2024八年級數(shù)學下冊專題2.10有關一元二次方程的代數(shù)式求值問題重難點培優(yōu)含解析新版浙教版

Page1專題2.10有關一元二次方程的代數(shù)式求值問題（重點點培優(yōu)）姓名：__________________班級：______________得分：_________________留意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（阜南縣月考）已知關于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有一個非零根﹣n，則m﹣n的值為（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2【分析】把x＝﹣n代入方程x2+mx+n＝0得n2﹣mn+n＝0，然后兩邊除以n可得到m﹣n的值．【解析】把x＝﹣n代入方程x2+mx+n＝0得n2﹣mn+n＝0，∵n≠0，∴n﹣m+1＝0，∴m﹣n＝1．故選：A．2．（三臺縣一模）設方程x2+x﹣1＝0的一個正實數(shù)根為a，2a3+a2﹣3a的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3【分析】依據(jù)一元二次方程解的定義得到a2＝﹣a+1，再用a表示a3，然后利用整體代入的方法計算．【解析】方程x2+x﹣1＝0的一個正實數(shù)根為a，∴a2+a﹣1＝0，∴a2＝﹣a+1，∴a3＝﹣a2+a＝﹣（﹣a+1）+a＝2a﹣1，∴2a3+a2﹣3a＝2×（2a﹣1）﹣a+1﹣3a＝4a﹣2﹣a+1﹣3a＝﹣1．故選：B．3．（沙坪壩區(qū)校級模擬）若x＝﹣1是關于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一個根，則2024﹣2a+2b的值為（）A．2024 B．2024 C．2024 D．2024【分析】將x＝﹣1代入方程得出a﹣b＝1，再整體代入計算可得．【解析】將x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣1＝0，則a﹣b＝1，所以原式＝2024﹣2（a﹣b）＝2024﹣2×1＝2024﹣2＝2024，故選：A．4．（永嘉縣校級模擬）若關于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一個解是x＝1，則2024﹣a﹣b的值是（）A．2025 B．2015 C．2024 D．2024【分析】依據(jù)關于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一個解是x＝1，可以得到a+b的值，然后將所求式子變形，再將a+b的值代入，即可解答本題．【解析】∵關于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一個解是x＝1，∴a+b+1＝0，∴a+b＝﹣1，∴2024﹣a﹣b＝2024﹣（a+b）＝2024﹣（﹣1）＝2024+1＝2024，故選：C．5．（烏蘇市期末）若關于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m﹣3＝0有一個根為0，則m＝（）A．1 B．﹣3或1 C．﹣3 D．3或﹣1【分析】把x＝0代入一元二次方程后得到有關m的方程，求解即可得到m的值．【解析】一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m﹣3＝0得，m2+2m﹣3＝0，解之得，m＝﹣3或1，∵m+3≠0，即m≠﹣3，∴m＝1故選：A．6．（余杭區(qū)月考）若a﹣b+c＝0，則一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．無法確定【分析】由a﹣b+c＝0可知把x換成1成立，則可求得答案．【解析】∵a﹣b+c＝0，∴a×12﹣b×1+c＝0，∴方程ax2﹣bx+c＝0必有一根為1，故選：B．7．（紅谷灘區(qū)校級期末）若關于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根為x＝2024，則一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根為（）A．2017 B．2024 C．2024 D．2024【分析】對于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，設t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一個根為t＝2024得到x﹣1＝2024，從而可推斷一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根為x＝2024．【解析】對于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，設t＝x﹣1，所以at2+bt+2＝0，而關于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根為x＝2024，所以at2+bt+2＝0有一個根為t＝2024，則x﹣1＝2024，解得x＝2024，所以一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根為x＝2024．故選：B．8．（武昌區(qū)校級期末）已知實數(shù)a，b分別滿足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，則a2+b2的值為（）A．36 B．50 C．28 D．25【分析】依據(jù)題意，a、b可看作方程x2﹣6x+4＝0的兩根，則依據(jù)根與系數(shù)的關系得到a+b＝6，ab＝4，然后把原式變形得到原式＝再利用整體代入的方法計算即可．