第三講函數(shù)周期性知識總結(jié)與題型歸納(解析)

函數(shù)周期性知識總結(jié)與題型歸納題型一：函數(shù)周期性判斷與應(yīng)用知識再現(xiàn)1：若()，則為周期函數(shù)，為一個周期。例1：已知定義在上的奇函數(shù)滿足,且,則的值為()A. B. C. D.答案：C:解析：所以，所以，，所以例2：定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)又是以為周期的周期函數(shù),則等于(B)例3.（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則下列說法正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是周期函數(shù)C． D．時，【答案】AB解：因為定義在上的函數(shù)滿足，所以是偶函數(shù)，故A正確；又，所以是以為周期的周期函數(shù)，故B正確；設(shè)，則，所以，又是偶函數(shù)，則，即當(dāng)時，故D錯誤；，故C錯誤；故選：AB.知識再現(xiàn)2：若()，則為周期函數(shù)，為一個周期。例1：設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時，，則__________答案：1解析：，是周期為4的函數(shù)，所以例2：設(shè)為定義在上的偶函數(shù)，，當(dāng)時，，則___6__.解析：，是周期為6的函數(shù)，所以知識再現(xiàn)3：若()，則為周期函數(shù)，為一個周期。例1：設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時，，則__________答案：1解析：，是周期為4的函數(shù)，所以例2：定義域為R，對于任意x都有且問是否是周期函數(shù)？如是則周期是多少？解：如圖可知M（1，0），N（4，0）是對稱中心，設(shè)為的任意一點，它的關(guān)于M的對稱點是則：設(shè)與關(guān)于N點對稱則4–=–4，由題意 即對于任意都有是周期函數(shù)，周期為6.結(jié)論：若函數(shù)的圖象為對稱中心在X軸上的中心對稱圖形，則為周期函數(shù)，周期為兩對稱中心距離的2倍。例3：已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，下列有關(guān)命題的說法錯誤的是（）A．函數(shù)是周期函數(shù) B．函數(shù)為上的偶函數(shù) C．的圖象關(guān)于點對稱函數(shù) D．為上的單調(diào)函數(shù)答案：D解析：，是周期為3的函數(shù)，故A正確；因為為奇函數(shù)，所以，令可得，，即，又因，所以，所以為上的偶函數(shù)，所以B對，D錯，因為奇函數(shù)，所以它關(guān)于原點對稱，故把向左平移單位，得到的圖象，所以的圖象關(guān)于點對稱，所以C對。例4：（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，下列有關(guān)命題的說法正確的是（

）A．為周期函數(shù) B．為上的偶函數(shù)C．為上的單調(diào)函數(shù) D．的圖象關(guān)于點對稱【答案】ABD解析：對于：函數(shù)，是周期為的函數(shù)，故正確；對于B：，即又的周期為，又是奇函數(shù)，,令，則是偶函數(shù)，即是偶函數(shù)，故B正確；對于C：由B知是偶函數(shù)，在和上的單調(diào)性相反，在上不單調(diào)，故C錯誤；對于D：函數(shù)為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于點對稱，的函數(shù)圖象是由的圖象向右平移個單位得到的，的函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，故D正確．故選：ABD例5：設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)，恒有.當(dāng)時，.(1)當(dāng)時，求的解析式；(2)計算.【答案】(1)，(2)解析(1)，，是周期為4的周期函數(shù).當(dāng)時，，由已知得.又是奇函數(shù)，，，又當(dāng)時，，，又是周期為4的周期函數(shù)，，從而求得時，.(2)，，，，又是周期為4的周期函數(shù)，.又，.知識再:4：若()，則為周期函數(shù)，為一個周期。例1：函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若則__________。解析：由得，所以，則。例2：已知函數(shù)的定義域為，值域為，若，函數(shù)為偶函數(shù)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B由可得，①對任意的，，所以，，②由①②可得，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù)．因為為偶函數(shù)，則，因為，由可得，且，由可得，因為，所以，，故函數(shù)為偶函數(shù)，因為，則，所以，，由可得，因為，所以，.故選：B.知識再現(xiàn)5：，則為周期函數(shù)，為一個周期。例1.若對任意的，都有，且，，則的值為．答案：。解析：若對任意的，都有，所以，得，所以，所以，所以，所以例2：已知函數(shù)的定義域為，且為偶函數(shù)，若，則（

