人教A版選擇性必修第二冊第二課時(shí)數(shù)列的遞推公式

第二課時(shí)數(shù)列的遞推公式

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解數(shù)列的遞推公式是數(shù)列的表示方法的一種形式,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象

的核心素養(yǎng).

2.掌握由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法，增強(qiáng)邏輯推理與

數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

歷史上有一個有名的關(guān)于兔子的問題:假設(shè)有一對兔子(一雄一

雌)，長兩個月它們就算長大成年了.然后每個月都會生出1對兔子，

生下來的兔子也都是長兩個月就算成年,然后每個月也都會生出1對

兔子.這里假設(shè)兔子不會死,且每次都是只生1對兔子.

第一個月，只有1對兔子；

第二個月，小兔子還沒長成年,還是只有1對兔子；

第三個月，兔子長成年了，同時(shí)生了1對小兔子，因此有兩對兔

子；

第四個月，成年兔子又生了1對兔子，加上自己及上月生的小兔

子,共有3對兔子；

第五個月，成年兔子又生了1對兔子,第三個月生的小兔子現(xiàn)在

已經(jīng)長成年了且生了1對小兔子,加上本身兩只成年兔子及上月生的

小兔子,共5對兔子...

探究：⑴過了一年之后,會有多少對兔子？

(2)兔子的對數(shù)所組成的數(shù)列為1,1,2,3,5,8,13,…這個數(shù)列的第n

項(xiàng)an,第n+1項(xiàng)an+i,第n+2項(xiàng)有何關(guān)系？

提示：(1)我們可以把這些兔子的數(shù)量以對為單位列出數(shù)字就能得到

一組數(shù)字：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233.所以,過了一年之

后，總共會有233對兔子.

=

(2)an+an+ia.n+2.

［問題］某會議室有若干排座位,每一排的座位數(shù)構(gòu)成的數(shù)列設(shè)為

｛aj.從第二排起,后一排都比前一排多2個座位(如圖).

⑴第n排與第n-1排座位數(shù)有什么關(guān)系？

(2)若第一排有7個座位,數(shù)列｛%｝是怎樣的一列數(shù)？

(3)觀察以上兩個問題中所涉及的一列數(shù),說一說這列數(shù)的呈現(xiàn)有什

么特點(diǎn)？

提示：⑴an=an-i+2(n￡N,且n22).

(2)7,9,11,13,15,

(3)每一列數(shù)中的數(shù)字都是按照確定的順序排列的.

1.數(shù)列的遞推公式

如果一個數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個式子來表示,

那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.

［思考1］利用數(shù)列的遞推公式確定一個數(shù)列，必須給出哪些條件？

提示：(1)“基礎(chǔ)”，即第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))；⑵遞推關(guān)系，即遞推公式.

［思考2］數(shù)列的遞推公式與其通項(xiàng)公式有何異同？

提示：

相同點(diǎn)不同點(diǎn)

通項(xiàng)公均可確定一個數(shù)列,求給出n的值,可求出數(shù)列中的第n項(xiàng)

式出數(shù)列中的任意一項(xiàng)an

遞推公由前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），通過一次（或

式多次）運(yùn)算,可求出第n項(xiàng)a.

［做一做1］（2022?湖南長沙第九中學(xué)高一期末）數(shù)列｛a#滿足

ai=l,an=an_+3n（n為正整數(shù)，n與2）,則a3等于（C）

A.43B.28

C.16D.7

解析：因?yàn)閍i=l,an=a?i+3n（n為正整數(shù),n22）,

令n=2,所以a2=ai+3X2=7;

令n=3,所以a3=a2+3X3=7+9=16.故選C.

2.數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和及其與a的關(guān)系

⑴數(shù)列⑸｝的前n項(xiàng)和:把數(shù)列瓜｝從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之

,

和,稱為數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和,記作Sn,即Sn=ai+a2+

⑵數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:如果數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和顯與它的序號工之

間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的

前n項(xiàng)和公式.

⑶an與Sn的關(guān)系:

.Si，n=1,

3,1Sn-Sn-i，71之2.

______

［做一做2］已知數(shù)列瓜｝的前n項(xiàng)和S?=n2,則a產(chǎn).

解析:當(dāng)n22時(shí)，

22

an=Sn-S?-1=n-（n-1）=2n-1,

當(dāng)n=l時(shí),a,=Si=l,也適合a,=2n-l,

所以an=2n-l.

答案：2nT

依探究點(diǎn)一由遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)

［例1］已知數(shù)列｛%｝滿足a,=l,an=a-+-7^?(n22),寫出該數(shù)列的前

n\n-l)

5項(xiàng),并歸納出它的一個通項(xiàng)公式.

解：ai=l,

113

02刊+——=1+--

2X122

13.15

a：i=a2+^=2+r?

azza+——1=一5+,1—=-7.

