高中數(shù)學競賽（強基計劃）歷年真題練習 2 函數(shù) （學生版+解析版）

【高中數(shù)學競賽真題?強基計劃真題考前適應性訓練】

專題02函數(shù)真題專項訓練（全國競賽+強基計劃專用）

一、單選題

1.（2020?北京?高三?？紡娀媱潱┰O(shè)函數(shù)，（x）=e'+“（x-l）+b在區(qū)間口,3］上存在零

點，則/+〃的最小值為（）

2

A.—B.eC.—D.e~

22

2.（2020?北京?高三?？紡娀媱潱┰O(shè)多項式的各項系數(shù)都是非負實數(shù)，且

/（i）=//（i）=ra）=尸（1）=1,則fM的常數(shù)項的最小值為（）

A.!B.—C.—D.—

2345

3.（2020?北京?高三?？紡娀媱潱┰O(shè)函數(shù)/（1）=1<+.］在區(qū)間［-2,2］上的最大

e+e

值為"，最小值為例，則（）

A.M+m=2B.M+力=1

C.M—m=2D.M—m=］

4.（202（）?北京?高三?？紡娀媱潱┮阎?（x）的導數(shù)存在，y=/（x）的圖象如圖所示,

設(shè)S⑺（。4/4份是由曲線3；=/（幻與直線》=。，x=f及x軸圍成的平面圖形的面積,

則在區(qū)間3,句上（）

A./'（X）的最大值是/3）,最小值是/'（c）B./（X）的最大值是尸（c）,最小值是

f'（b）

C.S'Q）的最大值是S'（a）,最小值是S'（c）D.S'⑺的最大值是S'（c）,最小值是S'（b）

5.（2022?北京?高三?？紡娀媱潱┮阎踴］表示不超過x的整數(shù)，如［1.2］=1,［-1.2］=-2.

己知&=今叵，則［a0］=（）

A.321B.322C.323D.以上都不對

6.（2022?全國?高三專題練習）設(shè)函數(shù)f（x）=+x+a,若曲線y=^^sinx+^|^上

存在點（見，%）使得/（/（%））=%成立，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.10,e2-e+l]B.10,e2+e-l]C.10,e2-e-l]D.10,e2+e+\]

二、多選題

、x,x＞a,

7.(2020?湖北武漢?高三統(tǒng)考強基計劃)設(shè)函數(shù)/3)={/3Q則()

A.當/(x)有極小值時，a＞^

B.當/(x)有極大值時，?＞-1

C.當/(x)連續(xù)時，”的可能值有3個

D.當，⑴有2極值點時，。=0或(＜。＜1

8.(2022?浙江寧波?高三統(tǒng)考競賽)已知。＞0且awl,關(guān)于x的不等式a'＞3a-1,下

列結(jié)論正確的是()

A.存在a,使得該不等式的解集是R

B.存在“，使得該不等式的解集是0

C.存在〃，使得該不等式的解集是(—,2022)

D.存在a,使得該不等式的解集是(2022,+8)

9.(2020?湖北武漢?高三統(tǒng)考強基計劃)設(shè)正整數(shù)&使得關(guān)于x的方程Q;=sinx在區(qū)間

(-3萬,3萬)內(nèi)恰有5個實根玉＜々＜看＜匕＜匕，則()

A.%+%2+%3+Z+毛=0

29451

B.-----<x.<—

1252

C.x5=tanx5

D.演，匕，七成等差數(shù)列

三、填空題

10.(2022秋?河南駐馬店?高二確山縣第一高級中學?？几傎?若函數(shù)=的

定義域為3,。］,值域為3,句，則實數(shù)f的取值范圍是.

11.(2022?新疆?高二競賽)已知C(x)=2*+In+1+r)-+1011,則不等式

/(2x+l)+/(x)＞2022的解集為.

12.(2021?全國?高二專題練習)若函數(shù)y=/(x)(x＞0)滿足礦(x)-/(x)=/e，(其中e為

自然對數(shù)的底數(shù)），且〃1）=-e,貝ij/（ln2e）=,

13.（2022?廣西?高二統(tǒng)考競賽）設(shè)是嚴格單調(diào)遞增的函數(shù)，其反函數(shù)為

y=g（x）.設(shè)士，比2分別是方程/（x）+x=2和g（x）+x=2的解，貝ij%,+x2=

14.（2022?廣西?高二統(tǒng)考競賽）已知3r（。+1）<產(chǎn)|-（"-1戶,

k=4］

-l<a<0.設(shè)產(chǎn)塔■雙，則x的整數(shù)部分為.