【解析】∵a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，∴a，b可看作方程x2﹣6x+4＝0的兩根，∴a+b＝6，ab＝4，∴原式＝（a+b）2﹣2ab＝62﹣2×4＝28，故選：C．9．（安徽期末）已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的兩個根，則（1+2024α+α2）（1+2024β+β2）的值為（）A．4 B．9 C．12 D．15【分析】由α、β是方程x2+2017x+1＝0的兩個根，可得α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，在將（1+2024α+α2）（1+2024β+β2）進行適當?shù)淖冃?，即可求出結果．【解析】∵α，β是方程x2+2017x+1＝0的兩個根，∴α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，∴（1+2024α+α2）（1+2024β+β2）＝（1+2017α+α2+3α）（1+2017β+β2+3β）＝9αβ＝9，故選：B．10．（宜賓）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的兩個根，則m2+4m+n的值是（）A．4 B．5 C．6 D．12【分析】由于m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的兩個根，依據(jù)根與系數(shù)的關系可得m+n＝﹣3，mn＝﹣9，而m是方程的一個根，可得m2+3m﹣9＝0，即m2+3m＝9，那么m2+4m+n＝m2+3m+m+n，再把m2+3m、m+n的值整體代入計算即可．【解析】∵m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的兩個根，∴m+n＝﹣3，∵m是x2+3x﹣9＝0的一個根，∴m2+3m﹣9＝0，∴m2+3m＝9，∴m2+4m+n＝m2+3m+m+n＝9+（m+n）＝9﹣3＝6．故選：C．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案干脆填寫在橫線上11．（雅安）已知一元二次方程x2+x﹣2024＝0的兩根分別為m，n，則1m+1n的值為【分析】由根與系數(shù)的關系可求得m+n和mn的值，代入求值即可．【解析】∵一元二次方程x2+x﹣2024＝0的兩根分別為m，n，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2024，∴1m故答案為：1202112．（崇川區(qū)期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣2006＝0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式x12﹣2x1+3x2的值等于2024．【分析】依據(jù)一元二次方程的解的概念和根與系數(shù)的關系求解．【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣2006＝0的兩個實數(shù)根，∴x12﹣5x1﹣2006＝0，x1+x2＝5，∴x12﹣5x1＝2006，∴原式＝x12﹣5x1+3x1+3x2＝x12﹣5x1+3（x1+x2）＝2006+15＝2024，故答案為：2024．13．（南京）設x1，x2是關于x的方程x2﹣3x+k＝0的兩個根，且x1＝2x2，則k＝2．【分析】依據(jù)根與系數(shù)的關系求得x2＝1，將其代入已知方程，列出關于k的方程，解方程即可．【解析】依據(jù)題意，知x1+x2＝3x2＝3，則x2＝1，將其代入關于x的方程x2﹣3x+k＝0，得12﹣3×1+k＝0．解得k＝2．故答案是：2．14．（拱墅區(qū)校級期中）設x1，x2是一元二次方程x2﹣7x﹣5＝0的兩個實數(shù)根，則x1+x2的值為7．【分析】由根與系數(shù)的關系可求出x1+x2的值．【解析】∵x1，x2是一元二次方程x2﹣7x﹣5＝0的兩個實數(shù)根，∴x1+x2＝7，故答案為：7．15．（柯橋區(qū)月考）假如m、n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代數(shù)式2n2﹣mn+2m+2024＝2032．【分析】由題意可知m，n是x2﹣x﹣3＝0的兩個不相等的實數(shù)根．則依據(jù)根與系數(shù)的關系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，利用它們可以化簡2n2﹣mn+2m+2024＝2（n+3）﹣mn+2m+2024＝2n+6﹣mn+2m+2024＝2（m+n）﹣mn+2027，然后就可以求出所求的代數(shù)式的值．【解析】由題意可知：m，n是兩個不相等的實數(shù)，且滿足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的兩個不相等的實數(shù)根，則依據(jù)根與系數(shù)的關系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，則2n2﹣mn+2m+2024＝2（n+3）﹣mn+2m+2024＝2n+6﹣mn+2m+2024＝2（m+n）﹣mn+2027＝2×1﹣（﹣3）+2027＝2+3+2027＝2032．故答案為：2032．16．（鄞州區(qū)月考）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個根，則﹣a3+2a+2024的值為2024．