2025高考備考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)第6講　離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征

第6講離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測了解離散型隨機(jī)變量的概念，理解離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)字特征（均值、方差）.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)本講是高考的命題熱點(diǎn)，常以實(shí)際問題為情境，與計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識綜合命題，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差，以解答題為主，有時(shí)也以選擇題、填空題的形式進(jìn)行考查，難度中等.預(yù)計(jì)2025年高考會(huì)著重考查本講知識的實(shí)際應(yīng)用.離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征2022全國卷甲T19；2021新高考卷ⅠT18；2021新高考卷ⅡT21；2019全國卷ⅠT21利用均值與方差進(jìn)行決策2021新高考卷ⅠT18學(xué)生用書P2391.離散型隨機(jī)變量一般地，對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)Ω，都有①唯一的實(shí)數(shù)X（Ω）與之對應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量.可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.隨機(jī)變量一般用大寫英文字母表示，例如X，Y，Z.隨機(jī)變量的取值一般用小寫英文字母表示，例如x，y，z.2.離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列.離散型隨機(jī)變量的分布列可以用表格或圖形表示.3.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)（1）pi②≥0，i＝1，2，…，n；（2）p1＋p2＋…＋pn＝③1.4.離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱E（X）＝④x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝∑i=1nxipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期望稱D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝⑤∑i=1nxi－EX2pi為隨機(jī)變量X的方差，有時(shí)也記為Var（X），并稱D（X）為隨機(jī)變量X5.均值與方差的性質(zhì)若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，X，X1，X2是隨機(jī)變量，則（1）E（aX＋b）＝⑧aE（X）＋b，D（aX＋b）＝⑨a2D（X）；（2）E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2），D（X）＝E（X2）－[E（X）]2.1.下列說法錯(cuò)誤的是（B）A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量B.離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1C.離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的D.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小2.設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X－101P11－qq－q2則q等于（D）A.1 B.22或－22 C.1＋22 解析由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)得12+1－q＋q3.