《隨機過程》課件第7章

第7章非平穩(wěn)隨機過程7.1隨機過程的高階統(tǒng)計量的定義和性質(zhì)7.2非平穩(wěn)過程的Wigner-Ville時頻譜分析7.3循環(huán)平穩(wěn)過程7.4二階循環(huán)平穩(wěn)過程的循環(huán)相關(guān)函數(shù)與循環(huán)譜7.5高階循環(huán)平穩(wěn)過程的循環(huán)累積量與循環(huán)譜習(xí)題七

在實際應(yīng)用中，人們常常假設(shè)信號或噪聲是寬平穩(wěn)過程，從而僅利用了過程的二階統(tǒng)計量信息。但是，平穩(wěn)過程只是隨機過程的一種類型，而在實際工作中，我們常常面臨大量非平穩(wěn)過程。對非平穩(wěn)過程來說，二階統(tǒng)計量只含其中一部分信息，它不包含相位信息。高階統(tǒng)計量便是解決非平穩(wěn)過程的主要手段。高階統(tǒng)計量給我們提供了前所未有的十分豐富的信息。

非平穩(wěn)過程很難有統(tǒng)一而完整的分析方法，常要根據(jù)問題的具體特性再確定具體的分析方法。本章只能簡單介紹近年來正在引起研究者注意的隨機過程的高階統(tǒng)計量及其高階譜，非平穩(wěn)隨機過程的Wigner-Ville譜分析和高階循環(huán)平穩(wěn)過程的循環(huán)統(tǒng)計量及其循環(huán)譜的概念和有關(guān)性質(zhì)。

7.1隨機過程的高階統(tǒng)計量的定義和性質(zhì)

平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度只含有信號的二階統(tǒng)計量中所包含的信息。因此，自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度足以完全地統(tǒng)計描述具有已知均值的平穩(wěn)正態(tài)過程。但由于平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度不包含該平穩(wěn)過程的相位信息，而在實際應(yīng)用中往往需要提取信號的相位信息。隨機過程的高于二階的統(tǒng)計量及其Fourier變換———高階譜則含有過程的相位信息和由于偏離高斯性的有關(guān)信息。

所謂高階統(tǒng)計量，通常應(yīng)理解為高階矩、高階累積量以及它們的譜———高階矩譜和高階累積量譜這四種主要統(tǒng)計量。一般來說，在信號處理等中利用高階統(tǒng)計量和高階譜具有以下三個方面的原因:

(1)在檢測、參數(shù)估計和信號重建問題中抑制未知譜特性的高斯噪聲(雙譜還能抑制具有對稱概率密度函數(shù)的非高斯噪聲);

(2)重建信號或系統(tǒng)的相位與振幅響應(yīng);

(3)識別非線性系統(tǒng)或檢測與刻畫時間序列的非線性性。

其中第一個原因的根據(jù)是只有正態(tài)過程的所有階數(shù)大于2的高階累積量恒為0。若接收到的是伴有加性正態(tài)噪聲的非正態(tài)信號，則在高階累積量域中處理便可去掉噪聲?？梢?，在類似這樣的信號處理應(yīng)用中，在觀測數(shù)據(jù)的高階譜域中進(jìn)行檢測與估計信號參數(shù)，便有某些優(yōu)勢。特別地，高階譜域可以變?yōu)楦咝旁氡?SNR)域，因此在高階譜域可以進(jìn)行檢測、參數(shù)估計，甚至于整個信號的重建。

第二個原因是因為高階譜保持了信號的真實相位特性。由于二階統(tǒng)計量一般是由最小二乘優(yōu)化準(zhǔn)則得到的，故對于信號處理問題中的時間序列數(shù)據(jù)的處理幾乎毫無例外地使用了二階統(tǒng)計量。然而，自相關(guān)域中相位信息受到抑制，在自相關(guān)域(或功率譜域)中進(jìn)行準(zhǔn)確的相位重建僅對最小相位信號才能實現(xiàn)。另一方面，由于多譜既保持了正確的振幅信息，也保持了正確的非最小相位信息，因此可在高階譜域內(nèi)進(jìn)行非最小相位信號的重建或系統(tǒng)識別。

