新人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十七章第二節(jié)勾股定理的逆定理課時(shí)練習(xí)

新人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十七章第二節(jié)勾股定理的逆定理課時(shí)

練習(xí)

一、單選題（共15小題）

1.若AABC三邊長(zhǎng)a,b,C滿足>—25+由一a—ll+（c—5）2=0,則△人：8（2是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

答案：C

知識(shí)點(diǎn)：絕對(duì)值勾股定理的逆定理

解析：

解答：：△ABC三邊長(zhǎng)a,b,c滿足Ja+6-25+g-a-l1+（c—5/=。=。，且Ja+6-25

》。，出—a-II》。，（。一5）220

.\a+b-25=0,b-a-1=0,c-5=0,

tz=12,Z?=13,c=5,

??,122+52=132,

.'.△ABC是直角三角形.

故選C.

分析：根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得三邊的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理可推出這個(gè)三角形是直

角三角形，此題主要考查學(xué)生對(duì)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及勾股定理逆定理的綜合運(yùn)用.

2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（11,1）,點(diǎn)C到直線

AB的距離為5,且AABC是直角三角形，則滿足條件的C點(diǎn)有（）

A.4個(gè)B.5個(gè)

C.6個(gè)D.8個(gè)

答案：C

知識(shí)點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)勾股定理的逆定理

解析：

解答：?..點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)相等，

；.人：6〃*軸，點(diǎn)?到距離人：6為5,并且在平行于AB的兩條直線上.

，滿足條件的C點(diǎn)有：（1,6）,（6,6）,（11,6）,（1,-4）,（6,-4）,（11,

-4)

故選c.

分析：當(dāng)NA=90°時(shí)，滿足條件的C點(diǎn)2個(gè)；當(dāng)NB=90°時(shí)，滿足條件的C點(diǎn)2個(gè)；當(dāng)/

C=90。時(shí)，滿足條件的C點(diǎn)2個(gè).所以共有6個(gè)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：到一條直線距離為某

個(gè)定值的直線有兩條.AABC是直角三角形，它的任意一個(gè)頂點(diǎn)都有可能為直角頂點(diǎn).

3.如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,A,B,C是小正方形的頂點(diǎn)，則NABC的度數(shù)為()

A.90°B.60°C.45°D.30°

答案：C

知識(shí)點(diǎn)：勾股定理的逆定理

解析：

解答：根據(jù)勾股定理可以得到:AC=BC=J^,AB=Ji5"

7(75)2+(V5)2=(7i0)2

AAC2+BC2=AB2.AABC是等腰直角三角形.

.?.ZABC=45°.

故選D.

分析：利用勾股定理和勾股定理的逆定理判斷特殊的直角三角形，從而求取特殊角的度數(shù),

是本節(jié)的重點(diǎn)，也為今后學(xué)習(xí)一般三角形的余弦定理做一個(gè)準(zhǔn)備.

4.長(zhǎng)度為9、12、15、36、39的五根木棍，從中取三根依次搭成三角形，最多可搭成直角

三角形的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2

C.3D.4

答案：B

知識(shí)點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系勾股定理的逆定理

解析：

解答：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知能夠搭成的三角形有

9、12、15；9、36、39；12、36、39；15、36、39；

根據(jù)勾股定理的逆定理，知能夠搭成直角三角形的有

9、12、15和15、36、39.

故選B.

分析：首先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系找到所有的三角形，再根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行分析排

除，此題綜合考查了三角形的三邊關(guān)系和勾股定理的逆定理.

5.如圖所示，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB,CD,EF,GH四條線段，其中能構(gòu)

成直角三角形三邊的線段是()

cEB

A.CD,EF,GHB.AB,EF,GH

C.AB,CD,GHD.AB,CD,EF

答案：B

知識(shí)點(diǎn)：勾股定理勾股定理的逆定理

解析：

解答：AB2=22+22=8,CD2=42+22=20,EF2=l2+22=5,GH2=32+22=13,

所以AB?+EF2=GH2,故選B.

