高二數(shù)學(xué)考點講解練(人教A版2019選擇性必修第一冊)2.2直線的方程(原卷版+解析)

2.2直線的方程備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識歸納；考點分析及解題方法歸納：考點包含：點斜式方程；斜截式方程；截距式方程；兩點式方程；一般式方程課堂知識小結(jié)考點鞏固提升知識歸納(1)點斜式：；適用于斜率存在的直線（2）斜截式：；適用于斜率存在的直線注：為直線在軸上的截距，截距不是距離，截距可正，可負(fù)，可為零（3）兩點式：；適用于斜率存在且不為零的直線（4）截距式：；適用于斜率存在，且截距不為零且不過原點的直線（5）一般式：（不同時為）（6）特殊直線方程①斜率不存在的直線（與軸垂直）：；特別地，軸：②斜率為的直線（與軸垂直）：；特別地，軸：③在兩軸上截距相等的直線：（Ⅰ）；（Ⅱ）在兩軸上截距相反的直線：（Ⅰ）；（Ⅱ）在兩軸上截距的絕對值相等的直線：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）考點講解考點講解考點1：點斜式方程例1．經(jīng)過點，且傾斜角為45°的直線方程是（

）A． B． C． D．【方法技巧】1.根據(jù)直線的點斜式方程進行求解.2.點斜式：；適用于斜率存在的直線【變式訓(xùn)練】【變式1】．在同一平面直角坐標(biāo)系下，直線總在直線的上方，則（

）A．， B．，C．， D．，【變式2】．過兩直線的交點，且與直線平行的直線方程為（

）A． B．C． D．【變式3】．直線被直線和所截得的線段中點恰為坐標(biāo)原點，則直線l的方程為______．考點2：斜截式方程例2．已知直線l的斜率是直線的斜率的相反數(shù)，在y軸上的截距為2，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．【方法技巧】1.求得直線斜率，由斜截式得直線方程．2.斜截式：；適用于斜率存在的直線【變式訓(xùn)練】【變式1】．直線的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式2】．若“”是“一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限”的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式3】．已知直線l與直線的斜率相等，直線l與x軸的交點為，且a比直線l在y軸上的截距大1，則直線l的斜截式方程為________．考點3：截距式方程例3．（1）若過點的直線在y軸上的截距比在x軸上的截距大，求此直線的方程，并畫出圖形；（2）求過點，且在y軸上的截距等于在x軸上的截距的2倍的直線方程，并畫出圖形.【方法技巧】1.設(shè)出方程，使用公式截距式：；適用于斜率存在，且截距不為零且不過原點的直線2.注意分類討論【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知直線，則下述正確的是（

）A．直線的斜率可以等于 B．直線的斜率有可能不存在C．直線可能過點 D．直線的橫、縱截距可能相等【變式2】．過點，且在軸與軸上的截距的絕對值相等的直線方程是________．【變式3】．若直線l與兩坐標(biāo)軸圍成一個等腰直角三角形，且此三角形的面積為18，則直線l的方程為________.考點4：兩點式方程例4．若直線l過點和，且點在直線l上，則b的值為（

）A．183 B．182 C．181 D．180【方法技巧】1.根據(jù)兩點坐標(biāo)可利用兩點式求直線的方程2.兩點式：；適用于斜率存在且不為零的直線【變式訓(xùn)練】【變式1】．過兩點和的直線在y軸上的截距為（

）A． B． C． D．【變式2】．已知點、，則直線AB的兩點式方程是______．【變式3】．一束光線經(jīng)過點由x軸反射后，經(jīng)過點射出，則反射光線所在直線方程是______．考點5：一般式方程例5．經(jīng)過點，且斜率等于直線的斜率的2倍的直線的一般式方程為________．【方法技巧】由已知求得所求直線的斜率，運用直線的點斜式方程，從而求出直線的一般式方程．【變式訓(xùn)練】【變式1】．如果且，那么直線不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式2】．（多選）已知直線，則（