434X33124

17119

④-a」+-----+-----,

5X44205

故數(shù)列的前5項(xiàng)分別為

由于1:2X1-132X2-152X3-1

12233

72X4-192x5-1

4455

故數(shù)列｛&,｝的一個通項(xiàng)公式為a..=—=2--.

nn

(1)由遞推關(guān)系寫出數(shù)列的項(xiàng)并歸納通項(xiàng)公式的步驟:

①先根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)(至少是前3項(xiàng)).

②根據(jù)寫出的前幾項(xiàng),觀察歸納其特點(diǎn)，并把每一項(xiàng)統(tǒng)一形式.

③歸納總結(jié)寫出一個通項(xiàng)公式.

⑵根據(jù)數(shù)列的遞推公式和第1項(xiàng)(或其他項(xiàng))求數(shù)列的前幾項(xiàng)的方

法:

①根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，首先要弄清楚公式中各部分的關(guān)

系,依次代入計(jì)算即可.

②若知道的是末項(xiàng),通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)

的形式,如an=2a?tl+l.

③若知道的是首項(xiàng),通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)

的形式，如an+1=^.

［針對訓(xùn)練］已知在數(shù)列｛aj中，ai=l,ai=-^a.

n+n+1n

(1)寫出數(shù)列｛aj的前5項(xiàng)；

(2)猜想數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式.

解：⑴由a=1.尸言1a”,可得

a=——1ai-X11=-1

21+122

2_2V1_1

2+1323

Hi----------3-3—X---,

3+1434

a=——4a-4X,.-1=1-.

54+15445

(2)猜想:a”」.

n

e探究點(diǎn)二由遞推公式求通項(xiàng)公式

［例2］⑴已知數(shù)列｛例滿足aE,扁，求數(shù)列的通項(xiàng)

公式an;

(2)設(shè)在數(shù)列｛aj中，ai=l,a=(l--)a-i(n^2,nGN*),求通項(xiàng)公式a.

nnnn

解：⑴因?yàn)閍+i-a=--,

nnnn+l

所以a2_ai=y--,

as-32=~ii

23

11

d4—

a「am尸二二(n》2),將以上n-1個式子相加，得

n-1n

---

(a2ai)+(a3a2)+(a4-a3)+…+(anan-i)=

即a-ai=l--(n^2,n￡N*).

nn

所以a=ai+l~—=-l+l_—(n^2,n￡N*),

nnnn

又當(dāng)n=l時(shí),aF-1也符合上式.

所以a=--,n￡N*.

nn

(2)因?yàn)閍1=l,a?=(1--)a-!(n22),

nn

所以2q,

an1n

an=P-><2x2義…義回義也Xai

an-lan-2an-3a2ai

=ZL2x—X—X-X-XiX1A

nn-1n-232n

又因?yàn)閚=l時(shí)，ai=l,符合上式,

所以a"(nWN*).

n

由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí),常常通過累加或累乘法求得，即

⑴累加法：當(dāng)an=an-i+f(n)時(shí)，常用an=(an-an-i)+(an-i-an-2)+…

+(a2-ai)+ai求通項(xiàng)公式.

⑵累乘法：當(dāng)d=g(n)時(shí)，常用％=上....也?ai求通項(xiàng)公

an~ian-ian~2ai

式.

［針對訓(xùn)練］(1)已知數(shù)列｛a｝滿足④=2,a+尸37(11￡”),寫出數(shù)列的前

5項(xiàng)，猜想％并加以證明.

(2)已知數(shù)列｛&,｝滿足a,=1,+l(n^2),求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式.

2a71-1

=

解：(1)由a產(chǎn)2,an+i3an,得

&二3@尸3X2,

2

a3=3a2=3X3X2=3X2,

23

a4=3a3=3X3X2=3X2,

31

a5=3a4=3X3X2-3X2,

???

猜想:an=2X3"

證明如下：由am=3%得皿=3.

an

因此可得%=3,生=3,幺=3,…，工=3.

ala2a3an~i

將上面的n-1個式子相乘可得

亥?生?幺....an-3nH.

ala2a3an-l

即出二3T所以為二④?3nl,

Qi

=

又a，i=2,故an2?3ni.

(2)由已知得工-」一二1(n22).

anan-l

=—+(—_—)+(--—)+???+(——^—)=2+1+1+???+l=n+l.

。20302。"一1j’'v—....，

個1

所以￡n+l,所以an=-^-.

ann+1

aL：符合上式，所以an=—

2n+1

②探究點(diǎn)三an與Sn的關(guān)系

［例3］已知各數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和S.,的公式,求｛an｝的通項(xiàng)公式.

2

(1)Sn=2n-3n;

⑵S“=3n-2.

解：⑴當(dāng)n=l時(shí)，ai=Si=2X12-3Xl=-1;

當(dāng)n22時(shí)，Sn.,=2(n-1)-3(n-1)=2n-7n+5,

則an=Sn-Sn-i=(2n-3n)-(2n-7n+5)

=2n2-3n-2n2+7n-5

=4n-5.