）A．116 B．115 C．114 D．113【答案】C【分析】由可得函數(shù)的周期為，再結(jié)合為偶函數(shù)，可得也為偶函數(shù)，通過周期性與對稱性即可求解.【詳解】由，得，即，所以，所以函數(shù)的周期為，又為偶函數(shù)，則，所以，所以函數(shù)也為偶函數(shù)，又，所以，，所以，又，即，所以，又，，，所以故選：.知識再現(xiàn)6：（1）若函數(shù)滿足，則．（2）若函數(shù)滿足，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)．例1：定義在上的函數(shù)對任意，都有，則等于（）A.B.C.D.答案：D解析：，所以是周期為4的函數(shù)，知識再現(xiàn)7：若的圖像有兩條對稱軸和()，則為周期函數(shù)，為一個周期。例1.已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．0【答案】A解析：由題，因為偶函數(shù)，所以，又，所以,即，所以是周期函數(shù)，，故故選：A知識再現(xiàn)8：若的圖像有兩個對稱中心和()，則為周期函數(shù)，為一個周期。例1.函數(shù)的定義域為，若與都是奇函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)C.D.是奇函數(shù)答案：D解析：是奇函數(shù)，，所以關(guān)于對稱，因為為奇函數(shù)，所以，所以關(guān)于對稱，所以，所以為奇函數(shù)。知識再現(xiàn)9：若的圖像有一條對稱軸和一個對稱中心()，則為周期函數(shù)，為一個周期。例1：.（多選）已知函數(shù)對，都有，且，則（

）A．的圖像關(guān)于直線對稱B．的圖像關(guān)于點中心對稱C．D．【答案】ABC解析：因為，所以關(guān)于對稱，A選項正確；又，令去取代，所以，再令取代，所以，所以的周期為4，由可得：，所以的圖像關(guān)于對稱，結(jié)合的周期為4，所以的圖像關(guān)于點中心對稱，故B正確；定義在上的奇函數(shù)滿足，令中，可得，所以，故C正確；，故D不正確.故選：ABC.例2．（2021·全國（文））設(shè)是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（）A． B． C． D．【解析】由題意可得：，而，故.故選：C.例3．（2021·全國（理））設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則（）A． B． C． D．【解析】因為是奇函數(shù)，所以①；因為是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因為，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．，所以．思路二：從周期性入手：由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．例4．（2018·全國（文））已知是定義域為的奇函數(shù),滿足.若，則A． B． C． D．【解析】因為是定義域為的奇函數(shù)，且，所以,因此，因為，所以，，從而，選C.例5.已知是定義在上的函數(shù)，且對任意都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且，則答案：解析：，令，得，解得，所以，所以關(guān)于對稱，因為的圖象關(guān)于點對稱，所以關(guān)于對稱，所以，且為奇函數(shù)，所以例6.（2021全國卷甲卷理科12）設(shè)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，若，則（）答案：D解析：是奇函數(shù)，，所以關(guān)于對稱，是偶函數(shù)，，所以關(guān)于對稱，所以，又因為奇函數(shù)，所以，所以，因令，得，因，所以，所以，又因，解得，所以當(dāng)時，，所以例7：（2021新高考2卷8）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A．B．C．D．答案：B解析：是偶函數(shù)，，所以關(guān)于對稱，因為為奇函數(shù)，所以，所以關(guān)于對稱，所以，又因為奇函數(shù)，所以，又因，令，得，所以例8：:已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則函數(shù)的周期是（

）A． B． C． D．【答案】C解析:因為為奇函數(shù)，所以，因為為偶函數(shù)，所以，則，則，即，所以，即，則，所以的周期是4.故選：C.題型二：類周期函數(shù)例1．（2019·全國（理））設(shè)函數(shù)的定義域為R，滿足，且當(dāng)時，.若對任意，都有，則m的取值范圍是A． B．C． D．【解析】時，，，，即右移1個單位，圖像變?yōu)樵瓉淼?倍．如圖所示：當(dāng)時，，令，整理得：，（舍），時，成立，即，，故選B．變式訓(xùn)練1.若定義在R上的奇函數(shù)滿足，且時，則：（1）__________；（2）當(dāng)時，_________.【答案】