）A．恒過點 B．若，則C．若，則 D．當(dāng)時，不經(jīng)過第三象限【變式3】．已知①直線的傾斜角為30°；②直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點．寫出一個同時滿足①②的直線方程：________．（用一般式方程表示）知識小結(jié)知識小結(jié)根據(jù)需要選擇合適的求直線方程的式子。熟練掌握一下求直線的方法(1)點斜式：；適用于斜率存在的直線（2）斜截式：；適用于斜率存在的直線注：為直線在軸上的截距，截距不是距離，截距可正，可負(fù)，可為零（3）兩點式：；適用于斜率存在且不為零的直線（4）截距式：；適用于斜率存在，且截距不為零且不過原點的直線（5）一般式：（不同時為）鞏固提升鞏固提升一、單選題1．經(jīng)過點，且傾斜角為45°的直線方程是（

）A． B． C． D．2．直線恒過定點（

）A． B． C． D．3．直線與直線的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直4．過點，在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為（

）A． B．或C． D．或5．過點且與直線平行的直線方程是（

）A． B． C． D．6．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知的頂點，且，則的歐拉線的方程為（

）A． B．C． D．7．已知過定點直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（

）A． B． C． D．8．已知，，則下列直線的方程不可能是的是（

）A．B．C．D．二、多選題9．（多選）已知等邊三角形ABC的兩個頂點，，則BC邊所在直線的方程可能是（

）A． B．C． D．10．已知直線，，下列命題中正確的有（

）A．當(dāng)時，與重合 B．若，則C．過定點 D．一定不與坐標(biāo)軸平行三、填空題11．點在直線上，則實數(shù)_____________．12．已知直線l的斜率是1，在y軸上的截距是，則直線l的斜截式方程是______．13．已知點，，若直線l過點，且與線段AB不相交，則直線l的斜率的取值范圍是________．14．設(shè)直線過定點A，則過點A且與直線垂直的直線方程為______．四、解答題15．已知在第一象限的中，，，，，求：(1)AB邊所在直線的方程；(2)AC邊與BC邊所在直線的方程．16．已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過定點；(2)過點引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．2.2直線的方程備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識歸納；考點分析及解題方法歸納：考點包含：點斜式方程；斜截式方程；截距式方程；兩點式方程；一般式方程課堂知識小結(jié)考點鞏固提升知識歸納(1)點斜式：；適用于斜率存在的直線（2）斜截式：；適用于斜率存在的直線注：為直線在軸上的截距，截距不是距離，截距可正，可負(fù)，可為零（3）兩點式：；適用于斜率存在且不為零的直線（4）截距式：；適用于斜率存在，且截距不為零且不過原點的直線（5）一般式：（不同時為）（6）特殊直線方程①斜率不存在的直線（與軸垂直）：；特別地，軸：②斜率為的直線（與軸垂直）：；特別地，軸：③在兩軸上截距相等的直線：（Ⅰ）；（Ⅱ）在兩軸上截距相反的直線：（Ⅰ）；（Ⅱ）在兩軸上截距的絕對值相等的直線：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）考點講解考點講解考點1：點斜式方程例1．經(jīng)過點，且傾斜角為45°的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為所求直線的傾斜角為45°，所以所求直線的斜率，所以直線方程為．故A，C，D錯誤.故選：B.【方法技巧】1.根據(jù)直線的點斜式方程進行求解.2.點斜式：；適用于斜率存在的直線【變式訓(xùn)練】【變式1】．在同一平面直角坐標(biāo)系下，直線總在直線的上方，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】結(jié)合直線的圖像，利用直線的斜率與縱截距進行判斷.