高一數(shù)學教材同步知識點專題詳解(蘇教版必修第一冊)5.4函數(shù)的奇偶性(原卷版+解析)

5.4函數(shù)的奇偶性TOC\o"1-4"\h\z\u5.4函數(shù)的奇偶性 1知識框架 1一、基礎知識點 1知識點1奇函數(shù)與偶函數(shù)的概念 3知識點2奇、偶函數(shù)的圖象性質 4二、典型題型 4題型1函數(shù)奇偶性的判斷 6題型2奇偶函數(shù)的圖象問題 7題型3利用函數(shù)的奇偶性求解析式 9三、難點題型 9題型1奇偶函數(shù)的單調性 11題型2由奇偶性求參數(shù) 13題型3由奇偶性解不等式 15四、活學活用培優(yōu)訓練 32一．基礎知識點知識點1奇函數(shù)與偶函數(shù)的概念(1)偶函數(shù)：一般地，設函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么稱函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)．(2)奇函數(shù)：一般地，設函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么稱函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)．如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性．例1下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．，例2（多選題）已知函數(shù)，的定義域都為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)例3判斷函數(shù)的奇偶性.知識點2奇、偶函數(shù)的圖象性質：(1)偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，圖象關于y軸對稱的函數(shù)一定是偶函數(shù)．(2)奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，圖象關于原點對稱的函數(shù)一定是奇函數(shù)．例1在定義域內既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．例2（多選題）奇函數(shù)在的圖像如圖所示，則下列結論正確的有（

）A．當時B．函數(shù)在上單調遞減C．D．函數(shù)在上單調遞增例3已知函數(shù)．(1)當時，求值；(2)若是偶函數(shù)，求的最大值．二．典型題型題型1函數(shù)奇偶性的判斷解題技巧：判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法(2)圖象法若函數(shù)的圖象關于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關于y軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)．此法多用于選擇題中．例1設函數(shù)，則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．例2（多選題）下列判斷正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是非奇非偶函數(shù)例3已知函數(shù)，點，是圖象上的兩點.(1)求a，b的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(3)判斷函數(shù)在上的單調性，并說明理由.題型2奇偶函數(shù)的圖象問題解題技巧：巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問題(1)依據(jù)：奇函數(shù)?圖象關于原點對稱，偶函數(shù)?圖象關于y軸對稱．(2)求解：根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對稱性可以解決諸如求函數(shù)值或畫出奇偶函數(shù)圖象的問題．例1函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．例2（多選題）函數(shù)的圖象是折線段，如圖所示，其中點，，的坐標分別為，，，以下說法正確的是（

）A．B．的定義域為C．為偶函數(shù)D．若在上單調遞增，則的最小值為1例3已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≤0時，f(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側的圖象，如圖所示．(1)請補充完整函數(shù)y＝f(x)的圖象；(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)y＝f(x)的單調遞增區(qū)間及值域；(3)根據(jù)圖象寫出使f(x)<0的x的取值集合；(4)求出函數(shù)f(x)在R上的解析式.題型3利用函數(shù)的奇偶性求解析式解題技巧：利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法(1)“求誰設誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應在哪個區(qū)間上設．(2)要利用已知區(qū)間的解析式進行代入．(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．例1若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當時，，則當時，函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．例2（多選題）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則（

）A．的最小值為 B．在上單調遞減C．的解集為 D．存在實數(shù)滿足例3已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，當時，.(1)求時的解析式；(2)求函數(shù)的值域.三．難點題型題型1奇偶函數(shù)的單調性解題技巧：奇函數(shù)單調性一致，偶函數(shù)單調性相反；例1已知奇函數(shù)在上單調遞減，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．例2（多選題）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，單調遞減，則（

）A． B．當時，單調遞減C．當時， D．，例3已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當時，.(1)當時，求解析式；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.題型2由奇偶性求參數(shù)解題技巧：例1若是奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．例2（多選題）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則下列選項正確的有（