15.（2022?江蘇南京?高三強基計劃）函數(shù)y=Vrq+J15-3x的值域為.

16.（2022?福建?高二統(tǒng)考競賽）已知函數(shù)〃》）=1嗚（；依2-》+!）在區(qū)間［2,3］上恒正,

則實數(shù)a的取值范圍為.

17.（2022?貴州?高二統(tǒng)考競賽）函數(shù)/（*）=±里+手++：1±翳的對稱中心為

xx+1x+2022

（〃力），則2a+6=.

18.（2022?貴州?高二統(tǒng)考競賽）3%（）<0,使得尤2+口-。|-2<0（aeZ）恒成立，則

所有滿足條件的a的和

-2A:,X<0,

{—方程

2

/(x)+A-X2+1/(X)—2\/1~x1—2ax—4=。有三個實根西

2/1</<芻.若

七一馬=2（七一%）,貝IJ實數(shù)〃=,

20.（2021?全國?高三競賽）已知5、￡是關(guān)于式的整系數(shù)方程狽2+法+。=0（〃>0）的兩根,

1vsvfv2,則當正整數(shù)a取得最小值時，b+c=.

21.⑵21.全國?高三競賽）?。?『弋:;儼%—會回,可以表示

為一個偶函數(shù)g（x）和奇函數(shù)a（x）的和，則g（x）的最小值是

33

U-l)(x-4)(x-9)2d+1+'+43+X+9~l

22.（2021?全國?高三競賽）方程+-"+1)3+(X+4)3+(X+9)3\一

(x+l)(x+4)(x+9)3

的不同的實數(shù)解的個數(shù)為.

23.（2020?江蘇?高三競賽）已知函數(shù)/W是定義在R上的奇函數(shù)，若f（x）+x+e-，為偶

函數(shù)，且/（〃-2）+/（°2）40,則實數(shù)。的最大值為.

24.（2022?北京?高三?？紡娀媱潱┮阎癤）是二次函數(shù)，/（-2）=0,且

2x"（x）4號，則*0）=.

25.（2021?全國?高三競賽）實數(shù)x、y滿足］口-3）（4+3）一”’①，則苫、的大小關(guān)

7'+11'=⑶，②.

系是.

26.（2021?全國?高三競賽）已知函數(shù)/（》）=（；］］（x＞l）,如果不等式

（1-&'）/T（X）＞〃?（/"-J7）對X€上，9恒成立，則實數(shù)機的取值范圍

Io4

27.（2020?全國?高三競賽）設(shè)名。＞0,滿足：關(guān)于x的方程而+J|x+a|=6恰有三

個不同的實數(shù)解占，々,天，且為＜々＜￡=。，則的值為

四、解答題

28.（2022?廣西?高二統(tǒng)考競賽）設(shè)“為正整數(shù)，3|a,/（l）=tz,令

〃〃+1）』阿'師"，

“2.求證：存在M使得〃、1.

|/（"）+3,〃（〃）0Z,

29.（2022?福建?高二統(tǒng)考競賽）如果對任意的整數(shù)x,y,不等式4》2+丁+12丘（y+1）

恒成立，求最大常數(shù)k

30.（2022?湖北武漢?高三統(tǒng)考強基計劃）已知函數(shù)/（力=2/+352+6（3-4卜+202%.

若“X）是區(qū)間［-2,2］上的單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)?的取值范圍.

【高中數(shù)學競賽真題-強基計劃真題考前適應性訓練】

專題02函數(shù)真題專項訓練(全國競賽+強基計劃專用)

一、單選題

1.(2020?北京?高三?？紡娀媱?設(shè)函數(shù)/(x)=e*+a(x-l)+6在區(qū)間口,3]上存在零

點，則/+〃的最小值為()

2

A.-B.eC.—D.2

22e

【答案】D

2

【分析】利用點到直線的距離結(jié)合導數(shù)可求合+b的最小值.