最后，高階譜對于我們識別在隨機輸入工作下系統(tǒng)的非線性性是非常有用的，高階譜在利用輸出數(shù)據(jù)來檢測和刻畫系統(tǒng)的非線性性中起著至關(guān)重要的作用。

本節(jié)簡要介紹復(fù)隨機過程的高階統(tǒng)計量的定義及性質(zhì)。

7.1.1矩與累積量

設(shè)X={X(t)，

t∈T}為一復(fù)隨機過程，由于其每個隨機變量都有共軛和非共軛兩種選擇，因此其k階矩和其k階累積量有2k種形式。為使之具有一般性，我們定義

分別為X的k階矩和k階累積量，其中

而

ΦεX

(ω1

，

ω2，…，

ωk)=E{exp[j(ω1

X(ε0)(t)+ω2X

(ε1)(t+τ1)+…+ω

kX(εk-1)(t+τk-1)]}為k維隨機向量(X(

ε0)

(t)，X(ε1)(t+τ1

)，…，

X(εk-1)(t+τk-1))的特征函數(shù)(也稱為矩生成函數(shù))，其對數(shù)lnΦεX(ω1

，

ω2

，…，

ωk

)通常稱為k維隨機向量(X(ε0)(t)，X(ε1)(t+τ1)，…，X(εk-1)(t+τk-1)的第二特征函數(shù)(或累積量生成函數(shù))。

高階累積量和高階矩之間可以互相轉(zhuǎn)換，這就是如下著名的累積量—矩(C－M)公式和矩—累積量(M－C)公式，它們對累積量的估計、計算及應(yīng)用有著重要的意義:

累積量—矩(C－M)公式:

矩—累積量(M－C)公式:

式中

I={0，

1，…，

k-1}，{I1

，

I2，…，

Iq

}為I的一種分割(Partition)，求和符號示對I所有可能的分割求和。

利用(M－C)公式知，復(fù)嚴(yán)平穩(wěn)過程X(t)的一、二、三和四階累積量(假設(shè)存在)分別為

特別地，若X(t)為實的嚴(yán)平穩(wěn)過程，則在(7.1.6)式中取τ=0得

此即為過程X(t)的方差;同樣，在(7.1.7)式中取τ1=τ2=0得

稱之為過程X(t)的偏度;而(7.1.8)式中取τ1=τ2=τ3

=0得

稱之為過程X(t)的峰度。注意到正態(tài)過程的偏度和峰度都為零，故偏度和峰度可以用來衡量零均值實平穩(wěn)過程偏離正態(tài)的程度。

累積量有許多重要的性質(zhì)，在此，我們列出其主要性質(zhì)。

性質(zhì)7.1.1(線性性)設(shè)αi

，

i=1，

2，…，

n為復(fù)常數(shù)，

Xi

，

i=1，

2，…，

n為復(fù)隨機變量，則

性質(zhì)7.1.2如果Xik

，

i=1，

2，…，

mk

，

k=1，

2，…，

n為復(fù)隨機變量，則

性質(zhì)7.1.3(可加性)如果Xik，

i=1，

2，…，

m，

k=1，

2，…，

n

為獨立復(fù)隨機變量，則

可加性是累積量的一個非常重要的性質(zhì)，但這一性質(zhì)對高階矩并不成立。

性質(zhì)7.1.4(盲高斯性)設(shè)(X1

，

X2

，…，

Xn)為n維復(fù)高斯隨機變量，且n>2，則

該性質(zhì)是累積量的另一個重要性質(zhì)，它對高階矩也不成立。

性質(zhì)7.1.5如果復(fù)隨機變量Xi

(i=1，

2，…，

n)的一個子集與其余的隨機變量獨立，則

這一性質(zhì)對高階矩也不成立。

性質(zhì)7.1.6設(shè)αi

，

i=1，

2，…，

n為復(fù)常數(shù)，

Xi

，

i=1，

2，…，

n為復(fù)隨機變量，則

7.1.2多譜(累積量譜)

