人教版八年級數(shù)學(xué)下冊重難點(diǎn)專題提升精講精練第一次月考押題重難點(diǎn)檢測卷(考試范圍：第十六、十七章)(原卷版+解析)

第一次月考押題重難點(diǎn)檢測卷注意事項(xiàng)：本試卷滿分120分，考試時間120分鐘，試題共26題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（2022秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·安徽池州·八年級統(tǒng)考期末）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且3．（福建省寧德市2022-2023學(xué)年八年級上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷）如圖所示的人字梯撐開后側(cè)面是一個等腰三角形，若梯子長等于，梯子完全撐開后頂端離地面的高度等于，則此時梯子側(cè)面寬度等于（

）A． B． C． D．4．（2022秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）為了方便體溫監(jiān)測，某學(xué)校在大門入口的正上方處裝有紅外線激光測溫儀（如圖所示），測溫儀離地面的距離米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時，測溫儀就會自動測溫并報(bào)告人體體溫．當(dāng)身高為1.7米的小明正對門緩慢走到離門1.2米處時（即米），測溫儀自動顯示體溫，此時小明頭頂?shù)綔y溫儀的距離等于（

）A．0.5米 B．1.2米 C．1.3米 D．1.7米5．（2022秋·河北秦皇島·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）對于實(shí)數(shù)x，我們規(guī)定表示不大于x的最大整數(shù)，如，，．現(xiàn)對82進(jìn)行如下操作：82第一次，第二次，第三次，這樣對82只需進(jìn)行3次操作后即可變?yōu)?，類似地，對300只需進(jìn)行多少次操作后即可變?yōu)?（

）A．3 B．4 C．5 D．66．（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，平分，，為邊的垂直平分線且分別交、于點(diǎn)、，若，，則的長是（

）A．2 B． C． D．7．（2022秋·河南駐馬店·九年級?？茧A段練習(xí)）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：，……，按照上述規(guī)律，計(jì)算：（）A． B． C．9 D．88．（2023秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．59．（2022秋·浙江溫州·八年級?？计谥校┤鐖D是一個卡通頭像，其臉部是正方形，帽子右側(cè)是以為斜邊的，帽子左側(cè)是．若，則正方形的邊長為（

）A． B． C．12 D．1310．（2022秋·陜西西安·八年級西安市鐵一中學(xué)?？计谀┤鐖D，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連結(jié)．已知，，則的面積為（