一臺機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)一件次品要賠20元，已知這臺機(jī)器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6，0.3和0.1，則這臺機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，平均預(yù)期可獲利（B）A.36元 B.37元 C.38元 D.39元解析設(shè)這臺機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利X元，則X可能取的數(shù)值為50，30，－20，所以P（X＝50）＝0.6，P（X＝30）＝0.3，P（X＝－20）＝0.1，所以這臺機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期可獲利為E（X）＝50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37（元），故選B.4.[多選]設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有（ACD）A.q＝0.1 B.E（X）＝2，D（X）＝1.4C.E（X）＝2，D（X）＝1.8 D.E（Y）＝5，D（Y）＝7.2解析因?yàn)閝＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正確；又E（X）＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D（X）＝（0－2）2×0.1＋（1－2）2×0.4＋（2－2）2×0.1＋（3－2）2×0.2＋（4－2）2×0.2＝1.8，故C正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)閅＝2X＋1，所以E（Y）＝2E（X）＋1＝5，D（Y）＝4D（X）＝7.2，故D正確.故選ACD.5.若隨機(jī)變量X滿足P（X＝c）＝1，其中c為常數(shù)，則D（X）的值為0.解析∵P（X＝c）＝1，∴E（X）＝c×1＝c，∴D（X）＝（c－c）2×1＝0.學(xué)生用書P241命題點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)例1（1）某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下表：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝8.9，則y的值為（C）A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2解析由題中表格可知x＋0.1＋0.3＋y＝1，7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9，解得y＝0.4.故選C.（2）[多選]設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P（ξ＝k5）＝ak（k＝1，2，3，4，5），則（ABA.a＝115 B.P（12＜ξ＜4C.P（110＜ξ＜12）＝215 D.P（ξ＝解析∵隨機(jī)變量ξ的分布列為P（ξ＝k5）＝ak（k＝1，2，3，4，5∴P（ξ＝15）＋P（ξ＝25）＋P（ξ＝35）＋P（ξ＝45）＋P（ξ＝1）＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1，解得a＝易知P（12＜ξ＜45）＝P（ξ＝35）＝3×115＝易知P（110＜ξ＜12）＝P（ξ＝15）＋P（ξ＝25）＝115＋2×1易知P（ξ＝1）＝5×115＝13，故D方法技巧離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用1.利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值及檢驗(yàn)分布列是否正確；2.利用“離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率.訓(xùn)練1（1）若隨機(jī)變量X的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P（X＜a）＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（C）A.（－∞，2] B.[1，2] C.（1，2] D.（1，2）解析由隨機(jī)變量X的分布列知，P（X＜1）＝0.5，P（X＜2）＝0.8，故當(dāng)P（X＜a）＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2].