高一數(shù)學(xué)教材同步知識(shí)點(diǎn)專(zhuān)題詳解(蘇教版必修第一冊(cè))5.4函數(shù)的奇偶性(原卷版+解析)

5.4函數(shù)的奇偶性TOC\o"1-4"\h\z\u5.4函數(shù)的奇偶性 1知識(shí)框架 1一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 1知識(shí)點(diǎn)1奇函數(shù)與偶函數(shù)的概念 3知識(shí)點(diǎn)2奇、偶函數(shù)的圖象性質(zhì) 4二、典型題型 4題型1函數(shù)奇偶性的判斷 6題型2奇偶函數(shù)的圖象問(wèn)題 7題型3利用函數(shù)的奇偶性求解析式 9三、難點(diǎn)題型 9題型1奇偶函數(shù)的單調(diào)性 11題型2由奇偶性求參數(shù) 13題型3由奇偶性解不等式 15四、活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練 32一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1奇函數(shù)與偶函數(shù)的概念(1)偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，如果對(duì)于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么稱函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)．(2)奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，如果對(duì)于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么稱函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)．如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說(shuō)函數(shù)f(x)具有奇偶性．例1下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．，例2（多選題）已知函數(shù)，的定義域都為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)例3判斷函數(shù)的奇偶性.知識(shí)點(diǎn)2奇、偶函數(shù)的圖象性質(zhì)：(1)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)一定是偶函數(shù)．(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)一定是奇函數(shù)．例1在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．例2（多選題）奇函數(shù)在的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．D．函數(shù)在上單調(diào)遞增例3已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求值；(2)若是偶函數(shù)，求的最大值．二．典型題型題型1函數(shù)奇偶性的判斷解題技巧：判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法(2)圖象法若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)為偶函數(shù)．此法多用于選擇題中．例1設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．例2（多選題）下列判斷正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是非奇非偶函數(shù)例3已知函數(shù)，點(diǎn)，是圖象上的兩點(diǎn).(1)求a，b的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；(3)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由.題型2奇偶函數(shù)的圖象問(wèn)題解題技巧：巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問(wèn)題(1)依據(jù)：奇函數(shù)?圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)?圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．(2)求解：根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性可以解決諸如求函數(shù)值或畫(huà)出奇偶函數(shù)圖象的問(wèn)題．例1函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．例2（多選題）函數(shù)的圖象是折線段，如圖所示，其中點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，，以下說(shuō)法正確的是（

）A．B．的定義域?yàn)镃．為偶函數(shù)D．若在上單調(diào)遞增，則的最小值為1例3已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示．(1)請(qǐng)補(bǔ)充完整函數(shù)y＝f(x)的圖象；(2)根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間及值域；(3)根據(jù)圖象寫(xiě)出使f(x)<0的x的取值集合；(4)求出函數(shù)f(x)在R上的解析式.題型3利用函數(shù)的奇偶性求解析式解題技巧：利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法(1)“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè)．(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入．(3)利用f(x)的奇偶性寫(xiě)出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．例1若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．例2（多選題）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．的最小值為 B．在上單調(diào)遞減C．的解集為 D．存在實(shí)數(shù)滿足例3已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求時(shí)的解析式；(2)求函數(shù)的值域.三．難點(diǎn)題型題型1奇偶函數(shù)的單調(diào)性解題技巧：奇函數(shù)單調(diào)性一致，偶函數(shù)單調(diào)性相反；例1已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．例2（多選題）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則（

）A． B．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減C．當(dāng)時(shí)， D．，例3已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)當(dāng)時(shí)，求解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型2由奇偶性求參數(shù)解題技巧：例1若是奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．例2（多選題）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A． B．在區(qū)間單調(diào)遞增C．的最小值為 D．的最大值為2例3二次函數(shù)滿足，且(1)求的解析式;(2)求在上的最值;(3)若函數(shù)為偶函數(shù)，求的值;(4)求在上的最小值.題型3由奇偶性解不等式解題技巧：利用單調(diào)性和奇偶性解不等式的方法：(1)充分利用已知的條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用單調(diào)性脫掉“f”求解．(2)在對(duì)稱區(qū)間上根據(jù)奇函數(shù)的單調(diào)性一致，偶函數(shù)的單調(diào)性相反，列出不等式或不等式組，求解即可，同時(shí)要注意函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響．例1已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．例2（多選題）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則（

）A．在上單調(diào)遞減B．C．的圖象與軸只有2個(gè)交點(diǎn)D．不等式的解集為例3若奇函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，若時(shí)，，(1)求的解析式；(2)求滿足的實(shí)數(shù)m的取值范圍四．活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1．定義在上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的有則（

