中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點與壓軸題型專項突破訓(xùn)練專題06 填空題中之分類討論思想(教師版)

專題06填空題中之分類討論思想【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一與等腰三角形有關(guān)的分類討論問題】 1【考向二與直角三角形有關(guān)的分類討論問題】 7【考向三與矩形有關(guān)的分類討論問題】 10【考向四與菱形有關(guān)的分類討論問題】 18【考向五與正方形有關(guān)的分類討論問題】 23【考向六與圓的分類討論問題】 28【考向七與相似有關(guān)的分類討論問題】 33【直擊中考】【考向一與等腰三角形有關(guān)的分類討論問題】例題：（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）若（a﹣3）2+SKIPIF1<0=0，則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為________．【答案】11或13##13或11【分析】根據(jù)平方的非負性，算術(shù)平方根的非負性求得SKIPIF1<0的值，進而根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論，根據(jù)構(gòu)成三角形的條件取舍即可求解．【詳解】解：∵（a﹣3）2+SKIPIF1<0=0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0為腰時，周長為：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0為腰時，三角形的周長為SKIPIF1<0，故答案為：11或13．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，非負數(shù)的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·遼寧朝陽·統(tǒng)考中考真題）等邊三角形ABC中，D是邊BC上的一點，BD＝2CD，以AD為邊作等邊三角形ADE，連接CE．若CE＝2，則等邊三角形ABC的邊長為_____．【答案】3或SKIPIF1<0．【分析】分兩種情況，先證明SKIPIF1<0，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖，SKIPIF1<0點在SKIPIF1<0的右邊，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等邊三角形SKIPIF1<0的邊長為3，如圖，SKIPIF1<0點在SKIPIF1<0的左邊，同上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等邊三角形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，故答案為：3或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明SKIPIF1<0是解題的關(guān)鍵．2．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，有一個銳角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上（不與點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長為_______．【答案】SKIPIF1<0或9或3【分析】分∠ABC=60、∠ABC=30°兩種情況，利用數(shù)形結(jié)合的方法，分別求解即可．【詳解】解：當∠ABC=60°時，則∠BAC=30°，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當點P在線段AB上時，如圖，∵SKIPIF1<0，∴∠BPC=90°，即PC⊥AB，∴SKIPIF1<0；當點P在AB的延長線上時，∵SKIPIF1<0，∠PBC=∠PCB+∠CPB，∴∠CPB=30°，∴∠CPB=∠PCB，∴PB=BC=3，∴AP=AB+PB=9；當∠ABC=30°時，則∠BAC=60°，如圖，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴∠APC=60°，∴∠ACP=60°，∴∠APC=∠PAC=∠ACP，∴△APC為等邊三角形，∴PA=AC=3．綜上所述，SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0或9或3．故答案為：SKIPIF1<0或9或3【點睛】本題是解直角三角形綜合題，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)等，分類求解是本題解題的關(guān)鍵．3．（2022·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以點SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0長為半徑作弧，交射線SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的度數(shù)是______．【答案】10°或100°【分析】分兩種情況畫圖，由作圖可知得SKIPIF1<0，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】解：如圖，點SKIPIF1<0即為所求；在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由作圖可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由作圖可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．綜上所述：SKIPIF1<0的度數(shù)是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了作圖SKIPIF1<0復(fù)雜作圖，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．4．（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）矩形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點E在AB邊上，SKIPIF1<0．若點P是矩形ABCD邊上一點，且與點A，E構(gòu)成以AE為腰的等腰三角形，則等腰三角形AEP的底邊長是________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】分情況討論：①當AP=AE=5，點P在邊AD上時，由勾股定理可求得底邊PE的長；②當PE=AE=5，點P在邊BC上時，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出底邊AP即可．【詳解】解：∵矩形ABCD∴∠A=∠B=90°，分兩種情況：當AP=AE=5，點P在邊AD上時，如圖所示：∵∠BAD=90°，∴PE=SKIPIF1<0=5SKIPIF1<0；當PE=AE=5，點P在邊BC上時，如圖所示：∵BE=AB-AE=8-5=3，∠B=90°，∴PB=SKIPIF1<0=4，∴底邊AP=SKIPIF1<0；綜上，等腰三角形AEP的底邊長是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定，進行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．5．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）已知點A在反比例函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上，點B在x軸正半軸上，若SKIPIF1<0為等腰三角形，且腰長為5，則SKIPIF1<0的長為__________．【答案】5或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】因為等腰三角形的腰不確定，所以分三種情況分別計算即可．