.【方法技巧與總結(jié)】將不等關(guān)系表示成不等式(組)的思路(1)讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量.(2)用適當(dāng)?shù)牟坏忍栠B接.(3)多個(gè)不等關(guān)系用不等式組表示.題型二：作差法比較兩數(shù)(式)的大小例6．（2022·安徽·高一期中）已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【解析】【分析】作差可得x-y的表達(dá)式，根據(jù)題意，分析可得x-y的正負(fù)，即可得答案.【詳解】，因?yàn)?，所以，又，所以，?故選：B例7．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，對選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對于A，，因?yàn)?，故，即，故A錯(cuò)；對于B，不確定符號，取則，故B錯(cuò)誤；對于C，，因?yàn)椋?，即，故C正確；對于D，，因?yàn)椋?，即，故D錯(cuò)誤．故選：C例8．（2022·新疆克孜勒蘇·高一期中）已知，，則_______．（填“>”或“<”）【答案】<【解析】【分析】作差判斷正負(fù)即可比較.【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：<.例9．（2022·廣西·高一階段練習(xí)）（1）比較與的大??；（2）已知，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求差法進(jìn)行大小比較即可；（2）求差法去證明即可解決.【詳解】（1）由，可得．（2），∵，∴，，，∴，∴．例10．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，試比較的大小.【答案】【解析】【分析】應(yīng)用作差法：，結(jié)合已知條件，即可確定大小關(guān)系.【詳解】∵∴，即.【方法技巧與總結(jié)】作差法比較大小的步驟題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假例11．（2022·四川成都·高一期末（文））若a，b為實(shí)數(shù)，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】【分析】據(jù)特值可說明ABC不正確；根據(jù)不等式的性質(zhì)可得D正確.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，滿足，不滿足，故A不正確；對于B，當(dāng)時(shí)，滿足，不滿足，故B不正確；對于C，當(dāng)時(shí)，滿足，不滿足，故C不正確；對于D，若，則，故D正確.故選：D.例12．（2022·陜西·咸陽市高新一中高一期中）如果，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】舉例判斷A，B，D錯(cuò)誤，再證明C正確.【詳解】由已知可取，則，A錯(cuò)，，B錯(cuò)，，，D錯(cuò)，因?yàn)?，所以所以，故，C對，故選：C.例13．（2020·新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）若，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則<【答案】C【解析】【分析】對于AB，舉例判斷，對于CD，利用不等式的性質(zhì)判斷【詳解】對于A，若，則，所以A錯(cuò)誤，對于B，若，則，所以B錯(cuò)誤，對于C，因?yàn)椋杂刹坏仁降男再|(zhì)可得，所以C正確，對于D，因?yàn)?，所以，所以，即，所以D錯(cuò)誤，故選：C例14．（多選題）（2022·湖北·測試·編輯教研五高一階段練習(xí)）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABC【解析】【分析】對于A：利用同向不等式相加，即可證明；對于B、C：利用不等式的可乘性可以證明；對于D：取特殊值即可否定結(jié)論.【詳解】對于A：因?yàn)?，所?因?yàn)?，利用同向不等式相加，則有.故A正確；對于B：因?yàn)?，所以，所以，對兩邊同乘以，則有.故B正確；對于C：因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?對兩邊同乘以，有，所以.故C正確；對于D：取，滿足，但是，所以不成立.故D錯(cuò)誤.故選：ABC【方法技巧與總結(jié)】運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷真假的技巧(1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì).(2)解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗(yàn)證計(jì)算.題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式例15．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）利用不等式的性質(zhì)證明下列不等式：(1)若，，則；(2)若，，則．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）可知，而，即可得證；（2）可知，而，即可得證；(1)證明：，，又，；(2)證明：，，又，．例16．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，，求證：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可；（2）結(jié)合（1）和不等式的性質(zhì)求解.(1)證明：因?yàn)?，，所以所以?2)證明：由（1）得，又，所以.例17．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知下列三個(gè)不等式：①，②，③，以其中兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，可組成幾個(gè)真命題？請證明你的結(jié)論.【答案】3個(gè)，證明見解析.