高等數(shù)學(xué)下冊電子教案設(shè)計

實用標(biāo)準(zhǔn)文檔第四章常微分方程§4．1基本概念和一階微分方程甲內(nèi)容要點一．基本概念1．常微分方程含有自變量、未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程，若未知函數(shù)是一元函數(shù)則稱為常微分方程，而未知函數(shù)是多元函數(shù)則稱為偏微分方程，我們只討論常微分方程，故簡稱為微分方程，有時還簡稱為方程。2．微分方程的階微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為該微分方程的階3．微分方程的解、通解和特解滿足微分方程的函數(shù)稱為微分方程的解；通解就是含有獨立常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同的解；通解有時也稱為一般解但不一定是全部解；不含有任意常數(shù)或任意常數(shù)確定后的解稱為特解。4．微分方程的初始條件要求自變量取某定值時，對應(yīng)函數(shù)與各階導(dǎo)數(shù)取指定的值，這種條件稱為初始條件，滿足初始條件的解稱為滿足該初始條件的特解。5．積分曲線和積分曲線族微分方程的特解在幾何上是一條曲線稱為該方程的一條積分曲線；而通解在幾何上是一族曲線就稱為該方程的積分曲線族。6．線性微分方程如果未知函數(shù)和它的各階導(dǎo)數(shù)都是一次項，而且它們的系數(shù)只是自變量的函數(shù)或常數(shù)，則稱這種微分方程為線性微分方程。不含未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)的項稱為自由項，自由項為零的線性方程稱為線性齊次方程；自由項不為零的方程為線性非齊次方程。二．變量可分離方程及其推廣1．變量可分離的方程（1）方程形式：通解（注：在微分方程求解中，習(xí)慣地把不定積分只求出它的一個原函數(shù)，而任意常數(shù)另外再加）（2）方程形式：通解2．變量可分離方程的推廣形式（1）齊次方程令，則（2）令，則（3）①當(dāng)情形，先求出的解令，則屬于齊次方程情形②當(dāng)情形，令則令，則屬于變量可分離方程情形。三．一階線性方程及其推廣1．一階線性齊次方程它也是變量可分離方程，通解公式，（為任意常數(shù)）2．一階線性非齊次方程用常數(shù)變易法可求出通解公式令代入方程求出則得3．貝努利方程令把原方程化為再按照一階線性非齊次方程求解。4．方程：可化為以為自變量，為未知函數(shù)再按照一階線性非齊次方程求解。四．全微分方程及其推廣（數(shù)學(xué)一）1．全微分方程，滿足通解：，其中滿足求的常用方法。第一種：湊全微分法把常見的一些二元函數(shù)的全微分公式要倒背如流，就很有幫助。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；第二種：特殊路徑積分法（因為積分與路徑無關(guān)）第三種：不定積分法由得對求導(dǎo)，得，求出積分后求出2．全微分方程的推廣（約當(dāng)因子法）設(shè)不是全微分方程。不滿足但是存在使得為全微分方程，也即滿足則稱為約當(dāng)因子，按全微分方程解法仍可求出通解。這種情形，求約當(dāng)因子是關(guān)鍵。乙典型例題5432考研論壇（）友情提供下載一．變量可分離方程及其推廣例1．求下列微分方程的通解。（1）（2）例2．求下列微分方程的通解。（1）（2）（3）（4）解：（1）令，則，原方程化為，（注：）（2）；令，則，（3），令，則，，（4）令，則，例3．求微分方程的通解。例4．求微分方程例5．求微分方程的通解。例6．求微分方程的通解。例7．求微分方程例8．求微分方程的通解二．一階線性方程及其推廣例．求下列微分方程的通解（1）（2）（3）（4）解：（1）直接用常數(shù)變易法對應(yīng)的齊次線性方程為，通解令非齊次線性方程的通解為代入方程得，故所求方程的通解為（2）直接用通解公式（先化標(biāo)準(zhǔn)形式），通解（3）此題不是一階線性方程，但把看作未知函數(shù)，看作自變量，所得微分方程即是一階線性方程，（4）此題把看作未知函數(shù)，看作自變量所得微分方程為，，§4．2特殊的高階微分方程（數(shù)學(xué)四不要）甲內(nèi)容要點一．可降階的高階微分方程方程類型解法及解的表達式通解令，則，原方程——一階方程，設(shè)其解為，即，則原方程的通解為。令，把看作的函數(shù)，則把，的表達式代入原方程，得——一階方程，設(shè)其解為即，則原方程的通解為。二．線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)我們討論二階線性微分方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，其結(jié)論很容易地推廣到更高階的線性微分方程。二階齊次線性方程（1）二階非齊次線性方程（2）1．若，為二階齊次線性方程的兩個特解，則它們的線性組合（，為任意常數(shù)）仍為同方程的解，特別地，當(dāng)（為常數(shù)），也即與線性無關(guān)時，則方程的通解為2．若，為二階非齊次線性方程的兩個特解，則為對應(yīng)的二階齊次線性方程的一個特解。3．若為二階非齊次線性方程的一個特解，而為對應(yīng)的二階齊次線性方程的任意特解，則為此二階非齊次線性方程的一個特解。4．