）A． B．C． D．2．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，是偶函數(shù)，則一定有（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．4．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A．和 B．和C．和 D．和5．已知是R上的奇函數(shù)，且，當(dāng)，，且時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，不等式的解集為（

）A． B．C． D．6．已知是上的奇函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題7．已知為偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是奇函?shù)，則使得成立的充分條件是（

）A．在上單調(diào) B．為偶函數(shù)C．為偶函數(shù) D．9．已知函數(shù)，下列判斷正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．若，則當(dāng)時(shí)，取得最小值C．當(dāng)時(shí)，的值域是D．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增三、填空題10．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則___________.11．函數(shù)為奇函數(shù)，是定義在上的減函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．12．已知函數(shù)的定義域是，對(duì)任意，都有：，且當(dāng)時(shí)，．給出結(jié)論：①是偶函數(shù)；②是奇函數(shù)；③在上是增函數(shù)；④在上是減函數(shù)．則正確結(jié)論的序號(hào)是________．四、解答題13．已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（只寫(xiě)結(jié)論，不用寫(xiě)解答過(guò)程）；14．已知是奇函數(shù)，且.(1)求實(shí)數(shù)的值．(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并加以證明．(3)求的最大值．15．函數(shù)，(1)若在上是奇函數(shù)，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值和最小值；(3)設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)既有最大值又有最小值，求的取值范圍（用表示）5.4函數(shù)的奇偶性TOC\o"1-4"\h\z\u5.4函數(shù)的奇偶性 1知識(shí)框架 1一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 1知識(shí)點(diǎn)1奇函數(shù)與偶函數(shù)的概念 3知識(shí)點(diǎn)2奇、偶函數(shù)的圖象性質(zhì) 4二、典型題型 4題型1函數(shù)奇偶性的判斷 6題型2奇偶函數(shù)的圖象問(wèn)題 7題型3利用函數(shù)的奇偶性求解析式 9三、難點(diǎn)題型 9題型1奇偶函數(shù)的單調(diào)性 11題型2由奇偶性求參數(shù) 13題型3由奇偶性解不等式 15四、活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練 32一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1奇函數(shù)與偶函數(shù)的概念(1)偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，如果對(duì)于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么稱函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)．(2)奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，如果對(duì)于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么稱函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)．如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說(shuō)函數(shù)f(x)具有奇偶性．例1下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．，【答案】B【分析】由偶函數(shù)的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，的定義域?yàn)?，所以，所以是奇函?shù)，所以A不正確；對(duì)于B，的定義域?yàn)?，所以，所以是偶函?shù)，所以B正確；對(duì)于C，的定義域?yàn)椋?，所以不是偶函?shù)，所以C不正確；對(duì)于D，的定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不是偶函數(shù)，所以D不正確；故選：B.例2（多選題）已知函數(shù)，的定義域都為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】AD【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可得，，則分別判別四個(gè)選項(xiàng)，可得答案.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，．易得，故是奇函數(shù)，A正確；，故是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；，故是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；，故是偶函數(shù)，D正確．故選：AD．例3判斷函數(shù)的奇偶性.【答案】非奇非偶函數(shù)【分析】判斷函數(shù)奇偶性，先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可判斷為非奇非偶函數(shù).【詳解】因?yàn)橛幸饬x，則滿足，所以，所以的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為非奇非偶函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)2奇、偶函數(shù)的圖象性質(zhì)：(1)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)一定是偶函數(shù)．(2)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)一定是奇函數(shù)．例1在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】函數(shù)性質(zhì)，奇函數(shù)滿足，在定義域下單調(diào)遞減，可以根據(jù)函數(shù)圖像，確定單調(diào)性.【詳解】選項(xiàng)A反比例函數(shù)，是奇函數(shù)，但在定義域下不是單調(diào)遞減的；選項(xiàng)B“對(duì)號(hào)”函數(shù)奇函數(shù)，在遞減，在遞增，不是單調(diào)遞減函數(shù);選項(xiàng)C中，，是奇函數(shù)，也滿足單調(diào)遞減，所以正確；選項(xiàng)D中，分段函數(shù)，是奇函數(shù)，但不滿足單調(diào)遞減，因?yàn)樵阢暯犹幉贿f減；故選：C.例2（多選題）奇函數(shù)在的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．D．函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】ABD【分析】結(jié)合的圖象，分析函數(shù)的值域、單調(diào)性、函數(shù)值，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)圖象可知：時(shí)，，A選項(xiàng)正確.在遞減，在上遞增，由于是奇函數(shù)，所以在遞減，在上遞增，所以B選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)正確.由于在上遞增，所以，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD例3已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求值；(2)若是偶函數(shù)，求的最大值．【答案】(1)4(2)2【分析】（1）先得到函數(shù)，再求值；（2）先利用函數(shù)是偶函數(shù)，求得，再求最值.(1)解：當(dāng)時(shí)，，所以；(2)因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以成立，即成立，所以，則，所以的最大值為2．二．典型題型題型1函數(shù)奇偶性的判斷解題技巧：判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法(2)圖象法若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)為偶函數(shù)．此法多用于選擇題中．例1設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由于，所以，令，因?yàn)椋源撕瘮?shù)不是偶函數(shù)，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由于，所以，令，因?yàn)?，所以此函?shù)不是偶函數(shù)，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由于，所以，令，因?yàn)椋源撕瘮?shù)不是偶函數(shù)，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由于，所以，令，因?yàn)椋源撕瘮?shù)為偶函數(shù)，所以D正確，故選：D例2（多選題）下列判斷正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是非奇非偶函數(shù)【答案】BC【分析】判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求函數(shù)的定義域，若定義域不關(guān)于“0”對(duì)稱，則函數(shù)非奇非偶；若定義域關(guān)于“0”對(duì)稱，再看與是相等還是互為相反數(shù)，確定函數(shù)的奇偶性.【詳解】對(duì)于A，由且，得，則的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤;對(duì)于B，函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x>0時(shí)，，，當(dāng)x<0時(shí)，也有，所以為奇函數(shù)，故B正確;對(duì)于C，由且，得，即，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)，所以既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，故C正確;對(duì)于D，由且，得且x≠0，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)椋?，所以函?shù)為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選:BC.例3已知函數(shù)，點(diǎn)，是圖象上的兩點(diǎn).(1)求a，b的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；(3)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)函數(shù)為奇函數(shù)(3)函數(shù)在上單調(diào)遞增【分析】（1）將函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得到關(guān)于a，b的方程組，解方程組得到a，b的值；（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性；（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，利用作差法比較函數(shù)值大小，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性.（1）因?yàn)辄c(diǎn)，是圖象上的兩點(diǎn)，所以，解得.（2）函數(shù)為奇函數(shù)，理由如下：由（1）得，易得函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意，有，所以函數(shù)為奇函數(shù).（3）設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則，即，所以函數(shù)因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增.題型2奇偶函數(shù)的圖象問(wèn)題解題技巧：巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問(wèn)題(1)依據(jù)：奇函數(shù)?圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)?圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．(2)求解：根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性可以解決諸如求函數(shù)值或畫(huà)出奇偶函數(shù)圖象的問(wèn)題．例1函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意得到為奇函數(shù)，排除C，D，再根據(jù)，排除B，即可得到答案.【詳解】，定義域?yàn)椋?，所以函?shù)為奇函數(shù)，排除C，D．因?yàn)?，排除B，故選：A例2（多選題）函數(shù)的圖象是折線段，如圖所示，其中點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，，以下說(shuō)法正確的是（