【詳解】設(shè)零點為，，則a(—l)+He'=0,

因此“2+/~re[1,3],

(r-1)+1i

考慮函數(shù)g(x)=(f-2x+2)e-,其導函數(shù)g'(x)=(-2x2+6x-6)e<*<0,

因此函數(shù)g(x)在U，3]上單調(diào)遞減，從而/+從的最小值為3=e2.

g⑴

故選：D.

2.(2020?北京?高三?？紡娀媱?設(shè)多項式/(x)的各項系數(shù)都是非負實數(shù)，且

/(i)=(⑴=r(i)=/"(D=i,則的常數(shù)項的最小值為()

A.gB.—C.—D.—

2345

【答案】B

【分析】利用導數(shù)可求系數(shù)和的4個等式，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可判斷常數(shù)項的最小值.

n

【詳解】設(shè)/(幻=41+41》+%/+。3/++anx,其中qN0(i=0,l,,〃)，

4。+4+。)+q++4〃=L

4+2%+3%+=1,

」2iw+3.2?q++〃,(鹿-1)?=1,

3?2?1?/+-+〃?(〃-1)?-2)??！?1,

從而。3=三一C：%~—C：a“，

6

。2=g-C；%-C4a4--CR'

%=1-C；%-C，3--，

a0=~a2~~an，

于是％=生+C>3++

二3-%-(C-C；)%-一

17—

=2_^_C^4_+C〃_】a“

=；+(c*c)%++?_*)”.

=g+Ck++Cn-Ian

-r

等號當/=%==%=0時取得，因此所求最小值為g,

故選：B.

3.(2020?北京?高三?？紡娀媱?設(shè)函數(shù)/(x)=^^+sinx在區(qū)間”2,2］上的最大

e+e

值為M,最小值為〃?，則()

A.M+m=2B.M+m=l

C.M-m=2D.M—m=\

【答案】A

【分析】利用函數(shù)的對稱性可求M+〃z=2,再利用特殊值法可判斷最小值小于零，從

而可判斷CD的正誤.

【詳解】注意到/(X)+/(T)=2,因此M+m=2,故選項A正確，選項B錯誤.

而注意到/(-與|=3-1<0,

I2)1+e

于是A7-機=(2-?/)-%=2-2m>2,

故選項CD錯誤.

綜上所述，只有選項A正確.

故選：A.

4.(2020?北京?高三?？紡娀媱?已知/㈤的導數(shù)存在，y=/(x)的圖象如圖所示，

設(shè)S⑺(a4Yb)是由曲線y=f(x)與直線x=a,x=f及x軸圍成的平面圖形的面積，

A.7'&)的最大值是廣⑷，最小值是/'(c)B./'(X)的最大值是廣(c),最小值是

f'(b)

C.￡⑴的最大值是S'(a),最小值是S'(c)D.S，⑺的最大值是S'(c),最小值是S'S)

【答案】D

【分析】根據(jù)圖像，利用導數(shù)的定義，化簡S?)=lim四鈍二出，然后，逐個選項

AfOAf

進行判斷即可.

【詳解】如圖所示,廣⑶的最大值為了‘⑷,最小值為如S).

由導函數(shù)的定義，得S,⑺=limS=lim△'=/*)=limf(t}=f(t).

7

、A/TOZA/TOZA/->0''、，

則S'(f)的最大值是S'(C),最小值是S'(b).

故選：D

5.(2022?北京?高三?？紡娀媱?已知國表示不超過x的整數(shù)，如[1.2卜1,[-L2]=-2.

已知。=上手,則網(wǎng)[=()

A.321B.322C.323D.以上都不對

【答案】A

【分析】記4=，則由其所對應的特征根方程知數(shù)列%滿足

?！?2=4向+/，由遞推關(guān)系依次求出各項，再結(jié)合放縮法即可求解

【詳解】記4=

則由其所對應的特征根方程知數(shù)列滿足為+2=4制+。,且%=2嗎=1,

依次可得出=3,%=4,a=7,%=11，4=18,%=29,4=47,%=76,

即）=123,4]=199,。[2=322.

所以[d]=32L

故選：A

6.(2022?全國,高三專題練習)設(shè)函數(shù)f(x)=J/依+x+a,若曲線y=—廠sinx+—/上

存在點(%,%)使得，(/(%))=%成立，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.10,e2-e+l]B.10,e2+e-l]C.[0,e2-e-l]D.10,e2+e+i\

【答案】C

【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明/(%)=%.令函數(shù),f(x)=x，化為

a=x2-lwc-x.^hM=x2-lwc-x,利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出.

