高考全國3卷理科數(shù)學試卷真題及答案

2019普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(全國卷III)

理科數(shù)學

一、選擇題：本題共12小題.每小!15分.共60分.在學小題給出的四個選51中.只徹一

唄是符合耳目要求的.

I.已知集合4=/-，0,1,2},5公/W〃，則/CSj

A.{-1,0,1}

B.{0,1}

C.{-1，1}

D.{0,1,2}

2,若z(1+i)=2i,則z

A.-1-i

B.-1+i

C.1-i

D.1+i

3.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并成

為中國古典小說四大名著。某中學為了了解本小學生閱讀四大名著的情況，隨機

調(diào)查看了100位學生，期中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，

閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的

學生共有60位，則該學校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該學校學生總數(shù)比值

的估計值為

A.0.5

B.0.6

C.0.7

D.0.8

1

4.n+Y/的展開式中k”的系數(shù)為

A.12

B.16

C.20

D.24

5.已知目項均為正數(shù)的等比數(shù)列g(shù)j的前4頊和為15,且%-初.+啊,則4

A.16

B.8

C.4

D.2

6.已知曲線尸“'F電在點（工，Q處的班戔方程為尸冬電則

A.ae,b^T

B.廣，，b=i

C.s=c1,b=1

D.a=c1，b=-l

7,因數(shù)J；,］：：］.在［-6,6］的網(wǎng)信大致力

A.

2

￡

,貨■型苕書立‘加新?目‘疝T8-3

?樂?二冊30'm》?目?廂?

?勒?三的邛口'足加?目’點=幽V

他<SdJtfl03a?lK

”*(DevH±TX3ffii三衛(wèi)峪xag'?由(jsgv得父衛(wèi)44歲‘圖ars

9執(zhí)行右邊的程序傅用如果*人的6為0。1,財■出的值等于。

X?V2

10.雙曲支C：：T=1的右定點為月點『在C的一條漸近線上。為坐標原點，若

42

|P0|=|PF|,敗立初的面,的

4

B逑

?2

C.242

D.3戊

4

ii.設/(*)是定義域為R的偈的rt目在(0,一。)里調(diào)遇發(fā).則*

(0/(1\

"[108口>/|2z廣/y“

B.八/產(chǎn)+)“

C./|2^>/|2*5)>/-[10831)“

例>/12斗佃*

D-f\

12.設出W.己如/■(X)在［0,2r)有且僅有3個94,下逑

0個結(jié)論:，

①“*)在(0,2r冶且僅有3個極大值點.

②/(x)在［0,2x)有且僅有2個極小值點..

單墻送電?

1229

④◎的取值范國是［三,五)?

其中府育正確結(jié)論的編號是??

A.①?“

B.②。-

C.①②g

D.①②初

二增空K：本344'聚&NR陰.共20?

13.已知a,b為■位向■.@a-?=0.Wc=&>-&>.9>|cos(ax)K

M.記S“為等至整列(aj頊和，若a「0,a：=3a「則*=.，

5

15.長匕5為■囪的內(nèi)個X4,M方C上一直且在"一象*,3』片以

為寫收三角附，用M的生標力?

16.學生封工廠多聽ML利用3D仃印技東窗作橫型，ffiffi.武發(fā)31為長方律必5?

尼去叫?拉。-0闔后所的的月何體，x中

。為長方體的中心，E,F,C,H,分別為所在慢的中點，/:J

AB=BC=6ea?AAi=4c?,3D打印皆用Jf“密度為?二一

0°gE?，不4121T印畏疑?那傕達?史斯雷康林的熊1t

三解答建，共70分，挈答應/出文字說明.證明過程或演算步靖，第17?21艘為必考整,

每個試題考生都必須作答，第22、23整為選考建，考生根斑求作答：

（一）必考設：共60分.

17.412分1?

為了H甲，Z利忡離子在小K體內(nèi)的Ifcg耀■，道行如不再蛭，料W0只小領(lǐng)相分成

A.BR?,■期tooR.M卬A國小K皚?甲離子；84?B指小"壯修乙育子41才.