分析：先運(yùn)用勾股定理算出所涉及的各條邊長(zhǎng)的平方，再運(yùn)用勾股定理的逆定理判斷是否構(gòu)

成直角三角形是解此題的一般方法.

6.ThecoordinatesofthethreepointsA.B.Contheplaneare(-5,-5),(-2,-1)

and(-1,-2)respectively,thetriangleABCis()

(英漢小詞典：right直角的；isosceles等腰的；equilateral等邊的；obtuse鈍角的)

A.arighttrisngleB.anisoscelestriangle

C.anequilateraltriangleD.anobtusetriangle

答案：B

知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形的判定坐標(biāo)與圖形性質(zhì)勾股定理的逆定理

解析：

解答:如圖過(guò)B作Y軸的平行線，過(guò)A作X軸的平行線，兩線交于H,由勾股定理得:AB2=[（-

2)-(-5)]2+[(-1)-(-5)]2,

即:AB2=25

同理：AC2=[(-1)-(-5)]-+[(-2)-(-5)]2,即：AC2=25,

BC2=[(-1)-(-2)]2+[(-1)-(-2)RBC2=2,

；.AB=AC.

故選B.

分析：過(guò)B作Y軸的平行線，過(guò)A作X軸的平行線，兩線交于H,構(gòu)造直角三角形，根據(jù)

勾股定理求出AB的長(zhǎng)，同理求出AC、BC的長(zhǎng)，比較即可得出答案，本題主要考查了等

腰三角形的判定，勾股定理的逆定理等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出AB、

BC、AC的長(zhǎng)度.

試題來(lái)源：新人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十七章第二節(jié)勾股定理的逆定理課時(shí)練習(xí)

試題標(biāo)簽：新人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十七章第二節(jié)勾股定理的逆定理

7.如圖所示方格紙中的三角形是（）

1月1IT-

B\]C

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

答案：A

知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形的判定勾股定理勾股定理的逆定理

解析：

解答：從圖上可知：△ADBgZkAEC,

.\AB=AC.

.?.△ABC是等腰三角形.

故選A.

分析：是等腰三角形，AB,AC分別位于兩個(gè)全等的直角三角形里，本題考查了等腰三角形

的概念和全等三角形的判定定理，根據(jù)此知識(shí)點(diǎn)可得解.

8.將直角三角形三條邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大同樣的倍數(shù)后得到的三角形（）

A.仍是直角三角形B.可能是銳角三角形

C.可能是鈍角三角形D.不可能是直角三角形

答案：A

知識(shí)點(diǎn)：勾股定理勾股定理的逆定理

解析：

解答：設(shè)直角三角形的三邊分別為b,C,且滿足°2+62=02,擴(kuò)大相同倍數(shù)后各邊分別為

na,nb,nc,因?yàn)樗?尸+（〃勿2="2（°2+62）=”2c所以擴(kuò)大同樣的倍數(shù)后得到的三角形仍

是直角三角形，故選A.

分析：能夠利用字母抽象的表示出題目表達(dá)的數(shù)學(xué)意義，并運(yùn)用勾股定理和勾股定理的逆定

理進(jìn)行分析判斷，是提高邏輯思維能力的好題目.

9.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.三內(nèi)角之比為1：2：3

B.三邊長(zhǎng)的平方之比為1：2：3

C.三邊長(zhǎng)之比為3：4：5

D.三內(nèi)角之比為3：4：5

答案：D

知識(shí)點(diǎn)：直角三角形勾股定理的逆定理

解析：

解答：A項(xiàng)滿足三角形中有一個(gè)內(nèi)角為90°,B項(xiàng)滿足勾股定理的逆定理，C項(xiàng)符合勾股數(shù)

的比例關(guān)系，唯有D項(xiàng)不是直角三角形，故選D.