止匕時(shí)若n=l,貝ijan=4n-5=4Xl-5=-l=ai,

故an=4n-5.

(2)當(dāng)n=l時(shí)，ai=Si=31-2=l;

當(dāng)n》2時(shí),SV3,

則^Sn-Sn-F(3-2)-(3n-,-2)=3n-3n=3?3nL3""=2?3,

此時(shí)若n=l,則an=2?3F2X3i=2Wai,

故聞》帚

(2,3nL,n>2.

已知數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和公式Sn,求通項(xiàng)公式a”的步驟：

⑴當(dāng)n=l時(shí)，ai=Si.

⑵當(dāng)心2時(shí)，根據(jù)Sn寫出Sn-?化簡^Sn-Sn-L

(3)如果小也滿足當(dāng)n22時(shí),an=S「SnT的通項(xiàng)公式,那么數(shù)列｛4｝的通

項(xiàng)公式為an=Sn-Sn-1；

如果af不滿足當(dāng)ne2時(shí)一,aKrSn—的通項(xiàng)公式,那么數(shù)列E｝的通項(xiàng)

公式要分段表示為a求二=1；>?

2

［針對訓(xùn)練］已知數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和Sn=-|n+^n,求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)

公式.

解：a1=S尸—|x「+學(xué)X1=101,

當(dāng)n，2時(shí),a11=S,-Sn-1=-3n+104,

因?yàn)閚=l也適合上式，

所以數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為a?=-3n+104(n￡N*).

［例1］在數(shù)列瓜｝中，已知ag,尸闞g求a2,a3,a”的值,并猜測數(shù)列

2an+3

｛4｝的通項(xiàng)公式.

解：因?yàn)閍i=^,an+i=—

2an+3

3x-Q

所以當(dāng)n=l時(shí),a=j-^=~,

2尹37

t.3x-3

當(dāng)n=2時(shí)，a3-3-^=~,

-7+3o

i3X—Q1

當(dāng)n=3時(shí)t一,

8

所以a-1,a?蕓,a尸;;

27o3

猜想a=-^-.

nn+5

［例2］已知數(shù)列瓜｝的通項(xiàng)公式是an=(n+l)?(音):試問該數(shù)列有沒

有最大項(xiàng)?若有,求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的序號;若沒有,請說明理由.

解:法一an+-an

=(n+2)端嚴(yán)一(n+i)(沙

_(9-#熠)，

一11，

當(dāng)n<9時(shí)，an+i-an>0,即an+i>an;

當(dāng)n=9時(shí),an+1-an=0,即an+i=an;

_

當(dāng)n>9時(shí)，an+ian<0,即an+i<an.

貝ai<a2<a3<---<a9=a1o>ai1>ai2>---,

故數(shù)列｛a,J有最大項(xiàng),為第9項(xiàng)和第10項(xiàng)，

且&9=&10=10X(―)9.

法二根據(jù)題意，令3n(n>l)

九—Qn+l，

nx(-)71T<(n+1)(-)n,

即11n(n>l)

g+1)端10)n>(n+2)端10)n+L

解得9WnW10.

又n￡N*,貝！Jn=9或n=10.

故數(shù)列｛aj有最大項(xiàng),為第9項(xiàng)和第10項(xiàng)，

且ag-aio-10X(號)：

[例3](2021?江蘇徐州高二期中)已知柞是正項(xiàng)數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和,

且2Sn=an+an.

⑴求ai；

(2)求數(shù)列｛4｝的遞推公式；

(3)求數(shù)列｛SJ的遞推公式.

解：(1)當(dāng)n=l時(shí)，2al=a：+a“即憂=ai,

解得ai=l或ai=0.

又因?yàn)閍DO,所以a產(chǎn)L

⑵由已知2Sn=aJ+an,

當(dāng)n22時(shí)，2Sn-i=cin-1+an-b

兩式相減，得2Sn-2Sn-i=a^-aJ-1+an-an-i,

即2an=an-aJ-i+an-an-i,

W一忌-「(an+anT)=0,

(an+an-i)(a,-an-i-l)=0,

因?yàn)椋鸻j是正項(xiàng)數(shù)列，所以a「a*l,

=

即ana.n-i+1?

所以數(shù)列｛aj的遞推公式為ai=l,an=an-i+l.

(3)由已知2Sn=c^+an,

得2Sn=(Sn-Sn-i)2+(Sn-Sri),

整理得(Sn-Sm)2=Sn+Se.

2

所以數(shù)列｛Sn｝的遞推公式為S,=l,(sn-sn-1)=sr,+sn.l.

1.在數(shù)列｛aj中，a1=；,an=l-二一(ne2,n￡N*),則a202i等于(C)

2ani

1

A.-B.1C.-1D.2

2

解析:a，2=l_—-1—2=—1