【詳解】解：①當AO=AB時，AB=5；②當AB=BO時，AB=5；③當OA=OB時，則OB=5，B（5，0），設(shè)A（a，SKIPIF1<0）（a>0），∵OA=5，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴A（3，4）或（4，3），∴AB=SKIPIF1<0或AB=SKIPIF1<0；綜上所述，AB的長為5或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案為：5或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，考查分類討論的思想，當時，求出點的坐標是解題的關(guān)鍵．【考向二與直角三角形有關(guān)的分類討論問題】例題：（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是___________度．【答案】40或80##80或40【分析】根據(jù)題意，由于SKIPIF1<0類型不確定，需分三種情況：高在三角形內(nèi)部、高在三角形邊上和高在三角形外部討論求解．【詳解】解：根據(jù)題意，分三種情況討論：①高在三角形內(nèi)部，如圖所示：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②高在三角形邊上，如圖所示：可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故此種情況不存在，舍棄；③高在三角形外部，如圖所示：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；綜上所述：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查求角度問題，在沒有圖形的情況下，必須考慮清楚各種不同的情況，根據(jù)題意分情況討論是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·遼寧撫順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點P為斜邊SKIPIF1<0上的一個動點（點P不與點A．B重合），過點P作SKIPIF1<0，垂足分別為點D和點E，連接SKIPIF1<0交于點Q，連接SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0為直角三角形時，SKIPIF1<0的長是_____________【答案】3或SKIPIF1<0【分析】根據(jù)題意，由SKIPIF1<0為直角三角形，可進行分類討論：①當SKIPIF1<0；②當SKIPIF1<0兩種情況進行分析，然后進行計算，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，∵在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵當SKIPIF1<0為直角三角形時，可分情況進行討論①當SKIPIF1<0時，如圖：則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；在直角△ACP中，由勾股定理，則SKIPIF1<0；②當SKIPIF1<0時，如圖∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形CDPE是矩形，∴CQ=PQ，∵AQ⊥CP，∴△ACP是等腰三角形，即AP=AC=SKIPIF1<0綜合上述，SKIPIF1<0的長是3或SKIPIF1<0；故答案為：3或SKIPIF1<0；【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，30度直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，運用分類討論的思想進行解題．2．（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，SKIPIF1<0，點D為AB的中點，點P在AC上，且CP＝1，將CP繞點C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點P的對應(yīng)點為點Q，連接AQ，DQ．當∠ADQ＝90°時，AQ的長為______．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0##SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】連接SKIPIF1<0，根據(jù)題意可得，當∠ADQ＝90°時，分SKIPIF1<0點在線段SKIPIF1<0上和SKIPIF1<0的延長線上，且SKIPIF1<0，勾股定理求得SKIPIF1<0即可．【詳解】如圖，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)題意可得，當∠ADQ＝90°時，SKIPIF1<0點在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，確定點SKIPIF1<0的位置是解題的關(guān)鍵．【考向三與矩形有關(guān)的分類討論問題】例題：（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，點E為邊SKIPIF1<0上一點，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，點C的對應(yīng)點為點F，過點F作SKIPIF1<0的平行線交SKIPIF1<0于點G，交直線SKIPIF1<0于點H．若點G是邊SKIPIF1<0的三等分點，則SKIPIF1<0的長是____________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，根據(jù)題意可得四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，證明SKIPIF1<0，等面積法求得SKIPIF1<0，勾股定理求得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的長，進而即可求解．【詳解】①如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形SKIPIF1<0SKIPIF1<0折疊SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0②如圖，當SKIPIF1<0時，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【點睛】本題考查了勾股定理，折疊，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識，注意分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝3，AD＝4，AC，BD為矩形的對角線，E是AD邊的中點，點F是CD上一點，連接EF，將△DEF沿EF折疊，當點G落在矩形對角線上時，則折痕EF的長是_____．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】分兩種情況，分別畫出圖形：當G在AC上時，連接DG交EF于M，證明∠AGD＝90°，從而EF∥AC，得EF是△ADC的中位線，可得EF＝SKIPIF1<0；當G在BD上，設(shè)BD交EF于N，證明△ABD∽△DEF，可得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，EF＝SKIPIF1<0．【詳解】解：當G在AC上時，連接DG交EF于M，如圖甲所示：∵E是AD中點，∴AE＝DE，∵將△DEF沿EF折疊，∴DE＝GE，∠DME＝∠GME＝90°，∴AE＝DE＝GE，∴∠EAG＝∠EGA，∠EDG＝∠EGD，∵∠EAG+∠EGA+∠EDG+∠EGD＝180°，∴2∠EGA+2∠EGD＝180°，∴∠EGA+∠EGD＝90°，即∠AGD＝90°，∴∠AGD＝∠DME，∴EF∥AC，∵E是AD中點，∴EF是△ADC的中位線，∴EF＝SKIPIF1<0AC，∵AC＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝5，∴EF＝SKIPIF1<0；當G在BD上，設(shè)BD交EF于N，如圖乙所示：∵將△DEF沿EF折疊，∴∠DNF＝90°，∴∠DFN＝90°﹣∠FDN＝∠ADB，∵∠EDF＝90°＝∠BAD，∴△ABD∽△DEF，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∵BD＝AC＝5，DE＝SKIPIF1<0AD＝2，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴EF＝SKIPIF1<0，綜上所述，折痕EF的長是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查矩形中的翻折問題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線等知識，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．