分析：學(xué)生能夠充分辨別三角形中角、邊、邊長(zhǎng)的平方所能判定直角三角形的條件，是學(xué)習(xí)

了勾股定理的逆定理后，對(duì)直角三角形的認(rèn)識(shí)的一個(gè)新的知識(shí)體系.

10.下列說(shuō)法正確的有（）

①如果/A+/B=/C,那么AABC是直角三角形；②如果NA：ZB：ZC=1：2：3,則三

角形是直角三角形；③如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為4、4、6,那么這個(gè)三角形不是直角三角

形；④有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形.

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

答案：D

知識(shí)點(diǎn)：直角三角形的性質(zhì)三角形內(nèi)角和定理勾股定理的逆定理

解析：

解答：?VZA+ZB=ZC,MZA+ZB+ZC=180°,得NC=90。,

.?.△ABC是直角三角形，故①正確；

②設(shè)/A=x,ZB=2x,ZC=3x,則/A+NB=/C,由①知，該三角形是直角三角形，故②

正確；

③42=16,62=36,顯然42+42W62,不符合勾股定理的逆定理，該三角形不是直角三角形，

故③正確；

④符合直角三角形的判定方法，故④正確；

所以4個(gè)結(jié)論都正確，故選D.

分析：根據(jù)題意，一一查看選項(xiàng)，根據(jù)勾股定理的逆定理或有一個(gè)角為直角的三角形為直角

三角形判斷選項(xiàng)是否正確，本題考查直角三角形的判定方法，此題中涉及到直角三角形的三

種判定方法：

①有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；

②有兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形；

③勾股定理的逆定理；

屬基礎(chǔ)題.

11.有四個(gè)三角形，分別滿足下列條件：（1）一個(gè)角等于另外兩個(gè)內(nèi)角之和；（2）三個(gè)內(nèi)

角之比為3：4：5；（3）三邊之比為5：12：13；（4）三邊長(zhǎng)分別為5,24,25.其中直

角三角形有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

答案：B

知識(shí)點(diǎn)：直角三角形的性質(zhì)勾股定理的逆定理

解析：

解答：(1)...一個(gè)角等于另外兩個(gè)內(nèi)角之和，

這個(gè)角=恭180。=90°,是直角三角形；

(2)三個(gè)內(nèi)角之比為3：4：5,

最大的角=*丁乂180。=Axi80°<90°,是銳角三角形；

3+4+512

(3)設(shè)三邊分別為5歷12k,13k,

2

則(5k)2+(12k)2=25m+144m=169吩=(13k),是直角三角形；

(4)V52+242=25+576=601^252,

三邊長(zhǎng)分別為5,24,25的三角形不是直角三角形.

綜上所述，是直角三角形的有(1)(3)共2個(gè).

故選B.

分析：(1)(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。，求出三角形中最大的角的度數(shù)，然后即

可判斷；

(4)根據(jù)勾股定理逆定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

本題考查了直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理逆定理的應(yīng)用，靈活求解，只要與90°進(jìn)行比

較即可，技巧性較強(qiáng).

12.AABC中，/A、NB、NC的對(duì)邊分別是a、b、c,下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是()

A.如果NC-/B=/A,那么NC=90°B.如果/C=90°,那么

C.如果(a+b)(a-b)=c2,那么/C=90°D.如果/A=30°ZB=600,那么

AB=2BC

答案：C

知識(shí)點(diǎn)：含30度角的直角三角形三角形內(nèi)角和定理勾股定理的逆定理

解析：

解答：A、VZC-ZB-ZA,ZC+ZB+ZA=180°

.?.2ZC=180°

，ZC=90°

故此選項(xiàng)正確；

B、VZC=90°

c是斜邊

滿足C2-〃=。2故此選項(xiàng)正確；

C、：*（a+b）。-6）=c2."2-62=c2.那是斜邊

故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、VZA=30°ZB=60°

.?.NC=90°,AB為斜邊，BC為30°角所對(duì)的邊

；.AB=2BC

故此選項(xiàng)正確；

故選C.

