新教材人教A版高中數(shù)學必修第一冊第2課時集合的表示

第2課時集合的表示

L課前自主預(yù)習

學習目標

1.掌握用列舉法表示有限集.

2.理解描述法格式及其適用情形.

3.學會在集合不同的表示法中作出選擇和轉(zhuǎn)換.

要點梳理

1.列舉法

把集合的所有元素一一列舉出來,并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉

法.

溫馨提示：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開.

(2)集合中的元素必須是明確的.

(3)集合中的元素不能重復(fù).

(4)集合中的元素可以是任何事物.

2.描述法

(1)定義：一般地，設(shè)/表示一個集合，把集合力中所有具有共同特征戶(x)的元素x所

組成的集合表示為{XG/INX)},這種表示集合的方法稱為描述法.有時也用冒號或分號代

替豎線.

(2)具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍,

再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.

溫馨提示：(1)寫清楚集合中元素的符號.如數(shù)或點等.

(2)說明該集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函數(shù)式或幾何圖形等.

(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母.

思考診斷

i.觀察下列集合：

①方程/-4=0的根；

②20的所有正因數(shù)組成的集合.

(1)上述兩個集合中的元素能一一列舉出來嗎？

(2)如何表示上述兩個集合？

［答案］⑴能.①中的元素為一2,2；②中的元素為1,2,4,5,10,20

(2)用列舉法表示

2.觀察下列集合：

①不等式x—223的解集；

②函數(shù)尸1的圖象上的所有點.

(1)這兩個集合能用列舉法表示嗎？

(2)你覺得用什么方法表示這兩個集合比較合適？

［答案］(1)不能(2)利用描述法

3.判斷正誤(正確的打，錯誤的打“X”)

(1)由1,1,2,3組成的集合可用列舉法表示為｛1,1,2,3｝.()

(2)集合｛(1,2)｝中的元素是1和2.()

(3)集合力=｛x1x—1=0｝與集合6=｛1｝表示同一個集合.()

(4)集合34〈水5｝可用列舉法表示.()

［答案］⑴X(2)X(3)V(4)X

B課堂互動探究■

題型一用列舉法表示集合

【典例1】用列舉法表示下列集合：

(1)方程X(X—1)2=0的所有實數(shù)根組成的集合；

(2)不大于10的非負偶數(shù)集；

(3)一次函數(shù)y=x與y=2x—1圖象的交點組成的集合.

［思路導(dǎo)引］用列舉法表示集合的關(guān)鍵是弄清集合中的元素是什么，還要弄清集合中的

元素個數(shù).

［解］(1)方程x(x—1y=0的實數(shù)根為0,1,

故其實數(shù)根組成的集合為｛0,1｝.

(2)不大于10的非負偶數(shù)即為從0到10的偶數(shù)，故不大于10的非負偶數(shù)集為

｛0,2,4,6,8,10).

x=l,

⑶由,尸21，解得

故一次函數(shù)尸X與P=2x—1圖象的交點組成的集合為｛(1,1)｝.

用列舉法表示集合的3個步驟

［針對訓(xùn)練］

1.用列舉法表示下列集合：

⑴我國現(xiàn)有的所有直轄市；

(2)絕對值小于3的整數(shù)集合;

94

(3)一次函數(shù)y=x-l與尸一可X+鼻的圖象交點組成的集合.

［解］(1)我國現(xiàn)有的直轄市有北京市、天津市、上海市和重慶市，故我國現(xiàn)有的所有

直轄市組成的集合為｛北京市，天津市，上海市，重慶市｝.

(2)絕對值小于3的整數(shù)有一2,-1,0,1,2,故絕對值小于3的整數(shù)集合為｛—2,-

1,0,1,2).

，y=x-1,

⑶由《

24解得j之

尸一鏟

故一次函數(shù)y=x—1與y=—■|x+g的圖象交點組成的集合為|jj.

題型二用描述法表示集合

【典例2】用描述法表示下列集合：

(1)正偶數(shù)集；

(2)被3除余2的正整數(shù)的集合；

(3)平面直角坐標系中坐標軸上的點組成的集合；

(4)不等式3x—2〈4的解集.