（2）隨機(jī)變量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P（｜X｜＝1）＝23，公差d的取值范圍是[－13，13解析因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝13，所以P（｜X｜＝1）＝a＋c＝2又a＝13－d，c＝13＋根據(jù)分布列的性質(zhì)，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13命題點(diǎn)2離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征例2（1）[多選]設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P（ξ＝k）＝ak+1（k＝1，2，5），a∈R，Eξ,Dξ分別為隨機(jī)變量A.P（0＜ξ＜3.5）＝56 B.E（3ξ＋1）＝C.D（ξ）＝2 D.D（3ξ＋1）＝6解析∵P（ξ＝k）＝ak+1（k＝1，2，5），a∈∴P（ξ＝1）＝a1+1＝a2，P（ξ＝2）＝a2+1＝a3，P（ξ＝5）＝a5+1＝a6，∴a2解得a＝1.P（0＜ξ＜3.5）＝P（ξ＝1）＋P（ξ＝2）＝12＋13＝56∵E（ξ）＝1×12＋2×13＋5×16＝2，∴E（3ξ＋1）＝3E（ξ）＋1＝3×2＋1＝7，故B正確；D（ξ）＝12×（1－2）2＋13×（2－2）2＋16×（5－2）D（3ξ＋1）＝32D（ξ）＝9×2＝18，故D錯(cuò)誤.（2）[2022全國卷甲]甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.①求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；②用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.解析①設(shè)甲學(xué)校獲得冠軍的事件為A，則甲學(xué)校必須獲勝2場或者3場.P（A）＝0.5×0.4×0.8＋（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－0.4）×0.8＋0.5×0.4×（1－0.8）＝0.6.故甲學(xué)校獲得冠軍的概率為0.6.②X的取值可以為0，10，20，30.P（X＝0）＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P（X＝10）＝（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－0.4）×0.8＋0.5×0.4×（1－0.8）＝0.44，P（X＝20）＝（1－0.5）×（1－0.4）×0.8＋0.5×（1－0.4）×（1－0.8）＋（1－0.5）×0.4×（1－0.8）＝0.34，P（X＝30）＝（1－0.5）×（1－0.4）×（1－0.8）＝0.06.所以X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06所以E（X）＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.方法技巧求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟（1）理解X的含義，寫出X的全部可能取值；（2）求X取每個(gè)值的概率；（3）寫出X的分布列；（4）由均值、方差的定義求E（X），D（X）.訓(xùn)練2[多選]甲、乙兩人進(jìn)行紙牌游戲（紙牌除了顏色不同，沒有其他任何區(qū)別），他們手里各持有4張紙牌，其中甲手里有2張黑牌，2張紅牌，乙手里有3張黑牌，1張紅牌，現(xiàn)在兩人都各自隨機(jī)取出1張牌進(jìn)行交換，交換后甲、乙手中的紅牌張數(shù)分別為X，Y，則（AD）A.P（X＝2）＝12 B.P（X＝3）＝C.E（X）＝E（Y） D.D（X）＝D（Y）解析記甲取出1張紅牌為事件A，乙取出1張紅牌為事件B，則P（A）＝24＝12，P（B）＝由題意，X的可能取值為1，2，3，且Y＝3－X，則P（X＝1）＝12×34＝38，P（X＝2）＝12×34＋12×14＝12，P（X＝3）＝12×E（X）＝1×38＋2×12＋3×18＝74，E（Y）＝E（3－X）＝3－E（X）＝3－74＝D（Y）＝D（3－X）＝（－1）2D（X）＝D（X），故D正確.故選AD.命題點(diǎn)3利用均值與方差進(jìn)行決策例3[2021新高考卷Ⅰ]某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.解析（1）由題意得，X的所有可能取值為0，20，100，P（X＝0）＝1－0.8＝0.2，P（X＝20）＝0.8×（1－0.6）＝0.32，P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48（2）當(dāng)小明先回答A類問題時(shí)，由（1）可得E（X）＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.當(dāng)小明先回答B(yǎng)類問題時(shí)，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0，80，100，P（Y＝0）＝1－0.6＝0.4，P（Y＝80）＝0.6×（1－0.8）＝0.12，P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列為Y080100P0.40.120.48E（Y）＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因?yàn)?7.6＞54.4，即E（Y）＞E（X），所以為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.