備考2024高考一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)人教a版第一章§1.5　一元二次方程、不等式

§1.5一元二次方程、不等式考試要求1.會從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式.2.結(jié)合二次函數(shù)圖象，會判斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù)，以及解一元二次不等式.3.了解簡單的分式、絕對值不等式的解法．知識梳理1．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??2.分式不等式與整式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．簡單的絕對值不等式|x|>a(a>0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集為(－a，a)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)若方程ax2＋bx＋c＝0無實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.(×)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(x1，x2)，則a<0.(√)(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，則a>0且Δ<0.(×)(4)不等式eq\f(x－a,x－b)≥0等價(jià)于(x－a)(x－b)≥0.(×)教材改編題1．若集合A＝{x|x2－9x>0}，B＝{x|x2－2x－3<0}，則A∪B等于()A．RB．{x|x>－1}C．{x|x<3或x>9}D．{x|x<－1或x>3}答案C解析A＝{x|x>9或x<0}，B＝{x|－1<x<3}，∴A∪B＝{x|x<3或x>9}．2．若關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(1,3)))))，則a＋b＝________.答案－14解析依題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－\f(1,2)＋\f(1,3)，,\f(2,a)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×\f(1,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2，))∴a＋b＝－14.3．一元二次不等式ax2＋ax－1<0對一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案(－4,0)解析依題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,a2＋4a<0，))∴－4<a<0.題型一一元二次不等式的解法命題點(diǎn)1不含參的不等式例1(1)不等式－2x2＋x＋3<0的解集為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(3,2)))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<x<1))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(3,2)))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(3,2)或x>1))))答案C解析－2x2＋x＋3<0可化為2x2－x－3>0，即(x＋1)(2x－3)>0，∴x<－1或x>eq\f(3,2).(2)(多選)已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x||x－1|≤2，x∈R))，集合N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,x＋1)≥1，x∈R))))，則()A．M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1≤x≤3))B．N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1≤x≤4))C．M∪N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1≤x≤4))D．M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1<x≤3))答案ACD解析由題設(shè)可得M＝[－1,3]，N＝(－1,4]，故A正確，B錯誤；M∪N＝{x|－1≤x≤4}，故C正確；而M∩N＝{x|－1<x≤3}，故D正確．命題點(diǎn)2含參的不等式例2解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．解原不等式變?yōu)?ax－1)(x－1)<0，因?yàn)閍>0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0.所以當(dāng)a>1時(shí)，解得eq\f(1,a)<x<1；當(dāng)a＝1時(shí)，解集為?；當(dāng)0<a<1時(shí)，解得1<x<eq\f(1,a).綜上，當(dāng)0<a<1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1)))).延伸探究在本例中，把a(bǔ)>0改成a∈R，解不等式．解當(dāng)a>0時(shí)，同例2，當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式等價(jià)于－x＋1<0，即x>1，當(dāng)a<0時(shí)，eq\f(1,a)<1，原不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，解得x>1或x<eq\f(1,a).綜上，當(dāng)0<a<1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))，當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解集為?，當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1))))，當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x>1}，當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)或x>1)))).教師備選解關(guān)于x的不等式x2－ax＋1≤0.解由題意知，Δ＝a2－4，①當(dāng)a2－4>0，即a>2或a<－2時(shí)，方程x2－ax＋1＝0的兩根為x＝eq\f(a±\r(a2－4),2)，∴原不等式的解為eq\f(a－\r(a2－4),2)≤x≤eq\f(a＋\r(a2－4),2).②若Δ＝a2－4＝0，則a＝±2.當(dāng)a＝2時(shí)，原不等式可化為x2－2x＋1≤0，即(x－1)2≤0，∴x＝1；當(dāng)a＝－2時(shí)，原不等式可化為x2＋2x＋1≤0，即(x＋1)2≤0，∴x＝－1.③當(dāng)Δ＝a2－4<0，即－2<a<2時(shí)，原不等式的解集為?.綜上，當(dāng)a>2或a<－2時(shí)，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－\r(a2－4),2)≤x≤\f(a＋\r(a2－4),2)))))；當(dāng)a＝2時(shí)，原不等式的解集為{1}；當(dāng)a＝－2時(shí)，原不等式的解集為{－1}；當(dāng)－2<a<2時(shí)，原不等式的解集為?.