高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)一輪用書文科數(shù)學(xué)配北師版單元質(zhì)檢卷七　不等式、推理與證明

單元質(zhì)檢卷七不等式、推理與證明(時(shí)間:100分鐘滿分:120分)一、選擇題:本題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求.1.下列四個(gè)推導(dǎo)過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是()A.大前提:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù),小前提:π是無理數(shù),結(jié)論:π是無限不循環(huán)小數(shù)B.大前提:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù),小前提:π是無限不循環(huán)小數(shù),結(jié)論:π是無理數(shù)C.大前提:π是無限不循環(huán)小數(shù),小前提:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù),結(jié)論:π是無理數(shù)D.大前提:π是無限不循環(huán)小數(shù),小前提:π是無理數(shù),結(jié)論:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)答案:B解析:A中小前提不是大前提的特殊情況,不符合三段論的推理形式,故A錯(cuò)誤;C,D都不是由一般性的原理出發(fā)推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,所以C,D都不正確;只有B符合演繹推理三段論形式且推理正確.2.(2023廣西柳州一模)已知x,y滿足約束條件x+y-2≥0,x-A.2 B.4 C.6 D.10答案:A解析:不等式組表示的可行域如圖所示,由z=2x+y得y=-2x+z,作出直線y=-2x,平移直線y=-2x,當(dāng)直線過點(diǎn)C時(shí),直線在y軸上的截距最小,此時(shí)z取最小值,由y=2,x所以z=2x+y的最小值為2×0+2=2.3.(2023寧夏中衛(wèi)模擬)若x,y∈R,2x+2y=1,則x+y的取值范圍是()A.(-∞,-2] B.(0,1)C.(-∞,0] D.(1,+∞)答案:A解析:因?yàn)?=2x+2y≥22x·2y所以2x+y≤14,即x+y≤-2,當(dāng)且僅當(dāng)2x=2y=12,即x=y=-1所以x+y的取值范圍是(-∞,-2].4.(2023內(nèi)蒙古赤峰適應(yīng)性考試)中國(guó)有句名言“運(yùn)籌帷幄之中,決勝千里之外”,其中的“籌”取意于《孫子算經(jīng)》中記載的算籌,古代用算籌來進(jìn)行計(jì)算.算籌是將幾寸長(zhǎng)的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算,算籌的擺放形式有縱、橫兩種形式(如圖所示),表示一個(gè)多位數(shù)時(shí),把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列,但各位數(shù)碼的籌式要縱橫相間,個(gè)位、百位、萬位數(shù)用縱式表示,十位、千位、十萬位數(shù)用橫式表示,依此類推.例如:7239用算籌表示就是,則6728用算籌可表示為()答案:D解析:由題意各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,6728用算籌可表示為.5.(2023廣西防城港模擬)觀察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,58=390625,59=1953125,510=9765625,…,則52021的末四位數(shù)字為()A.0625 B.3125 C.5625 D.8125答案:B解析:由題意可得5n(n≥5,n∈N+)的末四位數(shù)字的周期為4,所以52021=5504×4+5,所以52021的末四位數(shù)字為3125.6.(2023貴州畢節(jié)診斷測(cè)試)宋元時(shí)期我國(guó)數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”,其中“落一形”就是以下所描述的三角錐垛,三角錐垛從上到下最上面是1個(gè)球,第二層是3個(gè)球,第三層是6個(gè)球,第四層是10個(gè)球……則這個(gè)三角錐垛的第十五層球的個(gè)數(shù)為()A.91 B.105 C.120 D.210答案:C解析:∵“三角形數(shù)”可寫為1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5,…,∴“三角形數(shù)”的通項(xiàng)公式為an=1+2+3+…+n=n(∴這個(gè)三角錐垛的第十五層球的個(gè)數(shù)為a15=15×1627.