）A． B． C．24 D．12二、填空題（8小題，每小題3分，共24分）11．（2022·浙江·九年級自主招生）計(jì)算______________．12．（2022秋·四川成都·八年級?？计谀┤绻?，那么的值是______．13．（2022秋·福建福州·八年級福建省福州第十九中學(xué)?？计谀┤鐖D，，，邊上的中線，則的面積為__________．14．（2022秋·陜西西安·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，若圓柱的底面半徑是，高是，從圓柱底部處沿側(cè)面纏繞一圈絲線到頂部處，則這條絲線的最小長度是__________．15．（2022秋·上海·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將梯形（紙片）折疊，使點(diǎn)與邊上的點(diǎn)重合，直線為折痕；點(diǎn)也與邊上的點(diǎn)重合，直線為折痕．已知，，，則的面積是__________．16．（2022秋·河北秦皇島·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，那么這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如：與；與．（1）的有理化因式為___________；（2）比較大?。篲_________（選填“>”“<”或“=”）；（3）計(jì)算：___________．17．（2022秋·四川成都·八年級校考期末）已知中，，，邊上的高，D為線段上的動點(diǎn)，在上截取，連接，，則的最小值為______．18．（2023秋·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學(xué)?？计谀┤鐖D，等腰直角與等腰直角，，，，連接、．若，M為中點(diǎn)，交于點(diǎn)N，則的長為___________．三、解答題（8小題，共66分）19．（2023春·福建福州·八年級校考階段練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)20．（2022秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：，其中．21．（2023秋·湖南郴州·八年級統(tǒng)考期末）設(shè)，．(1)求，的值；(2)求的值．22．（2023春·福建福州·八年級?？茧A段練習(xí)）（1）在如圖的數(shù)軸上作出表示的點(diǎn)．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）正方形網(wǎng)格中的每個小正方邊長都是1，在圖中以為一邊，畫一個邊長均為無理數(shù)的直角三角形．（說明：直角三角形的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn)）23．（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期中）如圖，C為線段上一動點(diǎn)，分別過點(diǎn)B，D作，連接．已知，設(shè)．(1)用含x的代數(shù)式表示的值；(2)探究：當(dāng)點(diǎn)C滿足什么條件時，的值最小？最小值是多少？24．（2022秋·福建漳州·八年級福建省漳州第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：若設(shè)（其中、、、均為整數(shù)），則有，．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法，請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)若，當(dāng)、、、均為整數(shù)時，用含、的式子分別表示、，得：______，______；(2)若，且、、均為正整數(shù)，求的值；(3)化簡下列格式：①②③．25．（2022秋·陜西西安·八年級?？茧A段練習(xí)）【閱讀】定義：如果一個三角形有兩個內(nèi)角的差為90°，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)直角三角形”．【理解】（1）①若，，則____________“準(zhǔn)直角三角形”；（填“是”或“不是”）②已知是“準(zhǔn)直角三角形”，且，，則的度數(shù)為____________．【應(yīng)用】（2）如圖，在中，點(diǎn)D在上，連接．若，，，，試說明是“準(zhǔn)直角三角形”．26．（2023秋·浙江湖州·八年級統(tǒng)考期末）【問題背景】(1)如圖1，點(diǎn)P是線段，的中點(diǎn)，求證：；【變式遷移】(2)如圖2，在等腰中，是底邊上的高線，點(diǎn)E為內(nèi)一點(diǎn)，連接，延長到點(diǎn)F，使，連接，若，若，，求的長；【拓展創(chuàng)新】(3)如圖3，在等腰中，，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，點(diǎn)D重合），連接，過點(diǎn)A作，連接，若，，請直接寫出的長．第一次月考押題重難點(diǎn)檢測卷注意事項(xiàng)：本試卷滿分120分，考試時間120分鐘，試題共26題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．（2022秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)合并同類二次根式，即可一一判定．【詳解】解：A.，故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B.與不是同類二次根式，不能進(jìn)行加法運(yùn)算，故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C.與不是同類二次根式，不能進(jìn)行加法運(yùn)算，故該選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D.，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，準(zhǔn)確判定是否是同類二次根式是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·安徽池州·八年級統(tǒng)考期末）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根據(jù)分式有意義的條件以及二次根式有意義的條件即可求得x的取值范圍．【詳解】解：∵，，∴且，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件以及二次根式有意義的條件，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．（福建省寧德市2022-2023學(xué)年八年級上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷）如圖所示的人字梯撐開后側(cè)面是一個等腰三角形，若梯子長等于，梯子完全撐開后頂端離地面的高度等于，則此時梯子側(cè)面寬度等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先證明，，再利用勾股定理可得答案．【詳解】解：∵人字梯撐開后側(cè)面是一個等腰三角形，梯子長等于，頂端離地面的高度等于，∴，，，∴，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，理解題意，熟練的利用勾股定理解題是關(guān)鍵．4．（2022秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）為了方便體溫監(jiān)測，某學(xué)校在大門入口的正上方處裝有紅外線激光測溫儀（如圖所示），測溫儀離地面的距離米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時，測溫儀就會自動測溫并報(bào)告人體體溫．當(dāng)身高為1.7米的小明正對門緩慢走到離門1.2米處時（即米），測溫儀自動顯示體溫，此時小明頭頂?shù)綔y溫儀的距離等于（