小斷結(jié)■的1事體取11同.?爾多食指同?目過一19仃冏府用單弊科學方法圖?比達匕在小

融以內(nèi)■孑的百分比.穆亮女雌RII分別再到IDT$方回3?

**-

ON

6W

◎*rflh-m

?U?lMur?M■分1t

**平0*臺分tta方由乙士子4*。分tt?方H

C為串體I“乙離子HS蒞#內(nèi)的百分比不恁于J.3",懵方^種卞尸《）的」計

也力0.70-

（1）京乙育干鐵曲目分比鹿方圖中a,b的催，“

<21分別估計甲，乙H子技修百分比的平均傳〈同一期中的咫議組區(qū)向的中京

信為代JQ”

6

18.(12分》~

A.UT的內(nèi)角4.B.C的對選分別為“，brc,已知asin±^￡=bsin，.“

(1)求3，?

<2)若Am為機第三角形，目c，I,求△，收■面租的七值優(yōu)圖”

1*.(Lift)?

S1是由運射皿5、"AM"和愛刑arac組成的一個平?圖%，乂中31，BE翦=3

zrac=w，持K沿“，友"折起使再感與航■臺.連轄方，toni.v

(1)證朗：圖2中的兒C,6。四點外面，且平面皿1.平面此￡f，~

(2)T圖2中的二面角*的大小一

20.(12分)一

filOffifty(x)-2x*-ar:*4,?

⑴討論/(*)的?■?，

a.b.使flir(x)在區(qū)網(wǎng)【0.1】的?小H%-1目a*■方1?若有在.耒

itt,卜的所有值I號不行將.晚明理由.“

7

21.（12分）*

已如曲線G尸三,D力叁線尸上的動a。作C8A兩條切線，切e分別為/.

<1>證明：直"心以在吉“"

<2>若以￡（%；）為四心的愿與■城3相切.且切點.力坡段U的中點.，京四

協(xié)給*1?￡的11艮，

（二）送考豆：共10分，詰考生在第22、23豌中任選一覆作答.如果多明則按所做的男

一題計分，

匕二遺修47：上除不與空靜方?。海?0分）*

to圖,在雷堡標奉《r0”（2.s,頡J5j>,aJ5,\）,aZa）,6B,BC,

《6所在用的囪心分別是<i,o）,（i，>,（IJT）,曲緯義是笠記,曲線盟

<1）分明寫出M.X.乂的眼坐標方濕，一

<2>曲線*由X,4,".將成，若點尸在，上，目|。片=6,京，的我坐際?一

23.:選修4-5：不等式選謂］（10分），

設）,jr,zeK,且*一7-2=1.*

（I）求f+s-前是小值一

（2>若［2）'?（尸1）'（廣曲’2:成立，證明：“4-3戒心-1?~

V

8

全國卷三（數(shù)學理科）解析

一'選擇題I

1、A

【解析】由題知8={-1/}，所以4AB={-L0/）.故選A

2、D

【解析】2=二=2m)=IT；故選D.

(1+0(1-T)

3、C

t解析】設閱讀過《西游記》和《紅柳夢》的分別為事件d和萬，

則4或者5中有90人，5中有80人，.4且B中有60人，所以乂中

有90-80Y0=70人，即凡4）===0.7.故逃C.

t解析】（1+2/）（1+x）4=（1+力’+*（1+X）\所以（1+

x）’的展開式中的系數(shù)為C：=4,而2/（i+x）’的展開式中二的

系數(shù)為2C：=8,則（1+2爐）（1+幻’的展開式中工3的系數(shù)為4-8=12,

故選A

5、C

【解析】易知qH1.由如q，=3a】q2+4。］,得q，-3q2-4=0,則q?=4,

2

又q>0,所以g=2,因為“=?=15,解得ai=l,a3=aiq=4,

故選C.