如果平穩(wěn)過程X={X(t)，

t∈T}的n

階累積量函數(shù)c

εnX(τ1，…，

τn-1)絕對可積，即

則cεnX(τ1，…，

τn-1)的n-1維Fourier變換存在且連續(xù)，稱之為X的n階譜或n-1譜，即

一般地，對n>2，CεnX(ω1

，…，

ωn-1)是復(fù)的，它存在振幅和相位。

累積量譜還是一個周期為2π的周期函數(shù):

我們設(shè)功率譜、雙譜和三譜為累積量的特例，具體說明如下:

(1)功率譜:n=2，則

其中c2X

(τ)為X的協(xié)方差函數(shù)。

(2)雙譜:n=3，則

其中cε3X

(τ1

，

τ2)為X的三階累積量函數(shù)。

(3)三譜:n=4，則

其中Cε4X(τ1

，

τ2

，

τ3)為X的四階累積量函數(shù)。

7.1.3線性非正態(tài)過程

設(shè)線性時不變系統(tǒng)L的輸入和輸出分別為平穩(wěn)過程X={X(t)，

t∈(-∞，

∞)}和Y={Y(t)，

t∈(-∞，

∞)}，且線性時不變系統(tǒng)L是穩(wěn)定的，即其脈沖響應(yīng)函數(shù)絕對可積，若輸入過程X的n階累積量譜存在，則輸出過程Y的n階累積量譜也存在且為

其中H

(ω)為線性時不變系統(tǒng)L的頻率響應(yīng)。

特別地，若X為非正態(tài)的獨立過程，則其n階累積量譜為

從而輸出過程Y的n階累積量譜為

可見，

Y的n階累積量譜與n-1階累積量譜具有關(guān)系

因此，除了一個常數(shù)因子外，可由非正態(tài)的線性過程的雙譜得到其功率譜，即

由于高階譜能夠保持相位信息，因此可將之用于非最小相位系統(tǒng)的識別。

7.2非平穩(wěn)過程的Wigner-Ville時頻譜分析

在通信、雷達(dá)和水聲等應(yīng)用中，傳輸介質(zhì)和目標(biāo)散射的作用常作為隨機時變空變的系統(tǒng)來處理，這時，即使被傳輸?shù)男盘柺谴_定性的，其接收信號或回波也是隨機時變的，甚至是非平穩(wěn)的，通過對這種系統(tǒng)輸出的Wigner-Viller(WV)譜分析，可獲得系統(tǒng)的時頻分布的信息特征。因此，很有必要研究線性隨機時變系統(tǒng)的WV譜。

7.2.1隨機時變連續(xù)信號和非平穩(wěn)隨機過程的WV譜

隨機時變連續(xù)信號和非平穩(wěn)隨機過程X的自相關(guān)函數(shù)為

若用t-(τ/2)代替上式中的t，可得其對稱型的自相關(guān)函數(shù)為(仍記為RX(t，

τ))

與確定性連續(xù)信號的Wigner-Ville分布(WVD)定義相似(關(guān)于確定性連續(xù)信號的WV分布定義與性質(zhì)，可參閱參考文獻(xiàn)[9])，隨機時變連續(xù)信號和非平穩(wěn)隨機過程X的WV譜定義為

與確定性連續(xù)信號的WVD定義相比，只是在上式中還需要取數(shù)學(xué)期望。將(7.2.2)式代入(7.2.3)式，得

可見隨機時變連續(xù)信號和非平穩(wěn)隨機過程X的WV譜是(7.2.2)式對稱型自相關(guān)函數(shù)RX(t，

τ)關(guān)于τ的Fourier變換。

WV譜具有確定性連續(xù)信號WVD的很多性質(zhì)，和其它譜表示(如周期圖等)比較，WV譜不要求過程的能量有限，也不受分析時間的限制，因此，它特別適合隨機時變和非平穩(wěn)隨機過程的分析。

7.2.2隨機時變離散信號和非平穩(wěn)隨機序列的WV譜

隨機時變離散信號和非平穩(wěn)隨機序列X(n)的自相關(guān)函數(shù)為

在上式中先以n-(m/2)代替n，并令k=m/2，可得對稱型自相關(guān)函數(shù)為

與確定性離散信號的WV分布定義相似(關(guān)于確定性離散信號的WV分布定義和性質(zhì)可參閱參考文獻(xiàn)[9])，隨機時變離散信號和非平穩(wěn)隨機序列的WV譜定義為