）A．B．的定義域?yàn)镃．為偶函數(shù)D．若在上單調(diào)遞增，則的最小值為1【答案】ACD【分析】由函數(shù)的圖象，逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)?，，的坐?biāo)分別為，，，所以故A正確．因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以的定義域?yàn)?，故B錯(cuò)誤．因?yàn)榈膱D象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于軸對(duì)稱，所以為偶函數(shù)，故C正確．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D正確．故選：ACD例3已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示．(1)請(qǐng)補(bǔ)充完整函數(shù)y＝f(x)的圖象；(2)根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間及值域；(3)根據(jù)圖象寫(xiě)出使f(x)<0的x的取值集合；(4)求出函數(shù)f(x)在R上的解析式.【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為(－1,1)，值域R；(3)(－2,0)∪(2,＋∞)；(4).【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性畫(huà)出y軸右側(cè)圖象即可.（2）（3）根據(jù)（1）所得函數(shù)圖象確定增區(qū)間、值域及不等式的解集即可.（4）根據(jù)奇函數(shù)求上的函數(shù)解析式.(1)由題圖及y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，可得左側(cè)圖象如下：(2)由（1）所得函數(shù)圖象知：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為(－1,1)，值域R.(3)由（1）所得函數(shù)圖象知：使f(x)<0的x的取值集合為(－2,0)∪(2,＋∞).(4)∵函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x).當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，則f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]=－x2+2x.綜上，題型3利用函數(shù)的奇偶性求解析式解題技巧：利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法(1)“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，即在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè)．(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入．(3)利用f(x)的奇偶性寫(xiě)出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．例1若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)及得出，把轉(zhuǎn)化為，根據(jù)所給解析式可求結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以所以.故選：D.例2（多選題）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．的最小值為 B．在上單調(diào)遞減C．的解集為 D．存在實(shí)數(shù)滿足【答案】ACD【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)解析式，即可畫(huà)出函數(shù)圖象，即可判斷；【詳解】解：函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，所以，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以，所以，函數(shù)圖象如下所示：可得時(shí)，在時(shí)取得最小值，由偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可得在上取得最小值，故A正確；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；由或，解得或，綜上可得的解集為，故C正確；由，，即存在實(shí)數(shù)滿足，故D正確；故選：ACD．例3已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求時(shí)的解析式；(2)求函數(shù)的值域.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用奇函數(shù)性質(zhì)求的解析式；（2）由（1）得，應(yīng)用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性求在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的值域，即可得答案.（1）令，則，故，而，所以，則.（2）由（1）知：，當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)；當(dāng)，單調(diào)遞增，則；綜上，函數(shù)值域?yàn)?三．難點(diǎn)題型題型1奇偶函數(shù)的單調(diào)性解題技巧：奇函數(shù)單調(diào)性一致，偶函數(shù)單調(diào)性相反；例1已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意，得到，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，作出函數(shù)的圖像，把不等式轉(zhuǎn)化為，或，結(jié)合圖像，即可求解.【詳解】因?yàn)槠婧瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)的對(duì)應(yīng)的圖像，如圖所示，不等式等價(jià)于：①，即，解得；②，即，解得，綜上可得，不等式的解集為.故選：B.例2（多選題）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則（