(2023湖南湘潭質(zhì)檢)由于冬季氣候干燥,冷空氣頻繁襲來,為提高公民的取暖水平,某社區(qū)決定建立一個(gè)取暖供熱站.已知供熱站每月自然消費(fèi)與供熱站到社區(qū)的距離成反比,每月供熱費(fèi)與供熱站到社區(qū)的距離成正比,如果在距離社區(qū)20千米處建立供熱站,這兩項(xiàng)費(fèi)用分別為5千元和8萬元,那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,供熱站應(yīng)建在離社區(qū)()A.5千米 B.6千米C.7千米 D.8千米答案:A解析:設(shè)供熱站應(yīng)建在離社區(qū)x千米處,則自然消費(fèi)y1=k1x,供熱費(fèi)y2=k2由題意得,當(dāng)x=20時(shí),y1=0.5,y2=8,所以k1=xy1=10,k2=y2x=25,所以y1=10x,所以兩項(xiàng)費(fèi)用之和y1+y2=10x+2x5當(dāng)且僅當(dāng)10x=2x5,即x=所以要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,供熱站應(yīng)建在離社區(qū)5千米處.8.(2023四川成都玉林中學(xué)高三月考)已知x>0,y>0,且2x+1y=1,若x+2y≥m2+2m恒成立,則實(shí)數(shù)A.2 B.-4 C.4 D.-2答案:B解析:∵x>0,y>0,且2x+∴x+2y=(x+2y)2x+1y=4+4yx+xy當(dāng)且僅當(dāng)4yx=xy,即x=∵x+2y≥m2+2m恒成立,∴(x+2y)min≥m2+2m,即8≥m2+2m,解不等式可得-4≤m≤2,故實(shí)數(shù)m的最小值為-4.9.(2023山東聊城一中高三月考)某大學(xué)進(jìn)行強(qiáng)基計(jì)劃招生時(shí),需要進(jìn)行邏輯思維和閱讀表達(dá)兩項(xiàng)能力的測(cè)試.學(xué)校對(duì)參加測(cè)試的200名學(xué)生的邏輯思維成績(jī)、閱讀表達(dá)成績(jī)以及這兩項(xiàng)的總成績(jī)進(jìn)行了排名.其中甲、乙、丙三位同學(xué)的排名情況如圖所示:則下面判斷中不正確的是()A.甲同學(xué)的邏輯思維成績(jī)排名比他的閱讀表達(dá)成績(jī)排名更靠前B.乙同學(xué)的閱讀表達(dá)成績(jī)排名比他的邏輯思維成績(jī)排名更靠前C.甲、乙、丙三位同學(xué)的邏輯思維成績(jī)排名中,甲同學(xué)更靠前D.甲、乙、丙三位同學(xué)的閱讀表達(dá)成績(jī)排名中,丙同學(xué)更靠前答案:D解析:對(duì)于A,甲同學(xué)的邏輯思維成績(jī)排名比較靠前,但是總排名比較靠后,說明甲同學(xué)的邏輯思維成績(jī)排名比他的閱讀表達(dá)成績(jī)排名更靠前,故A正確.對(duì)于B,乙同學(xué)的總排名比較靠前,但是他的邏輯思維成績(jī)排名比較靠后,說明他的閱讀表達(dá)成績(jī)排名比邏輯思維成績(jī)排名更靠前,故B正確.對(duì)于C,甲、乙、丙三位同學(xué)的邏輯思維成績(jī)排名順序是甲、丙、乙,故甲同學(xué)最靠前,故C正確.對(duì)于D,丙同學(xué)的閱讀表達(dá)成績(jī)排名居中,但是甲、乙同學(xué)的閱讀表達(dá)成績(jī)排名不能具體確定,所以D錯(cuò)誤.10.某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目.根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè).甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目的可能最大盈利率分別為30%和20%,可能最大虧損率分別為50%和20%.該投資人計(jì)劃利用不超過300萬元的資金投資甲、乙這兩個(gè)項(xiàng)目,在總投資風(fēng)險(xiǎn)不超過30%的情況下,該投資人可能獲得的最大盈利為()A.40萬元 B.50萬元 C.60萬元 D.70萬元答案:D解析:設(shè)投資甲、乙項(xiàng)目分別x,y萬元,由題意有x+y≤300,0.∴該投資人可能獲得的最大盈利,即為以上不等式為約束條件下,求目標(biāo)式z=30%x+20%y=0.3x+0.2y的最大值.∴由上圖知,當(dāng)直線z=0.3x+0.2y過直線x+y=300與0.5x+0.2y=90的交點(diǎn)(100,200)時(shí)有最大值,∴zmax=0.3×100+0.2×200=70(萬元).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.11.根據(jù)事實(shí)1=12;1+3=22;1+3+5=32;1+3+5+7=42;….寫出一個(gè)含有量詞的全稱命題:.