若為二階非齊次線性方程的一個特解，而為對應(yīng)的二階齊次線性方程的通解（，為獨立的任意常數(shù)）則是此二階非齊次線性方程的通解。5．設(shè)與分別是與的特解，則是的特解。三．二階和某些高階常系數(shù)齊次線性方程1．二階常系數(shù)齊次線性方程其中，為常數(shù)，特征方程特征方程根的三種不同情形對應(yīng)方程通解的三種形式（1）當(dāng)，特征方程有兩個不同的實根，則方程的通解為（2）當(dāng)，特征方程有二重根則方程的通解為（3）當(dāng)，特征方程有共軛復(fù)根，則方程的通解為2．階常系數(shù)齊次線性方程其中為常數(shù)。相應(yīng)的特征方程特征根與方程通解的關(guān)系同二階情形很類似。（1）若特征方程有個不同的實根則方程通解（2）若為特征方程的重實根則方程通解中含有（3）若為特征方程的重共軛復(fù)根則方程通解中含有由此可見，常系數(shù)齊次線性方程的通解完全被其特征方程的根所決定，但是三次及三次以上代數(shù)方程的根不一定容易求得，因此只能討論某些容易求特征方程的根所對應(yīng)的高階常系數(shù)齊次線性方程的通解。四．二階常系數(shù)非齊次線性方程方程：其中為常數(shù)通解：其中為對應(yīng)二階常系數(shù)齊次線性方程的通解上面已經(jīng)討論。所以關(guān)鍵要討論二階常系數(shù)非齊次線性方程的一個特解如何求？我們根據(jù)的形式，先確定特解的形式，其中包含一些待定的系數(shù)，然后代入方程確定這些系數(shù)就得到特解，常見的的形式和相對應(yīng)地的形式如下：1．，其中為次多項式（1）若不是特征根，則令其中為待定系數(shù)。（2）若是特征方程的單根，則令（3）若是特征方程的重根，則令2．其中為次多項式，為實常數(shù)（1）若不是特征根，則令（2）若是特征方程單根，則令（3）若是特征方程的重根，則令3．或其中為次多項式，皆為實常數(shù)（1）若不是特征根，則令其中為待定系數(shù)為待定系數(shù)（2）若是特征根，則令五．歐拉方程（數(shù)學(xué)一），其中為常數(shù)稱為階歐拉方程。令代入方程，變?yōu)槭亲宰兞?，是未知函?shù)的微分方程，一定是常系數(shù)齊次線性微分方程。注意下面變換公式：，，，，……。乙典型例題一．可降階的高階微分方程例1．求下列微分方程的通解（1）（2）解：（1）令，則，原方程化為屬于貝努里方程再令則有通解：（2）令，則，原方程化為屬于一階線性方程例2．求下列微分方程的通解（1）（2）二．常系數(shù)齊次線性微分方程例1．求下列微分方程的通解。（1）（2）（3）（4）解：（1）特征方程，即特征根，微分方程通解（2）特征方程，即特征根二重根微分方程通解（3）特征方程特征根微分方程通解（4）特征方程即特征根二重根，微分方程通解例2．設(shè)方程，求滿足，的特解。三．二階常系數(shù)非齊次線性微分方程例1．求微分方程的一個特解。解：這是二階線性常系數(shù)非齊次方程，其自由項呈的形狀，其中，。而該微分方程的特征方程是：特征根是，。由于不是特征根，故設(shè)特解為為了確定和，把代入原方程，經(jīng)化簡，可得令此式兩端同次冪系數(shù)相等，有由此解得，，因此特解為例2．求微分方程的通解。答案：最后得原方程通解為例3．求的通解。答案：因此原方程的通解為例4．求方程的通解。答案：原方程的通解為例5．求的通解。答案：原方程的通解為例6．求方程的通解。答案：原方程的通解為例7．求微分方程的通解。答案：原方程的通解為：。第五章向量代數(shù)與空間解析幾何（數(shù)學(xué)一）§5．1向量代數(shù)甲內(nèi)容要點一．空間直角坐標(biāo)系從空間某定點作三條互相垂直的數(shù)軸，都以為原點，有相同的長度單位，分別稱為軸，軸，軸，符合右手法則，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，稱為坐標(biāo)原點。1．兩點間距離設(shè)點，為空間兩點，則這兩點間的距離可以表示為2．中點公式設(shè)為，聯(lián)線的中點，則二．向量的概念1．向量既有大小又有方向的量稱為向量。方向是一個幾何性質(zhì)，它反映在兩點之間從一點到另一點的順序關(guān)系，而兩點間又有一個距離。常用有向線段表示向量。點叫起點，點叫終點，向量的長度叫做模，記為。模為的向量稱為單位向量。2．向量的坐標(biāo)表示若將向量的始點放在坐標(biāo)原點，記其終點，且點在給定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為。記以三個坐標(biāo)軸正向為方向的單位向量依次記為，則向量可以表示為稱之為向量的坐標(biāo)表達式，也可以表示為稱分別為向量在軸，軸，軸上的分量。稱分別為向量在軸，軸，軸上的投影。記與軸、軸、軸正向的夾角分別為，則方向余弦間滿足關(guān)系描述了向量的方向，常稱它們?yōu)橄蛄康姆较蚪?。的?？梢员硎緸榕c向量同方向的單位向量可以表示為。與向量平行的單位向量可以表示為。向量同方向上的單位向量常記為。三．向量的運算1．加法。減法。2．?dāng)?shù)乘。（是常數(shù)）向量的加、減和數(shù)乘運算統(tǒng)稱線性運算。3．?dāng)?shù)量積。其中為向量間夾角為數(shù)量也稱點乘。表示向量在向量上的投影，即4．向量積也稱為叉乘。的方向按右手法則垂直于所在平面，且是向量，。等于以為鄰邊的平行四邊形的面積。5．混合積：定義，坐標(biāo)公式幾何意義表示以為棱的平行大面體的體積。