【詳解】解：?-閱inx1,

.,.當sinx=l時，尸*及11大+野■取得最大值y=\^+gLe,

、t/?-EXc_1.e+lm,/口目一士c—\e+1.

當sinx=-l時，y=^-sinx+^-取得瑯小值y=--—+^-=1,

即函數(shù)y=^sinx+三的取值范圍為[I,e],

若y=等sinx+等上存在點(%,%)使得/(/(%))=%成立，

則%€[1,e].

又_/'(x)=>/比x+x+a在定義域上單調(diào)遞增.

所以假設(shè)/(%)=(>%,則/(/(%))=/(c)>f(y0)=oy0,不滿足設(shè)“％))=%.

同理假設(shè)f(y0)=c<y0,也不滿足了(/(%))=%.

綜上可得：/(%)=%.%€口,見

函數(shù)f(x)=&nx+x+a,的定義域為(0,+?),

.,?等價為〃x+x+a=x,在(0,可上有解

即平方得/nx+x+a=x2,

則a=x2—lnx—x,

設(shè)/z(x)=x2-lnx-x,則h\x)=2x-\--=2n=3+13D,

XXX

由”(x)>0得此時函數(shù)單調(diào)遞增，

由〃(x)<0得0<x<l,此時函數(shù)單調(diào)遞減，

即當x=l時，函數(shù)取得極小值，即力(1)=1——1=0,

當x=e時，/?(e)=e2—Ine—e=e2-e—\,

則0釉(x)e2-e-i.

則O^ze2-e-\.

故選：c.

【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的應用、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力

與計算能力，屬于難題.

二、多選題

xXCI

7.(2020?湖北武漢?高三統(tǒng)考強基計劃)設(shè)函數(shù)，(x)={；3°一’則()

4x-3x,x<a

A.當/(x)有極小值時，a>：

B.當/(x)有極大值時，a>-1

C.當/(x)連續(xù)時，。的可能值有3個

D.當/(x)有2極值點時:“=0或;

【答案】BC

【分析】作出，=》和〉=4/一3犬的圖象由圖象依次判斷各選項即可得出結(jié)果.

【詳解】作出y=x和y=4/-3x的圖象，如圖,y=4x3-3x有x=±g兩個極值點.

對于選項A,當。=0時，f(x)有極小值，A錯誤；

對于選項B,當/s)有極大值時，a>~,所以B正確；

選項C,要使/(尤)連續(xù)，則。必須取在丫=兀和y=4/-3x的交點處，這樣的。恰有三個,

故C正確；

對于選項D,要/(x)有兩個極值點，則a=0或故D錯誤.

故選：BC.

8.(2022?浙江寧波?高三統(tǒng)考競賽)已知“〉0且。制，關(guān)于x的不等式優(yōu)>3〃-1，下

列結(jié)論正確的是()

A.存在a,使得該不等式的解集是R

B.存在a,使得該不等式的解集是0

C.存在a,使得該不等式的解集是(f,2022)

D.存在a,使得該不等式的解集是(2022,”)

【答案】ACD

【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)相關(guān)知識對選項逐一進行判定.

【詳解】①awg,優(yōu)>0Z3q-l,xeR,故A正確；

②g<a<1,/>3a-1=。砥。"-1)=x<log?(3a-1),又log?(3a-l)e(logfl2,+<x>),

故存在。使得log“(3〃-1)=2022,不等式解集為(『),2022)故C正確；

x

③a>l,a>3a-I="叫=>x>|Ogfl(3a-1),又logo(3a-l)e(log?2,+oo),

故存在a使得log。。a-D=2022,不等式解集為(2022,+8)故D正確；

④結(jié)合A、C、D選項，當或；<a<l或a>l時，不等式都存在解集，故不滿足

解集為空集，所以B錯誤.

故選：ACD.

9.(2020?湖北武漢?高三統(tǒng)考強基計劃)設(shè)正整數(shù)上使得關(guān)于x的方程fcv=sinx在區(qū)間

(一3萬,3幻內(nèi)恰有5個實根為<*3<*4<毛，則()

A.X,4-X2+X3+X4+X5=0

c29451

B.V/<---

122

C.x5=tanx5

D.X2,x4,X5成等差數(shù)列

【答案】ABC

【分析】利用函數(shù)圖象，結(jié)合圖象判斷每個選項即可.