［思路導(dǎo)引］用描述法表示集合的關(guān)鍵是確定代表元素的屬性和表示元素的共同特征.

［解］(1)偶數(shù)可用式子X=2A,表示，但此題要求為正偶數(shù)，故限定A￡N*,所以

正偶數(shù)集可表示為｛x|x=2〃，〃GN*｝.

(2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x,則x=3〃+2,〃ez,但元素為正整數(shù)，故x=3〃+2,〃eN,

所以被3除余2的正整數(shù)集合可表示為｛x|x=3〃+2,〃GN｝.

(3)坐標軸上的點(x,力的特點是橫、縱坐標中至少有一個為0,即燈=0,故坐標軸上

的點的集合可表示為｛(%0|盯=0｝.

(4)不等式3x—2<4可化簡為x<2,

所以不等式3x-2<4的解集為{x|X2}.

用描述法表示集合應(yīng)注意的3點

(1)用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點集還是其他的類型.一

般地，數(shù)集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數(shù)對來表示.

(2)用描述法表示集合時，若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含

義或取值范圍.

(3)多層描述時，應(yīng)當準確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi).

［針對訓(xùn)練］

2.用描述法表示下列集合：

(1)所有被5整除的數(shù)；

(2)方程6/—5x+l=0的實數(shù)解集；

(3)直線尸x上去掉原點的點的集合.

［解］(1)被5整除的數(shù)可用式子x=5〃，表示，所以所有被5整除的數(shù)的集合可

表示為{x|x=5〃，〃eZ}.

⑵由6Y—5x+1=0解得或x=:，所以方程6x?—5x+l=0的實數(shù)解集為

乙O

(3)直線尸x上除去原點，即xWO,所以直線y=x上去掉原點的點的集合為{(x,y)|y

=x,且xWO}.

題型三集合表示方法的應(yīng)用

【典例3】⑴若集合/={x|af―8x+16=0,aGR}中只有一個元素，則a的值為

()

A.1B.4

C.0D.0或1

⑵已知A={x|Ax+2〉0,AGR},若一2C4則A的取值范圍是.

［思路導(dǎo)引］借助描述法求值或范圍的關(guān)鍵是弄清集合中元素的特征.

［解析］⑴①當a=O時，原方程為16—8x=0.

；.x=2,此時/={2}；

②當aWO時，由集合力中只有一個元素，

方程ax-8矛+16=0有兩個相等實根，

則A=64—64a=0,即a=l.

從而AI=X2=4,...集合/={4}.

綜上所述，實數(shù)a的值為0或1.故選D.

(2)--2?4.?.一2什2>0,得K1.

［答案］(1)D(2)A<1

［變式］(1)本例(1)中條件“有一個元素”改為有“兩個元素”，其他條件不變，求a

的取值范圍.

(2)本例(2)中條件“一2GN”改為“-244',其他條件不變，求"的取值范圍.

［解］⑴由題意可知方程ax?—8x+16=0有兩個不等實根.

aWO,

解得a〈l,且aWO.

/=64—64a〉0,

⑵?；一2陣4.,.—2A+2W0,得

集合表示方法的應(yīng)用的注意點

(1)若己知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵.

(2)與方程a/—8x+16=0的根有關(guān)問題易忽視a=0的情況.

［針對訓(xùn)練］

3.已知集合/={x|f—ax+6=0},若{=⑵3},求a,6的值.

［解］由/={2,3}知，方程f—ax+6=0的兩根為2,3,由根與系數(shù)的關(guān)系得,

2+3=a,

因此a=5,6=6.

2X3=6,

4.設(shè)集合8=［xGN

(1)試判斷元素1,2與集合B的關(guān)系；

(2)用列舉法表示集合6.

［解］⑴當x=l時，注7=2WN.

乙I-L

當x=2時，表=飄所以1eq2新.

6

(2)V--eN,xGN,；.2+x只能取2,3,6.

2十x

??.X只能取0,1,4.."={0,1,4}*

課堂歸納小結(jié)

1.表示集合的要求

(1)根據(jù)要表示的集合元素的特點，選擇適當方法表示集合，一般要符合最簡原則.

(2)一般情況下，元素個數(shù)無限的集合不宜用列舉法表示，描述法既可以表示元素個數(shù)

無限的集合，也可以表示元素個數(shù)有限的集合.