四．兩向量間的關(guān)系設(shè)關(guān)系向量表示向量坐標(biāo)表示間夾角與垂直與平行乙典型例題例．設(shè)為兩個非零向量，為非零常數(shù)，若向量垂直于向量，則等于（）。（A）（B）（C）（D）分析：所給向量為抽象向量，宜用向量運算公式。如果垂直于向量，因此應(yīng)有即由于為非零向量，因而應(yīng)有，故應(yīng)選（B）?！?．2平面與直線甲內(nèi)容要點一．空間解析幾何1．空間解析幾何研究的基本問題（1）已知曲面（線）作為點的幾何軌跡，建立這曲面（線）的方程。（2）已知坐標(biāo)和間的一個方程（組），研究這方程（組）所表示的曲面（線）。2．距離公式空間兩點與間的距離為3．定比分點公式是的分點：，點的坐標(biāo)為，則當(dāng)為中點時，二．平面及其方程1．法（線）向量，法（線）方向數(shù)。與平面垂直的非零向量，稱為平面的法向量，通常記成。法向量的坐標(biāo)稱為法（線）方向數(shù)。對于給定的平面，它的法向量有無窮多個，但它所指的方向只有兩個。2．點法式方程已知平面過點，其法向量，則平面的方程為或其中3．一般式方程其中不全為零。前的系數(shù)表示的法線方向數(shù)，是的法向量。特別情形：，表示通過原點的平面。，平行于軸的平面。，平行平面的平面。表示平面。4．三點式方程設(shè)，，三點不在一條直線上，則通過的平面方程為5．平面束設(shè)直線的一般式方程為，則通過的所有平面方程為，其中。6．有關(guān)平面的問題兩平面為與間夾角垂直條件平行條件重合條件設(shè)平面的方程為，而點為平面外的一點，則到平面的距離：三．直線及其方程1．方向向量、方向數(shù)與直線平行的非零向量，稱為直線的方向向量，方向向量的坐標(biāo)稱為方向數(shù)。2．直線的標(biāo)準(zhǔn)方程（對稱式方程）。其中為直線上的點，為直線的方向數(shù)。3．參數(shù)式方程為參變量。4．兩點式設(shè)，為不同的兩點，則通過和的直線方程為5．一般式方程（作為兩平面的交線）：，方向向量6．有關(guān)直線的問題兩直線為與間夾角垂直條件平行條件四．平面與直線相互關(guān)系平面的方程為：直線的方程為：與間夾角（）與垂直條件與平行條件與重合條件上有一點在上乙典型例題5432考研論壇（）友情提供下載例1．已知直線，若平面過點且與垂直，求平面的方程。分析：由題意可知，直線的方向向量必定平行于所求平面的法線向量，因此可取利用平面的點法式方程可知即為所求平面方程。或?qū)憺橐话闶椒匠?。?．設(shè)平面過點且與平面平行，則平面的方程為________。例3．通過點且與直線：，，垂直的平面方程為________。例4．求點到平面的距離。例5．試確定過，及三點的平面方程。例6．求通過坐標(biāo)原點且垂直于直線的平面方程。例7．求通過點且垂直于兩平面：和的平面方程?！?．3曲面與空間曲線甲內(nèi)容要點一．曲面方程1．一般方程2．參數(shù)方程（平面區(qū)域）二．空間曲線方程1．一般方程2．參數(shù)方程三．常見的曲面方程1．球面方程設(shè)是球心，是半徑，是球面上任意一點，則，即2．旋轉(zhuǎn)曲面的方程（1）設(shè)是平面上一條曲線，其方程是繞軸旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)曲面，設(shè)是旋轉(zhuǎn)面上任一點，由點旋轉(zhuǎn)而來（點是圓心）。由得旋轉(zhuǎn)面方程是或由參數(shù)方程，，，得旋轉(zhuǎn)面的參數(shù)方程，（2）求空間曲線繞軸一周得旋轉(zhuǎn)曲面的方程第一步：從上面聯(lián)立方程解出，第二步：旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞軸一周或繞軸一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程類似地處理。5．二次曲面曲面名稱方程曲面名稱方程橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面橢圓拋物面雙曲拋物面單葉雙曲面雙葉雙曲面二次錐面橢圓柱面雙曲柱面拋物柱面四．空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影1．曲線的方程曲線在平面上的投影先從曲線的方程中消去得到，它表示曲線為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面方程，那么就是在平面上的投影曲線方程。曲線在平面上投影或在平面上投影類似地處理2．曲線的方程則曲線在平面上的投影曲線方程為曲線在平面上投影曲線方程為曲線在平面上投影曲線方程為第六章多元函數(shù)微分學(xué)§6．1多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性甲內(nèi)容要點一．多元函數(shù)的概念1．二元函數(shù)的定義及其幾何意義設(shè)是平面上的一個點集，如果對每個點，按照某一對應(yīng)規(guī)則，變量都有一個值與之對應(yīng)，則稱是變量，的二元函數(shù)，記以，稱為定義域。二元函數(shù)的圖形為空間一卦曲面，它在平面上的投影區(qū)域就是定義域。例如，二元函數(shù)的圖形為以原點為球心，半徑為的上半球面，其定義域就是平面上以原點為圓心，半徑為的閉圓。2．