同樣，它和確定性離散信號的WVD定義相比，只是在上式中還需取數(shù)學(xué)期望。將(7.2.6)式對稱型自相關(guān)函數(shù)代入(7.2.7)式WV譜，得它們的關(guān)系為

這種WV譜也具有確定性離散信號WVD的很多性質(zhì)。

7.2.3線性隨機時變系統(tǒng)輸出的WV譜

由上述研究可知，只要對線性非隨機時變系統(tǒng)輸出的WVD式中有關(guān)量取數(shù)學(xué)期望即得線性隨機時變系統(tǒng)輸出的WV譜。因此，若輸入x(t)是確定性信號，系統(tǒng)是線性隨機時變的，則輸出Y的WV譜定義為

式中

若定義隨機時變系統(tǒng)的時變脈沖響應(yīng)的對稱型自相關(guān)函數(shù)為

則將上式代入(7.2.10)式得

即隨機時變系統(tǒng)的時變脈沖響應(yīng)WV譜是對稱型自相關(guān)函數(shù)Rh

(t，

t'，

τ，

τ')的二維Fourier變換。

隨機時變系統(tǒng)統(tǒng)計特性的描述，除了用其時變脈沖響應(yīng)h(t，

t')的對稱型自相關(guān)函數(shù)外，還常用其廣義傳遞函數(shù)H

(ω，

t)的對稱型自相關(guān)函數(shù)RH(ω，

t，

?，

τ):

式中

H(ω，

t)的WV譜為

它為RH

(ω，

t，

?，

τ)對τ的Fourier變換及對?的Fourier反變換。

隨機時變系統(tǒng)輸出的WV譜為

由于

將(7.2.18)式代入(7.2.17)式，得

由(7.2.15)式有

將上式代入(7.2.19)式，得

隨機時變系統(tǒng)有三種特殊情況:

(1)在時域是寬平穩(wěn)的，即其自相關(guān)函數(shù)在時域僅取決于時間差Δt=t-t‘，而與絕對時間

t和t’無關(guān);

(2)在頻域是寬平穩(wěn)的，即其自相關(guān)函數(shù)在頻域僅取決于頻率差Δω=ω-ω‘，而與絕對頻率ω

與ω’無關(guān);

(3)在時域與頻域都是寬平穩(wěn)的，這時，其自相關(guān)函數(shù)在時域取決于Δt，同時在頻域取決于Δω。

對這些特殊情況下的各種自相關(guān)函數(shù)關(guān)系的討論可參考文獻(xiàn)[10]，不難將它們推廣應(yīng)用于隨機時變系統(tǒng)輸出的WV譜，這里就不再詳細(xì)敘述了。

7.3循環(huán)平穩(wěn)過程

循環(huán)平穩(wěn)過程也可分為嚴(yán)循環(huán)平穩(wěn)過程和寬循環(huán)平穩(wěn)過程兩類。

7.3.1嚴(yán)循環(huán)平穩(wěn)過程

定義7.3.1設(shè)X={X(t)，

t∈T}是隨機過程，如果存在正常數(shù)T0

，使對任意n≥1，t1

，

t2

，…，

tn∈T和m，當(dāng)t1+mT0

，

t2+mT0

，…，

tn+mT0∈T

時，[X(t1

)，

X(t2

)，…，X(tn)]與[X(t1+mT0

)，

X(t2+mT0)，…，

X(tn+mT0)]有相同的聯(lián)合分布函數(shù)，則稱X是一嚴(yán)(或強、狹義)循環(huán)平穩(wěn)過程。

嚴(yán)循環(huán)平穩(wěn)過程描述的物理系統(tǒng)，其概率特征隨時間的推移而呈現(xiàn)周期性變化。由于上式不是對于每個τ，而僅對于τ=mT0