【解析】【分析】先寫出組成的命題，然后結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明.【詳解】可以組成3個(gè)真命題.（1）若，，則.證明：因?yàn)?，，所以，?（2）若，，則.證明：因?yàn)椋?，所以，?（3）若，，則.證明：因?yàn)?，，所?例18．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若，則.(1)若存在常數(shù)，使得不等式對任意正數(shù)，恒成立，試求常數(shù)的值，并證明不等式：；(2)證明不等式：.【答案】(1)，證明見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)令即可求解，利用不等式性質(zhì)即可證明不等式；(2)從原不等式入手，對原不等式變形，通過分類討論與之間的大小關(guān)系即可證明.【詳解】證明：(1)當(dāng)時(shí)，，故，由，且，利用不等式性質(zhì)可得，；(2)欲證，只需證明，即，①當(dāng)時(shí)，顯然不等式成立，②當(dāng)時(shí)，不妨令，即，故，由于，顯然成立，故原不等式成立；同理，當(dāng)時(shí)，原不等式也成立.綜上所述，對于任意，，均成立.【方法技巧與總結(jié)】對利用不等式的性質(zhì)證明不等式的說明(1)不等式的性質(zhì)是證明不等式的基礎(chǔ)，對任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b有a-b>0?a>b；a-b=0?a=b；a-b<0?a<b.這是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的依據(jù)，也是證明不等式的基礎(chǔ).(2)利用不等式的性質(zhì)證明不等式，關(guān)鍵要對性質(zhì)正確理解和運(yùn)用，要弄清楚每一條性質(zhì)的條件和結(jié)論，注意條件的加強(qiáng)和減弱、條件和結(jié)論之間的相互聯(lián)系.(3)比較法是證明不等式的基本方法之一，是實(shí)數(shù)大小比較和實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用.題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小例19．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高一階段練習(xí)（理））下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【解析】【分析】由不等式性質(zhì)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，若，由可得：，A錯(cuò)誤；對于B，若，則，此時(shí)未必成立，B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，由不等式性質(zhì)知：，D正確.故選：D.例20．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰市元寶山區(qū)第一中學(xué)高一期中）若，則下列不等式不能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，結(jié)合結(jié)合不等式性質(zhì)判斷A，B，C正確，再舉例說明D錯(cuò)誤..【詳解】因?yàn)?，所以，，，，又，所以，所以成立，，所以，，所以，取可得，，，所以不成立，故選：D.例21．（多選題）（2022·江蘇·揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）已知，，下列不等式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)及特殊值判斷即可.【詳解】對于A，由不等式性質(zhì)，可得，正確；對于B，時(shí)，顯然不成立，故錯(cuò)誤；對于C，時(shí)，，故錯(cuò)誤；對于D，由可得，所以，即，故正確.故選：AD例22．（多選題）（2022·廣東·小欖中學(xué)高一階段練習(xí)）對于實(shí)數(shù)，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】BD【解析】【分析】A特殊值法判斷；B由結(jié)合不等式性質(zhì)判斷；C作差法判斷；D由或時(shí)的大小情況判斷.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，不成立，錯(cuò)誤；B：由，有，則，正確；C：由，則，錯(cuò)誤；D：若或，有，與題設(shè)矛盾，故，正確.故選：BD例23．（多選題）（2022·貴州貴陽·高一期末）下列說法正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AB【解析】【分析】對于A：利用同向不等式相加可以證明；對于B：利用同向不等式相乘可以證明；對于C：利用不等式的可乘性可以判斷；對于D：取特殊值可以判斷.【詳解】對于A：因?yàn)?，所以，利用同向不等式相加可以得到?故A正確；對于B：因?yàn)椋?，又因?yàn)?，利用同向不等式相乘可以得到：，所?故B正確；對于C：因?yàn)椋?因?yàn)?，所?故C錯(cuò)誤；對于D：取特殊值滿足，但是，，所以.故D錯(cuò)誤.故選：AB例24．（多選題）（2022·廣東·深圳科學(xué)高中高一期中）下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．，則 D．若，則【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷AD，結(jié)合作差法比較大小判斷BC.【詳解】解：對于A選項(xiàng)，因?yàn)?，故，故，正確；對于B選項(xiàng)，由于，，故，，故，即，正確；對于C選項(xiàng)，由于，故，故，即，正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤.故選：ABC【方法技巧與總結(jié)】注意點(diǎn)：①記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用；②應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍例25．