三元函數(shù)與元函數(shù)空間一個點集稱為三元函數(shù)稱為元函數(shù)它們的幾何意義不再討論，在偏導(dǎo)數(shù)和全微分中會用到三元函數(shù)。條件極值中，可能會遇到超過三個自變量的多元函數(shù)。二．二元函數(shù)的極限設(shè)在點的鄰域內(nèi)有定義，如果對任意，存在，只要，就有則記以或稱當(dāng)趨于時，的極限存在，極限值為，否則，稱為極限不存在。值得注意：這里趨于是在平面范圍內(nèi)，可以按任何方式沿任意曲線趨于，所以二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)的極限復(fù)雜；但考試大綱只要求知道基本概念和簡單的討論極限存在性和計算極限值，不像一元函數(shù)求極限要求掌握各種方法和技巧。三．二元函數(shù)的連續(xù)性1．二元函數(shù)連續(xù)的概念若則稱在點處連續(xù)。若在區(qū)域內(nèi)每一點皆連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù)。2．閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1．（有界性定理）設(shè)在閉區(qū)域上連續(xù)，則在上一定有界.定理2．（最大值最小值定理）設(shè)在閉區(qū)域上連續(xù)，則在上一定有最大值和最小值（最大值），（最小值）定理3．（介值定理）設(shè)在閉區(qū)域上連續(xù)，為最大值，為最小值。若，則存在，使得乙典型例題一．求二元函數(shù)的定義域例1．求函數(shù)的定義域解：要求即；又要求即或綜合上述要求得定義域或例2．求函數(shù)的定義域二．有關(guān)二元復(fù)合函數(shù)例1．設(shè)，求解：設(shè)，解出，代入所給函數(shù)化簡故例2．設(shè)，求例3．設(shè)，當(dāng)時，，求函數(shù)和例4．設(shè)，當(dāng)時，，求函數(shù)和。三．有關(guān)二元函數(shù)的極限例1．討論（常數(shù)）解：原式而又原式例2．討論例3．討論例4．討論§6．2多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分甲內(nèi)容要點一．偏導(dǎo)數(shù)1．定義設(shè)二元函數(shù)若存在，則記以，或或稱為在點處關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)。同理，若存在，則記以，或或稱為在點處關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)。類似地，設(shè)即即即2．二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示曲面與平面的截線在點處的切線關(guān)于軸的斜率；表示曲面與平面的截線在點處的切線關(guān)于軸的斜率3．高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)的偏導(dǎo)數(shù)和仍是二元函數(shù)，那么它們的偏導(dǎo)數(shù)就稱為的二階偏導(dǎo)數(shù)，共有四種。當(dāng)，在處為連續(xù)則也就是說在這種情況下混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)的次序無關(guān)。類似地可以討論二元函數(shù)的三階及階偏導(dǎo)數(shù)。也可以討論元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)。二．全微分1．二元函數(shù)的可微性與全微分的定義設(shè)在點處有全增量若其中不依賴于只與有關(guān)，則稱在處可微，而稱為在處的全微分，記以或2．二元函數(shù)的全微分公式當(dāng)在處可微時則這里規(guī)定自變量微分，一般地3．二元函數(shù)全微分的幾何意義二元函數(shù)在點處的全微分在幾何上表示曲面在點處切平面上的點的豎坐標(biāo)的增量。4．元函數(shù)的全微分公式類似地可以討論三元函數(shù)和元函數(shù)的可微和全微分概念，在可微情況下三．偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的可微性，偏導(dǎo)數(shù)的存在性與函數(shù)的連續(xù)性之間的關(guān)系5432考研論壇（）友情提供下載設(shè)，則連續(xù)存在四．方向?qū)?shù)與梯度（數(shù)學(xué)一）1．平面情形在平面上過點沿方向的方向?qū)?shù)在點處的梯度為而方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系為由此可見，當(dāng)?shù)姆较蚺c的方向一致時，為最大，這時等于又方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為這相當(dāng)用兩向量的點乘的坐標(biāo)公式2．空間情形（略）§6．3多元函數(shù)微分法甲內(nèi)容要點一．復(fù)合函數(shù)微分法——鎖鏈公式模型1．，，；模型2．，模型3．，，模型4．，，還有其它模型可以類似處理二．隱函數(shù)微分法設(shè)（1）確定則；（2）確定則；（3）確定則；乙典型例題例1．