矩形的折疊問題-中考數(shù)學二輪復(fù)習必會幾何模型剖析

專題二

軸對稱模型§2.3

矩形的折疊人教版中考第二輪總復(fù)習---幾何模型折疊問題數(shù)學思想本質(zhì)軸對稱方程思想全等形對稱性相等的邊相等的角對稱軸的垂直平分線利用相似利用過股定理求角的大小

線段的長考點歸納知識梳理題型概述軸對稱的性質(zhì)：1.軸對稱前后的兩個圖形全等；(①對應(yīng)角相等；②對應(yīng)邊相等)2.對稱點連線被對稱軸垂直且平分．考點歸納知識梳理矩形折疊的常見類型ABCDC′EABCDD′EABCDA′EABCDA′E△ABD′與△D′CE有什么關(guān)系(1)△ABE與△C′DE有什么關(guān)系(2)△BDE是什么三角形.AFD′EDBC35x5-x5-x3△A′DE是什么三角形.點A′的運動路徑？ABCDD′C′FEM△MEF是什么三角形.(1)△ABE與△C′DE有什么關(guān)系(2)△BDE是什么三角形.考點5-1典例精講矩形的折疊與全等三角形

對稱的圖形中可能會有特殊角，而此時特殊角帶來的不僅僅是其本身，也可能會連帶其他角也變成特殊角.

B30o30o30o【分析】找出圖中隱藏的特殊角.由題意可得：∠DAM=∠MAN=∠NAB=30o∵AD=3,∴DM=,AM=323.ANMDCB考點5-2典例精講矩形的折疊與相似三角形

AECPDB【分析】由對稱可得AP⊥BD,易證△ABE∽△DAB，設(shè)AB=x,則：BEAB=ABDA代入得：=2xxDA∴DA=x2.22∵矩形ABCD面積為32.2∴x·x2=32.222解得：x=4.∴AB=4,AD=8,2128+16=BD==12,144記AP與BD交點為H,則AB·AD=AH·BD，代入解得：AH=823∴AP=1623性質(zhì)2：對稱點連線被對稱軸垂直且平分,連接對稱點連線可得垂直,由垂直,可得直角三角形,可得三垂直全等或相似,由三角函數(shù),但終可求線段長.1623H考點5-3典例精講矩形的折疊與勾股定理【例3】如圖,折疊長方形的一邊AD,點D落在BC邊的點F處,已知AB=8cm，AD=10cm,則EC=___.AEFDCB810x8-x108-x6442+x2=(8-x)2x=33方法一：利用勾股定理方法二：利用相似x:6=4:8x=3考點5-4典例精講矩形的折疊與三角形函數(shù)

AFEDCBMNx2x4-2x【分析】過F點作MN∥BC分別交AB、CD于M、N兩點.∴tan∠BAF=12設(shè)FM=x,則AM=2x,BM=4-2x.在Rt△BMF中：x2+(4-2x)2=()2，5解得：x1=1,x2=(舍),115易證△BMF∽△FNE.BFEF=BMFN∴【小結(jié)】對稱點落在內(nèi)部則可作輔助線,使點落在矩形邊上.代入得：EF=255-1解得：EF=5-52∴CE的長為5-525-52

APDCBA′MN作點A關(guān)于直線MN的對稱點A′,連接A′B,與MN交點即為點P.A【分析】將軍飲馬問題的基本思路是“作關(guān)于動點所在直線的對稱,化折線為直線”,本題的一個難點在于要分析出動點P的軌跡是一條直線.根據(jù)S△PAB=S矩形ABCD.1342+62=213過點P作MN∥AB分別交AD、BC于M、N兩點,則M是線段AD靠近點D的三等分點,N是線段BC靠近點C的三等分點.此時PA+PB=PA′+PB=A′B=考點5-5典例精講矩形的折疊與最值問題如圖,在正方形ABCD中,E是BC邊上的一點,BE=4,EC=8,將正方形AB沿AE折疊到AF,延長EF交DC于G,連接AG,FC,現(xiàn)在有如下4個結(jié)論：①∠EAG=45o；②FG=FC；③FC∥AG；④S△GFC=14.其中正確結(jié)論是_____.ADCBFGE查漏補缺針對訓練矩形的折疊484xx12-x82+(12-x)2=(4+x)2x=6①③知識梳理課堂小結(jié)矩形的折疊

AFGEHDCB4423提升能力強化訓練矩形折疊2-1AFMEOBCD22-112-1

20AHECDBFG121620BEADCFOGbb2b2a2a22a相似提升能力強化訓練矩形折疊5.如圖,矩形AOBC邊OB,OA分別在x軸,y軸上,點A坐標為(0,3),∠OAB=60o,以AB為對稱軸對折后,使C點落在D點處,則D點坐標為__________.6.如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,將矩形ABCD沿BE折疊,點A落在A′處,若EA′處,若EA′的延長線恰好過點C,則sin∠ABE的值為_____.yxABDCO3HAH=4.5OH=AH-AO=4.5-3=1.5(,-)33232(,-)33232333333332提升能力強化訓練矩形折疊ABA′EDC2106106868210107.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,點E為AD上一點,且∠ABE=30o,將△ABE沿BE翻折,得到△A′BE,連接CA′并延長交AD于點F,則DF的長為______.HBA′EFADC∵tan∠DFC=【小結(jié)】矩形對稱,自帶直角也要再構(gòu)造直角,勾股、相似、三角函數(shù)均與直角相關(guān),明確了思路解題便不是難事.【分析】可通過三角函數(shù)值來計算.由題意得：∠ABE=∠A′BE=∠A′BC=30o,過點A′作A′H⊥BC交BC于H點,則A′H=1,BH=,33∴CH=3-,tan∠FCB=13-33+36=123+3=2(3-3)=6-23.6-23提升能力強化訓練矩形折疊8.如圖,在矩形ABCD中,AD=2.將∠A向內(nèi)翻折,點A落在BC上,記為A′,折痕為DE.若將∠B沿EA′向內(nèi)翻折,點B恰好落在DE上,記為B′,則AB=____.AB′DCBEA′260o60o60o113330o30o60o60o3提升能力強化訓練矩形折疊

AA′(D′)BCDE22111222211D直角三角形提升能力強化訓練矩形折疊10.如圖,把某矩形紙片ABCD沿EF,GH折疊，使點B和點C落在AD邊上同一點P處,點A的對稱點為點A′,點D的對稱點為點D′,若∠FPG=90o,△A′EP的面積為4,△D′PH的面積為1,則矩形ABCD的面積等于______.APGFD′A′HEDCB【分析】求矩形面積,考慮能否把矩形相鄰兩邊都算出來.兩端往中間折疊,則可得：A′P=D′P.∵∠FPG=90o,∴A′PD′=90o,易證△A′EP∽△D′PH.考慮兩三角形面積分別是4和1,∴相似比為2:1.設(shè)AB=a,則A′P=D′P=a,D′H=0.5a,A′E=2a,EP=a,PH=a552表示△D′PH面積：··a=1,12a2解得a=2.AD=2a+a+a+=5+3，552a25∵AB=2.∴矩形ABCD面積為2×(5+3)=10+6.5