2.在用描述法表示集合時應(yīng)注意的問題

(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是數(shù)、還是有序?qū)崝?shù)對(點)、還是集

合或其他形式？

(2)元素具有怎樣的屬性？當題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽

存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.

B隨堂鞏固驗收■

I.用列舉法表示集合2牙+1=0}為()

A.{1,1}B.{1}

C.{x=1}D.{/—2JT+1=0}

［解析］VY—2x+l=0,即(x—1)2=0,選B.

［答案］B

2.已知集合/={xGN*|—則必有()

A.—1^-AB.0￡/

C./wdD.lej

［解析］：xGN*,一乖W后乖，：.x=l,2,即/={1,2},.?.1G4選D.

［答案］D

3.一次函數(shù)y=x—3與尸一2x的圖象的交點組成的集合是()

A.{1,—2}B.{%=1,y=—2}

C.{(-2,1)}D.{(1,-2)}

交點為(1,—2),故選D.

［答案］D

4.若2={—2,2,3,4},B={x\x=t2,t^A},用列舉法表示集合8為

［解析］當t=-2時，x=4；

當t=2時，x=4；

當t—3時，x=9；

當t=4時，x=16；

：.B={4,9,16).

［答案］{4,9,16)

5.選擇適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)絕對值不大于2的整數(shù)組成的集合；

(2)方程(3x—5)(x+2)=0的實數(shù)解組成的集合；

(3)一次函數(shù)y=x+6圖象上所有點組成的集合.

［解］(1)絕對值不大于2的整數(shù)是一2,-1,0,1,2,共有5個元素，則用列舉法表示

為{—2,—1,0,1,2).

(2)方程(3x—5)(x+2)=0的實數(shù)解僅有兩個,分別是*—2,用列舉法表示為《，一

(3)一次函數(shù)y=x+6圖象上有無數(shù)個點，用描述法表示為{(x,力|y=x+6}.

課內(nèi)拓展課外探究

集合的表示方法

1.有限集、無限集

根據(jù)集合中元素的個數(shù)可以將集合分為有限集和無限集.當集合中元素的個數(shù)有限時，

稱之為有限集；而當集合中元素的個數(shù)無限時，則稱之為無限集.

當集合為有限集，且元素個數(shù)較少時宜采用列舉法表示集合；對元素個數(shù)較多的集合和

無限集，一般采用描述法表示集合.

對于元素個數(shù)較多的集合或無限集，其元素呈現(xiàn)一定的規(guī)律，在不產(chǎn)生誤解的情況下，

也可以列舉出幾個元素作為代表，其他元素用省略號表示.

【典例1】用列舉法表示下列集合：

(1)正整數(shù)集；

(2)被3整除的數(shù)組成的集合.

［解］(1)此集合為無限集，且有一定規(guī)律，用列舉法表示為{1,2,3,4,…}.

(2)此集合為無限集，且有一定規(guī)律，用列舉法表示為{…，-6,-3,0,3,6,???},

［點評］(1){1,2,3,4,…}一般不寫成{2,1,4,3,…};

(2)此題中的省略號不能漏掉.

2.集合含義的正確識別

集合的元素類型多是以數(shù)、點、圖形等形式出現(xiàn)的.對于已知集合必須弄清集合元素的

形式，特別是對于用描述法給定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何屬性(如

表示數(shù)集、點集等).

【典例2】已知下面三個集合：①{x［y=/+l}；②{y［y=V+l}；③{(x,y)\y=x

+1}.問：它們是否為同一個集合？它們各自的含義是什么？

［解］...三個集合的代表元素互不相同，

它們是互不相同的集合.

集合①{x"=*+l}的代表元素是x,即滿足條件jux'+l中的所有x,.?.{x［y=x2+

1}=R.

集合②{y|y=v+1}的代表元素是y,滿足條件y=x+l的y的取值范圍是1，,3y

=x+l}={y|y'l}.

集合③{（x,y）1y=/+l}的代表元素是（x,力，可認為是滿足條件y=f+l的實數(shù)對

（x,力的集合，也可認為是坐標平面內(nèi)的點（x,y）,且這些點的坐標滿足y=V+L

...{（X,y）|尸\+1}=仍尸是拋物線尸）+1上的點}.