設(shè)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù)及分別由下列兩式確定和，求答案：例2．設(shè)，是由和所確定的函數(shù)，其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求答案：§6．4多元函數(shù)的極值和最值甲內(nèi)容要點一．求的極值第一步求出駐點第二步令若則不是極值若則不能確定（需從極值定義出發(fā)討論）若則是極值進一步若則為極小值若則為極大值二．求多元函數(shù)條件極值的拉格朗日乘子法求的極值約束條件作求出是有可能的條件極值點，一般再由實際問題的含義確定其充分性。這種方法的關(guān)鍵是解方程組的有關(guān)技巧。三．多元函數(shù)的最值問題乙曲型例題一．普通極值問題例1．求函數(shù)的極值解：，要求，得故知，由此解得三個駐點，，，又，，在點處，，又，是極小值點極小值在點處，，。，，也是極小值點極小值在點處，，。不能判定。這時取，（其中為充分小的正數(shù)）則而取時，由此可見不是極值點。例2．求函數(shù)的極值二．條件極值問題（在強化班再討論）第七章多元函數(shù)積分學(xué)§7．1二重積分甲內(nèi)容要點一．二重積分的概念與性質(zhì)1．定義設(shè)是定義在有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，如果對任意分割為個小區(qū)域?qū)π^(qū)域上任意取一點都有存在，（其中又表示為小區(qū)域的面積，為小區(qū)域的直徑，而）則稱這個極限值為在區(qū)域上的二重積分記以，這時就稱在上可積。如果在上是有限片上的連續(xù)函數(shù)，則在上是可積的。2．幾何意義當(dāng)為閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，且，則二重積分表示以曲面為頂，側(cè)面以的邊界曲線為準(zhǔn)線，母線平行于軸的曲頂柱體的體積。當(dāng)封閉曲面它在平面上的投影區(qū)域為，上半曲面方程為，下半曲面方程為，則封閉曲面圍成空間區(qū)域的體積為3．基本性質(zhì)（1）（為常數(shù)）（2）（3）其中，除公共邊界外，與不重疊。（4）若，，則（5）若，，則其中為區(qū)域的面積。（6）（7）積分中值定理設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，為的面積，則存在，使得我們也把稱為在上的積分平均值。4．對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)定理1．設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于軸對稱，則其中為在軸的上半平面部分。定理2．設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于軸對稱，則其中為在軸的右半平面部分。定理3．設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于原點對稱，則其中為的上半平面或右半平面。定理4．設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于直線對稱，則若，，分別為在的上方與下方部分，則二．在直角坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序問題模型：設(shè)有界閉區(qū)域其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)。則模型：設(shè)有界閉區(qū)域其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)。則關(guān)于二重積分的計算主要根據(jù)模型或模型把二重積分化為累次積分從而進行計算，對于比較復(fù)雜的區(qū)域，如果既不符合模型中關(guān)于的要求，又不符合模型中關(guān)于的要求，那么就需要把分解成一些小區(qū)域，使得每一個小區(qū)域能夠符合模型或模型中關(guān)于區(qū)域的要求，利用二重積分性質(zhì)，把大區(qū)域上二重積分等于這些小區(qū)域上二重積分之和，而每個小區(qū)域上的二重積分則可以化為累次積分進行計算。在直角坐標(biāo)系中，兩種不同順序的累次積分的互相轉(zhuǎn)化是一種很重要的手段，具體做法是先把給定的累次積分反過來化為二重積分，求出它的積分區(qū)域，然后根據(jù)再把二重積分化為另外一種順序的累次積分。三．在極坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分在極坐標(biāo)系中一般只考慮一種順序的累次積分，也即先固定對進行積分，然后再對進行積分，由于區(qū)域的不同類型，也有幾種常用的模型。模型：設(shè)有界閉區(qū)域其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)，則模型：設(shè)有界閉區(qū)域其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則模型：設(shè)有界閉區(qū)域其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則模型：設(shè)有界閉區(qū)域其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則四．