方法技巧在利用均值和方差的意義去分析、解決實(shí)際問題時(shí)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.需要注意的是，實(shí)際應(yīng)用中是方差大了好還是方差小了好，要看這組數(shù)據(jù)反映的實(shí)際問題.訓(xùn)練3[2023湖北荊州中學(xué)模擬]某公司計(jì)劃在2023年年初將1000萬元用于投資，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇.項(xiàng)目一：新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30％，也可能虧損15％，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為79和2項(xiàng)目二：通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50％，也可能虧損30％，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為35，13，（1）針對以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由.（2）若市場預(yù)期不變，該投資公司按照你選擇的項(xiàng)目長期投資（每一年的利潤和本金繼續(xù)用作投資），大約在哪一年年底總資產(chǎn)（利潤＋本金）可以翻一番？（參考數(shù)據(jù)：lg2解析（1）若投資項(xiàng)目一，設(shè)獲利為ξ1萬元（負(fù)值表示虧損），則ξ1的分布列為ξ1300－150P72E（ξ1）＝300×79＋（－150）×29若投資項(xiàng)目二，設(shè)獲利為ξ2萬元（負(fù)值表示虧損，0表示不賠不賺），則ξ2的分布列為ξ25000－300P311E（ξ2）＝500×35＋0×115＋（－300）×1∴E（ξ1）＝E（ξ2），即投資項(xiàng)目一和項(xiàng)目二獲利的期望相同.D（ξ1）＝（300－200）2×79＋（－150－200）2×29＝D（ξ2）＝（500－200）2×35＋（0－200）2×115＋（－300－200）2×13∴D（ξ1）＜D（ξ2），即項(xiàng)目一的方差較小，投資項(xiàng)目一更穩(wěn)定.綜上，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一進(jìn)行投資.（2）假設(shè)n（n∈N*）年后總資產(chǎn)可以翻一番，依題意得1000×（1＋2001000）n＝2000，即1.2n兩邊同時(shí)取對數(shù)，得n×lg1.2＝lg2，n＝lg22lg2+lg3－1≈0.∴該投資公司大約在2026年年底總資產(chǎn)可以翻一番.1.[命題點(diǎn)1]設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X01P9a2－a3－8a則常數(shù)a的值為（A）A.13 B.23 C.13或23 D.－解析由分布列的性質(zhì)可知0≤9a2－a≤12.[命題點(diǎn)2]已知ξ的分布列如表所示.ξ012P？??？其中，“！”處完全無法看清，盡管兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同.據(jù)此計(jì)算，下列各式中：①E（ξ）＝1；②D（ξ）＞1；③P（ξ＝0）≤12，正確的個(gè)數(shù)是（CA.0 B.1 C.2 D.3解析設(shè)“？”＝a，“！”＝b，則a，b∈[0，1]，2a＋b＝1.①E（ξ）＝0×a＋1×b＋2×a＝2a＋b＝1，因此①正確；②D（ξ）＝（0－1）2×a＋（1－1）2×b＋（2－1）2×a＝2a≤1，因此②不正確；③P（ξ＝0）＝a＝1－b2≤123.[命題點(diǎn)2/2023南昌市一模]某班準(zhǔn)備購買班服，確定從A，B兩種款式中選出一種統(tǒng)一購買.現(xiàn)在全班50位同學(xué)贊成購買A，B款式的人數(shù)分別為20，30，為了盡量統(tǒng)一意見，準(zhǔn)備在全班進(jìn)行3輪宣傳，每輪宣傳從全班同學(xué)中隨機(jī)選出一位，介紹他贊成所選款式的理由.假設(shè)每輪宣傳后，贊成該同學(xué)所選款式的不會(huì)改變意見，不贊成該同學(xué)所選款式的同學(xué)會(huì)有5位改變意見，改成贊成該同學(xué)所選款式.（1）計(jì)算第2輪宣傳選到的同學(xué)贊成A款式的概率.（2）設(shè)經(jīng)過3輪宣傳后贊成A款式的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.解析（1）記第i輪宣傳選到的同學(xué)贊成A款式為事件Ai，第i輪宣傳選到的同學(xué)贊成B款式為事件Bi，i＝1，2，3.