）A． B．在區(qū)間單調遞增C．的最小值為 D．的最大值為2例3二次函數(shù)滿足，且(1)求的解析式;(2)求在上的最值;(3)若函數(shù)為偶函數(shù)，求的值;(4)求在上的最小值.題型3由奇偶性解不等式解題技巧：利用單調性和奇偶性解不等式的方法：(1)充分利用已知的條件，結合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉化為f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用單調性脫掉“f”求解．(2)在對稱區(qū)間上根據(jù)奇函數(shù)的單調性一致，偶函數(shù)的單調性相反，列出不等式或不等式組，求解即可，同時要注意函數(shù)自身定義域對參數(shù)的影響．例1已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．例2（多選題）設是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調遞減，，則（

）A．在上單調遞減B．C．的圖象與軸只有2個交點D．不等式的解集為例3若奇函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，若時，，(1)求的解析式；(2)求滿足的實數(shù)m的取值范圍四．活學活用培優(yōu)訓練一、單選題1．定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的有則（

）A． B．C． D．2．設函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則一定有（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．4．函數(shù)的單調增區(qū)間是（

）A．和 B．和C．和 D．和5．已知是R上的奇函數(shù)，且，當，，且時，，則當時，不等式的解集為（

）A． B．C． D．6．已知是上的奇函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題7．已知為偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，則使得成立的充分條件是（

）A．在上單調 B．為偶函數(shù)C．為偶函數(shù) D．9．已知函數(shù)，下列判斷正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．若，則當時，取得最小值C．當時，的值域是D．當時，在上單調遞增三、填空題10．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當時，，則___________.11．函數(shù)為奇函數(shù)，是定義在上的減函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為______．12．已知函數(shù)的定義域是，對任意，都有：，且當時，．給出結論：①是偶函數(shù)；②是奇函數(shù)；③在上是增函數(shù)；④在上是減函數(shù)．則正確結論的序號是________．四、解答題13．已知是定義在R上的奇函數(shù)，當時，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)當時，寫出函數(shù)的單調遞增區(qū)間（只寫結論，不用寫解答過程）；14．已知是奇函數(shù)，且.(1)求實數(shù)的值．(2)判斷函數(shù)在上的單調性，并加以證明．(3)求的最大值．15．函數(shù)，(1)若在上是奇函數(shù)，求的值；(2)當時，求在區(qū)間上的最大值和最小值；(3)設，當時，函數(shù)既有最大值又有最小值，求的取值范圍（用表示）5.4函數(shù)的奇偶性TOC\o"1-4"\h\z\u5.4函數(shù)的奇偶性 1知識框架 1一、基礎知識點 1知識點1奇函數(shù)與偶函數(shù)的概念 3知識點2奇、偶函數(shù)的圖象性質 4二、典型題型 4題型1函數(shù)奇偶性的判斷 6題型2奇偶函數(shù)的圖象問題 7題型3利用函數(shù)的奇偶性求解析式 9三、難點題型 9題型1奇偶函數(shù)的單調性 11題型2由奇偶性求參數(shù) 13題型3由奇偶性解不等式 15四、活學活用培優(yōu)訓練 32一．基礎知識點知識點1奇函數(shù)與偶函數(shù)的概念(1)偶函數(shù)：一般地，設函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么稱函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)．(2)奇函數(shù)：一般地，設函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么稱函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)．如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性．例1下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．，【答案】B【分析】由偶函數(shù)的定義對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，的定義域為，所以，所以是奇函數(shù)，所以A不正確；對于B，的定義域為，所以，所以是偶函數(shù)，所以B正確；對于C，的定義域為，所以，所以不是偶函數(shù)，所以C不正確；對于D，的定義域為，定義域不關于原點對稱，所以不是偶函數(shù)，所以D不正確；故選：B.例2（多選題）已知函數(shù)，的定義域都為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】AD【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可得，，則分別判別四個選項，可得答案.【詳解】因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，．易得，故是奇函數(shù)，A正確；，故是偶函數(shù)，B錯誤；，故是奇函數(shù)，C錯誤；，故是偶函數(shù)，D正確．故選：AD．例3判斷函數(shù)的奇偶性.【答案】非奇非偶函數(shù)【分析】判斷函數(shù)奇偶性，先判斷定義域是否關于原點對稱，由于定義域不關于原點對稱，即可判斷為非奇非偶函數(shù).【詳解】因為有意義，則滿足，所以，所以的定義域不關于原點對稱，所以為非奇非偶函數(shù)．知識點2奇、偶函數(shù)的圖象性質：(1)偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，圖象關于y軸對稱的函數(shù)一定是偶函數(shù)．(2)奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，圖象關于原點對稱的函數(shù)一定是奇函數(shù)．例1在定義域內既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】函數(shù)性質，奇函數(shù)滿足，在定義域下單調遞減，可以根據(jù)函數(shù)圖像，確定單調性.【詳解】選項A反比例函數(shù)，是奇函數(shù)，但在定義域下不是單調遞減的；選項B“對號”函數(shù)奇函數(shù)，在遞減，在遞增，不是單調遞減函數(shù);選項C中，，是奇函數(shù)，也滿足單調遞減，所以正確；選項D中，分段函數(shù)，是奇函數(shù)，但不滿足單調遞減，因為在銜接處不遞減；故選：C.例2（多選題）奇函數(shù)在的圖像如圖所示，則下列結論正確的有（