思維升華對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進(jìn)行分類討論，常見的分類有(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類．(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù)．(3)有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論．跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集為{x|x≤－3或x≥4}，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)>0B．不等式bx＋c>0的解集為{x|x<－4}C．不等式cx2－bx＋a<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,4)或x>\f(1,3)))))D．a(chǎn)＋b＋c>0答案AC解析關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集為(－∞，－3]∪[4，＋∞)，所以二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的開口方向向上，即a>0，故A正確；對于B，方程ax2＋bx＋c＝0的兩根分別為－3,4，由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－3＋4，,\f(c,a)＝－3×4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－a，,c＝－12a.))bx＋c>0?－ax－12a>0，由于a>0，所以x<－12，所以不等式bx＋c>0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－12))，故B不正確；對于C，由B的分析過程可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－a，,c＝－12a，))所以cx2－bx＋a<0?－12ax2＋ax＋a<0?12x2－x－1>0?x<－eq\f(1,4)或x>eq\f(1,3)，所以不等式cx2－bx＋a<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,4)或x>\f(1,3)))))，故C正確；對于D，a＋b＋c＝a－a－12a＝－12a<0，故D不正確．(2)解關(guān)于x的不等式(x－1)(ax－a＋1)>0.解①當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式可化為x－1>0，即x>1；當(dāng)a≠0時(shí)，(x－1)(ax－a＋1)＝0的兩根分別為1,1－eq\f(1,a).②當(dāng)a>0時(shí)，1－eq\f(1,a)<1，∴原不等式的解為x>1或x<1－eq\f(1,a).③當(dāng)a<0時(shí)，1－eq\f(1,a)>1，∴原不等式的解為1<x<1－eq\f(1,a).綜上，當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集為{x|x>1}；當(dāng)a>0時(shí)，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1或x<1－\f(1,a)))))；當(dāng)a<0時(shí)，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<1－\f(1,a))))).題型二一元二次不等式恒(能)成立問題命題點(diǎn)1在R上恒成立問題例3(2022·漳州模擬)對?x∈R，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，則a的取值范圍是()A．－2<a≤2 B．－2≤a≤2C．a(chǎn)<－2或a≥2 D．a(chǎn)≤－2或a≥2答案A解析不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對一切x∈R恒成立，當(dāng)a－2＝0，即a＝2時(shí)，－4<0恒成立，滿足題意；當(dāng)a－2≠0時(shí)，要使不等式恒成立，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,Δ<0，))即有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<2，,4a－22＋16a－2<0，))解得－2<a<2.綜上可得，a的取值范圍為(－2,2]．命題點(diǎn)2在給定區(qū)間上恒成立問題例4已知函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7)))解析要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．有以下兩種方法：方法一令g(x)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6，x∈[1,3]．當(dāng)m>0時(shí)，g(x)在[1,3]上單調(diào)遞增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以m<eq\f(6,7)，所以0<m<eq\f(6,7)；當(dāng)m＝0時(shí)，－6<0恒成立；當(dāng)m<0時(shí)，g(x)在[1,3]上單調(diào)遞減，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，所以m<6，所以m<0.綜上所述，m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))).方法二因?yàn)閤2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，又因?yàn)閙(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立，所以m<eq\f(6,x2－x＋1)在x∈[1,3]上恒成立．令y＝eq\f(6,x2－x＋1)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值為eq\f(6,7)，所以只需m<eq\f(6,7)即可．所以m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))).命題點(diǎn)3給定參數(shù)范圍的恒成立問題例5(2022·宿遷模擬)若不等式x2＋px>4x＋p－3，當(dāng)0≤p≤4時(shí)恒成立，則x的取值范圍是()A．[－1,3]B．(－∞，－1]C．[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案D解析不等式x2＋px>4x＋p－3可化為(x－1)p＋x2－4x＋3>0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝x2－4x＋3>0，,f4＝4x－1＋x2－4x＋3>0，))∴x<－1或x>3.教師備選函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.若當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，f(x)≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．