【詳解】因為直線總在直線的上方，所以直線與直線平行，且直線在y軸上的截距必大于直線在y軸上的截距，所以，．故A，B，D錯誤.故選：C.【變式2】．過兩直線的交點，且與直線平行的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出兩直線交點，再由與直線平行得出斜率，由點斜式寫出方程即可求解.【詳解】由解得，則直線的交點，又直線的斜率為，則所求直線方程為，整理得.故選：C.【變式3】．直線被直線和所截得的線段中點恰為坐標(biāo)原點，則直線l的方程為______．【答案】【分析】設(shè)交點坐標(biāo)分別為和，根據(jù)題意得到，求得的值，進而求得直線的方程.【詳解】設(shè)直線與和，分別交于點和，因為所截得的線段中點恰為坐標(biāo)原點，可得，解得，所以和，則，可得直線的方程為，即.故答案為：.考點2：斜截式方程例2．已知直線l的斜率是直線的斜率的相反數(shù)，在y軸上的截距為2，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】直線的斜率是，因此直線的斜率是，又在y軸上的截距為2，所以直線方程為，故選：C．【方法技巧】1.求得直線斜率，由斜截式得直線方程．2.斜截式：；適用于斜率存在的直線【變式訓(xùn)練】【變式1】．直線的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將直線的一般方程轉(zhuǎn)化為直線的斜截式方程，根據(jù)的范圍求出的范圍，進而求出范圍即可求解.【詳解】當(dāng)時，直線的斜率為，因為，所以時，或，由得，當(dāng)即時，直線的斜率為.因為，所以或，即或.所以直線的斜率的取值范圍為.綜上所述，直線的斜率的取值范圍為.故選：A.【變式2】．若“”是“一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限”的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)可得一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限時實數(shù)的取值范圍，再根據(jù)充分與必要條件的性質(zhì)求解即可.【詳解】若一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，則有，解得，故“一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限”的充要條件是“”．因此，如果“”是“一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限”的充分不必要條件，則．故選：D．【變式3】．已知直線l與直線的斜率相等，直線l與x軸的交點為，且a比直線l在y軸上的截距大1，則直線l的斜截式方程為________．【答案】【分析】根據(jù)已知條件求得直線的斜率和截距，從而求得正確答案.【詳解】由題意知，直線l的斜率為，故設(shè)直線l的方程為，令，得，所以，得，所以直線l的斜截式方程為．故答案為：考點3：截距式方程例3．（1）若過點的直線在y軸上的截距比在x軸上的截距大，求此直線的方程，并畫出圖形；（2）求過點，且在y軸上的截距等于在x軸上的截距的2倍的直線方程，并畫出圖形.【答案】（1）或，圖象見解析；（2）或，圖象見解析.【分析】（1）設(shè)直線的方程為，代入點坐標(biāo)求出a的值即可求直線方程，從而可畫出圖形；（2）分在x軸、y軸上的截距都是0與在x軸、y軸上的截距都不是0討論，代入點坐標(biāo)求出待定參數(shù)，即可求直線的方程，從而可畫出圖形.【詳解】解：（1）設(shè)直線在x軸上的截距為a，則在y軸上的截距為，由題意可知且，則此直線的方程為.又此直線過點，所以，解得或，故所求的直線方程為或，可化為或.畫出圖形如圖1.（2）①當(dāng)在x軸、y軸上的截距都是0時，設(shè)所求直線方程為，將代入中，得，此時直線方程為，即.②當(dāng)在x軸、y軸上的截距都不是0時，設(shè)所求直線方程為，將代入中，得，此時直線方程為.綜上所述，所求直線方程為或.畫出圖形如圖2.【方法技巧】1.設(shè)出方程，使用公式截距式：；適用于斜率存在，且截距不為零且不過原點的直線2.注意分類討論【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知直線，則下述正確的是（