二重積分在幾何上的應(yīng)用1．空間物體的體積其中為閉曲面在平面上投影區(qū)域為上半曲面，為下半曲面。2．空間曲面的面積其中為曲面在平面上投影，曲面的方程乙典型例題一．直角坐標(biāo)系中二重積分的計算例1．計算，其中是由曲線，所圍區(qū)域。解：例2．計算其中是以，，和為邊的平行四邊形區(qū)域。例3．計算其中是由擺線，的第一拱和軸所圍區(qū)域。例4．計算例5．計算例6．計算，其中由，和軸所圍區(qū)域。例7．計算其中由和所圍區(qū)域。二．極坐標(biāo)系中二重積分的計算例1．計算其中由與軸圍成上半圓區(qū)域。解：在極坐標(biāo)系里，，三．交換積分順序例1．交換的積分順序解：原式其中由，和所圍的區(qū)域。按另一積分順序把二重積分化累次積分原式例2．交換的積分順序例3．交換的積分順序例4．交換的積分順序例5．交換的積分順序四．二重積分在幾何上的應(yīng)用1．求空間物體的體積例1．求兩個底半徑為的正交圓柱面所圍立體的體積答案：例2．求球面和圓柱面所圍（包含原點那一部分）的體積解：根據(jù)對稱性可知其中為平面上與軸所圍平面區(qū)域用極坐標(biāo)系進行計算例3．求曲面，，，所圍立體的體積?！?．2三重積分（數(shù)學(xué)一）甲內(nèi)容要點一．三重積分的概念與性質(zhì)1．定義設(shè)是定義在空間有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，如果對任意分割為個小區(qū)域且對小區(qū)域上任意取一點都有存在（其中又表示為小區(qū)域的體積，為小區(qū)域的直徑，而）則稱這個極限值為在空間區(qū)域上的三重積分，記以。這時就稱函數(shù)在上是可積的。上的連續(xù)函數(shù)一定是可積的。2．基本性質(zhì)（1）（為常數(shù)）（2）（3）其中，除公共邊界外，與不重疊（4）若，，則（5）若，，則其中V為區(qū)域的體積（6）（7）積分中值定理設(shè)在空間有界閉區(qū)域上連續(xù)，為的體積，則存在，使得我們也把稱為在上的積分平均值。3．對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)定理：設(shè)在空間有界閉區(qū)域上連續(xù)，而關(guān)于平面對稱，則其中是在平面上方的那一部分區(qū)域。至于關(guān)于平面對稱，或關(guān)于平面對稱有類似的結(jié)果。二．三重積分的計算方法1．直角坐標(biāo)系中三重積分化為累次積分（1）設(shè)是空間的有界閉區(qū)域，其中是平面上的有界閉區(qū)域，在上連續(xù)，函數(shù)在上連續(xù)，則（2）設(shè)其中為豎坐標(biāo)為的平面上的有界閉區(qū)域，則2．柱坐標(biāo)系中三重積分的計算相當(dāng)于把化為極坐標(biāo)而保持不變。3．球坐標(biāo)系中三重積分的計算然后再根據(jù)把三重積分化為關(guān)于的累次積分。乙典型例題（強化班時再討論）5432考研論壇（）友情提供下載§7．3曲線積分（數(shù)學(xué)一）甲內(nèi)容要點一．第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）1．定義平面情形：設(shè)平面上逐段光滑曲線上定義函數(shù)把曲線任意分割為段，，在上任取一點，如果對任意分割，任意取點，下列極限皆存在并且相等。（這里又表示第段曲線的弧長，）則稱此極限值為在曲線上的第一類曲線積分也稱為對弧長的曲線積分，記以如果曲線是封閉曲線，則記以空間情形：空間一條逐段光滑曲線上定義函數(shù)，把曲線任意分割為段，在上任取一點，如果對任意分割，任意取點，下列極限皆存在并且相等。（這里又表示第段曲線的弧長，）則稱此極限值為在曲線上的第一類曲線積分，也稱為對弧長的曲線積分，記以如果曲線是封閉曲線，也記以2．參數(shù)計算公式我們只討論空間情形（平面情形類似）設(shè)空間曲線的參數(shù)方程，，，則（假設(shè)和，，皆連續(xù)）這樣把曲線積分化為定積分來進行計算。二．第二類曲線積分（對坐標(biāo)的曲線積分）1．定義平面情形：設(shè)平面一條逐段光滑有定向的曲線，函數(shù)和皆在上有定義，把任意分成段，在上起點坐標(biāo)為，終點坐標(biāo)為（按的定向決定起點和終點）令，，再在上任取一點，考慮極限其中仍然是段弧長中的最大值，如果對任意分割，任意取點，上述極限皆存在并且相等，則稱此極限值為和對曲線的第二類曲線積分，也稱對坐標(biāo)的曲線積分，記以第二類曲線積分有時也用向量形式表示，這時向量，，用向量點乘概念另外，平面曲線是封閉曲線時，它的定向用逆時針方向或順時針方向加以指明?？臻g情形：設(shè)空間一條逐段光滑有定向的曲線，函數(shù)，，在上皆有定義，把任意分成段，，在上起點坐標(biāo)為，終點坐標(biāo)（按的定向決定起點和終點）令，，，再在上任意一點考慮極限其中仍是段弧長中最大值，如果對任意分割，任意取點，上述極限皆存在并且相等，則稱此極限值為，和對空間曲線的第二類曲線積分，也稱對坐標(biāo)的曲線積分，記以它的向量形式為其中如果是空間封閉曲線也要說明的定向，在空間不能簡單地說逆時針方向或順時針方針，必須用其他方式加以說明。2．