若當(dāng)a∈[4,6]時(shí)，f(x)≥0恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________________．答案[－7,2](－∞，－3－eq\r(6)]∪[－3＋eq\r(6)，＋∞)解析若x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，令g(x)＝x2＋ax＋3－a，則有①Δ≤0或②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(a,2)<－2，,g－2＝7－3a≥0.))或③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(a,2)>2，,g2＝7＋a≥0，))解①得－6≤a≤2，解②得a∈?，解③得－7≤a<－6.綜上可得，滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－7,2]．令h(a)＝xa＋x2＋3.當(dāng)a∈[4,6]時(shí)，h(a)≥0恒成立．只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h4≥0，,h6≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋3≥0，,x2＋6x＋3≥0，))解得x≤－3－eq\r(6)或x≥－3＋eq\r(6).∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是(－∞，－3－eq\r(6)]∪[－3＋eq\r(6)，＋∞)．思維升華恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略(1)弄清楚自變量、參數(shù)．一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ，一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知關(guān)于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4}C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}答案A解析因?yàn)殛P(guān)于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，即x2－4x＋a2－3a≤0在R上有解，只需y＝x2－4x＋a2－3a的圖象與x軸有公共點(diǎn)，所以Δ＝(－4)2－4×(a2－3a)≥0，即a2－3a－4≤0，所以(a－4)(a＋1)≤0，解得－1≤a≤4，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|－1≤a≤4}．(2)當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，則m的取值范圍是()A．(－∞，4] B．(－∞，－5)C．(－∞，－5] D．(－5，－4)答案C解析令f(x)＝x2＋mx＋4，∴當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，f(x)<0恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1≤0，,f2≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m＋4≤0，,4＋2m＋4≤0，))解得m≤－5.課時(shí)精練1．不等式9－12x≤－4x2的解集為()A．R B．?C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2))))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(3,2)))))答案C解析原不等式可化為4x2－12x＋9≤0，即(2x－3)2≤0，∴2x－3＝0，∴x＝eq\f(3,2)，∴原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2))))).2．(2022·揭陽質(zhì)檢)已知p：|2x－3|<1，q：x(x－3)<0，則p是q的()A．充要條件B．充分不必要條件C．既不充分也不必要條件D．必要不充分條件答案B解析∵p：|2x－3|<1，則－1<2x－3<1，可得p：1<x<2，又∵q：x(x－3)<0，由x(x－3)<0，可得q：0<x<3，可得p是q的充分不必要條件．3．(2022·南通模擬)不等式(m＋1)x2－mx＋m－1<0的解集為?，則m的取值范圍是()A．m<－1 B．m≥eq\f(2\r(3),3)C．m≤－eq\f(2\r(3),3) D．m≥eq\f(2\r(3),3)或m≤－eq\f(2\r(3),3)答案B解析∵不等式(m＋1)x2－mx＋m－1<0的解集為?，∴不等式(m＋1)x2－mx＋m－1≥0恒成立．①當(dāng)m＋1＝0，即m＝－1時(shí)，不等式化為x－2≥0，解得x≥2，不是對任意x∈R恒成立，舍去；②當(dāng)m＋1≠0，即m≠－1時(shí)，對任意x∈R，要使(m＋1)x2－mx＋m－1≥0，只需m＋1>0且Δ＝(－m)2－4(m＋1)(m－1)≤0，解得m≥eq\f(2\r(3),3).綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥eq\f(2\r(3),3).4．(2022·合肥模擬)不等式x2＋ax＋4≥0對一切x∈[1,3]恒成立，則a的最小值是()A．－5B．－eq\f(13,3)C．－4D．－3答案C解析∵x∈[1,3]時(shí)，x2＋ax＋4≥0恒成立，則a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))恒成立，又x∈[1,3]時(shí)，x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(4)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)取等號．∴－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≤－4，∴a≥－4.故a的最小值為－4.5．(多選)滿足關(guān)于x的不等式(ax－b)(x－2)>0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<2))))，則滿足條件的一組有序?qū)崝?shù)對(a，b)的值可以是()A．(－2，－1) B．(－3，－6)C．(2,4) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))答案AD解析不等式(ax－b)(x－2)>0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<2))))，∴方程(ax－b)(x－2)＝0的實(shí)數(shù)根為eq\f(1,2)和2，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(b,a)＝\f(1,2)，))即a＝2b<0，故選AD.6．(多選)(2022·湖南長郡中學(xué)月考)已知不等式x2＋ax＋b>0(a>0)的解集是{x|x≠d}，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)2＝4bB．a(chǎn)2＋eq\f(1,b)≥4C．