因?yàn)镻（A1A2）＝2050×2550＝P（B1A2）＝3050×1550＝所以第2輪宣傳選到的同學(xué)贊成A款式的概率P（A2）＝P（A1A2）＋P（B1A2）＝15＋950＝（2）經(jīng)過3輪宣傳后贊成A款式的人數(shù)X的所有可能取值為5，15，25，35，則P（X＝5）＝P（B1B2B3）＝3050×3550×4050P（X＝15）＝P（A1B2B3）＋P（B1A2B3）＋P（B1B2A3）＝2050×2550×3050＋3050×1550×3050＋3050P（X＝25）＝P（B1A2A3）＋P（A1B2A3）＋P（A1A2B3）＝3050×1550×2050＋2050×2550×2050＋2050P（X＝35）＝P（A1A2A3）＝2050×2550×3050所以X的分布列為X5152535P4239293所以E（X）＝5×42125＋15×39125＋25×29125＋35×34.[命題點(diǎn)3/2023南寧市第一次適應(yīng)性測試]在某次現(xiàn)場招聘會(huì)上，某公司計(jì)劃從甲和乙兩位應(yīng)聘人員中錄用一位，規(guī)定從6個(gè)問題中隨機(jī)抽取3個(gè)問題作答.假設(shè)甲能答對的問題有4個(gè)，乙每個(gè)問題能答對的概率為23（1）求甲在第一個(gè)問題答錯(cuò)的情況下，第二個(gè)和第三個(gè)問題均答對的概率；（2）請從期望和方差的角度分析，甲、乙誰被錄用的可能性更大.解析（1）記“甲第一個(gè)問題答錯(cuò)”為事件A，“甲第二個(gè)和第三個(gè)問題均答對”為事件B，則P（A）＝26＝13，P（AB）＝13×45×∴甲在第一個(gè)問題答錯(cuò)的條件下，第二個(gè)和第三個(gè)問題均答對的概率為P（B｜A）＝P（AB）P（（2）設(shè)甲答對的問題數(shù)為X，則X的所有可能取值為1，2，3.P（X＝1）＝C41C22C63＝15，P（X＝2）＝C42C21∴X的分布列為X123P131E（X）＝1×15＋2×35＋3×15D（X）＝（1－2）2×15＋（2－2）2×35＋（3－2）2×15設(shè)乙答對的問題數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為0，1，2，3.P（Y＝0）＝（1－23）3＝1P（Y＝1）＝C31×23×（1－23）P（Y＝2）＝C32×（23）2×（1－23P（Y＝3）＝（23）3＝8∴Y的分布列為Y0123P1248E（Y）＝0×127＋1×29＋2×49＋3×8（另解：∵Y～B（3，23），∴E（Y）＝3×23＝D（Y）＝（0－2）2×127＋（1－2）2×29＋（2－2）2×49＋（3－2）2×827＝2由E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）可得，甲被錄用的可能性更大.學(xué)生用書·練習(xí)幫P3901.[2023福建福州聯(lián)考]已知隨機(jī)變量X的分布列為P（X＝i）＝ia（i＝1，2，3，4，5），則P（2≤X＜5）＝（CA.13 B.12 C.35 解析由分布列的性質(zhì)，知∑i=15ia＝1，解得a＝15，故P（2≤X＜5）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＝215＋315＋42.[2024江蘇鎮(zhèn)江模擬]已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若E（X）＝13，則DX=（X－201Pa1bA.4981 B.89 C.2327 解析因?yàn)镋（X）＝13，且各概率之和為1，所以－2所以D（X）＝19×（－2－13）2＋13×（0－13）2＋59×（1－13）3.設(shè)0＜a≤b，隨機(jī)變量X的分布列是X012Paba＋b則E（X）的取值范圍是（D）A.（12，1） B.（1，54] C.（1，32） D.[5解析由分布列的性質(zhì)可得0<a<1，0<b<1，0<a＋b<1，且a＋b＋（a＋b）＝2a＋2b＝1，即a＋b＝12，可得a＝12－b，結(jié)合0＜a≤b，得14≤b＜12.因?yàn)镋（X）＝0×a＋1×b＋2×（a＋b4.[浙江高考]設(shè)0＜a＜1.隨機(jī)變量X的分布列是X0a1P111則當(dāng)a在（0，1）內(nèi)增大時(shí)，（D）A.D（X）增大B.D（X）減小C.D（X）先增大后減小 D.D（X）先減小后增大解析由分布列得E（X）＝1+a解法一D（X）＝（1+a3－0）2×13＋（1+a3－a）2×13＋（1+a3－1）2×13＝2所以當(dāng)a在（0，1）內(nèi)增大時(shí)，D（X）先減小后增大.故選D.解法二D（X）＝E（X2）－E2（X）＝0＋a23＋13－（a+1）29＝2a2－2a+29＝29[（a－12）25.