2．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）在長為2，寬為x（SKIPIF1<0）的矩形紙片上，從它的一側(cè)，剪去一個以矩形紙片寬為邊長的正方形（第一次操作）；從剩下的矩形紙片一側(cè)再剪去一個以寬為邊長的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的紙片恰為正方形，則x的值為________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】分析題意，根據(jù)x的取值范圍不同，對剩下矩形的長寬進行討論，求出滿足題意的x值即可．【詳解】解：第一次操作后剩下的矩形兩邊長為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則第一次操作后，剩下矩形的寬為SKIPIF1<0，所以可得第二次操作后，剩下矩形一邊為SKIPIF1<0，另一邊為：SKIPIF1<0，∵第三次操作后，剩下的紙片恰為正方形，∴第二次操作后剩下矩形的長是寬的2倍，分以下兩種情況進行討論：①當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，第三次操作后剩下的矩形的寬為SKIPIF1<0，長是SKIPIF1<0，則由題意可知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；②當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，第三次操作后剩下的矩形的寬為SKIPIF1<0，長是SKIPIF1<0，由題意得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，熟練掌握矩形，正方形性質(zhì)以及分類討論的方法是解題的關(guān)鍵．3．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，折痕為MN，點M，N分別在邊AD，BC上，點C，D的對應(yīng)點分別在E，F(xiàn)且點F在矩形內(nèi)部，MF的延長線交BC與點G，EF交邊BC于點H．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當點H為GN三等分點時，MD的長為______．【答案】SKIPIF1<0或4【分析】由折疊得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，證明SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，再分兩種情況討論求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//BC，CD=AB=4，∠D=∠C=90°，∴∠DMN=∠GNM，由折疊得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，∴∠GMN=∠GNM，∠GFH=∠NEH，∴GM=GN，又∠GHE=∠NHE，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵點H是GN的三等分點，則有兩種情況：①若SKIPIF1<0時，則有：SKIPIF1<0∴EH=SKIPIF1<0，GF=2NE=4，由勾股定理得，SKIPIF1<0,∴GH=2NH=SKIPIF1<0∴GM=GN=GH+NH=SKIPIF1<0，∴MD=MF=GM-GF=SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0時，則有：SKIPIF1<0∴EH=SKIPIF1<0，GF=SKIPIF1<0NE=1，由勾股定理得，SKIPIF1<0,∴GH=SKIPIF1<0NH=SKIPIF1<0∴GM=GN=GH+NH=5；∴MD=MF=GM-GF=SKIPIF1<0綜上，MD的值為SKIPIF1<0或4．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，進行分類討論是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）在矩形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點E在邊CD上，且SKIPIF1<0，點P是直線BC上的一個動點．若SKIPIF1<0是直角三角形，則BP的長為________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或6【分析】分三種情況討論：當∠APE=90°時，當∠AEP=90°時，當∠PAE=90°時，過點P作PF⊥DA交DA延長線于點F，即可求解．【詳解】解：在矩形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，如圖，當∠APE=90°時，∴∠APB+∠CPE=90°，∵∠BAP+∠APB=90°，∴∠BAP=∠CPE，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCE，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：BP=6；如圖，當∠AEP=90°時，∴∠AED+∠PEC=90°，∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠DAE=∠PEC，∵∠C=∠D=90°，∴△ADE∽△ECP，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；如圖，當∠PAE=90°時，過點P作PF⊥DA交DA延長線于點F，根據(jù)題意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°，∴四邊形ABPF為矩形，∴PF=AB=9，AF=PB，∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°，∴∠DAE=∠APF，∵∠F=∠D=90°，∴△APF∽△EAD，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；綜上所述，BP的長為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或6．故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或6【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，并利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【考向四與菱形有關(guān)的分類討論問題】例題：（2022秋·廣東梅州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的一個動點，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折疊，使點SKIPIF1<0落在點SKIPIF1<0處，當SKIPIF1<0是直角三角形時，SKIPIF1<0的長為____．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】分兩種情形①當SKIPIF1<0與O重合時，SKIPIF1<0是直角三角形，此時SKIPIF1<0．②當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是直角三角形，此時SKIPIF1<0，列出方程即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于O．