【詳解】解:如圖所示，函數(shù)￥=去與函數(shù)丁=目11人一恰有5個交點.

選項A,根據(jù)對稱性可知%+々+七+尤4+毛=0，正確;

選項B,考慮在區(qū)間(2萬,當

內(nèi)，兩函數(shù)在X=*5時相切，所以

所以滿足/=tanxs，

，一29乃54八公294

H'ijtan---=tan——=2+73<---

121212

294「，立

所以天.正確;

12

選項C,兩函數(shù)在『時相切，所以“\kx.—sinx.，所以"tans正確;

選項D,若々，七，4成等差數(shù)列，則因為々，匕關(guān)于原點對稱，所以必有%=3匕,

kx=sinx

443

則3Ax4=sin3/=3sinx4-4sinx4=3kx4-4(fct4y,則5=0,

sin3X4=3&4

故不符合題意，錯誤.

故選：ABC.

三、填空題

10.(2022秋?河南駐馬店?高二確山縣第一高級中學校考競賽)若函數(shù)于(x)=t-F^的

定義域為3,旬，值域為3,句，則實數(shù)f的取值范圍是.

【答案】卜(-2

【詳解】解析：易知=在團向上單調(diào)遞減，

因為函數(shù)/(x)的值域為口,勿，所以卜［?二"即<t-+3—h,

，-際j兩式相減得'

1/0)=凡

Ja+3—Jb+3—Ci—b=(a4-3)—(b+3)=(da+3)~—(Jb+3)~?

所以屈5=1.因為所以而

t—Jb+3+。=〃-+3+1?

所以r=(Q+3)_V^_2=(V^_g)

乂所以一2</K—2.

24

故答案為：，，一2.

11.(2022?新疆?高二競賽)已知C(x)=2"+In+1+@-2「*+1011,則不等式

/(2x+1)+/(x)>2022的解集為.

【答案】

【詳解】令g(x)=/(x)-1011,易得g(x)為奇函數(shù)且單調(diào)遞增.

原不等式等價于g(2x+1)+g(x)>0og(2x+1)>g(—x).

白斤以2x+1>—xx>—.

3

故答案為：

12.(2021?全國?高二專題練習)若函數(shù)y=/(x)(x>0)滿足礦(x)-f(x)=x2e*(其中e為

自然對數(shù)的底數(shù))，且〃l)=-e,則/(ln2e)=.

【答案】0

【分析】構(gòu)造函數(shù)F(x)=/，可得尸(x)=e*,即尸(x)=e*+m,結(jié)合/⑴="，可

X

得機=—2e,即尸(x)=e*-2e,/(x)=x(e'-2e),代入x=ln2e即得解

【詳解】令尸。)=」也，

X

則F'(x)=礦=e，,

JT

_F(x)=e'+m.又/(1)=-e，1.F(l)=-e,

m=-2e,

/.F(x)=eA-2e,

于是f(x)=x(e*-2e),

/(ln2e)=0.

故答案為：0

13.(2022?廣西?高二統(tǒng)考競賽)設(shè)y于'(X)是嚴格單調(diào)遞增的函數(shù)，其反函數(shù)為

y=g(x).設(shè)占，2分別是方程/(力+尸2和g(x)+x=2的解，則%+%=.

【答案】2

【詳解】/(x)+x嚴格單調(diào)遞增.

且〃玉)+X1=2=g(&)+/蟲g仇))+g優(yōu))，

故芭=g(%)，々土為)，

于是占+々=七t/'(占)=2.

故答案為：2.

14.(2022?廣西?高二統(tǒng)考競賽)已知("+1)"+'--，"3+1)<產(chǎn)|-(〃-1)””，

k=41

-l<a<0.設(shè)x=J狀，則x的整數(shù)部分為.

【答案】14996

【詳解】由(〃+1戶一產(chǎn)l/(a+l)〈相+—1戶，取a=-g,?=4,5,---,106,

222太=4122

將不等式相加可得(10"+1尸-43<：2忘<(10"尸-33,

則x的整數(shù)部分為14996.

故答案為:14996.

