湖北省武漢市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

Page252024-2025學(xué)年上學(xué)期10月質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.平行六面體中，化簡(jiǎn)（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)已知條件，結(jié)合向量的加減法法則，即可求解．【詳解】為平行四面體，故選：A．2.已知點(diǎn)、、不共線，對(duì)空間隨意一點(diǎn)，若，則點(diǎn)、、、（）A.不共面 B.共面 C.不愿定共面 D.無(wú)法推斷【答案】B【解析】【分析】依據(jù)共面對(duì)量的基本定理可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋瑒t，即，即，所以共面，又因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn)，所以點(diǎn)、、、共面.故選：B.3.如圖，在四面體中，是的重心，是上的一點(diǎn)，且，若，則為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)空間向量線性運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，用表示出．【詳解】因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，是的重心，則，所以，因?yàn)樗?，若，則．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查空間的向量的線性運(yùn)算，駕馭向量線性運(yùn)算的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4.已知向量，，，若，，共面，則（）A.4 B.2 C.3 D.1【答案】D【解析】【分析】依據(jù)空間向量共面定理得到存在兩個(gè)實(shí)數(shù)、，使得，即可得到方程組，解得即可.【詳解】因?yàn)?，，共面，所以存在兩個(gè)實(shí)數(shù)、，使得，即，即，解得．故選：D5.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別是棱、的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，找到平面的法向量，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.

設(shè)平面的法向量為，則，即令，得.又，點(diǎn)到平面的距離，故選：.【點(diǎn)睛】本題用向量法求點(diǎn)到平面的距離，我們也可以用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)然也可以找到這個(gè)垂線段，然后放在直角三角形中去求.6.如圖，是正三角形所在平面外一點(diǎn)，，分別是和的中點(diǎn)，，且，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求異面直線夾角.【詳解】不妨設(shè)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，又，分別是和的中點(diǎn)，則，．所以，，所以，，因?yàn)楫惷嬷本€所成角為銳角或直角，所以異面直線與所成角的余弦值為，故選：B.7.如圖，四棱錐中，底面是矩形，平面，且，點(diǎn)是上一點(diǎn)，當(dāng)二面角為時(shí)，A. B. C. D.1【答案】A【解析】【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由于，所以，即，又平面的一個(gè)法向量是且，解之得，應(yīng)選答案A．8.已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】由題意不妨令棱長(zhǎng)為，如圖在底面內(nèi)的射影為的中心，故由勾股定理得過(guò)作平面，則為與底面所成角，且如圖作于中點(diǎn)與底面所成角的正弦值故答案選點(diǎn)睛：本題考查直線與平面所成的角，要先過(guò)點(diǎn)作垂線構(gòu)造出線面角，然后計(jì)算出各邊長(zhǎng)度，在直角三角形中解三角形．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9.已知為直線l的方向向量，，分別為平面，的法向量（，不重合），那么下列說(shuō)法中，正確的有（）．A.∥∥ B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用法向量與平面的位置關(guān)系以及線面垂直的判定定理判定即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，分別為平面，的法向量，若，則，若則，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，則，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，則∥或，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AB.10.給出下列命題，其中正確的命題是（）A.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B.若為空間的一個(gè)基底，則、、構(gòu)成空間的另一基底C.兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線D.已知向量，，則在上的投影向量為【答案】BCD【解析】【分析】利用空間向量位置關(guān)系與向量的關(guān)系可推斷A選項(xiàng)；利用空間向量的基本定理可推斷BC選項(xiàng)；利用投影向量的定義可推斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若直線的方向向量為，平面的法向量為，則，即，所以，或，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，假設(shè)、、不是構(gòu)成空間的一組基底，不妨設(shè)，又因?yàn)闉榭臻g的一個(gè)基底，則、、不共面，所以，，沖突，故、、構(gòu)成空間的另一基底，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，不妨設(shè)這兩個(gè)非零向量不共線，設(shè)這兩個(gè)非零向量為、，由空間向量的基本定理可知，在空間中必存在非零向量，使得為空間的一個(gè)基，假設(shè)不成立，故這兩個(gè)非零向量共線，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)橄蛄?，，則在上的投影向量為，D對(duì).故選：BCD11.在四面體P-ABC中，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若Q為△ABC的重心，則C.若，，則D.若四面體P-ABC的棱長(zhǎng)都為2，點(diǎn)M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)，則【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)立體幾何的向量運(yùn)算法則、重心的向量表示法則以及向量的模值計(jì)算進(jìn)行逐項(xiàng)推斷即可.【詳解】解：由題意得：對(duì)于A：∵，∴，∴，∴，∴，即故A正確；對(duì)于B：若Q為△ABC的重心，則，∴，∴故B正確；對(duì)于C：∵，∴，故C正確；對(duì)于D：∵，∴∵∴故D錯(cuò)誤．故選：ABC12.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面，則（）A.B.與平面所成角為C.異面直線與所成角的余弦值為D.平面與平面夾角的余弦值為【答案】ACD【解析】【分析】證明出平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)可推斷A選項(xiàng)；利用線面角的定義可推斷B選項(xiàng)；利用異面直線所成角的定義可推斷C選項(xiàng)；利用空間向量法可推斷D選項(xiàng).【詳解】設(shè)，對(duì)于A選項(xiàng)，，由余弦定理可得，所以，，所以，，因?yàn)榈酌?，平面，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)榈酌?，所以，與平面所成的角為，且，又因?yàn)闉殇J角，故，即與平面所成角為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則，且，所以，異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，因?yàn)榈酌?，平面，則，所以，，則，故異面直線與所成角的余弦值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)榈酌?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，所以，，所以，平面與平面夾角的余弦值為，D對(duì).故選：ACD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上）13.已知點(diǎn)，直線過(guò)原點(diǎn)，且平行于向量，則點(diǎn)到直線的距離是________.【答案】##【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得點(diǎn)到直線的距離.