）A．當時B．函數(shù)在上單調遞減C．D．函數(shù)在上單調遞增【答案】ABD【分析】結合的圖象，分析函數(shù)的值域、單調性、函數(shù)值，由此確定正確選項.【詳解】根據(jù)圖象可知：時，，A選項正確.在遞減，在上遞增，由于是奇函數(shù)，所以在遞減，在上遞增，所以B選項正確，D選項正確.由于在上遞增，所以，所以C選項錯誤.故選：ABD例3已知函數(shù)．(1)當時，求值；(2)若是偶函數(shù)，求的最大值．【答案】(1)4(2)2【分析】（1）先得到函數(shù)，再求值；（2）先利用函數(shù)是偶函數(shù)，求得，再求最值.(1)解：當時，，所以；(2)因為是偶函數(shù)，所以成立，即成立，所以，則，所以的最大值為2．二．典型題型題型1函數(shù)奇偶性的判斷解題技巧：判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法(2)圖象法若函數(shù)的圖象關于原點對稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關于y軸對稱，則函數(shù)為偶函數(shù)．此法多用于選擇題中．例1設函數(shù)，則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義逐個分析判斷即可.【詳解】對于A，由于，所以，令，因為，所以此函數(shù)不是偶函數(shù)，所以A錯誤，對于B，由于，所以，令，因為，所以此函數(shù)不是偶函數(shù)，所以B錯誤，對于C，由于，所以，令，因為，所以此函數(shù)不是偶函數(shù)，所以C錯誤，對于D，由于，所以，令，因為，所以此函數(shù)為偶函數(shù)，所以D正確，故選：D例2（多選題）下列判斷正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是非奇非偶函數(shù)【答案】BC【分析】判斷函數(shù)的奇偶性應先求函數(shù)的定義域，若定義域不關于“0”對稱，則函數(shù)非奇非偶；若定義域關于“0”對稱，再看與是相等還是互為相反數(shù)，確定函數(shù)的奇偶性.【詳解】對于A，由且，得，則的定義域不關于原點對稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤;對于B，函數(shù)的定義域關于原點對稱，當x>0時，，，當x<0時，也有，所以為奇函數(shù)，故B正確;對于C，由且，得，即，的定義域關于原點對稱，此時，所以既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，故C正確;對于D，由且，得且x≠0，的定義域關于原點對稱，因為，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故D錯誤.故選:BC.例3已知函數(shù)，點，是圖象上的兩點.(1)求a，b的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(3)判斷函數(shù)在上的單調性，并說明理由.【答案】(1)(2)函數(shù)為奇函數(shù)(3)函數(shù)在上單調遞增【分析】（1）將函數(shù)圖象上的點的坐標代入函數(shù)解析式得到關于a，b的方程組，解方程組得到a，b的值；（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性；（3）根據(jù)函數(shù)單調性的定義，利用作差法比較函數(shù)值大小，進而判斷函數(shù)的單調性.（1）因為點，是圖象上的兩點，所以，解得.（2）函數(shù)為奇函數(shù)，理由如下：由（1）得，易得函數(shù)的定義域為，且對任意，有，所以函數(shù)為奇函數(shù).（3）設，則，因為，所以，則，即，所以函數(shù)因為在上單調遞增.題型2奇偶函數(shù)的圖象問題解題技巧：巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問題(1)依據(jù)：奇函數(shù)?圖象關于原點對稱，偶函數(shù)?圖象關于y軸對稱．(2)求解：根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對稱性可以解決諸如求函數(shù)值或畫出奇偶函數(shù)圖象的問題．例1函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意得到為奇函數(shù)，排除C，D，再根據(jù)，排除B，即可得到答案.【詳解】，定義域為，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除C，D．因為，排除B，故選：A例2（多選題）函數(shù)的圖象是折線段，如圖所示，其中點，，的坐標分別為，，，以下說法正確的是（

