四川省校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文科含解析_第1頁
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文檔簡介

Page17第Ⅰ卷(選擇題)留意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡上.2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,請將答案涂在答題卡上.1.命題p:,,則是()A., B.,C., D.,【答案】D【解析】【分析】依據(jù)全稱量詞命題的否定的學(xué)問確定正確答案.【詳解】原命題是全稱量詞命題,其否定是存在量詞命題,留意到是否定結(jié)論,不否定條件,所以D選項正確.故選:D2.設(shè),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)二次不等式解法解出,再依據(jù)充分條件和必要條件的概念即可推斷.【詳解】或,則,,所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B.3.設(shè)是雙曲線左支上的動點,分別為左右焦點,則()A. B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】利用雙曲線的方程的特點和雙曲線的定義即可求解.【詳解】由,得解得.因為是雙曲線左支上的動點,所以.由雙曲線的定義可知.故選:A.4.已知拋物線上的點到其焦點的距離為2,則的橫坐標(biāo)是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程,設(shè)點的橫坐標(biāo),利用拋物線的定義,即可求解.【詳解】拋物線焦點,準(zhǔn)線方程為,設(shè)點的橫坐標(biāo)為,依據(jù)拋物線的定義,.故選:C【點睛】本題考查拋物線定義在解題中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5.若,則等于()A2 B.0 C.-2 D.-4【答案】D【解析】【分析】先求導(dǎo),算出,然后即可求出【詳解】因為,所以所以,得所以,所以故選:D【點睛】本題考查的是導(dǎo)數(shù)的計算,較簡潔.6.若曲線在點處的切線平行于直線,則點的坐標(biāo)為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】設(shè),,因為曲線在點處的切線平行于直線,,所以點的坐標(biāo)為,故選:C7.已知函數(shù)圖象如圖所示(其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)),則下面四個圖象中,的圖象大致是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用函數(shù)的圖象求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進而得到正確選項.【詳解】由題給函數(shù)的圖象,可得當(dāng)時,,則,則單調(diào)遞增;當(dāng)時,,則,則單調(diào)遞減;當(dāng)時,,則,則單調(diào)遞減;當(dāng)時,,則,則單調(diào)遞增;則單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為故僅選項C符合要求.故選:C8.已知函數(shù)f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2處有極值,則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間是()A.(2,3)B.(3,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,3)【答案】B【解析】【詳解】f′(x)=6x2+2ax+36,因為f(x)在x=2處有極值,所以f′(2)=0,解得a=-15.令f′(x)>0得x>3或x<2.所以從選項看函數(shù)的一個遞增區(qū)間是(3,+∞).點睛:本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和極值問題:(1)可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)=0,且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同;(2)若f(x)在(a,b)內(nèi)有極值,那么f(x)在(a,b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù),即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值.9.已知,是橢圓C的兩個焦點,P為C上一點,,若C的離心率為,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)橢圓的定義,結(jié)合余弦定理、橢圓離心率的公式進行求解即可.【詳解】解:記,,由,及,得,,又由余弦定理知,得.由,得,從而,∴.∵,∴.故選:B10已知直線與拋物線相交于、兩點(其中位于第一象限),若,則()A. B. C.-1 D.【答案】A【解析】【分析】過作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,利用拋物線定義及得,利用三角形學(xué)問求出傾斜角,進一步求出直線斜率即可【詳解】由題意知,直線過拋物線的焦點,準(zhǔn)線方程為,分別過作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,過A作的垂線,垂足為M,如圖,設(shè),因為,所以,則,所以,即直線的傾斜角等于,可得直線的斜率為.故選:A.11.已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)),若在上恒成立,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意得,令,求導(dǎo)求最值即可.【詳解】若在上恒成立,則在上恒成立等價于在上恒成立,令,則,令,解得,令,解得,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故,故.故選:B.12.已知橢圓:的左右焦點為,,過的直線與圓相切于點,并與橢圓交于不同的兩點,,如圖,若,為線段的三等分點,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接,由題知,,所以,再結(jié)合橢圓的定義得,進而在中結(jié)合勾股定理得,最終依據(jù)離心率的公式求解即可.【詳解】如圖,連接,因為,為線段的三等分點,所以在中,為中點,為中點,所以,又因為過的直線與圓相切于點,所以,因為圓的半徑為,所以,由橢圓的定義得:,所以,所以在中,,即,整理得:,即:,所以.故選:C【點睛】本題考查橢圓的離心率的求解,考查運算求解實力,數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于證明,,進而依據(jù)橢圓的定義得,再結(jié)合勾股定理得.第Ⅱ卷(非選擇題)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.曲線在點處的切線方程為______.【答案】【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線斜率,代入點斜式方程即可求解.【詳解】因為,所以,則切線斜率,又,則切點為,所以切線方程為,化簡得:.故答案為:.14.