【分析】因為a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個根，所以a2﹣a﹣1＝0，所以a2﹣a＝1，然后整體代入求值即可．【解析】∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一個根，∴a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣a＝1．∴原式＝﹣（a3﹣2a）+2024＝﹣（a3﹣a2+a2﹣a﹣a）+2024＝﹣[a（a2﹣a）+1﹣a]+2024＝﹣（a+1﹣a）+2024＝﹣1+2024＝2024．故答案為：2024．17．（西湖區(qū)校級期中）若關于x的一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的其中一根為x＝2024，則關于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝0的根為x1＝﹣2，x2＝2024．【分析】結合已知條件得到x+2＝2024或x+2＝0，求得x即可．【解析】∵關于x的方程：a（x+2）2+b（x+2）＝0，且關于x的一元二次方程ax2+bx＝0（a≠0）的一根為x＝2024，∴x+2＝2024或x+2＝0，解得x＝2024或﹣2．故答案為：x1＝﹣2，x2＝2024．18．（嘉興期末）已知兩個關于x的一元二次方程x2+ax+b＝0，x2+cx+d＝0有一個公共解2，且a≠c，b≠d，b≠0，d≠0．下列結論：①c-ab-d有唯一對應的值12；②a2+c24≤b+d；③x=12是一元二次方程（b+d）x【分析】將x＝2代入方程，然后兩式相減進行計算，從而推斷①；設一元二次方程x2+ax+b＝0的另一個根為m，x2+cx+d＝0的另一個根為n，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系求得m+2＝﹣a，2m＝b，n+2＝﹣c，2n＝d，然后代入計算并利用完全平方式的非負性推斷②；將方程變形為（2m+2n）x2+（﹣m﹣2﹣n﹣2）x+2＝0，然后x=12代入方程進行驗證，從而【解析】∵關于x的一元二次方程x2+ax+b＝0，x2+cx+d＝0有一個公共解2，∴22+2a+b＝0①，22+2c+d＝0②，②﹣①，得：2（c﹣a）+d﹣b＝0，2（c﹣a）＝b﹣d，∴c-ab-d設一元二次方程x2+ax+b＝0的另一個根為m，x2+cx+d＝0的另一個根為n，∴m+2＝﹣a，2m＝b，n+2＝﹣c，2n＝d，∴a2﹣4b＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，c2﹣4d＝[﹣（n+2）]2﹣4×2n＝（n﹣2）2≥0，∴a2﹣4b+c2﹣4d≥0，∴a2+c2≥4b+4d，∴a2∵m+2＝﹣a，2m＝b，n+2＝﹣c，2n＝d，∴一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2＝0可變形為：（2m+2n）x2+（﹣m﹣2﹣n﹣2）x+2＝0，當x=12時，左邊＝（2m+2n）×（12）2+（﹣m﹣2﹣n∴x=12是一元二次方程（b+d）x2+（a+c）故答案為：①③．三、解答題（本大題共6小題，共46分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（溫嶺市期中）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一個根，求a2+b2﹣2ab﹣2的值．【分析】依據(jù)一元二次方程的解的定義，將x＝﹣1代入關于x的一元二次方程x2+ax+b＝0，求得a﹣b＝1；然后整體代入求值．【解析】∵x＝﹣1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一個根，∴a﹣b＝1．∴a2+b2﹣2ab﹣2＝（a﹣b）2﹣2＝﹣1．20．（宜春期末）在一元二次方程x2﹣2ax+b＝0中，若a2﹣b＞0，則稱a是該方程的中點值．（1）方程x2﹣8x+3＝0的中點值是4．（2）已知x2﹣mx+n＝0的中點值是3，其中一個根是2，求mn的值．【分析】（1）依據(jù)方程的中點值的定義計算；（2）利用方程的中點值的定義得到m＝6，再把把x＝2代入x2﹣mx+n＝0計算出n的值，然后計算mn．【解析】（1）∵（--82）∴方程x2﹣8x+3＝0的中點值為4；故答案為4；（2）∵m2∴m＝6，把x＝2代入x2﹣mx+n＝0得4﹣6×2+n＝0，解得n＝8，∴mn＝6×8＝48．21．（上虞區(qū)期末）解答下列各題：（1）用配方法解方程：x2+12x＝﹣9．（2）設x1，x2是一元二次方程5x2﹣9x﹣2＝0的兩根，求x12+x22的值．【分析】（1）把方程左邊化為完全平方式的形式，再利用干脆開方法求出x的值即可；（2）先利用根與系數(shù)的關系得到x1+x2=95，x1x2=-25，再利用代數(shù)式表示得到原式＝（x1+x2）2﹣2【解析】（1）方程可化為x2+12x+62＝﹣9+36，即（x+6）2＝27，兩邊開方得，x+6＝±33，故x1＝﹣6﹣33，x2＝﹣6+33；（2）由題意得：x1+x2=95，x1x2原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（95）2+2×2522．（永嘉縣校級期末）已知關于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣2＝0有兩個實數(shù)根x1，x2．（1）求m的取值范圍；（2）若x1，x2滿足2x1＝|x2|+1，求m的值．【分析】（1）依據(jù)根的判別式即可求解；（2）依據(jù)根與系數(shù)的關系，分狀況探討即可求得m的值．【解析】（1）∵關于x