15.(2022?江蘇南京?高三強基計劃)函數(shù)y=J工4+J15-3X的值域為.

【答案】［1，2］

■Jx-4-smO由仁|sin”^>0。得八匹「7i

【詳解】令2ky

>/5<t'=cos0

則y=sin，+G，cosO=2sin|6+二|,0e2k兀，土+2k兀

所以

故答案為：口，2］.

16.(2022?福建?高二統(tǒng)考競賽)已知函數(shù)小)=啕(；加_》+!)在區(qū)間［2,3］上恒正,

則實數(shù)a的取值范圍為.

【答案】件十件例)

【詳解】設(shè)g(x)=51or2_x+15，由g(2)=2a_2+51>0,得a>3j，

當4〉；，且2vxv3時，g*(x)=6Z￥-l>0,

□11

所以時，g(x)竹涼一+；在區(qū)間［2,3］上遞增，

①若黃”1,則XG［2,3］時,f(x)>0o|g%；，因此?<”<，

4［g(3)<l49

②若則xe［2,3］時，/(x)>0=g(2)>l,因此a>:,

綜上，〃的取值范圍為

故答案為：件飆信+8]

17.(2022?貴州?高二統(tǒng)考競賽)函數(shù)/(x)=W+g+的對稱中心為

xx+1x+2022

3力)，則2a+b=.

【答案】1

r1X+2x+202311+—!—+2023,

【詳解】加下+—+H----------------=-H-----------F

x+2022xx+1x+2022

設(shè)gQ)=/d011)—2023

11

--------------\----------------+4-----------------F-------------

x-1011x-1010x+1010x+1011

11

g(-x)=-----------------F-----------------F+------------------F---------------

-x-1011-x-1010-X+1010-x+1011

11

-------+-------++x+1010+x+1011=-g(%)，

x-1011x-1010

g(x-1011)-2023是奇函數(shù),所以月)關(guān)于點(-1011,2023)對稱,

2a+h=2x(-\m1)+2023=1.

故答案為：1.

18.(2022?貴州?高二統(tǒng)考競賽)3x0<0,使得f+ix-ai_2<0(aeZ)恒成立，則

所有滿足條件的a的和

【答案】0

【詳解J山f+1x—。|—2<0^\x-a\<2—x2(—<^2<x<V2)，

x~—2Vx—av2—x~,

2

令0］：)，=丁-2,C2:y=-x+2,XG(->/2,>/2),

l：y=x-a.G，C2，/在同?坐標下的圖像如圖所示:

由］y=一x-a占2得-f+2=i，x.+x—(a+2)=0,

Q

當△=I+4(〃+2)=0時，a=——,

4

9999

由圖對稱性知—<—ci<—,/.—<a<—,

4444

JA={-2,T0J2},???元素之和為0,

故答案為：0.

-2x,x<0,、口

19.(2021?全國?高三競賽)已知C(x)=->1、八方程

-1,x>0,

f(x)+2jrm+|/(x)-2>/1^7|-2?X-4-0有三個實根玉<々<七.若

退一毛=2(龍2-百)，則實數(shù)。=.

【答案】叵口

2

【詳解】設(shè)g(x)=2j［=？',—14x41，

注意到max(/(x),g(x))=g(f(x)+g(x)+|/(x)-g(x)|).

故方程可變形為max(/(x),g(x))=ox+2.由-2x2271=7，得x4-孝，

［9忘］

—2x,XG-1,----,

2

從而有max(/(x),g(x))=J「廠］

2A/1-X2,XG———,1.

2

由_2x=or+2,得玉=-----一］工&4---,進而0(〃(2血_2.

〃+212J

.____4〃

I112\j1—x2=公+2，得“3=°，々=一/+4.

因為X1<W<x3,x3-x2=2(x2-x］),所以2%=3X2,即f4,='

故答案為：空口.

2

20.(2021?全國?高三競賽)己知s、t是關(guān)于x的整系數(shù)方程or?+bx+c=0(a>0)的兩根,

1<5<r<2,則當正整數(shù)a取得最小值時，h+c=.

【答案】-4

【詳解】設(shè)f(x)=a(x-s)(x-f),則/(幻=0^+8+。,

因為/(1),/(2)eZ,所以/(I)-/(2)>1,

所以Q~2--------------------=---------------------.