）A．B．的定義域為C．為偶函數(shù)D．若在上單調遞增，則的最小值為1【答案】ACD【分析】由函數(shù)的圖象，逐項判斷.【詳解】因為，，的坐標分別為，，，所以故A正確．因為的定義域為，所以的定義域為，故B錯誤．因為的圖象向左平移一個單位長度后關于軸對稱，所以為偶函數(shù)，故C正確．因為在上單調遞減，在上單調遞增，故D正確．故選：ACD例3已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≤0時，f(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側的圖象，如圖所示．(1)請補充完整函數(shù)y＝f(x)的圖象；(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)y＝f(x)的單調遞增區(qū)間及值域；(3)根據(jù)圖象寫出使f(x)<0的x的取值集合；(4)求出函數(shù)f(x)在R上的解析式.【答案】(1)作圖見解析；(2)單調遞增區(qū)間為(－1,1)，值域R；(3)(－2,0)∪(2,＋∞)；(4).【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的對稱性畫出y軸右側圖象即可.（2）（3）根據(jù)（1）所得函數(shù)圖象確定增區(qū)間、值域及不等式的解集即可.（4）根據(jù)奇函數(shù)求上的函數(shù)解析式.(1)由題圖及y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，可得左側圖象如下：(2)由（1）所得函數(shù)圖象知：單調遞增區(qū)間為(－1,1)，值域R.(3)由（1）所得函數(shù)圖象知：使f(x)<0的x的取值集合為(－2,0)∪(2,＋∞).(4)∵函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x).當x>0時，-x<0，則f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]=－x2+2x.綜上，題型3利用函數(shù)的奇偶性求解析式解題技巧：利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法(1)“求誰設誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應在哪個區(qū)間上設．(2)要利用已知區(qū)間的解析式進行代入．(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．例1若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當時，，則當時，函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)及得出，把轉化為，根據(jù)所給解析式可求結果.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，因為，所以，當時，；因為當時，，所以所以.故選：D.例2（多選題）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則（

）A．的最小值為 B．在上單調遞減C．的解集為 D．存在實數(shù)滿足【答案】ACD【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質求出函數(shù)解析式，即可畫出函數(shù)圖象，即可判斷；【詳解】解：函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，設，則，所以，因為是偶函數(shù)，所以，所以，所以，函數(shù)圖象如下所示：可得時，在時取得最小值，由偶函數(shù)的圖象關于軸對稱，可得在上取得最小值，故A正確；在上單調遞減，在上單調遞增，故B錯誤；由或，解得或，綜上可得的解集為，故C正確；由，，即存在實數(shù)滿足，故D正確；故選：ACD．例3已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，當時，.(1)求時的解析式；(2)求函數(shù)的值域.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用奇函數(shù)性質求的解析式；（2）由（1）得，應用基本不等式、函數(shù)單調性求在對應區(qū)間上的值域，即可得答案.（1）令，則，故，而，所以，則.（2）由（1）知：，當，，當且僅當時等號成立，此時；當，單調遞增，則；綜上，函數(shù)值域為.三．難點題型題型1奇偶函數(shù)的單調性解題技巧：奇函數(shù)單調性一致，偶函數(shù)單調性相反；例1已知奇函數(shù)在上單調遞減，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意，得到，且函數(shù)在上單調遞減，作出函數(shù)的圖像，把不等式轉化為，或，結合圖像，即可求解.【詳解】因為奇函數(shù)在上單調遞減，且，所以，且函數(shù)在上單調遞減，則函數(shù)的對應的圖像，如圖所示，不等式等價于：①，即，解得；②，即，解得，綜上可得，不等式的解集為.故選：B.例2（多選題）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，單調遞減，則（