[多選]已知14＜p＜1，隨機(jī)變量X的分布列如下，則下列結(jié)論正確的有（BDX012Pp－p21－pp2A.P（X＝2）的值最大B.P（X＝0）＜P（X＝1）C.E（X）隨p的增大而減小D.E（X）隨p的增大而增大解析當(dāng)p＝12時(shí)，P（X＝2）＝14，P（X＝1）＝1－12＝12＞因?yàn)?4＜p＜1，所以p－p2＝p（1－p）＜1－p，即P（X＝0）＜P（X＝1），BE（X）＝1－p＋2p2＝2（p－14）2＋78，因?yàn)?4＜p＜1，所以E（X）隨p的增大而增大，C錯(cuò)誤，6.[多選]已知A＝B＝{1，2，3}，分別從集合A，B中各隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a，b，得到平面上一個(gè)點(diǎn)P（a，b），設(shè)事件“點(diǎn)P恰好落在直線x＋y＝n上”對應(yīng)的隨機(jī)變量為X，PX=n＝Pn，X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為E（X），D（A.P4＝2P2 B.P（3≤X≤5）＝7C.E（X）＝4 D.D（X）＝4解析因?yàn)锳＝B＝{1，2，3}，點(diǎn)P（a，b）恰好落在直線x＋y＝n上，所以X的值可以為2，3，4，5，6.又從A，B中分別任取一個(gè)數(shù)，共有9種情況，所以P（X＝2）＝19，P（X＝3）＝29，P（X＝4）＝39＝13，P（X＝5）＝29，P（X＝6）＝19.對于A，P4＝3P2，故A不正確；對于B，P（3≤X≤5）＝29＋1對于C，E（X）＝2×19＋3×29＋4×13＋5×29＋6×19＝369＝4，故C正確；對于D，D（X）＝（2－4）2×19＋（3－4）2×29＋（4－4）2×13＋（5－4）2×29＋（6－4）27.若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”（如137，359，567等）.在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.若甲參加活動(dòng)，則甲得分X的均值E（X）＝421解析由題意知，“三位遞增數(shù)”總共有C93＝84（個(gè)），隨機(jī)變量X的取值為0，－1，1，因此，P（X＝0）＝C83C93＝23，P（X＝－1）＝C42C93＝114，P所以X的分布列為X0－11P2111則E（X）＝0×23＋（－1）×114＋1×11428.[2024惠州市一調(diào)]學(xué)校團(tuán)委和工會(huì)聯(lián)合組織教職員工進(jìn)行益智健身活動(dòng)比賽.經(jīng)多輪比賽后，由教師甲、乙作為代表進(jìn)行決賽.決賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝者得10分，負(fù)者得－5分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的獲得冠軍.已知教師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.4，0.5，0.75，各項(xiàng)目比賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲、乙獲得冠軍的概率分別記為p1，p2.（1）用X表示教師乙的總得分，求X的分布列與期望.（2）如果｜p1－p2｜≥2｜p12解析（1）根據(jù)題意知，X的所有可能取值為－15，0，15，30.可得P（X＝－15）＝0.4×0.5×0.75＝0.15，P（X＝0）＝0.6×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.25＝0.425，P（X＝15）＝0.4×0.5×0.25＋0.6×0.5×0.25＋0.6×0.5×0.75＝0.35，P（X＝30）＝0.6×0.5×0.25＝0.075.∴X的分布列為X－1501530P0.150.4250.350.075∴E（X）＝－15×0.15＋0×0.425＋15×0.35＋30×0.075＝5.25.（2）設(shè)教師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次為A，B，C，由題意知A，B，C相互獨(dú)立，則教師甲獲得冠軍的概率p1＝P（ABC）＋P（ABC）＋P（ABC）＋P（ABC）＝0.4×0.5×0.75＋0.6×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.25＝0.15＋0.225＋0.15＋0.05＝0.575.由對立事件的概率公式，可得p2＝1－p1＝0.425，∴2｜p12－p22｜5+0.1＝∵｜p1－p2｜＜2｜∴甲、乙獲得冠軍的實(shí)力沒有明顯差別.9.