參數(shù)計算公式我們只討論空間情形（平面情形類似）設(shè)空間有向曲線的參數(shù)方程，，，起點對應(yīng)參數(shù)為，終點對應(yīng)參數(shù)為（注意：現(xiàn)在和的大小不一定）如果，，皆連續(xù)，又，，也都連續(xù)，則這樣把曲線積分化為定積分來計算。值得注意：如果曲線積分的定向相反，則第二類曲線積分的值差一個負(fù)號，而第一類曲線積分的值與定向無關(guān)，故曲線不考慮定向。三．兩類曲線積分之間的關(guān)系1．平面情形設(shè)平面上一個逐段光滑有定向的曲線，，在上連續(xù)，則其中，為曲線弧在點處沿定向到方向的切線的方向余弦。2．空間情形設(shè)為空間一條逐段光滑有定向的曲線，，，在上連續(xù)，則其中，，為曲線弧上點處沿定向到方向的切線的方向余弦。四．格林公式關(guān)于平面區(qū)域上的二重積分和它的邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系有一個十分重要的定理，它的結(jié)論就是格林公式。定理1．（單連通區(qū)域情形）設(shè)平面上有界閉區(qū)域由一條逐段光滑閉曲線所圍成的單連通區(qū)域。當(dāng)沿正定向移動時區(qū)域在的左邊，函數(shù)，在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有定理2．（多連通區(qū)域情形）設(shè)平面上有界閉區(qū)域是連通區(qū)域（也即有個“洞”），它的邊界，其中的定向為逆時針方向，定向皆為順時針方向，仍符合沿的正定向移動時區(qū)域在它的左邊這個原則。函數(shù)，在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則五．平面上第二類曲線積分與路徑無關(guān)的幾個等價條件設(shè)的分量，在單連通區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下面幾條彼此等價。1．對內(nèi)任意一條逐段光滑閉曲線，都有2．任意在內(nèi)，則只依賴于起點和終點，與曲線的取法無關(guān)，稱為曲線積分與路徑無關(guān)。3．成立。4．內(nèi)處處有成立。5．向量場是有勢場，即存在二元函數(shù)，具有，稱為勢函數(shù)，具有，。乙典型例題（強化班再討論）§7．4曲面積分（數(shù)學(xué)一）甲內(nèi)容要點一．第一類曲面積分（對面積的曲面積分）1．定義設(shè)為分塊光滑曲面，在上有定義，把曲面任意分成塊小曲面，在上任取一點，把小曲面的面積也記以，而表示各小塊曲面直徑的最大值。如果對任意分割和任意取點，下列極限皆存在且相等則稱這極限值為在曲面上的第一類曲面積分，也稱對面積的曲面積分，記以2．基本計算公式設(shè)曲面的方程，在上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。在上連續(xù)，則這樣把第一類曲面積分化為二重積分進行計算。二．第二類曲面積分（對坐標(biāo)的曲面積分）1．定義設(shè)為分塊光滑有向曲面（已指定一側(cè)為定向)，，，皆在上有定義，把曲面任意分成個小曲面，而在平面上投影的面積記以，在平面上投影的面積記以，在平面上投影的面積記以，又在上任取一點，令是各小塊曲面直徑的最大值，考慮極限如果對任意分割，任意取點，極限值都存在并且相等，則這個極限限稱為，，在有向曲面上的第二類曲面積分，也稱為對面積的曲面積分，記以如果令，則向量形式為2．基本計算公式如果曲面的方程，在上連續(xù)，在上連續(xù)，則若曲面指定一側(cè)的法向量與軸正向成銳角取正號，成鈍角取負(fù)號。這樣把這部分曲面積分化為平面上的二重積分。類似地，曲面的方程表示為，，則曲面指定一側(cè)的法向量與軸正向成銳角取正號，成鈍角取負(fù)號，如果曲面的方程表示為，，則曲面指定一側(cè)的法向量與軸成銳角取正號，成鈍角取負(fù)號。由此可見，第二類曲面積分用基本公式進行計算是很麻煩的。絕大多數(shù)情形都用下面的定理進行計算，但是當(dāng)有些為只剩下一項或二項時，也有可能用基本公式進行計算。三．兩類曲面積分之間的關(guān)系其中為曲面在點處根據(jù)定向指定一側(cè)的法向量的三個方向余弦。令，四．高斯公式定理1．（單連通區(qū)域）設(shè)是由分塊光滑曲面圍成的單連通有界閉區(qū)域，在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則（外側(cè)）其中為在點處的法向量的方向余弦。定理2．（多連通區(qū)域）設(shè)是連通區(qū)域，外面邊界曲面為外側(cè)，每一個“洞”的邊界曲面為內(nèi)側(cè)，彼此不重疊，都在的內(nèi)部。這些曲面都是分塊光滑的，是有界閉區(qū)域，在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則（外側(cè)）（內(nèi)側(cè)）五．斯托克斯公式定理：設(shè)是逐段光滑有向閉曲線，是以為邊界的分塊光滑有向曲面，的正向與的側(cè)（即法向量的指向）符合右手法則，函數(shù)在包含的一個空間區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有也可用第一類曲面積分六．散度與旋度討論中有三個概念很重要，就是梯度、散度和旋度。前面我們已經(jīng)討論過梯度：設(shè)算稱為的梯度。1．散度設(shè)散度稱為的散度高斯公式可寫成（外側(cè)）2．旋度設(shè)旋度稱為的旋度。