答案:任意n∈N+,1+3+5+…+(2n-1)=n2解析:∵1=12,1+(2×2-1)=22,1+3+(2×3-1)=32,1+3+5+(2×4-1)=42,由此可歸納得出:任意n∈N+,1+3+5+…+(2n-1)=n2.12.(2023云南曲靖質(zhì)量檢測(cè))若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件x-2y+1≥0,x+2y+1≥0,答案:9解析:由約束條件可得可行域如圖陰影部分所示:當(dāng)z=ax+by(a>b>0)最大時(shí),直線y=-abx+zb在y∵a>b>0,∴-ab<-1,則由圖形可知,當(dāng)直線y=-abx+zb過點(diǎn)A時(shí),在由x-2y+1=0,x=1,∴4a+1b=144a+1b(a+b)=145+4ba+ab≥145+24∴4a+113.(2023浙江杭州高三期末)若a>0,b>0,且a+b=1,則a2+b2的最小值等于,a+b的最大值等于答案:1解析:∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≤a+b22=1a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-12=12,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)取等號(hào),a2(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab≤1+a+b=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1214.(2023貴州貴陽一中高三月考)在平面幾何中,有勾股定理:“設(shè)△ABC的兩邊AB,AC互相垂直,則AB2+AC2=BC2.”拓展到空間,類比平面幾何中的勾股定理,研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系,可以得出的正確結(jié)論是:“設(shè)三棱錐P-ABC中的三個(gè)側(cè)面PAB,PBC,PAC兩兩相互垂直,則.”

答案:S三、解答題:共50分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(12分)(2023廣西河池模擬)(1)用分析法證明:當(dāng)n≥0時(shí),n+2(2)已知x∈R,a=x2-1,b=2x+2,用反證法證明:a,b中至少有一個(gè)不小于0.證明(1)要證n+2即證n+2+n<2n+1,即證(n+2+n)即證2n+2+2n(n+2)<4n+4,只要證n2+2n<n2+2n+1,而上式顯然成立.所以n+2?(2)假設(shè)a<0且b<0,則由a=x2-1<0得-1<x<1,由b=2x+2<0得x<-1,這與-1<x<1矛盾,所以假設(shè)錯(cuò)誤.所以a,b中至少有一個(gè)不小于0.16.(12分)某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,如圖1,2,3,4為刺繡中最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案,這些圖案都是由小正方形構(gòu)成,小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第n個(gè)圖形包含f(n)個(gè)小正方形.(1)求出f(5)的值;(2)歸納出f(n+1)與f(n)之間的關(guān)系式,并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式;(3)求1f(1)+1f(2)-1+1f解:(1)f(5)=41.(2)因?yàn)閒(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,…,由上式規(guī)律,所以得出f(n+1)-f(n)=4n.所以f(n+1)=f(n)+4n,f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)=…=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4=1+4(n-1)(n-1+1)(3)當(dāng)n≥2時(shí),1f(所以1f(1)+1f(2)-1+1f(3)-1+…+1f(n)-1=117.(12分)給出下列各式:①cosπ3②cosπ5cos2③cosπ7cos2π7④cosπ9cos2π9cos3…根據(jù)以上信息,猜想一般規(guī)律,并加以證明.解:根據(jù)題意,分析所給的等式可得:cosπ3=12,cosπ5cos2π5=14,cosπ7cos2π7可化為cos1×π2×3+1猜想一般規(guī)律為cosπ2n+1·cos2π2n+1cos3π2n證明:我們熟知正弦的二倍角公式為sin2α=2sinαcosα,cosα=sin2α據(jù)此可得cosπ2n+1cos2π2n+1·cos3π當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),則有原式=sin(又π2n+1+2nπ所以cosπ2n+1cos2π2n同理可得當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)猜想也成立.18.(14分)(2023河南鄭州模擬)開普勒說:“我珍視類比勝過任何別的東西,它是我最可信賴的老師,它能揭示自然界的秘密.”波利亞也曾說過:“類比是一個(gè)偉大的引路人,求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的類比問題.”在以前的學(xué)習(xí)中,我們知道,平面圖形很多可以推廣到空間中去,例如正三角形可以推廣到正四面體,圓可以推廣到球,平行四邊形可以推廣到平行六面體等.如圖,如果四面體D-EFP中棱DE,DF,DP兩兩垂直,那么稱四面體D-EFP為直角四面體.請(qǐng)類比直角三角形ABC(h表示斜邊上的高)中的性質(zhì)給出直角四面體D-EFP中的兩個(gè)性質(zhì),并給出證明.類別直角三角形ABC直角四面體D-EFP條件CA⊥CBDE⊥DF,DE⊥DP,DF⊥DP結(jié)論1a2+b2=c2結(jié)論21解:記△DEF,△DEP,△DFP,△EFP的面積依次為S1,S2,S3,S,記DE=m,DF=n,DP=p.結(jié)論1:S2=S1證明:過D作DH⊥EF,垂足為H,連接PH,∵DH⊥EF,EF⊥PD,DH∩PD=D,∴