解析：∵定義在R上的奇函數(shù)滿足，∴，，∴，即函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又時，∴，∴當(dāng)時，，∴，∴當(dāng)時，，∴.故答案為：（1）；（2）2.（2016年山東理）已知函數(shù)f(x)的定義域為R.當(dāng)x<0時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.則f(6)=（）（A）?2 （B）?1 （C）0 （D）2【答案】D【解析】：當(dāng)時，,所以當(dāng)時，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，故選D.3（多選）設(shè)函數(shù)的定義域為R，且滿足，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（

）B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．D．若，則有【答案】BCD解析：由可知的圖象關(guān)于對稱，由的圖象關(guān)于對稱，故，所以是周期函數(shù)且周期為8，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)以及時，，有：，故A錯誤；由且周期為8，有，可知B正確；由函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)圖象（如圖），由圖象可知，，故C正確；由在一個周期內(nèi)的圖象可知，在有且僅有，1，3，5這幾個零點，結(jié)合函數(shù)周期為8，可知，函數(shù)在R上的所有零點為全體奇數(shù)，即，故D正確，故選：BCD．4．已知定義在上的函數(shù)滿足，為奇函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3解析：因為，所以，所以的周期為4，又為奇函數(shù)，所以，所以，令，得，所以,所以，故選：C.5.已知定義域為的函數(shù)滿足不恒為零，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C．的圖像關(guān)于直線對稱 D．在[0，10]上有6個零點【答案】AB【分析】通過給題中恒成立的等式賦值，求函數(shù)值，判斷奇偶性、對稱性和零點.【詳解】選項A：對于，令，得，對于，令，得，所以，則，A正確；選項B：由得，由得，所以，是奇函數(shù)，B正確；選項C：由，得，所以12是的一個周期，又是奇函數(shù)，所以的圖像關(guān)于點對稱，因為不恒為零，所以的圖像不關(guān)于直線對稱，C錯誤；選項D：由A知，對于，令，得，所以，由，得，，所以，所以在上的零點為0，2，3，4，6，8，9，10，共8個，D錯誤．故選：AB．6．（2018·江蘇）函數(shù)滿足，且在區(qū)間上，則的值為____．【解析】由得函數(shù)的周期為4，所以因此7．（2020·全國（理））關(guān)于函數(shù)f（x）=有如下四個命題：①f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱．②f（x）的圖象關(guān)于原點對稱．③f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號是__________．【解析】對于命題①，，，則，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對稱，命題①錯誤；對于命題②，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，命題②正確；對于命題③，，，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，命題③正確；對于命題④，當(dāng)時，，則，命題④錯誤.故答案為：②③.8.（多選）定義在上的函數(shù)滿足，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則（

）A．的圖象關(guān)于對稱 B．是的一個周期C． D．【答案】ACD【分析】由函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，可得，即可判斷A；先求出最小正周期為，再推出由可判斷B；令，求出可判斷C；求出，可判斷D.【詳解】對于A，由函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，可推得，令等價于，則，的圖象關(guān)于對稱，所以A正確.對于B，令由，，所以，，所以關(guān)于對稱.由，所以，所以，，所以，關(guān)于對稱.令等價于，則，又因為，所以令等價于，所以，所以可得出最小正周期為.，，所以不是的周期，所以B錯誤.對于C，令，則，所以，所以C正確.

對于D，因為圖象關(guān)于對稱，所以，因為，，因為最小正周期為，所以，所以，，有，選項D正確.故選：ACD.9（多選）已知函數(shù)、定義域均為，且，為偶函數(shù)，若，則下面一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)條件判斷關(guān)于中心對稱和軸對稱，可求出是函數(shù)的周期，利用函數(shù)的對稱性和周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】由可得函數(shù)關(guān)于中心對稱，且，又因為為偶函數(shù)，所以，令等價于，所以可知函數(shù)關(guān)于軸對稱，再令替換，所以，所以知，，，所以，即是函數(shù)的周期，由，令，則，故A正確；因為，由已知條件無法求出，故C不正確；由可得，所以B不正確；由可得與關(guān)于中心對稱，所以是函數(shù)的周期，，故D正確.故選：AD.10（多選）.已知定義域為的偶函數(shù)的圖象是連續(xù)不間斷的曲線，且，對任意的，，恒成立，則（

）A.在上單調(diào)遞增

B.是以4為周期的函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線對稱D.在區(qū)間上的零點個數(shù)為100.答案BD解:令x=1,得f(1)+f(1)=f(1),即f(1)=0,對任意的,,恒成立,故f(x)在[2,0]上單調(diào)遞增,而f