）A．直線的斜率可以等于 B．直線的斜率有可能不存在C．直線可能過點 D．直線的橫、縱截距可能相等【答案】BD【分析】根據(jù)斜率的定義和截距的定義即可求得答案.【詳解】解：因為直線，若，則直線的斜率不存在，故B正確；若，則直線的斜率存在，且斜率，不可能為，故A錯誤；將點代入直線方程得，故C錯誤；令，則直線方程為，橫縱截距均為，故D正確．故選：BD【變式2】．過點，且在軸與軸上的截距的絕對值相等的直線方程是________．【答案】，或【分析】分直線過原點和直線不過原點兩種情況討論，分別設(shè)出直線方程，代入點坐標(biāo)，可求得直線方程．【詳解】若該直線過原點，設(shè)直線的方程為，則，故直線的方程為；若該直線不過原點，設(shè)直線的方程為或，又直線過點，所以，解得；或，解得，所以直線的方程為或；故答案為：，或．【變式3】．若直線l與兩坐標(biāo)軸圍成一個等腰直角三角形，且此三角形的面積為18，則直線l的方程為________.【答案】或【分析】由題意可得直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等且不為0，設(shè)直線方程為，其中，根據(jù)三角形面積即可求解.【詳解】解：因為直線l與兩坐標(biāo)軸圍成一個等腰直角三角形，所以直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等且不為0.設(shè)直線方程為，則.因為，即，所以，所以時，，當(dāng)時，，所以直線方程為或.故答案為:或.考點4：兩點式方程例4．若直線l過點和，且點在直線l上，則b的值為（

）A．183 B．182 C．181 D．180【答案】A【詳解】因為直線l過點和，由直線的兩點式方程，得直線l的方程為，即.由于點直線l上，所以，解得.故選:A.【方法技巧】1.根據(jù)兩點坐標(biāo)可利用兩點式求直線的方程2.兩點式：；適用于斜率存在且不為零的直線【變式訓(xùn)練】【變式1】．過兩點和的直線在y軸上的截距為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直線方程，令x＝0，即可求出縱截距.【詳解】由題可知直線方程為：，即，令x=0，則，故直線在y軸上的截距為.故選：C.【變式2】．已知點、，則直線AB的兩點式方程是______．【答案】【分析】根據(jù)直線的兩點式方程代入即可.【詳解】直線的兩點式方程為：將點、代入得：.故答案為：.【變式3】．一束光線經(jīng)過點由x軸反射后，經(jīng)過點射出，則反射光線所在直線方程是______．【答案】【分析】根據(jù)題意，若要求反射光線，可求得點關(guān)于軸對稱的點，又過即可得解.【詳解】首先求點關(guān)于軸對稱的點，所以反射光線過和兩點，故直線方程為：，即，故答案為：.考點5：一般式方程例5．經(jīng)過點，且斜率等于直線的斜率的2倍的直線的一般式方程為________．【答案】【詳解】因為直線的斜率為，所以所求直線的斜率．又所求直線經(jīng)過點，所以所求直線的方程為，即．故答案為：.【方法技巧】由已知求得所求直線的斜率，運用直線的點斜式方程，從而求出直線的一般式方程．【變式訓(xùn)練】【變式1】．如果且，那么直線不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】通過直線經(jīng)過的點來判斷象限.【詳解】由且，可得同號，異號，所以也是異號；令，得；令，得；所以直線不經(jīng)過第三象限.故選：C.【變式2】．（多選）已知直線，則（