）A．0.5米 B．1.2米 C．1.3米 D．1.7米【答案】C【分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，構(gòu)造，利用勾股定理求得的長度即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，∵米，米，米，∴（米）．在中，由勾股定理得到：（米），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求得線段的長度．5．（2022秋·河北秦皇島·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）對于實(shí)數(shù)x，我們規(guī)定表示不大于x的最大整數(shù)，如，，．現(xiàn)對82進(jìn)行如下操作：82第一次，第二次，第三次，這樣對82只需進(jìn)行3次操作后即可變?yōu)?，類似地，對300只需進(jìn)行多少次操作后即可變?yōu)?（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】表示不大于x的最大整數(shù)，依據(jù)題目中提供的操作進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：第一次：，第二次：，第三次：，第四次：，故對300只需進(jìn)行4次操作后即可變?yōu)?，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，解決本題的關(guān)鍵是明確表示不大于x的最大整數(shù)．6．（2023秋·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，平分，，為邊的垂直平分線且分別交、于點(diǎn)、，若，，則的長是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)已知條件得出，繼而根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，得出，，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，即可得出是等腰直角三角形，進(jìn)而求得的長，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵中，，∴，∵，∴，∵，∴∴，又∴平分∵平分，，∴∴，∴是邊的垂直平分線，∴，∴∴∴是等腰直角三角形，∴，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等角的余角相等，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，得出是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·河南駐馬店·九年級?？茧A段練習(xí)）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：，……，按照上述規(guī)律，計(jì)算：（）A． B． C．9 D．8【答案】C【分析】首先根據(jù)題意，得出一般規(guī)律，代入數(shù)字相加即可得解．【詳解】解：第個等式：，

第個等式：，第個等式：，

第個等式：，……第n個等式：，∴=，故C正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律以及分母有理化，首先要理解題意，找到規(guī)律，并進(jìn)行推導(dǎo)得到答案．8．（2023秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定可判斷①正確；再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平角定義可判斷②正確；根據(jù)梯形的面積公式可判斷③正確；根據(jù)可判斷④錯誤，⑤正確，綜合即可作出選擇．【詳解】解：∵，，∴，∴，又∵，，∴，故①正確；∴，∵，∴，則，∴，故②正確；∵，，，，∴四邊形的面積是，故③正確；∵，∴，∵，∴，即，∴，故④錯誤，⑤正確，綜上，正確的結(jié)論有4個，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用、勾股定理的證明、平行線的性質(zhì)、完全平方公式、梯形和三角形的面積等知識，證明三角形全等以及發(fā)現(xiàn)圖形中的邊角關(guān)系是解答的關(guān)鍵．9．（2022秋·浙江溫州·八年級?？计谥校┤鐖D是一個卡通頭像，其臉部是正方形，帽子右側(cè)是以為斜邊的，帽子左側(cè)是．若，則正方形的邊長為（

）A． B． C．12 D．13【答案】D【分析】過點(diǎn)作，與的延長線交于點(diǎn)，證明得，再跟進(jìn)三角形面積之和為60，得出的方程，求得，最后跟進(jìn)勾股定理求得結(jié)果．【詳解】解：過點(diǎn)作，與的延長線交于點(diǎn)，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴（），∴，∵，∴，即，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式，勾股定理，關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形．10．（2022秋·陜西西安·八年級西安市鐵一中學(xué)?？计谀┤鐖D，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連結(jié)．已知，，則的面積為（

）A． B． C．24 D．12【答案】D【分析】連接，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，證明，進(jìn)而證明，根據(jù)勾股定理得出，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，勾股定理求得，根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∵四邊形是正方形，∴，∴即，∴，∴，∵，∴，即，∴，，∴∴