）A． B．當時，單調遞減C．當時， D．，【答案】ABD【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質一一判斷即可；【詳解】解：因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，則，所以，故A正確．因為當時，單調遞減，所以當時，單調遞減，所以，故B正確，C錯誤；當時，，所以，，D正確．故選：ABD例3已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當時，.(1)當時，求解析式；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質求解即可；（2）先判斷函數(shù)在上的增減性，再由奇函數(shù)性質得到，根據(jù)單調性解抽象不等式即可.(1)因為函數(shù)是上的奇函數(shù)，當時，，所以當時，，所以，因為，所以，故當時，.(2)由（1）知，，當時，，易知此時函數(shù)單調遞增，由奇函數(shù)性質得，當時，也單調遞增，所以函數(shù)是上的增函數(shù)，因為，所以，即，又因為函數(shù)是上的增函數(shù)，所以，解得.故實數(shù)的取值范圍為：.題型2由奇偶性求參數(shù)解題技巧：例1若是奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由為奇函數(shù)可得，代入相應解析式解方程即可.【詳解】易知定義域為，由為奇函數(shù)可得，即，解得.故選：C.例2（多選題）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則下列選項正確的有（

）A． B．在區(qū)間單調遞增C．的最小值為 D．的最大值為2【答案】AC【分析】利用函數(shù)是奇函數(shù)，可得，求出可判斷A；利用函數(shù)的單調性以及利用單調性求最值可判斷B、C、D.【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，則，代入可得，故A正確；由，對勾函數(shù)在上單調遞增，所以在上單調遞減，故B錯誤；由，所以，所以，故C正確、D錯誤.故選：AC例3二次函數(shù)滿足，且(1)求的解析式;(2)求在上的最值;(3)若函數(shù)為偶函數(shù)，求的值;(4)求在上的最小值.【答案】(1)(2)在上的最小值為，最大值為(3)(4)時，；時，；時，【分析】（1）待定系數(shù)法求解解析式；（2）配方后得到函數(shù)單調性，進而求出最值；（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性求出，從而求出的值；（4）結合對稱軸，對分類討論，求出不同情況下函數(shù)的最小值.（1）設，則，又因為，所以，解得：，又所以的解析式為.（2），所以當時，單調遞減，在上單調遞增，又，，，因為故在上的最小值為，最大值為.（3）因為，所以，因為為偶函數(shù)，所以，即，解得：，.（4），當，即時，在上單調遞減，所以；當且,即時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以；當時，在上單調遞增，所以；綜上：時，；時，；時，.題型3由奇偶性解不等式解題技巧：利用單調性和奇偶性解不等式的方法：(1)充分利用已知的條件，結合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉化為f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用單調性脫掉“f”求解．(2)在對稱區(qū)間上根據(jù)奇函數(shù)的單調性一致，偶函數(shù)的單調性相反，列出不等式或不等式組，求解即可，同時要注意函數(shù)自身定義域對參數(shù)的影響．例1已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】探討函數(shù)的性質，再借助性質求解不等式作答.【詳解】函數(shù)的定義域為R，，則是R上的偶函數(shù)，當時，在上單調遞減，而，于是得，則，解得或，所以不等式的解集是.故選：D例2（多選題）設是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調遞減，，則（