）A．恒過點 B．若，則C．若，則 D．當(dāng)時，不經(jīng)過第三象限【答案】BD【分析】對于選項A，將直線的方程化為，再由可求得定點；對于選項B，通過斜率相等可以求解；對于選項C，通過斜率之積等于可以求解；對于選項D，將直線化為斜截式，再根據(jù)斜率和截距建立不等式可以求解.【詳解】直線，則，由，得，所以恒過定點，所以A錯誤；由可得：，所以，B正確；由可得：，，所以C錯誤；由，當(dāng)時，，不過第三象限；當(dāng)時，，不過第三象限，只需要，解得，所以的取值范圍為，所以D正確；故選：BD.【變式3】．已知①直線的傾斜角為30°；②直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點．寫出一個同時滿足①②的直線方程：________．（用一般式方程表示）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意可知直線的斜率為，再由于直線不過原點，可求出直線方程【詳解】由題意得，直線斜率為，又直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點，即一般式方程中的常數(shù)項非零，所以符合題意的一個直線方程為．故答案為：（答案不唯一）知識小結(jié)知識小結(jié)根據(jù)需要選擇合適的求直線方程的式子。熟練掌握一下求直線的方法(1)點斜式：；適用于斜率存在的直線（2）斜截式：；適用于斜率存在的直線注：為直線在軸上的截距，截距不是距離，截距可正，可負(fù)，可為零（3）兩點式：；適用于斜率存在且不為零的直線（4）截距式：；適用于斜率存在，且截距不為零且不過原點的直線（5）一般式：（不同時為）鞏固提升鞏固提升一、單選題1．經(jīng)過點，且傾斜角為45°的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線的點斜式方程進行求解.【詳解】因為所求直線的傾斜角為45°，所以所求直線的斜率，所以直線方程為．故A，C，D錯誤.故選：B.2．直線恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將直線變形為，則且，即可求出定點【詳解】將變形為：，令且，解得，故直線恒過定點故選：A3．直線與直線的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直【答案】B【分析】根據(jù)直線的解析式判斷位置關(guān)系即可.【詳解】根據(jù)題意，化簡得，由于和解析式完全相同，所以直線與直線重合.故選：B.4．過點，在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】根據(jù)直線過原點和不過原點兩種情況討論，分別設(shè)出所求直線的方程，結(jié)合過點，即可求解.【詳解】當(dāng)所求直線不過原點時，設(shè)所求直線的方程為，因為直線過點，代入可得，即；當(dāng)所求直線過原點時，設(shè)直線方程為，因為直線過點，代入可得，即，綜上可得，所求直線的方程為或.故選：B.5．過點且與直線平行的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，設(shè)所求直線為，代入A點坐標(biāo)，求得m值，即可得答案.【詳解】因為所求直線與直線l平行，所以設(shè)所求直線方程為：，又所求直線過點，代入可得，解得，所以所求直線為，即.故選：A6．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知的頂點，且，則的歐拉線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】因為，結(jié)合題意可知的歐拉線即為線段的垂直平分線，利用點斜式求方程．【詳解】∵，結(jié)合題意可知的歐拉線即為線段的垂直平分線的中點為，斜率，則垂直平分線的斜率則的歐拉線的方程為，即故選：D．7．已知過定點直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知，，求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點，，再由均值不等式即可求出截距之和的最小值，即可求出直線方程.【詳解】直線可變?yōu)椋赃^定點，又因為直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，可知，令，所以直線與軸的交點為，令，所以直線與軸的交點為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等，所以此時直線為：.故選：C.8．已知，，則下列直線的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線斜率與軸上的截距的關(guān)系判斷選項即可得解.【詳解】，直線的方程在軸上的截距不小于2，且當(dāng)時，軸上的截距為2，故D正確，當(dāng)時，,故B不正確，當(dāng)時，或，由圖象知AC正確.故選：B二、多選題9．（多選）已知等邊三角形ABC的兩個頂點，，則BC邊所在直線的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由題得直線BC的傾斜角為60°或120°，由點斜式直線方程得解.【詳解】解：由題得直線BC的傾斜角為60°或120°，故直線BC斜率為或，由點斜式得所求直線的方程為或．故選：BC10．已知直線，，下列命題中正確的有（

）A．當(dāng)時，與重合 B．若，則C．過定點 D．一定不與坐標(biāo)軸平行【答案】AC【分析】當(dāng)時，分別求出兩直線方程，可判斷選項A；由兩直線平行的公式計算得出，可判斷選項B；將代入直線方程，可判斷選項C；當(dāng)時，