若不等式x2＋ax－b<0的解集為(x1，x2)，則x1x2>0D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集為(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，則c＝4答案ABD解析由題意，知Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b，所以A正確；對于B，a2＋eq\f(1,b)＝a2＋eq\f(4,a2)≥2eq\r(a2·\f(4,a2))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝eq\f(4,a2)，即a＝eq\r(2)時(shí)等號成立，所以B正確；對于C，由根與系數(shù)的關(guān)系，知x1x2＝－b＝－eq\f(a2,4)<0，所以C錯誤；對于D，由根與系數(shù)的關(guān)系，知x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c＝eq\f(a2,4)－c，則|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(a2－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,4)－c)))＝2eq\r(c)＝4，解得c＝4，所以D正確．7．不等式eq\f(3,x－1)>1的解集為________．答案(1,4)解析∵eq\f(3,x－1)>1，∴eq\f(3,x－1)－1>0，即eq\f(4－x,x－1)>0，即1<x<4.∴原不等式的解集為(1,4)．8．一元二次方程kx2－kx＋1＝0有一正一負(fù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案(－∞，0)解析kx2－kx＋1＝0有一正一負(fù)根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝k2－4k>0，,\f(1,k)<0，))解得k<0.9．已知關(guān)于x的不等式－x2＋ax＋b>0.(1)若該不等式的解集為(－4,2)，求a，b的值；(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．解(1)根據(jù)題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－4＝a，,2×－4＝－b，))解得a＝－2，b＝8.(2)當(dāng)b＝a＋1時(shí)，－x2＋ax＋b>0?x2－ax－(a＋1)<0，即[x－(a＋1)](x＋1)<0.當(dāng)a＋1＝－1，即a＝－2時(shí)，原不等式的解集為?；當(dāng)a＋1<－1，即a<－2時(shí)，原不等式的解集為(a＋1，－1)；當(dāng)a＋1>－1，即a>－2時(shí)，原不等式的解集為(－1，a＋1)．綜上，當(dāng)a<－2時(shí)，不等式的解集為(a＋1，－1)；當(dāng)a＝－2時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng)a>－2時(shí)，不等式的解集為(－1，a＋1)．10．若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，滿足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解(1)由f(0)＝2，得c＝2，所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，又f(x＋2)－f(x)＝16x，得4ax＋4a＋2b＝16x，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝16，,4a＋2b＝0，))故a＝4，b＝－8，所以f(x)＝4x2－8x＋2.(2)因?yàn)榇嬖趚∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，即存在x∈[1,2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1,2]，故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2，即m的取值范圍為(－∞，－2)．11．(多選)已知函數(shù)f(x)＝4ax2＋4x－1，?x∈(－1,1)，f(x)<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值可能是()A．0B．－1C．－2D．－3答案CD解析因?yàn)閒(x)＝4ax2＋4x－1，所以f(0)＝－1<0成立．當(dāng)x∈(－1,0)∪(0,1)時(shí)，由f(x)<0可得4ax2<－4x＋1，所以4a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－\f(4,x)))min，當(dāng)x∈(－1,0)∪(0,1)時(shí)，eq\f(1,x)∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以eq\f(1,x2)－eq\f(4,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2))2－4≥－4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，等號成立，所以4a<－4，解得a<－1.12．(2022·南京質(zhì)檢)函數(shù)y＝lg(c＋2x－x2)的定義域是(m，m＋4)，則實(shí)數(shù)c的值為________．答案3解析依題意得，一元二次不等式－x2＋2x＋c>0，即x2－2x－c<0的解集為(m，m＋4)，所以m，m＋4是方程x2－2x－c＝0的兩個(gè)根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋m＋4＝2，,mm＋4＝－c，))解得m＝－1，c＝3.13．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，則a的取值范圍是________．答案[－4,3]解析原不等式為(x－a)(x－1)≤0，當(dāng)a<1時(shí)，不等式的解集為[a,1]，此時(shí)只要a≥－4即可，即－4≤a<1；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解為x＝1，此時(shí)符合要求；當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為[1，a]，此時(shí)只要a≤3即可，即1<a≤3，綜上可得－4≤a≤3.14．若不等式x2＋ax－2>0在[1,5]上有解，則a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞))解析對于方程x2＋ax－2＝0，∵Δ＝a2＋8>0，∴方程x2＋ax－2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，又∵兩根之積為負(fù)，∴必有一正根一負(fù)根，設(shè)f(x)＝x2＋ax－2，于是不等式x2＋ax－2>0在[1,5]上有解的充要條件是f(5)>0，即5a＋23>0，解得a>－eq\f(23,5).故a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞)).15．(2022·湖南多校聯(lián)考)若關(guān)于x的不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0恰有兩個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)<a≤2))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<a≤－\f(1,2)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<a≤－\f(1,2)或\f(3,2)≤a<2))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a