又∵，∴又∵，解得：，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)∴即，解得：∴∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，證明是解題的關(guān)鍵．二、填空題（8小題，每小題3分，共24分）11．（2022·浙江·九年級自主招生）計(jì)算______________．【答案】0【分析】先提取公因式，然后根據(jù)完全平方公式可進(jìn)行求解．【詳解】解：原式；故答案為0．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式及因式分解，熟練掌握因式分解及完全平方公式是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·四川成都·八年級校考期末）如果，那么的值是______．【答案】100【分析】先根據(jù)二次根式的非負(fù)性求出x的值，進(jìn)而求出y的值，再代入計(jì)算．【詳解】∵，，∴，∴，∴，故答案為100．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的非負(fù)性和代入求值，熟練掌握二次根式的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·福建福州·八年級福建省福州第十九中學(xué)校考期末）如圖，，，邊上的中線，則的面積為__________．【答案】6【分析】延長至，使，構(gòu)建，利用勾股定理的逆定理證出和是和的高線，利用三角形面積公式求解．【詳解】延長至，使，∵是的中線，∴，∵，∴，∴，，∵，，，∴是直角三角形，，∴，∴，故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造全等模型即輔助線的作法是解答此題的關(guān)鍵．14．（2022秋·陜西西安·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，若圓柱的底面半徑是，高是，從圓柱底部處沿側(cè)面纏繞一圈絲線到頂部處，則這條絲線的最小長度是__________．【答案】【分析】將圓柱沿的側(cè)面展開，絲線繞圓柱一周，利用兩點(diǎn)之間線段最短基本事實(shí)知道展開圖中就是絲線的最短長度，用勾股定理求即可．【詳解】沿將側(cè)面展開如圖，有兩點(diǎn)之間線段最短，為最短線長,，，由勾股定理．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓柱體的側(cè)面展開圖問題，掌握兩點(diǎn)之間線段最短，會利用基本事實(shí)解決問題，此問題常與勾股定理結(jié)合，掌握好勾股定理是解題關(guān)鍵．15．（2022秋·上?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，將梯形（紙片）折疊，使點(diǎn)與邊上的點(diǎn)重合，直線為折痕；點(diǎn)也與邊上的點(diǎn)重合，直線為折痕．已知，，，則的面積是__________．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，，過作于，解直角三角形得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得，，，，，，過作于，，是等腰直角三角形，，，，的面積．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），解直角三角形，三角形的面積的計(jì)算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·河北秦皇島·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，那么這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如：與；與．（1）的有理化因式為___________；（2）比較大小：__________（選填“>”“<”或“=”）；（3）計(jì)算：___________．【答案】