才成立，所以循環(huán)平穩(wěn)過程不是平穩(wěn)過程。然而對于任意的τ，離散時間過程X

(nt+τ)卻是平穩(wěn)的。這表明平穩(wěn)過程與循環(huán)平穩(wěn)過程之間有著密切的關(guān)系。事實上，我們有如下定理。

定理7.3.1設(shè)X具有周期T0

的嚴(yán)循環(huán)平穩(wěn)過程，

Θ為區(qū)間(0，

T0

)內(nèi)的均勻分布隨機變量，且與X相互獨立，則隨機過程Y(t)=X(t-Θ)是嚴(yán)平穩(wěn)的，且其n維分布函數(shù)為

證明只需證事件A={Y(t1+τ)≤y1，…，

Y(tn+τ)≤yn}的概率與τ無關(guān)且等于定理中的積分即可。由于

而

故

7.3.2寬循環(huán)平穩(wěn)過程

定義7.3.2對二階矩過程X={X(t)，

t∈T

}，如果存在T0

，使得

(1)對任意t∈T，

mX(t+mT0)=mX(t);

(2)對任意s，

t∈T，

RX(s+mT0

，

t+mT0

)=RX(s，

t)。

則稱X為寬(或弱、廣義)循環(huán)平穩(wěn)過程。

可見，廣義循環(huán)平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)R(s，

t)在s，

t平面的對角線上呈周期性。應(yīng)該指出，類似于平穩(wěn)過程，廣義循環(huán)平穩(wěn)過程一定是二階矩過程，而嚴(yán)循環(huán)平穩(wěn)過程則不一定是二階矩過程，從而也就不一定是廣義循環(huán)平穩(wěn)過程。當(dāng)然，如果嚴(yán)循環(huán)平穩(wěn)過程存在二階矩，則它一定是寬循環(huán)平穩(wěn)過程，這可由嚴(yán)循環(huán)平穩(wěn)過程的特點推得。

寬循環(huán)平穩(wěn)過程也不一定是嚴(yán)循環(huán)平穩(wěn)過程。這是因為僅一、二階矩循環(huán)平穩(wěn)并不能確定分布循環(huán)平穩(wěn)。

對于正態(tài)過程，寬循環(huán)平穩(wěn)性與嚴(yán)循環(huán)平穩(wěn)性是等價的，這是因為正態(tài)過程的有限維分布完全由其均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)所確定。