（2020·廣東·新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）已知，，則的取值范圍是【答案】【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，，所以，?6．（2022·徐州市第三十六中學(xué)（江蘇師范大學(xué)附屬中學(xué)）高一階段練習(xí)）已知，則的取值范圍為【答案】【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)求解【詳解】，故，，得例27．（2022·吉林延邊·高一期末）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】先求的范圍，再根據(jù)不等式的性質(zhì)，求的范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，由，?故選：A.例28．（2020·浙江臺州·高一期中）已知且，則的取值范圍是【答案】【解析】【分析】由已知條件推導(dǎo)出，，再由得出，由得出，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】，，則，，，則，由得，則，即，即，又，，因此，的取值范圍是.例29．（多選題）（2022·新疆·烏魯木齊市第70中高一階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】【分析】由題意結(jié)合不等式的性質(zhì)求解即可【詳解】對于A：因?yàn)?，所以，則，即，故A正確；對于B：又，，所以，即，故B正確；對于C：，故C錯(cuò)誤；對于D：，故D正確；故選：ABD例30．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知且滿足，則的取值范圍是【答案】【解析】【分析】設(shè)，求出結(jié)合條件可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，可得，解得，，因?yàn)榭傻?，所?例31．（2022·福建·廈門市國祺中學(xué)高一期中）若，，，則t的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，然后求出x,y，進(jìn)而根據(jù)不等式的性質(zhì)求出答案.【詳解】設(shè)，則，解得．因?yàn)?，，所以，即．故答案為?例32．（2022·全國·高一期中）已知，且，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用待定系數(shù)法求出的值，再由不等式的性質(zhì)計(jì)算和的范圍，即可得的范圍，再兩邊同時(shí)除以即可求解.【詳解】由可得：，令，整理可得：，所以，解得：，所以，將兩邊同時(shí)乘以，可得，①將兩邊同時(shí)乘以，可得，②兩式相加可得：，即，因?yàn)?，所以?3．（2022·湖北·車城高中高一階段練習(xí)）（1）已知，，求和的取值范圍；（2）已知，，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)求解（2）由待定系數(shù)法配湊后求解【詳解】（1），又，，又，（2）設(shè)，得即而，例34．（2022·湖北·武漢市鋼城第四中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，，求，，的范圍.【答案】，，【解析】【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，先求出與的范圍，再由可乘性得出的范圍即可.【詳解】∵，，∴，，，，∴，，∴.故，，．【方法技巧與總結(jié)】利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍.如已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范圍，不能分別求出x，y的范圍，再求2x＋3y的范圍，應(yīng)把已知的“x＋y”“x－y”視為整體，即2x＋3y＝eq\f(5,2)(x＋y)－eq\f(1,2)(x－y)，所以需分別求出eq\f(5,2)(x＋y)，－eq\f(1,2)(x－y)的范圍，兩范圍相加可得2x＋3y的范圍．“范圍”必須對應(yīng)某個(gè)字母變量或代數(shù)式，一旦變化出其他的范圍問題，則不能再間接得出，必須“直來直去”，即直接找到要求的量與已知的量間的數(shù)量關(guān)系，然后去求．注意同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·山西師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）若，且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．【詳解】A顯然錯(cuò)誤，例如，；時(shí)，由得，B錯(cuò)；，但時(shí)，，C錯(cuò)；，又，所以，D正確．故選：D．2．（2022·寧夏·銀川二中高二期中（理））已知且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)證明，或者構(gòu)造反例說明，即可得解.【詳解】由題意可知，a、b、，且A：若，滿足，則，故A錯(cuò)誤；B：若，滿足，則，故B錯(cuò)誤；C：若，則，故C錯(cuò)誤；D：，故D正確.故選：D3．（2022·湖北·隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則可能取的值為（