［點評］使用特征性質(zhì)描述來表示集合時，首先要明確集合中的元素是什么，如本題中

元素的屬性都與y=V+l有關(guān)，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一樣.

課后作業(yè)（二）

復(fù)習鞏固

一、選擇題

1.已知〃中有三個元素可以作為某一個三角形的邊長，則此三角形一定不是（）

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

［解析］集合〃的三個元素是互不相同的，所以作為某一個三角形的邊長，三邊是互不

相等的，故選D.

［答案］D

2.下列集合中，不同于另外三個集合的是（）

A.{x|x=l}B.{x|/=l}

C.{1}D.{y|（y—1）2=0}

［解析］{x|/=l}={—1,1},另外三個集合都是{1},選B.

［答案］B

3.已知后{x|x-K小},那么（）

A.2e#,-2e#B.一2（〃

C.2陣〃，一2（〃D.2（〃，-2e#

［解析］若x=2,則x—1=1〈鏡，所以2G%若x=-2,則x—1=—3〈4，所以一

2任川故選A.

［答案］A

4.下列集合的表示方法正確的是（）

A.第二、四象限內(nèi)的點集可表示為{（x,y）|xjW0，xGR,yGR}

B.不等式x—"4的解集為{x<5}

C.{全體整數(shù)}

D.實數(shù)集可表示為R

［解析］選項A中應(yīng)是x/O；選項B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的規(guī)

范格式，缺少了豎線和豎線前面的代表元素x；選項C的“{}”與“全體”意思重復(fù).

［答案］D

尸1,

5.方程組z2八的解集是()

［/-y=9

A.(-5,4)B.(5,-4)

C.{(一5,4)}D.{(5,-4)}

1x+尸1,1x=5,

［解析］解方程組L2得故解集為{(5,-4)},選D.

［x~y=9,g—4,

［答案］D

二、填空題

6.設(shè)集合/={1,-2,a2-l),6={1,a2—3a,0},若48相等，則實數(shù)a=.

fa2—1=0,

［解析］由集合相等的概念得20°解得a=L

［a—3a=—2,,

［答案］1

7.設(shè)一5G{x|x?—ax—5=0},則集合{x|x?+ax+3=0}=.

［解析］由題意知，-5是方程/—ax—5=0的一個根，

所以(-5)"+5a—5=0,得a=-4,

則方程x2+ax+3=0,即—4x+3=0,

解得x=l或x=3,

所以所I——4x+3=0}={1,3}.

［答案］{113}

8.若/={—2,0,2,3},8={(x,y),用列舉法表示集合6為.

(X——2,1x=0,(x—2,1x—3,

［解析］由得集合B={(-2,4),(0,0),

〔了=4,［y=0,〔y=4,1y=9,

(2,4),(3,9)).

［答案］{(-2,4),(0,0),(2,4),(3,9)}

三、解答題

9.用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)一年中有31天的月份的全體；

(2)由直線y=—x+4上的橫坐標和縱坐標都是自然數(shù)的點組成的集合.

［解］(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}.

(2)用描述法表示該集合為4{(x,力卜=—x+4,xeN,yGN},或用列舉法表示該

集合為｛(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)).

ba1,若06/且1G4求的值.

10.含有三個實數(shù)的集合4=才,

a

b

［解］由0G4”0不能做分母”可知a#0,故旨#0,所以一=0,即6=0.

a

又1G4可知J=1或a=l.

當a=l時，得￡=1,由集合元素的互異性，知a=l不合題意.

當3=1時，得a=—1或a=1(舍).

故a=-1,6=0,所以a犯9+尸19的值為-1.

綜合運用

11.集合/={引了=/+1},集合夕={(x,y)\y=x+l}(A,8中xGR,y￡R).選項中

元素與集合的關(guān)系都正確的是()

A.26/,且2G夕

B.(1,2)ej,且(1,2)G6

C.2^A,且(3,10)QB

D.(3,10)G4,且2G8

［解析］集合/中元素y是實數(shù)，不是點，故選項B,D不對.集合B的元素(x,y)是

點而不是實數(shù)，2G8不正確，所以A錯.