已知命題“∈[1,2],”是真命題,則實數(shù)a的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】由題意可得2a<x0在[1,2]的最大值,運用對勾函數(shù)的單調(diào)性可得最大值,即可得到所求a的范圍.【詳解】命題“?x0∈[1,2],x02﹣2ax0+1>0”是真命題,即有2a<x0在[1,2]的最大值,由x0在[1,2]遞增,可得x0=2取得最大值,則2a,可得a,則實數(shù)a的取值范圍為(﹣∞,).故答案為(﹣∞,).【點睛】本題考查存在性命題的真假問題解法,留意運用分別參數(shù)法,運用對勾函數(shù)的單調(diào)性,考查運算實力,屬于中檔題.15.已知函數(shù),若在區(qū)間上是增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍為_________.【答案】【解析】【詳解】由題意知f′(x)=x+2a?≥0在上恒成立,即2a≥?x+在上恒成立,∵=,∴2a≥,即a≥.16.已知函數(shù),若,則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】令,則,求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最小值即可.【詳解】設(shè),即,解得,所以,令,則,令,解得,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,所以的最小值為.故答案為:.【點睛】關(guān)鍵點點睛:對于雙變量的范圍問題,往往轉(zhuǎn)化為一個變量(解方程、主元法等),構(gòu)造函數(shù)后利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性,進一步求出函數(shù)的值域即可.三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17題10分,其余每題12分.17.已知命題,命題有意義.(1)若為真命題,求實數(shù)的取值范圍;(2)若為假命題,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)首先分別求兩個命題表示的的取值范圍,再求交集,即可求解;(2)由題意可知,與都為假命題,即與都為真命題,求與表示集合的交集.【小問1詳解】由題知,解得,即,要使有意義,只需,解得或,即或,若為真,則有,解得:,實數(shù)取值范圍是;【小問2詳解】由(1)知或,若為假命題,則與都為假命題,即與都為真命題,或,只需,解得或.則實數(shù)的取值范圍:或.18.已知函數(shù)在點處切線斜率為,且.(1)求和;(2)試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為【解析】【分析】(1)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,結(jié)合,進行求解即可;(2)求導(dǎo),利用導(dǎo)函數(shù)的符號變更確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】函數(shù),求導(dǎo),由,得解得:.【小問2詳解】由(1)得,求導(dǎo),令,得,當(dāng)或時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減;的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.19.已知雙曲線的焦點為,,且該雙曲線過點.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過左焦點作斜率為的弦AB,求AB的長;(3)求的周長.【答案】(1)(2)25(3)54【解析】【分析】(1)雙曲線的焦點在軸上,設(shè)出雙曲線方程,把已知條件代入解方程組即可;(2)寫出直線AB的方程,與雙曲線方程聯(lián)立,得出韋達定理,依據(jù)弦長公式求得;(3)由雙曲線的定義及弦長AB得出的周長.【小問1詳解】因為雙曲線的焦點在軸上,設(shè)雙曲線方程為,由題意得,解得,所以雙曲線方程為.【小問2詳解】依題意得直線AB的方程為,設(shè),.聯(lián)立,得,,且,所以.【小問3詳解】由(2)知A,B兩點都在雙曲線左支上,且,由雙曲線定義,,從而,的周長為.20.直線交拋物線于、兩點,線段中點的橫坐標(biāo)為,拋物線的焦點到軸的距離為.(1)求拋物線方程;(2)設(shè)拋物線與軸交于點,求的面積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)依據(jù)拋物線的焦點到軸的距離求出的值,即可得出拋物線的方程;(2)分析可知,將直線與拋物線的方程聯(lián)立,依據(jù)求出的取值范圍,依據(jù)線段中點的橫坐標(biāo)為求出的值,列出韋達定理,利用弦長公式可求得的值,求出點到直線的距離,利用三角形的面積公式可求得的面積.【小問1詳解】解:拋物線的焦點為,因為拋物線的焦點到軸的距離為,則,可得,所以,拋物線的方程為.【小問2詳解】解:若,則直線與拋物線只有一個交點,不合乎題意,則,設(shè)點、,聯(lián)立,可得,,解得,因為線段中點的橫坐標(biāo)為,則,整理可得,又因為,解得,易知拋物線交軸于點,則有,可得,由韋達定理可得,,由弦長公式可得,原點到直線的距離為,所以,.21.已知函數(shù)(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極值(2)若函數(shù)在上有且僅有2個零點,求的取值范圍【答案】(1)極大值,無微小值(2)【解析】【分析】(1)首先利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性,再求函數(shù)的極值;(2)首先分和兩種狀況探討函數(shù)的單調(diào)性,再依據(jù)函數(shù)的零點個數(shù),列不等式求實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時,,,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,取得極大值,極大值為,無微小值.【小問2詳解】,,當(dāng)時,恒成立,在單調(diào)遞增,所以最多只有1個零點,不成立,當(dāng)時,,,單調(diào)遞增,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,若函數(shù)在上有且僅有2個零點,則,解得:,且,解得:,且,解得:,綜上可知,,所以實數(shù)的取值范圍是.22.已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點,且橢圓E過,直線與橢圓E交于A、B.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線TA、TB的斜率分別為,,證明:;(3)直線是過點T的橢圓E的切線,且與直線l交于點P,定義為橢圓E的弦切角,為弦TB對應(yīng)的橢圓周角,探究橢圓E的弦切角與弦TB對應(yīng)的橢圓周角的關(guān)系,并證明你的論.【答案】(1)(2)證明見解析(3),證明見解析【解析】【分析】(1)依據(jù)題意可得,,解出a、b即可求解;(2)設(shè),將直線l方程聯(lián)立橢圓方程,利用韋達定理表示、,結(jié)合兩點表示斜率公式對化簡計算,即可求解;(3)設(shè)切線方程,由直線與橢圓的位置關(guān)系求出k,得出傾斜角,可得,由,得,結(jié)合三角形的外角和即可下結(jié)論.【小問1詳解】由題意

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