【詳解】由題意可得，易知直線的一個(gè)方向向量為，所以，點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.14.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，那么，在空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于軸的對(duì)稱軸點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________，若點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則___________．【答案】①.②.【解析】【分析】在空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于軸的對(duì)稱軸點(diǎn)坐標(biāo)為橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，若點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，橫、縱坐標(biāo)均不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，再由兩點(diǎn)間距離公式能求出．【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于軸的對(duì)稱軸點(diǎn)坐標(biāo)為，若點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則，所以．故答案為：，．15.平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝1，且AB，AD，AA1的夾角都是60°，則____．【答案】3【解析】【分析】設(shè)出向量，，，它們兩兩之間夾角為，然后表示出向量，，再利用數(shù)量積的定義和運(yùn)算法則即可求解．【詳解】如圖，可設(shè)，，，故，，，又因?yàn)?，同理可得，，于是?)?()222+2?＝﹣4+4+1+2×||?||cos60°＝1+2×2×1＝3故答案為：316.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)M在棱上，且，則當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí)其棱________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量的垂直可得，進(jìn)而可得，由基本不等式即可得解.【詳解】設(shè)，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，又，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時(shí)其棱.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量及基本不等式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，合理轉(zhuǎn)化、細(xì)心計(jì)算是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.設(shè)，.（1）若，求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出向量、的坐標(biāo)，利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值；（2）分析可知，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)的值.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，，則，，若，則，解得.【小問(wèn)2詳解】解：若，則，解得.18.如圖，在空間四邊形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，設(shè)，，．（1）試用向量，，表示向量；（2）若，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先把表示出來(lái)，然后由點(diǎn)E為的中點(diǎn)得，化簡(jiǎn)即得結(jié)果；（2）把用表示，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合已知條件即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)E為的中點(diǎn)，所以.小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所?19.在平面四邊形中，，，將沿折起，使得平面平面，如圖．（1）求證：；（2）若為中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】【詳解】試題分析：(1)由,將沿折起，使得平面平面,即可得AB垂直于平面BCD.從而得到結(jié)論.(2)依題意,可得,又由平面BCD.如圖建立直角坐標(biāo)系.求直線與平面所成角的正弦值.等價(jià)于求出直線與平面的法向量所成的角的余弦值.寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)以及相應(yīng)的向量,求出法向量即可得到結(jié)論.試題解析：(1)因?yàn)槠矫?平面平面平面所以平面又平面所以.(2)過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作的垂線作為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．∵AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M．∴（0，1，﹣1），（1，1，0），．設(shè)平面BCM的法向量（x，y，z），則，令y＝﹣1，則x＝1，z＝1．∴（1，﹣1，1）．設(shè)直線AD與平面MBC所成角為θ．則sinθ＝|cos|．考點(diǎn)：1.線面的位置關(guān)系.2.空間直角坐標(biāo)系.3.空間想象力.20.如圖，在四棱錐中，平面，，，是棱上一點(diǎn)，且，.（1）若，求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，證明出，再利用線面平行判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，結(jié)合求出的值，即可得解.【小問(wèn)1詳解】證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，且，所以，，又因?yàn)椋瑒t，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，故平?【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，則、、、，設(shè)，其中，則，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，由題意可得，整理可得，解得，此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn)，故.21.如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形，，.（1）證明：平面平面（2）過(guò)的平面交于點(diǎn)，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求平面與夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取線段的中點(diǎn)，連接、，證明出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）分析可知，為的中點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】取線段的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，又因?yàn)椋?，所以，，所以，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)闉橹苯侨切危?，且，因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)椋瑒t，所以，，因?yàn)?，、平面，所以，平面，又因?yàn)槠矫?，所以，平面平?【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由題意可知，，即，可得，所以，為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，所以，，所以，平面與夾角的余弦值為.22.已知三棱柱，，，，在平面ABC上的射影為B，二面角的大小為，（1）求與BC所成角的余弦值；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角為，若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）依據(jù)已知結(jié)合幾何學(xué)問(wèn)得出與，即可得出為二面角的平面角，則，令，則，在中，得出，在中，依據(jù)，，，，列式求解即可得出，過(guò)B作，又因?yàn)槠矫鍭BC，所以BM、BC、兩兩垂直，即可以、、為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得出，，即可依據(jù)直線間夾角的向量求法得出答案；（2），所以，得出，則，依據(jù)平面的法向量的求法求出平面EB