）A． B．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減C．當(dāng)時(shí)， D．，【答案】ABD【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可；【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，則，所以，故A正確．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，故B正確，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，，D正確．故選：ABD例3已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)當(dāng)時(shí)，求解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求解即可；（2）先判斷函數(shù)在上的增減性，再由奇函數(shù)性質(zhì)得到，根據(jù)單調(diào)性解抽象不等式即可.(1)因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋?，故?dāng)時(shí)，.(2)由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，易知此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由奇函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，也單調(diào)遞增，所以函數(shù)是上的增函數(shù)，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為：.題型2由奇偶性求參數(shù)解題技巧：例1若是奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由為奇函數(shù)可得，代入相應(yīng)解析式解方程即可.【詳解】易知定義域?yàn)?，由為奇函?shù)可得，即，解得.故選：C.例2（多選題）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A． B．在區(qū)間單調(diào)遞增C．的最小值為 D．的最大值為2【答案】AC【分析】利用函數(shù)是奇函數(shù)，可得，求出可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性以及利用單調(diào)性求最值可判斷B、C、D.【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，則，代入可得，故A正確；由，對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；由，所以，所以，故C正確、D錯(cuò)誤.故選：AC例3二次函數(shù)滿足，且(1)求的解析式;(2)求在上的最值;(3)若函數(shù)為偶函數(shù)，求的值;(4)求在上的最小值.【答案】(1)(2)在上的最小值為，最大值為(3)(4)時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，【分析】（1）待定系數(shù)法求解解析式；（2）配方后得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求出最值；（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性求出，從而求出的值；（4）結(jié)合對(duì)稱軸，對(duì)分類(lèi)討論，求出不同情況下函數(shù)的最小值.（1）設(shè)，則，又因?yàn)椋?，解得：，又所以的解析式?（2），所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，因?yàn)楣试谏系淖钚≈禐?，最大值?（3）因?yàn)?，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，解得：，.（4），當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)且,即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以；綜上：時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.題型3由奇偶性解不等式解題技巧：利用單調(diào)性和奇偶性解不等式的方法：(1)充分利用已知的條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用單調(diào)性脫掉“f”求解．(2)在對(duì)稱區(qū)間上根據(jù)奇函數(shù)的單調(diào)性一致，偶函數(shù)的單調(diào)性相反，列出不等式或不等式組，求解即可，同時(shí)要注意函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響．例1已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】探討函數(shù)的性質(zhì)，再借助性質(zhì)求解不等式作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，則是R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，而，于是得，則，解得或，所以不等式的解集是.故選：D例2（多選題）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則（