(1-5)(1-0(2-5)(2T)(S-1)Q-1)(2-5)(2-r)

又因為(s-l)(2-s)w"(r-l)(2T)w!，所以6216,但〃*16,所以。25.

44

當a=5時，/(1)-/(2)=25(5-1)Q-1)(2-s)(2T)所以/⑴"(2)=1,

L16)

所以川)=/⑵=1.

于是,f(x)=5x2-15x+11,故。+c=-15+ll=-4.

,.____°,、,(2-cosx+>/2sinxV,萬,__

21.(2021?全國?高二競賽)/(x)=lg-----：---------x^k/r+—,keZ,可以表不

(sinx+1八2)

為一個偶函數(shù)g(x)和奇函數(shù)〃(》)的和，則g(x)的最小值是.

【答案】0

【詳解】解析：因為f(x)可以表示為一個偶函數(shù)g(x)和奇函數(shù)/X)的和，

所以

八/、.12-cosx+V^sinx)1(2-cosx-\/2sinx>

2g5)=lg-----:----:-----+1g------:----;——

(sinx+1)(-sinx+1

22、

.((2-cosx)-2sinX

lg1-sin^A

.(3COS2X-4COSX+2^1f,Jcosx-1丫1八

叫一蓊一產(chǎn)g2

當X=2后T,兀eZ時,(g(X))min=0.

故答案為：0.

(x-l)U-4)(x-9)21+1X3+43X3+93

22.(2021?全國?高三競賽)方程+-----V1-----7-----r=1

(x+l)(x+4)(x+9)3U+1)30+4)31+9)3

的不同的實數(shù)解的個數(shù)為.

【答案】5

【詳解】解析：易知x=0是原方程的解.

當XHO時，a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2),原方程

(x-l)(x-4)(x-9),2「x3+l,X3+43,x3+93

(x+l)(x+4)(x+9)3|_(x+l)3(x+4)3(x+9)3

等價于

x3+49xx+4x+9x]_0

(x+l)(x+4)(x+9)—|_(x+l)2+(x+4)2+(X+9)2J-'

方程兩端同除X,整理后得x(/-98x2-288x+385)=0.再同除X,得

(X2-31)2-(6%+24)2=0.

gp(X2+6X-7)(X2-6X-55)=0,從而有

(x+7)(x-l)(x+5)(x-ll)=0.

經(jīng)驗而玉=-7,々=1,匕=-5,匕=11均是原方程的根，所以原方程共有5個不同的實數(shù)

根.

故答案為：5.

23.(2020?江蘇?高三競賽)己知函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，若/(x)+x+e-*為偶

函數(shù)，且/(吁2)+/(叫<0,則實數(shù)”的最大值為.

【答案】1

xK

【詳解】解析：由題意/(x)+x+e=f(—x)—x+e=—f(<x)—x+e,

則/(x)=Ef-x，求導可得/(X)為單調(diào)遞增的函數(shù)，

故/⑷卜/Q-“)，則/J—a,解得—24a41,則實數(shù)。的最大值為1.

故答案為：1.

24.(2022?北京?高三?？紡娀媱?已知/(x)是二次函數(shù)，/(-2)=0,且

2x</(x)<^,則〃10)=.

【答案】36

【分析】法-：由f(-2)=0,^^f(x)=(x+2)(ax+b)=ax2+(2a+h)x+2h,則由

/(同，2%整理后即為44+/?244“〃+84+4人一4,由

(加一+(4a+2/?)x+4/?—440,討論2a—1=0,2a—1K0可得出2々=。，由此可解

,4;a=:,可求出〃x)的解析式，即可得出答案.

法二：由2x4/(x).>；4n0、〃x)-2x4；(x-2)2,設(shè)8(司=4(工-2)(》-〃7)(4*。),

討論加工2和相=2結(jié)合題目條件可解得。=；,可求出/(x)的解析式，即可得出答案.