[2023重慶市三檢]在“五一”節(jié)日期間，某商場準(zhǔn)備舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買超過一定金額的商品后均有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：將質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤平均分成n（n∈N*，n≥3）個(gè)扇區(qū)，每個(gè)扇區(qū)涂一種顏色，所有扇區(qū)的顏色各不相同，顧客抽獎(jiǎng)時(shí)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤三次，記錄每次轉(zhuǎn)盤停止時(shí)指針?biāo)干葏^(qū)內(nèi)的顏色（若指針指在分界線處，本次轉(zhuǎn)動(dòng)無效，需重轉(zhuǎn)一次），若三次顏色都一樣，則獲得一等獎(jiǎng)；若其中兩次顏色一樣，則獲得二等獎(jiǎng)；若三次顏色均不一樣，則獲得三等獎(jiǎng).（1）若一、二等獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)概率之和不大于49，求n（2）規(guī)定一等獎(jiǎng)返還現(xiàn)金108元，二等獎(jiǎng)返還現(xiàn)金60元，三等獎(jiǎng)返還現(xiàn)金18元，在n?。?）中的最小值的情況下，求顧客在一次抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析（1）設(shè)“獲得三等獎(jiǎng)”為事件A，由題意得P（A）≥59，又P（A）＝An3n∴（n－1)(n－2）n2≥59，整理得解得n≥6或n≤34（舍去）（注意n∈N*∴n的最小值為6.（2）設(shè)顧客在一次抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額為隨機(jī)變量ξ，則ξ的所有可能取值為108，60，18，根據(jù)題意得P（ξ＝108）＝C6163＝136，P（ξ＝60）＝CP（ξ＝18）＝C63A33∴ξ的分布列為ξ1086018P155∴E（ξ）＝108×136＋60×512＋18×510.[2024南昌市模擬]黨建知識競賽有兩關(guān)，某學(xué)校代表隊(duì)有四名隊(duì)員，這四名隊(duì)員通過比賽的概率見下表：隊(duì)員第一關(guān)第二關(guān)甲32乙32丙21丁21比賽規(guī)則是：從四名隊(duì)員中隨機(jī)選出兩名隊(duì)員分別參加比賽，每個(gè)隊(duì)員通過第一關(guān)可以得60分，且有資格參加第二關(guān)比賽，若沒有通過，得0分且沒有資格參加第二關(guān)比賽，若通過第二關(guān)可以再得40分，若沒有通過，不再加分.兩名參賽隊(duì)員所得總分為該代表隊(duì)的得分，代表隊(duì)得分不低于160分，可以獲得“黨建優(yōu)秀代表隊(duì)”稱號.假設(shè)兩名參賽隊(duì)員的結(jié)果互不影響.（1）求這次比賽中，該校獲得“黨建優(yōu)秀代表隊(duì)”稱號的概率；（2）若這次比賽中，選中了甲、乙兩名隊(duì)員參賽，記該代表隊(duì)的得分為X，求隨機(jī)變量X的分布列、期望和方差.解析（1）記“選甲、乙兩名隊(duì)員參賽”為事件A1，“選甲、乙其中一人，丙、丁其中一人參賽”為事件A2，“選丙、丁兩名隊(duì)員參賽”為事件A3，“獲得‘黨建優(yōu)秀代表隊(duì)’稱號”為事件B.則P（A1）＝C22C42＝16，P（A2）＝C21C21C4P（B）＝P（A1B＋A2B＋A3B）＝16×（34）2×[（23）2＋2×23×13]＋23×34×23×（23×12＋13×12＋23×12）＋16×（23）2×[（12）（2）X的可能取值為0，60，100，120，160，200.P（X＝0）＝（14）2＝1P（X＝60）＝2×34×13×14P（X＝100）＝2×34×23×14P（X＝120）＝（34）2×（13）2＝P（X＝160）＝（34）2×2×23×13P（X＝200）＝（34）2×（23）2＝所以隨機(jī)變量X的分布列為X060100120160200P111111所以E（X）＝0×116＋60×18＋100×14＋120×116＋160×14＋200D（X）＝（0－130）2×116＋（60－130）2×18＋（100－130）2×14＋（120－130）2×116＋（160－130）2×14＋（200－130）11.某新型雙軸承電動(dòng)機(jī)需要裝配兩個(gè)軸承才能正常工作，且兩個(gè)軸承互不影響.現(xiàn)計(jì)劃購置甲、乙兩個(gè)品牌的軸承，兩個(gè)品牌軸承的使用壽命及價(jià)格情況如下表：品牌價(jià)格/（元/件）使用壽命/月甲10007或8乙4003或4已知甲品牌使用7個(gè)月或8個(gè)月的概率均為12，乙品牌使用3個(gè)月或4個(gè)月的概率均為1（1）若從4件甲品牌和2件乙品牌共6件軸承中，任選2件裝入電動(dòng)機(jī)內(nèi)，求電動(dòng)機(jī)可工作時(shí)間不少于4個(gè)月的概率.（2）現(xiàn)有兩種購置方案，方案一：購置2件甲品牌；方案二：購置1件甲品牌和2件乙品牌（甲、乙兩品牌軸承搭配使用）.試從性價(jià)比（即電動(dòng)機(jī)正常工