∵四邊形SKIPIF1<0是菱形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是由SKIPIF1<0翻折得到，∴SKIPIF1<0，①當SKIPIF1<0與O重合時，SKIPIF1<0是直角三角形，此時SKIPIF1<0．②當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是直角三角形，此時SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，綜上所述，滿足條件的SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查翻折變換、菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，是由中考填空題中的壓軸題．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·浙江金華·九年級義烏市繡湖中學(xué)教育集團校聯(lián)考期中）已知，拋物線SKIPIF1<0上有兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將拋物線沿水平方向平移，平移后點A的對應(yīng)點為SKIPIF1<0，點B的對應(yīng)點為SKIPIF1<0，且四邊形SKIPIF1<0剛好為菱形，那么平移后的拋物線的頂點坐標為_____．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式得到頂點坐標，由四邊形SKIPIF1<0為菱形，得出SKIPIF1<0，即可得出向右平移5各單位的得到新拋物線，進而即可求得平移后的拋物線的頂點坐標．【詳解】解：根據(jù)題意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴頂點為SKIPIF1<0，∴當拋物線向右平移5個單位的拋物線的頂點為SKIPIF1<0．當拋物線向左平移5個單位是拋物線頂點為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，菱形的性質(zhì)，求得拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．2．（2022·河南信陽·?？家荒＃┤鐖D，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一動點，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0將SKIPIF1<0折疊，點SKIPIF1<0的對稱點為點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0為等腰三角形時，SKIPIF1<0的長為______．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】分類討論：如圖SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，如圖SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，如圖SKIPIF1<0中，當SKIPIF1<0時，分別求出即可．【詳解】解：如圖SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合或在點SKIPIF1<0處．當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0也重合，此時SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；如圖SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合或在SKIPIF1<0處，點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂直平分線，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處時，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；如圖SKIPIF1<0中，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．綜上所述：當SKIPIF1<0為等腰三角形時，SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，分類討論是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·廣東梅州·九年級?？茧A段練習(xí)）在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，且四邊形SKIPIF1<0為菱形，若線段SKIPIF1<0的中點為點SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的長為____．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】兩種情況：①由矩形的性質(zhì)得出SKIPIF1<0，由菱形的性質(zhì)得出SKIPIF1<0，由勾股定理求出SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0；②同①得出SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0的長．【詳解】解：分兩種情況：①如圖1所示：∵四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0為菱形，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵M是SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；②如圖2所示：同①得：SKIPIF1<0，∵M是SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；綜上所述：線段SKIPIF1<0的長為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握矩形和菱形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．【考向五與正方形有關(guān)的分類討論問題】例題：（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期中）正方形SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點，連結(jié)SKIPIF1<0交對角線SKIPIF1<0于點G，若SKIPIF1<0恰好平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為______．【答案】SKIPIF1<0或4【分析】延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于R，作SKIPIF1<0于T，不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可證得SKIPIF1<0是等腰三角形，可推出SKIPIF1<0，進而表示出SKIPIF1<0，然后解SKIPIF1<0，從而求出x的值，進而可得結(jié)果．【詳解】解：如圖，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于R，作SKIPIF1<0于T，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0恰好平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0或4，故答案為：SKIPIF1<0或4．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線分線段成比例，勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造出等腰三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山東日照·九年級?？