【詳解】法一：

由/(-2)=0,nJiS/(^)=(^+2)(ax+&)=ar2+(2a+b)x+2b,

貝！J由/(x)22x得+(2〃+〃-2)x+2Z?W0,

所以“20且(2〃+人一2尸W8M,整理后即為4/+〃<4ab+8a+4b-4,

由/(x)4得伽—1*+(4a+2b)x+4b-440,

若2a—1=0則必有4a+抄=0,此時與(20+6-2148成矛盾,

所以2。-140且(4a+如244(20-1)(46-4),

整理后為4/+h2<4ah-8a-4b+4,

與4a2+b2<4ab+8a+4b-4相力口即得4a2+b2<4ab，

即(2a-》)240,所以2a=0,

所以/(x)=(x+2)(or+2a)=a(x+2)2,

又由于在原不等式中令x=2可得4V/(2)V4,所以"2)=4,由此解得。=:

所以〃x)=；(x+2)2j(10)=36.

法二：

2.1

2%</(%)<^y^=>0</(x)-2x<l(x-2)2,

令g(x)=/(x)-2x,則g(-2)=4,g(2)=0,設(shè)g(x)=a(x-2)(x-m)(ar0).

若6w2,貝!J

—

I-

](x-2)--g(x)=-g'(z2)=a(m-2)^0,

于是a(m-2)>0時，存在與<2使得g(x0—2)、g(x(,)<0,矛盾；

a(w-2)<0時，存在%>2使得g(x0—2)2—g(x0)<0,矛盾；

故MJ=2,令X=-2,則16a=g(_2)=4=>a=；.

于是〃x)=g(x)+2x=；(x-2)2+2x=；(x+2)2,進而/(10)=36.

故答案為：36.

25.(2021?全國?高三競賽)實數(shù)x、y滿足(4,-T)(4'+3')=F'①，則x、的大小關(guān)

系是.

【答案】x>y##y<x

【分析】比較x、y的大小關(guān)系，在等式中比較x、y的大小關(guān)系，利用假設(shè)法結(jié)論正確

的答案，結(jié)論錯誤則結(jié)果與假設(shè)的相反.

【詳解】假設(shè)x”.由①知⑹一夕=133由于13Y13v，貝h3V，從而

mo"設(shè)/⑺=（j|J+七），則削在R上遞減，且f（y）2i，又

=所以"y）>/（2）.于是y<2.

由②知，7'+11V=13*,又irviP，所以7"+11'4131即（t）+1.）4L

類似上面有X>2.于是x>y與xVy矛盾故x>y.

故答案為：x>y.

26.（2021?全國?高三競賽）已知函數(shù)/（x）=（U）（x>l）,如果不等式

（1一?）尸（X）>〃2（機一J7）對恒成立，則實數(shù)機的取值范圍

Io4

【答案】/

【分析】求出尸（幻=正魯（0<*<1）,將己知條件轉(zhuǎn)化為（1+刈6+1-/>0對

l-yjx

xe4，）恒成立，利用換元法轉(zhuǎn)化為gQ）=（l+〃2）f+l-，〃2>0,對re恒成立,

1O442

>0,

由，可解得結(jié)果.

>0

【詳解】Qy=1^^；=[l_gj(x>l),?

22

乂x>1,0<----<1,/.0<1------<1,/.0<y<1

x+1x+\

???廣(x)=(0<x<l)

\-\lx

由題意得（1-?）?正-6）對上，:恒成立，

1-VxU64J

等價于五+1〉一石），即（1+⑼4+1-〃，>0對工￡恒成立,

164

顯然加工一1,令t=G

所以（1+恤+「小＞。，對恒成立,

令g?）=（l+〃2）/+l—/7?是關(guān)于t的一次函數(shù),

-(l+a)+l-a2>0

要使g（f）＞o,對fG恒成立,即＜

1

—(1+ci)+1-礦9>0

解得：一1＜〃＜:,所以實數(shù)，”的取值范圍（-用

故答案為：卜,

【點睛】方法點睛：本題考查不等式的恒成立問題，不等式恒成立問題常見方法:

①分離參數(shù)a2〃x）恒成立（a＞/（x）1rax即可）或a＜〃力恒成立（a＜"引向“即可）:

②數(shù)形結(jié)合（y=/（x）圖像在y=g（x）上方即可）;

③討論最值“司*20或“XL*40恒成立

27.（2020?全國?高三競賽）設(shè)。力＞0,滿足：關(guān)于x的方程加+J|x+a|=6恰有三

個不同的實數(shù)解不々，鼻，且&＜電＜》3=8，則5的值為

【答案】144.

【分析】令f=x+5,將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進

行計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】解：令f=x+］則