）A． B．0 C． D．【答案】C【解析】【分析】令，根據(jù)，求得的值，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，實(shí)數(shù)，滿足，，令，即，可得，解得，所以，則，，所以.故選：C.4．（2022·河南·夏邑第一高級中學(xué)高二期中（文））若a是實(shí)數(shù)，，，則P，Q的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．由a的取值確定【答案】A【解析】【分析】由題可得，，進(jìn)而比較與即可.【詳解】顯然P，Q都是正數(shù)，又，，若a是負(fù)數(shù)，則，，所以；若a是非負(fù)數(shù)，則，，所以．綜上所述，．故選：A．5．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）若a，b都是非零實(shí)數(shù)，滿足，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依題意可得，再利用作差法得到，即可得到，從而得解；【詳解】解：因?yàn)榍?，所以，，所以，故C正確，D錯(cuò)誤；若，則，又，則，若，則，又，無法判斷與的大小關(guān)系，故A、B錯(cuò)誤；故選：C6．（2022·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）古希臘時(shí)期，人們把寬與長之比為的矩形稱為黃金矩形，把這個(gè)比值稱為黃金分割比例.如圖為希臘的一座古建筑，其中圖中的矩形ABCD，EBCF，F(xiàn)GHC，F(xiàn)GJI，LGJK，MNJK均為黃金矩形，若M與K間的距離超過1.5米，C與F間的距離小于11米，則該古建筑中A與B間的距離可能是（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）A．30.3米 B．30.1米 C．29.2米 D．27.4米【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)設(shè)米，，從而表示出M與K間的距離、C與F間的距離，列出不等式求解后比較各選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)米，，因?yàn)榫匦蜛BCD，EBCF，F(xiàn)GHC，F(xiàn)GJI，LGJK，MNJK均為黃金矩形，所以，，又因?yàn)镸與K間的距離超過1.5米，C與F間的距離小于11米，所以，解得，比較各選項(xiàng)可知該古建筑中A與B間的距離可能是27.4米.故選：D7．（2020·湖北·襄陽市第二十四中學(xué)高一階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)及特殊值一一判斷即可．【詳解】解：對于A：當(dāng)，，，，滿足，，但是，故A錯(cuò)誤；對于B：當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)誤；對于C：由，所以，因?yàn)椋?，故C正確；對于D：當(dāng)，滿足，但是，故D錯(cuò)誤；故選：C8．（2022·陜西·西安中學(xué)高二期末（文）），，，，設(shè)，則下列判斷中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】通過湊配構(gòu)造的方式，構(gòu)造出新式子，且可以化簡為整數(shù)，然后利用放縮思想得到S的范圍.【詳解】解：，，，，，；，.故選：D二、多選題9．（2022·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）若a，b，，則下列命題正確的是（

）A．若且，則 B．若，則C．若且，則 D．【答案】BCD【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】解：對于A，當(dāng)時(shí)，結(jié)論不成立，故A錯(cuò)誤；對于B，等價(jià)于，又，故成立，故B正確；對于C，因?yàn)榍遥缘葍r(jià)于，即，成立，故C正確；對于D，等價(jià)于，成立，故D正確.故選：BCD.10．（2022·廣東佛山·模擬預(yù)測）下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，，則【答案】AD【解析】【分析】A．由不等式的性質(zhì)判斷；B.舉例判斷；C.由判斷；D.作差判斷.【詳解】A．由不等式的性質(zhì)可知同向不等式相加，不等式方向不變，故正確；B.當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；C.當(dāng)時(shí)，故錯(cuò)誤；D.，因?yàn)椋?，，所以，故正確；故選：AD11．（2022·黑龍江·大慶外國語學(xué)校高一開學(xué)考試）若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足，則以下不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)所給條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】由且，則，A正確；由且，則，B正確；當(dāng)時(shí)，有，C錯(cuò)誤；由且，則，又，故，D正確.故選：ABD12．（2022·安徽·涇縣中學(xué)高一階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，且，記，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，分析、計(jì)算判斷選項(xiàng)A，D；取特值計(jì)算判斷選項(xiàng)B，C作答.【詳解】因?qū)崝?shù)滿足，且，則，A正確；取，則，此時(shí)，即B，C都不正確；，，又，即，則有，D正確.故選：AD三、填空題13．（2022·新疆·莎車縣第一中學(xué)高二期中（文））設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系__________．【答案】【解析】【分析】依題意可得，，即可得到，再由，，即可得到，從而得解；【詳解】解：因?yàn)?，，因?yàn)?，所以，所以，而，而，所以，所以．故答案為?4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，，設(shè)，則的最小值為__．【答案】##【解析】【分析】將化簡可得，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號．所以的最小值為．故答案為：．15．（2020·上海市晉元高級中學(xué)高一期中）給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③對于正數(shù)，若，則.其中真命題的序號是__________.【答案】①.【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合題設(shè)條件逐一證明即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，故①正確；若，則，故②錯(cuò)誤；若，則，所以，所以，又，所以，故③錯(cuò)誤；綜上，真命題的序