定理7.3.2設(shè)X={X(t)，

t∈T}是具有周期T0

的廣義循環(huán)平穩(wěn)過程，

Θ為區(qū)間(0，

T0

)內(nèi)均勻分布的隨機變量，且與X相互獨立，則其位移過程Y(t)=X(t-Θ)是寬平穩(wěn)的，且其均值和自相關(guān)函數(shù)分別為

證明因為Θ與X相互獨立，且mX(t+T0)=mX(t)，故

類似地可求得

例7.3.1假定f(t)是以T0

為周期的周期函數(shù)，且X(t)=f(t)，則X是(確定性的)嚴(yán)格循環(huán)平穩(wěn)過程，其均值函數(shù)為f

(t)，自相關(guān)函數(shù)為f(s)f(t

)，因此由定理7.3.1可知，

位移過程Y

(t

)=X(t-Θ)是嚴(yán)平穩(wěn)的，其均值為

自相關(guān)函數(shù)為

例7.3.2(二元傳輸)設(shè)隨機過程X(t)在長度為T

的區(qū)間Tn=[(n-1)T，

nT)內(nèi)，以相等的概率取±1為值，且在任意兩個不相重疊的區(qū)間內(nèi)的取值相互獨立。則

X是零均值的循環(huán)平穩(wěn)過程。此外，僅當(dāng)s，

t處于同一區(qū)間Tn

內(nèi)時，有E[X(s)X(t)]=1

，否則E[X(s)X(t)]=0，因此

試證明，其位移過程Y(t)=X(t-Θ)的自相關(guān)函數(shù)為三角波函數(shù)，即RY(τ)=1-

證明由定理7.3.2可知，只需考慮0≤t≤T即可。若τ>0，則僅當(dāng)τ<T和t<T-τ時，有R(t，

t+τ)=1。因此

若τ<0

，則僅當(dāng)τ>-T和t>T+τ=T-|τ|時，有R(t，

t+τ)=1。因此

故結(jié)論成立。

7.4二階循環(huán)平穩(wěn)過程的循環(huán)相關(guān)函數(shù)與循環(huán)譜

在許多信號處理問題中會碰到非平穩(wěn)隨機過程。復(fù)幾乎循環(huán)平穩(wěn)信號為具有幾乎周期時變統(tǒng)計特性的復(fù)隨機信號，它對研究信息系統(tǒng)中的一些非高斯過程具有重要意義。對于雷達(dá)、聲納、通信和遙測系統(tǒng)所碰到的絕大部分人工信號，有些參數(shù)隨時間周期變化，甚至于有隨時間具有多個互不可約周期的參數(shù)。振幅、相位與頻率調(diào)制系統(tǒng)中的正弦載波，數(shù)字調(diào)制系統(tǒng)中的振幅、相位或頻率的周期鍵控，電視、傳真與某些雷達(dá)系統(tǒng)中的周期掃描就是這樣的例子。

雖然在有些情況下信號處理器可以忽略這些周期性，但在檢測、估計或信息提取等許多情形下了解和利用信號的周期性可大大增加信號處理器的效益。另外在波達(dá)方向估計、空域濾波和非平穩(wěn)過程的檢測等方面要用到復(fù)幾乎循環(huán)平穩(wěn)信號。

本節(jié)將介紹二階幾乎循環(huán)平穩(wěn)過程的二階循環(huán)累積量和二階循環(huán)譜，并討論它們的基本性質(zhì)。

為給出復(fù)幾乎循環(huán)平穩(wěn)過程的概念，先來引入連續(xù)幾乎周期函數(shù)和離散幾乎周期函數(shù)的概念。

定義7.4.1稱實數(shù)集R上的連續(xù)函數(shù)f(t)為幾乎周期函數(shù)，如果對任意的ε>0，存在數(shù)T0

(ε)>0，使得在實直線上的任意長為T0(ε)的區(qū)間內(nèi)，至少存在一點τ，使得

顯然，具有周期T0

的周期函數(shù)是幾乎周期函數(shù)，因為取T0

(ε)=T0

，則對任意長為T0的區(qū)間內(nèi)，存在一點τ=kT0

，這里k為某一整數(shù)，使得f(t+τ)-f(t)≡0。幾乎周期函數(shù)的一個重要且有用的性質(zhì)為，它存在唯一的Fourier級數(shù)表示。

定義7.4.3對于固定的τ，若c11X(t;τ)可表示為關(guān)于t的Fourier級數(shù)，

則Fourier系數(shù)C11X(α;τ)稱為X(t)在循環(huán)頻率α處的二階循環(huán)累積量，稱χ

11為幾乎周期累積量的循環(huán)頻率集。

由幾乎周期函數(shù)的性質(zhì)，可知χ

11是可數(shù)集。另外，由于離散指數(shù)基函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)，故若α∈χ

11，則對任意的整數(shù)l，

α+2πl(wèi)也是循環(huán)頻率，但只需考慮[0，

2π)中的α就足以描述離散Fourier級數(shù)。

將時變累積量表示為Fourier級數(shù)的思想在于其Fourier級數(shù)的循環(huán)Fourier系數(shù)是時不變的，因此可利用單次記錄的估計量估計，有了這些循環(huán)系數(shù)，就有可能通過計算相應(yīng)的Fourier級數(shù)來合成所需要的統(tǒng)計量。在實際中單次記錄非常重要且已經(jīng)應(yīng)用于許多信號處理的算法。

如果X(t)為一平穩(wěn)的復(fù)過程，則c11X(t;τ)=c11X(τ)，因此C11X(α;τ)=c11X(τ)δ(α)?？梢奀11X(α;τ)僅當(dāng)α=0時非零，且C11X(0;τ)=c11X(τ)。故循環(huán)頻率的存在反映了統(tǒng)計量(關(guān)于時間)的變化，因而α=0表示統(tǒng)計量的直流分量部分，而其它頻率表示統(tǒng)計量的“起伏”部分，即α越大，則它隨時間變化越快。循環(huán)域提供了利用循環(huán)頻率分離信號的方法，并且由于平穩(wěn)過程的循環(huán)統(tǒng)計量為零，故循環(huán)平穩(wěn)方法對于加性平穩(wěn)噪聲不敏感。