6、D

t解析】由題知點（1,ae）為切點，且ae=2xl+b,又）；=。6"-|111-1,

則y=^*lnl-l=2,解得ce=l,有g(shù)e-\則&=-1.故選D

9

7、B

3

【解析】設段)=哥p其定義域為R，則火㈤=塞去=-熹

=/r).即<x)為奇函數(shù)，排除C,又｛6)=巖，=7>0,排除A.

D,故選B.

8、B

r解析】由題知MV^ES,所以M.V耳E四點共面,即8"與EV相

交，設正方形JBCD的邊長為a,取CD中點〃，連接EH.HN.CM.

因為5cJ_DC,NH16C,平面ECDJ■平面.48,平面ECDC平面

ABCD=CD,所以N?f_L平面ECD,ECD,在RTAE7￡V中，

EN2=(—a)+(3)'=a2,而在RTMCM?中，5"=(更a)+

222

a2tEN1.故選B

9、C

【解析】第一次循環(huán)5=1J=不符，繼續(xù)循環(huán)：日-"=表不符，

繼續(xù)循環(huán)，不符，繼續(xù)循環(huán)，5=14母母，工4，不

符,繼續(xù)循玲s=1十%專等A去，不符，繼續(xù)循環(huán)e

x=i.不符，繼續(xù)循環(huán)，<0.01.符

c2222sZ4Z626.v=2A7=1,2^8-

合，退出循環(huán),輸出日-；##攝+,最=2-g故選C.

10、A

【解析】由超知a=2>V2:WJc75,于是漸近線的方程為產(chǎn)士?x，由

\PO\=\PF\,不妨設點尸在第一象限，其橫坐標為常爭于是其

縱坐標為受孕？所以APR的面積為9〃4=皚故選A.

11、C

10

*32

【解析】由題知1暗=-】o/V-1,而0v2Fv2Fvl,因為左）

132

為偶函數(shù)，所以與。?=火1。?次06），又因為0v2Fv2F<IV

32’

log；,由於府（0,+:?）上單調(diào)遞減，所以K2-t）>/（2F?（log；）,

故選C.

12、D

【解析】由/（x）=sin（（vx+》（3>0）,令y3/+]因為xW[0,2n.所

以k=<vx+gW[p2ton+3，於）在x€[0,2兀]上有且僅有5個零點，則

5H<2<0兀十？<6加則容工&><蘇④正確?又因為/（r）=&Kos（3x+,

令6（r）=cosLr?>x+*由xE（02兀）：得：vfv23N+]由3￡（y?汐

得5汗￡23//<6工，結(jié)合函數(shù)M0=cosr的圖象知①正確，②借誤，

由x€（0,-）得3+建（-,型+D,由口€[上.-）得

10S5105510

黑4標<篙，而需v￡結(jié)合>=sint的圖象知，③正確，故選D.

251051001002/

二、填空題

2

3

2

【斛析】|c|=J（2a-V5b）=5/4+5-4x/5a,b=3?cos<afc>

ac_2a^^Sa-b_2

1-1M1?3-3"

14、4

【解析】設公差為d,貝W]+d=3a「則啟2ah于是生=:?忑=

$5,d

3=4

25al

15、（3,715）

【解析】設點M（x,y）網(wǎng)為左焦點，因為點M在第一象限，所以

11

|MF11>|MF：|<又因為a=6,b=2倔則c=4,因為AWi月為等腰三

角形，|.外|<0<22尸1尺|：所以只能|卬1|=|尸海|=8,則

1.^21=20-1^1=4,于是點M滿足卜L4)+儼=[6,兩式

((%+4>+y2=64,

作差得16K48F3,代入桶酉方程中，又)>0,所以產(chǎn)后，則

M(3.V15).

16、118.8

【解析】由題知四邊形EFGH為菱形，其面積s=gx4x6=12,干

是｛-EFGH=12X3=12.長方體的體積為6X6*4=144,則所求質(zhì)

量為(144-12)x0,9=118.8g.

三、解答題

17、t解析】(1)由已知得57g7-0.20045,故a=O.35.

2？=1-005-0.15-0.70=0.10.

(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為

2x015+3x0.2(H4x030-5x0.20-?x0.1(R7x0.05=4.05.