（答案不唯一）

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【分析】（1）先利用平方差公式計(jì)算，從而可得答案；（2）先變形可得，，結(jié)合，從而可得答案；（3）先分母有理化，從而原式可化為，再合并同類二次根式即可．【詳解】解：（1）∵，∴的有理化因式為．（2）∵，，而，∴，∴．（3）．故答案為：（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律探究，分母有理化的應(yīng)用，熟練的利用分母有理化解決問題是解本題的關(guān)鍵．17．（2022秋·四川成都·八年級?？计谀┮阎?，，，邊上的高，D為線段上的動點(diǎn)，在上截取，連接，，則的最小值為______．【答案】13【分析】通過過點(diǎn)A作的平行線，并在上截取，構(gòu)造全等三角形，得到當(dāng)B，D，H三點(diǎn)共線時，可求得的最小值；再作垂線構(gòu)造矩形，利用勾股定理求解即可．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作的平行線，并在上截取，連接，．則．在和中，∴，∴，∴，∴當(dāng)B，D，H三點(diǎn)共線時，的值最小，即的值最小，為的長．∵，，，∴在中，由勾股定理，得．如圖，過點(diǎn)H作，交的延長線于點(diǎn)M，則四邊形為長方形，∴，，∴在中，由勾股定理，得．∴的最小值為13．故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題屬于沒有共同端點(diǎn)的兩條線段求最值問題這一類型，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．18．（2023秋·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學(xué)?？计谀┤鐖D，等腰直角與等腰直角，，，，連接、．若，M為中點(diǎn)，交于點(diǎn)N，則的長為___________．【答案】##【分析】延長至點(diǎn)G，使，連接，過E作于H，根據(jù)證明，可求，進(jìn)而可求，根據(jù)證明，可得，，然后在根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)等積法求解即可．【詳解】解∶延長至點(diǎn)G，使，連接，過E作于H，∵，，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，又，，∴，∴，，又，∴，∴，即，在中，，，，，∴，，在中，，，，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的定義，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，添加合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題（8小題，共66分）19．（2023春·福建福州·八年級?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先化簡各數(shù)，再合并計(jì)算；（2）先化簡，再算乘法，最后計(jì)算除法，將結(jié)果分母有理化．【詳解】（1）解：；（2）【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】先計(jì)算整式的乘法，再合并同類項(xiàng)，然后把代入化簡后的結(jié)果，即可求解．【詳解】解：原式，當(dāng)時，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋·湖南郴州·八年級統(tǒng)考期末）設(shè)，．(1)求，的值；(2)求的值．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）利用二次根式的加減運(yùn)算法則先計(jì)算二次根式的加法運(yùn)算，再利用分母有理化的法則化簡即可；（2）先計(jì)算，再利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，．（2）∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的加減運(yùn)算，乘法運(yùn)算，分母有理化，掌握“二次根式的加減乘除運(yùn)算的運(yùn)算法則”是解本題的關(guān)鍵．22．（2023春·福建福州·八年級?？茧A段練習(xí)）（1）在如圖的數(shù)軸上作出表示的點(diǎn)．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）正方形網(wǎng)格中的每個小正方邊長都是1，在圖中以為一邊，畫一個邊長均為無理數(shù)的直角三角形．（說明：直角三角形的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn)）【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）過4對應(yīng)的點(diǎn)B作數(shù)軸的垂線l，在l上截取，則以原點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A為所作．（2）根據(jù)直角三角形的定義畫出圖形即可（答案不唯一）．【詳解】解：（1）如圖：點(diǎn)A表示的數(shù)為；（2）如圖，即為所求作（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．23．（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期中）如圖，C為線段上一動點(diǎn)，分別過點(diǎn)B，D作，連接．已知，設(shè)．(1)用含x的代數(shù)式表示的值；(2)探究：當(dāng)點(diǎn)C滿足什么條件時，的值最小？最小值是多少？【答案】(1)(2)當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時，的值最小，最小值是5【分析】（1）根據(jù)線段的和差，可得的長，根據(jù)勾股定理，可得答案；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得線段的最小值為的長，根據(jù)勾股定理，可得答案．【詳解】（1）解：∵，∴都是直角三角形，∵，，∴，在中，∴，，∴；（2）解：當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時，的值最小，最小值為的長，過A作交的延長線于F，∴，∴，∴，∴的最小值是5．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱——最短路線問題和勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱——最短路線問題和勾股定理．24．（2022秋·福建漳州·八年級福建省漳州第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：若設(shè)（其中、、、均為整數(shù)），則有，．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法，請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：(1)若，當(dāng)、、、均為整數(shù)時，用含、的式子分別表示、，得：______，______；(2)若，且、、均為正整數(shù)，求的值；(3)化簡下列格式：①②③．【答案】(1)，(2)12或28(3)①，②，③【分析】（1）利用完全平方公式展開可得到用m、n表示出a、b；（2）利用（1）中結(jié)論得到，利用a、m、n均為正整數(shù)得到，或，，然后利用計(jì)算對應(yīng)a的值；（3）設(shè)，兩邊平方得到，然后利用（1）中的結(jié)論化簡得到，最后把寫成完全平方形式可得到t的值．【詳解】（1）設(shè)（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有，；故答案為：，；（2）∵，∴，∵a、m、n均為正整數(shù)，∴，或，，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；即a的值為12或28；（3）①②③設(shè)，則，∴．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)二次