類似于平穩(wěn)信號情形，如果c11X(t;τ)關(guān)于τ絕對可和，則將c11X(t;τ)對延遲τ求Fourier變換可得到下面的時變譜與循環(huán)譜概念。設(shè)c11X(t;τ)對每一t關(guān)于τ絕對可積，定義時變譜和循環(huán)譜如下。

定義7.4.4復(fù)循環(huán)平穩(wěn)過程X(t)的二階時變累積量譜和二階循環(huán)累積量譜分別定義為

利用定義7.4.3和定義7.4.4，可以證明，

圖7－1所示的為c11X、C11X、S11X、H11X

之間的關(guān)系，其中FT表示Fourier變換，F(xiàn)S表示Fourier級數(shù)。

下面給出循環(huán)相關(guān)函數(shù)和循環(huán)譜的幾個基本性質(zhì)，它們?yōu)槠椒€(wěn)過程相應(yīng)結(jié)果的推廣。圖7－1時域、循環(huán)域和頻域之間的相互關(guān)系

7.5高階循環(huán)平穩(wěn)過程的循環(huán)累積量與循環(huán)譜

上一節(jié)討論了復(fù)寬循環(huán)平穩(wěn)過程的二階循環(huán)相關(guān)函數(shù)和循環(huán)譜的定義及其性質(zhì)，但有些隨機過程不具有二階循環(huán)平穩(wěn)性，而具有高階循環(huán)平穩(wěn)性。例如，設(shè)X(t)為一零均值的平穩(wěn)的非高斯帶限信號，若X(t)通過一頻率為ω0

的載波發(fā)射到具有加性高斯噪聲的信道中，則接收信號為

式中，

vc(t)表示信道的未知協(xié)方差的(可能非平穩(wěn)的)加性復(fù)高斯噪聲;vI(t)為發(fā)射機產(chǎn)生的或故意發(fā)射的與信息具有相同頻率的作為干擾的(可能非平穩(wěn)的)加性復(fù)高斯噪聲，且X(t)、vc(t)和vI(t)相互獨立。因此Y(t)的二階累積量為

可見由于存在c11vI和c11vc，一般由c11Y得不到c11X，這說明二階循環(huán)方法受循環(huán)平穩(wěn)噪聲的影響。

另一方面，

Y(t)的三階非平穩(wěn)累積量為

因此可以用c(-1，

1，

1)3Y(t;τ1

，

τ2)來估計c(-1，

1，

1)3X(τ1

，

τ2)。這對于有關(guān)X(t)的基于累積量的檢測和參數(shù)估計是有用的。

由于循環(huán)平穩(wěn)過程的循環(huán)累積量，(1)對未知譜的(可能非平穩(wěn)的)加性(實或復(fù))高斯噪聲是盲的，(2)保持了時變的相位信息，而二階循環(huán)平穩(wěn)方法缺少這兩個特點，故有必要研究高階循環(huán)平穩(wěn)方法。

本節(jié)簡單介紹k階幾乎循環(huán)平穩(wěn)的非平穩(wěn)復(fù)過程的高階循環(huán)累積量及高階循環(huán)譜的定義和性質(zhì)。正如Brillinger和Rosenblatt所指出的那樣，對于復(fù)信號，由于在k階累積量中復(fù)共軛的位置不同而有不同的k階累積量，人們通常是根據(jù)問題的需要選擇相應(yīng)的k階累積量。這里我們將各種定義作了統(tǒng)一的定義，它包括了所有類型。

設(shè)X

(t

)為一離散時間的非平穩(wěn)的復(fù)過程，其k階矩與k階累積量由式(7.1.1)和式(7.1.2)定義。

復(fù)值過程X

(t)稱為k

階幾乎循環(huán)平穩(wěn)的，如果它的一階直到k階累積量(假定存在)均為關(guān)于時間t的幾乎周期函數(shù)。

利用累積量和矩的關(guān)系，以及有限個幾乎周期函數(shù)的和與積仍為幾乎周期函數(shù)這一性質(zhì)易見，

k階復(fù)循環(huán)平穩(wěn)過程的k階矩關(guān)于t也是幾乎周期