乙離子殘留百分比的平均值的估計值為

3x0.05-4x0.10*5x015-6x035^7x0.20-8x0.15=6.00.

18、【解析】(1)由題設及正弦定理得必*疝與￡-血8而A.

因為si烏？W0,所以劍'；，=sitiB.

由X-3—C-180：,可得sifi^—--cos—,故cos.■2sinqcosO.

22222

因為85二?0,故如0」，因此8=60。.

222

12

（2）由題設及（1）知△.分C的面積S“l(fā)立a.

4

由正弦定理得a?包一碼巴

sinCsin。2tanC2

由于△.45C為銳角三角形,故0。<4<90。，0°<C<90°.由（1）知

J-01200,所以3(T<C<90。，故L<a<2,從而直<s“(且.

2i2

因此，△JJC面積的取值范圍是ffl-

19、【解析】（1）由已知得￡D1/BE,CGjlBE,所以M“CG,故皿

CG確定一個平面，從而J,C,G,Z>四點共面.

由己知得.￡3_5E,.切_5C,機￡5,平面3CGE.

又因為一3u平面45C,所以平面JBCJ.平面3CGE.

（2）作￡W13。，垂足為H.因為EWu平面3CGE.平面3CGE_L

平面JBC,所以印1平面4BC.

由已知，菱形BCGE的邊長為2,Z￡5C=60°,可求得5H=1,EH=^3.

以H為坐標原點，配的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空

間直角坐標系H-.以，

貝必(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,4)，CG=(1,

0,,AC=(2.-30)?

13

設平面z!CGZ>的法向量為n=(r,j,z),則

CGn?0,gp_&z■(\

ACn-0.|2x-y-0.

所以可取《=(3,6.-V3).

又平面BCGE的法向量可取為力=(0,1.0),所以

cns<>i,m>-"1n--.

lull加I2

因此二面角BYGT的大小為30。.

20、【解析】(1)/*(x)-6JT-2ax-IxQx-a)?

令0=0,得x=O或xg

若心0,則當XW(7D,0)W，-H,時，ra)>0I當X€O.gj時，

r(x)<0.故/(x)在(y,0)8V,單調(diào)遞明在，畤［單調(diào)遞漏

若a=0,/(X)在單調(diào)遞地：

若80.則當XG；~?,gjU(0,7))時,ZW>0>當XG|(0；時，

r(r)<0.故/⑴在一1；.(0_)單調(diào)遞增，在與0；單調(diào)遞減

(2)滿足題設條件的a.b存在.

(i)當四)時，由(1)知，人工)在［0,1］單調(diào)遞增，所以/(x)在

區(qū)間［0,1］的最小值為/(0H,最大值為"1)=2-"%此時a,3滿

足題設條件當且僅當5=T,2-a』l,即o=0,b—1.

(ii)當生3時.由(1)知，/(X)在［0,1］單調(diào)遞減，所以f(x)在

區(qū)間［0,1］的最大值為/(0R,最小值為/Cl)=2-a+b.此時a,b

14

滿足題設條件當且僅當2-a-,b=l,即a=4,b=l?

Gii）當033

最大值為b或2-a”.

若—-6=1,則a-招與0段?<3矛盾.

若-―b■-1,2-a-6=1,貝"a-或口——5^3或tF=O?與0<o<3

矛盾.

綜上，當且僅當D,b--l或*4,匕1時，/（均在［0,1］的最小

值為T,最大值為1?

21、【斛析】（1）設。"-1；,X（x,.）j）?則M?2￡.

1

X+

一

故2

由千所以切線的斜率為七,

V=X,ZX4%-r

整理得2耳-2%+1=0.

設3（x2.》：），同理可得2XX；-2%+1=0.

故直線的方程為2?-2>,?1-0.

所以直線4B過定點（（）、）.

（2）由（1）得直線斷的方程為J.rx,L

2

f1

y-a+不

由；，，，可得x*—2zx—1?0.

x*

:

于是用十即?2z.MZ=-L,十無*r（x1-bi<）*l?2r-hl>

15