）A．在上單調遞減B．C．的圖象與軸只有2個交點D．不等式的解集為【答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件，可得在上單調遞減，且，從而對各選項逐一分析即可求解.【詳解】解：對A：因為是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調遞減，由奇函數(shù)的性質有在上單調遞減，故選項A正確；對B：因為是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調遞減，，所以，所以，故選項B正確；對C：由題意，，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以的圖象與軸有3個交點，故選項C錯誤；對D：由選項A、C可得的解集為，故選項D正確.故選：ABD.例3若奇函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，若時，，(1)求的解析式；(2)求滿足的實數(shù)m的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質直接求解；（2）根據(jù)奇函數(shù)的性質及單調性建立不等式組即可求解.(1)因為是定義域上的奇函數(shù)，所以對于任意，則，且.設，則，由已知得，而滿足上式，所以.(2)由于在定義域上是減函數(shù)，且為奇函數(shù)，所以，即，所以有，所以m的取值范圍為.四．活學活用培優(yōu)訓練一、單選題1．定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的有則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可知在遞減，結合偶函數(shù)，即可得到結果.【詳解】因為滿足，對任意的有，所以在上單調遞減且為偶函數(shù)，則由可得，即故選:A2．設函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則一定有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖象平移變換與奇偶性，可得函數(shù)的對稱性，可得答案.【詳解】圖象向右平移2個單位，可得的圖象，且是奇函數(shù)，的圖象關于點成中心對稱，，圖象向右平移1個單位，可得的圖象，且是偶函數(shù)，的圖象關于直線成軸對稱，由對稱性，對稱軸直線關于成中心對稱的直線為，對稱中心關于直線成軸對稱的點為，即.故選：A.3．已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再得到時的單調性，利用偶函數(shù)比大小的處理方式，轉化為，即可求解.【詳解】因為，所以是偶函數(shù)，當時，是增函數(shù)．又因為，所以可化為，可得到，解得．故選：A.4．函數(shù)的單調增區(qū)間是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】由可得，即為偶函數(shù)，則當時，可得的單調區(qū)間，進而得到時，的單調區(qū)間，即可得到答案【詳解】解：由，則為偶函數(shù)，的圖像關于軸對稱.當時，，對稱軸為，所以在上遞增，在遞減；則當時，在遞增，在遞減，則有的遞增區(qū)間為.故選：C5．已知是R上的奇函數(shù)，且，當，，且時，，則當時，不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)區(qū)間單調性、對稱性及奇函數(shù)性質，判斷目標區(qū)間的單調性、函數(shù)值符號，進而求不等式的解集.【詳解】由題意，在上單調遞增，又是R上的奇函數(shù)，∴，且在上單調遞增，∴當時，，當時，．∵，∴的圖象關于直線x＝1對稱，∴，且在上單調遞減，∴在上單調遞減，且．∴當時，不等式的解集為.故選：B6．已知是上的奇函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意求得函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，得到，結合，得到，進而求得的值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)為上的奇函數(shù)，可得，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，所以，因為，令，得，因為為上的奇函數(shù)，所以，所以.故選：A.二、多選題7．已知為偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】A選項，根據(jù)題干條件得到，，利用賦值法得到，，，判斷出AB選項，再推導出函數(shù)的周期為4，故C正確；代入特殊值，判斷D錯誤.【詳解】A選項，因為為偶函數(shù)，所以，因為為奇函數(shù)，所以，令得：，解得：，所以令得：，即，所以，故A正確；B選項，令得：，即，因為，則，所以，所以，故B正確；C選項，因為，所以，因為，所以，即，所以，，所以，即，所以，所以的周期為4，，故C正確；D選項，因為，所以令得：，解得：，令中得：，故D錯誤.故選：ABC8．已知函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，則使得成立的充分條件是（

）A．在上單調 B．為偶函數(shù)C．為偶函數(shù) D．【答案】BD【分析】利用奇函數(shù)的定義，求出關于點對稱，得到，利用充分條件的定義結合函數(shù)的奇偶性、單調性、對稱性以及恒等式，運用賦值法對四個選項逐一分析判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，則，所以，故函數(shù)關于中心對稱，所以，對于A，在上單調，由不能確定，故錯誤；對于B，為偶函數(shù)，又，所以，故正確；對于C，為偶函數(shù)，則，可知函數(shù)關于軸對稱，不能確定，故錯誤；對于D，因為關于成中心對稱，所以，令則，因為，令，則，解得，令則，解得，令，則，綜上可得，所以是使得成立的充分條件.故選：BD9．已知函數(shù)，下列判斷正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．若，則當時，取得最小值C．當時，的值域是D．當時，在上單調遞增【答案】ACD【分析】由奇偶性定義判斷A，由基本不等式判斷BC，按分類討論判斷D．【詳解】，則定義域為，且，即，故函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；當時，，當且僅當時取到等號，故的值域是，故B不正確，C正確．當時，，當時，，在上單調遞增；當時，時，，設，則，，，，單調遞增；當，時，，首先在上單調遞增，又由得（負值舍去），因此時，，所以是增函數(shù)，綜上所述，當時，在上單調遞增，故D正確．故選：ACD．三、填空題10．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當時，，則___________.【答案】##【分析】由題知函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，進而根據(jù)周期性求解即可.【詳解】解：因為是定義在上的奇函數(shù)，且，所以，，所以，即是周期