计谀┑妊黃KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0的兩個頂點在SKIPIF1<0的一邊上，另兩個頂點在SKIPIF1<0的另兩邊上，則正方形SKIPIF1<0的邊長為____________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】分兩種情況討論：①正方形的邊SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再利用等腰三角形的性質(zhì)，得到SKIPIF1<0，由勾股定理得到SKIPIF1<0，即可求出正方形邊長；②正方形的邊SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，作SKIPIF1<0，利用三角形的面積，求出SKIPIF1<0，再證明SKIPIF1<0，利用相似比SKIPIF1<0，即可求出正方形邊長．【詳解】解：①如圖1，正方形的邊SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，P、N分別在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，過D作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點E，設(shè)正方形邊長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0正方形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；②如圖2，正方形的邊SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，P、N分別在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，過D作SKIPIF1<0于點D，作SKIPIF1<0于點G，設(shè)正方形邊長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，綜上所述，正方形的邊長為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的額判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·江西宜春·九年級?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，正方形SKIPIF1<0的SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸正半軸上，邊SKIPIF1<0在第一象限，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．將正方形SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0順時針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0對應(yīng)點SKIPIF1<0恰好落在坐標軸上，則點SKIPIF1<0的對應(yīng)點SKIPIF1<0的坐標為___________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】由正方形SKIPIF1<0的SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸正半軸上，邊SKIPIF1<0在第一象限，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0長，進而得出SKIPIF1<0，畫出圖形：當正方形SKIPIF1<0繞點A順時針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，分兩種情況，①點B的對應(yīng)點SKIPIF1<0恰好落在x軸正半軸上時，②點B的對應(yīng)點SKIPIF1<0恰好落在y軸負半軸上時．【詳解】解：∵正方形SKIPIF1<0的SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸正半軸上，邊SKIPIF1<0在第一象限，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，畫圖如下：當正方形SKIPIF1<0繞點A順時針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0軸于E，分兩種情況①點B的對應(yīng)點SKIPIF1<0恰好落在x軸正半軸上時，如圖，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在△AB′O和△EB′C′中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴點C的對應(yīng)點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0；②點B的對應(yīng)點SKIPIF1<0恰好落在y軸負半軸上時，如圖，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴點C的對應(yīng)點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0；綜上所述：點C的對應(yīng)點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，圖形的旋轉(zhuǎn)變換，三角形全等，掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理，圖形的旋轉(zhuǎn)變換，三角形全等，利用分兩種情況考慮點SKIPIF1<0的位置求點SKIPIF1<0坐標是解題關(guān)鍵．3．（2021秋·北京東城·九年級?？计谀┤鐖D，正方形SKIPIF1<0的面積為3，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上一點，SKIPIF1<0，將線段SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)，使點SKIPIF1<0落在直線SKIPIF1<0上，落點記為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長為______．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，然后利用“SKIPIF1<0”證明SKIPIF1<0和SKIPIF1<0全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得SKIPIF1<0，然后分點F在線段SKIPIF1<0上和SKIPIF1<0的延長線上兩種情況討論求解即可．【詳解】解：SKIPIF1<0正方形SKIPIF1<0的面積為3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①點F在線段SKIPIF1<0上時，SKIPIF1<0，②點F在SKIPIF1<0的延長線上時，SKIPIF1<0，綜上所述，SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出全等三角形是解題的關(guān)鍵，難點在于要分情況討論．【考向六與圓的分類討論問題】例題：（2022秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）如圖，將一塊三角板放置在SKIPIF1<0中，點A、B在圓上，SKIPIF1<0為直角，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，則SKIPIF1<0的度數(shù)是_____．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】根據(jù)點P的位置分兩種情況討論，即可得出答案．【詳解】解：如圖：當點P在優(yōu)弧SKIPIF1<0上時，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；當點SKIPIF1<0在劣弧SKIPIF1<0上時，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0為圓內(nèi)接四邊形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，綜上分析可知，SKIPIF1<0