）A．在上單調(diào)遞減B．C．的圖象與軸只有2個(gè)交點(diǎn)D．不等式的解集為【答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件，可得在上單調(diào)遞減，且，從而對(duì)各選項(xiàng)逐一分析即可求解.【詳解】解：對(duì)A：因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)的性質(zhì)有在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，所以，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C：由題意，，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以的圖象與軸有3個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D：由選項(xiàng)A、C可得的解集為，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.例3若奇函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，若時(shí)，，(1)求的解析式；(2)求滿足的實(shí)數(shù)m的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)直接求解；（2）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性建立不等式組即可求解.(1)因?yàn)槭嵌x域上的奇函數(shù)，所以對(duì)于任意，則，且.設(shè)，則，由已知得，而滿足上式，所以.(2)由于在定義域上是減函數(shù)，且為奇函數(shù)，所以，即，所以有，所以m的取值范圍為.四．活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1．定義在上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的有則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可知在遞減，結(jié)合偶函數(shù)，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)闈M足，對(duì)任意的有，所以在上單調(diào)遞減且為偶函數(shù)，則由可得，即故選:A2．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋沂瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，則一定有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖象平移變換與奇偶性，可得函數(shù)的對(duì)稱性，可得答案.【詳解】圖象向右平移2個(gè)單位，可得的圖象，且是奇函數(shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，，圖象向右平移1個(gè)單位，可得的圖象，且是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱，由對(duì)稱性，對(duì)稱軸直線關(guān)于成中心對(duì)稱的直線為，對(duì)稱中心關(guān)于直線成軸對(duì)稱的點(diǎn)為，即.故選：A.3．已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再得到時(shí)的單調(diào)性，利用偶函數(shù)比大小的處理方式，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)．又因?yàn)椋钥苫癁?，可得到，解得．故選：A.4．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】由可得，即為偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，可得的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到時(shí)，的單調(diào)區(qū)間，即可得到答案【詳解】解：由，則為偶函數(shù)，的圖像關(guān)于軸對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，所以在上遞增，在遞減；則當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減，則有的遞增區(qū)間為.故選：C5．已知是R上的奇函數(shù)，且，當(dāng)，，且時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)區(qū)間單調(diào)性、對(duì)稱性及奇函數(shù)性質(zhì)，判斷目標(biāo)區(qū)間的單調(diào)性、函數(shù)值符號(hào)，進(jìn)而求不等式的解集.【詳解】由題意，在上單調(diào)遞增，又是R上的奇函數(shù)，∴，且在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．∵，∴的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴，且在上單調(diào)遞減，∴在上單調(diào)遞減，且．∴當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.故選：B6．已知是上的奇函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意求得函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，得到，結(jié)合，得到，進(jìn)而求得的值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)為上的奇函數(shù)，可得，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，所以，因?yàn)?，令，得，因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以，所以.故選：A.二、多選題7．已知為偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)題干條件得到，，利用賦值法得到，，，判斷出AB選項(xiàng)，再推導(dǎo)出函數(shù)的周期為4，故C正確；代入特殊值，判斷D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，令得：，解得：，所以令得：，即，所以，故A正確；B選項(xiàng)，令得：，即，因?yàn)椋瑒t，所以，所以，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，，所以，即，所以，所以的周期?，，故C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以令得：，解得：，令中得：，故D錯(cuò)誤.故選：ABC8．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瞧婧瘮?shù)，則使得成立的充分條件是（

）A．在上單調(diào) B．為偶函數(shù)C．為偶函數(shù) D．【答案】BD【分析】利用奇函數(shù)的定義，求出關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得到，利用充分條件的定義結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性以及恒等式，運(yùn)用賦值法對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，是奇函?shù)，則，所以，故函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，所以，對(duì)于A，在上單調(diào)，由不能確定，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，為偶函數(shù)，又，所以，故正確；對(duì)于C，為偶函數(shù)，則，可知函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱，不能確定，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)殛P(guān)于成中心對(duì)稱，所以，令則，因?yàn)?，令，則，解得，令則，解得，令，則，綜上可得，所以是使得成立的充分條件.故選：BD9．已知函數(shù)，下列判斷正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．若，則當(dāng)時(shí)，取得最小值C．當(dāng)時(shí)，的值域是D．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】由奇偶性定義判斷A，由基本不等式判斷BC，按分類(lèi)討論判斷D．【詳解】，則定義域?yàn)椋?，即，故函?shù)為偶函數(shù)，故A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，故的值域是，故B不正確，C正確．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，設(shè)，則，，，，單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，首先在上單調(diào)遞增，又由得（負(fù)值舍去），因此時(shí)，，所以是增函數(shù)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故D正確．故選：ACD．三、填空題10．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則___________.【答案】##【分析】由題知函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)周期性求解即可.【詳解】解：因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，且，所以，，所以，即是周期