斯托克斯公式可寫成其中,乙典型例題（強化班再討論）第八章無窮級數(shù)（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三）引言所謂無窮級數(shù)就是無窮多項相加，它與有限項相加有本質(zhì)不同。歷史上曾經(jīng)對一個無窮級數(shù)問題引起爭論。例如歷史上曾有三種不同看法，得出三種不同的“和”，第一種第二種第三種設(shè)則，，這種爭論說明對無窮多項相加，缺乏一種正確的認(rèn)識，（1）什么是無窮多項相加？如何考慮？（2）無窮多項相加，是否一定有“和”？（3）無窮多項相加，什么情形有結(jié)合律，什么情形有交換律等性質(zhì)。因此對無窮級數(shù)的基本概念和性質(zhì)需要作詳細(xì)的討論?！?．1常數(shù)項級數(shù)甲內(nèi)容要點一．基本概念與性質(zhì)1．基本概念無窮多個數(shù)，依次相加所得到的表達式稱為數(shù)項級數(shù)（簡稱級數(shù)）稱為級數(shù)的前項的部分和。稱為部分和數(shù)列。若，則稱級數(shù)是收斂的，且其和為，記以若不存在，則稱級數(shù)是發(fā)散的，發(fā)散級數(shù)沒有和的概念。（注：在某些特殊含義下可以考慮發(fā)散級數(shù)的和，但在基礎(chǔ)課和考研的考試大綱中，不作這種要求。）2．基本性質(zhì)（1）如果和皆收斂，為常數(shù)，則收斂，且等于（2）在級數(shù)中增加或減少或變更有限項則級數(shù)的收斂性不變。（3）收斂級數(shù)具有結(jié)合律，也即對級數(shù)的項任意加括號所得到的新級數(shù)仍收斂，而且其和不變。發(fā)散級數(shù)不具有結(jié)合律，引言中的級數(shù)可見是發(fā)散的，所以不同加括號后得到級數(shù)的情形就不同。（4）級數(shù)收斂的必要條件是。（注：引言中提到的級數(shù)，具有不存在，因此收斂級數(shù)的必要條件不滿足，故發(fā)散。調(diào)和級數(shù)滿足，但卻是分散的。所以滿足收斂級數(shù)的必要條件，而收斂性尚不能確定。）3．兩類重要的級數(shù)（1）等比級數(shù)（幾何級數(shù)）當(dāng)時，收斂；當(dāng)時，發(fā)散。（2）—級數(shù)當(dāng)時，收斂；當(dāng)時，發(fā)散。（注：時，的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知。）二．正項級數(shù)斂散性的判別法若則稱為正項級數(shù)，這時所以是單調(diào)增加數(shù)列，它是否收斂就只取決于是否有上界。因此收斂有上界，這是正項級數(shù)比較判別法的基礎(chǔ)。從而也是正項級數(shù)其它判別法的基礎(chǔ)。1．比較判別法設(shè)，當(dāng)時，皆成立。如果收斂，則收斂；如果發(fā)散，則發(fā)散。2．比較判別法的極限形式設(shè)，，若（1）當(dāng)時，與同時收斂或同時發(fā)散。（2）當(dāng)時，若收斂，則收斂。（3）當(dāng)時，若收斂，則收斂。3．比值判別法（達朗倍爾）設(shè)，而（1）當(dāng)時，則收斂。（2）當(dāng)（包括）時，則發(fā)散。（3）當(dāng)時，此判別法無效。（注：如果不存在時，此判別法也無法用。）4．根值判別法（柯西）設(shè)，而（1）當(dāng)時，則收斂。（2）當(dāng)（包括）時，則發(fā)散。（3）當(dāng)時，此判別法無效。事實上，比值判別法和根值判別法都是與等比級數(shù)比較得出相應(yīng)的結(jié)論。應(yīng)用時，根據(jù)所給級數(shù)的形狀有不同的選擇，但它們在情形都無能為力，數(shù)學(xué)上有更精細(xì)一些的判別法，但較復(fù)雜，對考研來說，不作要求。三．交錯級數(shù)及其萊布尼茲判別法1．交錯級數(shù)概念若，稱為交錯級數(shù)。2．萊布尼茲判別法設(shè)交錯級數(shù)滿足：（1）（2）則收斂，且四．絕對收斂與條件收斂1．定理若收斂，則一定收斂；反之不然。2．定義若收斂，則稱為絕對收斂；若收斂，而發(fā)散，則稱為條件收斂。3．有關(guān)性質(zhì)（1）絕對收斂級數(shù)具有交換律，也即級數(shù)中無窮多項任意交換順序，得到級數(shù)仍是絕對收斂，且其和不變。（2）條件收斂級數(shù)的正項或負(fù)項構(gòu)成的級數(shù)，即或一定是發(fā)散的。4．一類重要的級數(shù)設(shè)（1）當(dāng)時，是絕對收斂的。（2）當(dāng)時，是條件收斂的。（3）當(dāng)時,是發(fā)散的。乙典型例題一．主要用部分和數(shù)列的極限討論級數(shù)的斂散性例1．判定下列級數(shù)斂散性，若收斂并求級數(shù)的和。（1）（2）二．主要用判別法討論級數(shù)的斂散性1．正項級數(shù)情形例1．若級數(shù)收斂，則（1）收斂（2）收斂（3）收斂證：(1)收斂，取，存在，當(dāng)時，，于是再用比較判別法，由收斂可知收斂（2）（幾何平均值算術(shù)平均值）已知收斂，收斂，故收斂，再用比較判別法，可知收斂（3），已知收斂，用比較判別法可知收斂。例2．判別下列級數(shù)的斂散性（1）(常數(shù))（2）解：用比值判別法（1）當(dāng)，則，故級數(shù)收斂當(dāng)，則，故級數(shù)發(fā)散當(dāng)時，，比值判別法無效但這時，即那么收斂的必要條件一定不滿足，故級數(shù)也發(fā)散（2）