分析：根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理及含30度角的直角三角形對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)

行分析，從而不難求解，此題主要考查：（1）含30度角的直角三角形：在直角三角形中，

30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足/+〃=。2,那么這個(gè)三角形就

是直角三角形.

13.下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)有（）

①已知直角三角形的面積為2,兩直角邊的比為1：2,則斜邊長(zhǎng)為阮；

②直角三角形的最大邊長(zhǎng)為最短邊長(zhǎng)為1,則另一邊長(zhǎng)為?；

③在AABC中，若/A：ZB：ZC=1：5：6,則AABC為直角三角形；

④等腰三角形面積為12,底邊上的高為4,則腰長(zhǎng)為5.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

答案：D

知識(shí)點(diǎn)：勾股定理；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理的逆定理

解析：

解答：①、設(shè)較短的一個(gè)直角邊為M,則另一個(gè)直角邊為2M,所以aMX2M=2,解得M=&,

2M=2證.根據(jù)勾股定理解得斜邊為阮.所以此項(xiàng)正確；

②、根據(jù)勾股定理解得，另一邊=、百二!=&,所以此項(xiàng)正確;

③、設(shè)/A=x,貝Ij/B=5x,ZC=6x.因?yàn)閤+5x+6x=180°解得尸15°,從而得到三個(gè)角分

別為15°、75°、90°.即AABC為直角三角形，所以此項(xiàng)正確；

④、已知面積和高則可以得到底邊為6,又因?yàn)槭堑妊切?，則底邊上的高也是底邊上的

中線，則可以得到底邊的一半為3.此時(shí)再利用勾股定理求得腰長(zhǎng)為丫42+32=5.所以此項(xiàng)

正確.

所以正確的有四個(gè).

故選D.

分析：根據(jù)勾股定理以及三角形的內(nèi)角和定理即可解答，此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直

角三角形的判定及勾股定理等知識(shí)點(diǎn).

14.下列說(shuō)法：①已知直角三角形的面積為4,兩直角邊的比為1：2,則斜邊長(zhǎng)為阮；②

直角三角形的最大邊長(zhǎng)為最短邊長(zhǎng)為1,則另一邊長(zhǎng)為友;③在^ABC中，若/A：

ZB：ZC=1：5：6,則AABC為直角三角形；④等腰三角形面積為12,底邊上的高為4,

則腰長(zhǎng)為5,其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.只有①②③B.只有①②④

C.只有③④D.只有②③④

答案：D

知識(shí)點(diǎn)：勾股定理三角形內(nèi)角和定理等腰三角形的性質(zhì)勾股定理的逆定理

解析：

解答：①已知直角三角形的面積為4,兩直角邊的比為1：2,設(shè)兩直角邊的長(zhǎng)度分別為x,

2x,；.x2=4,.?.兩直角邊分別為2、4,.?.斜邊為2泥，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；

②???直角三角形的最大邊長(zhǎng)為最短邊長(zhǎng)為1,.?.根據(jù)勾股定理得第三邊為加，故選項(xiàng)

正確；

③在4ABC中，若NA：ZB：ZC=1：5：6,.\ZA=15°,ZB=75°,ZC=90°,故選

項(xiàng)正確；

④...等腰三角形面積為12,底邊上的高為4,.?.底邊=2X12+4=6,...腰長(zhǎng)=5,然后即可判

斷是否故選項(xiàng)正確.

故選D.

分析：①已知直角三角形的面積為4,兩直角邊的比為1：2,設(shè)兩直角邊的長(zhǎng)度分別為x,

2x,由此即可求出兩直角邊分別為2、4,然后根據(jù)勾股定理可以求出斜邊，然后即可判斷;

②直角三角形的最大邊長(zhǎng)為近，最短邊長(zhǎng)為1,根據(jù)勾股定理可以求出另一邊的長(zhǎng)度，就

可以判斷是否正確；

③在4ABC中，若NA：ZB：ZC=1：5：6,根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出各個(gè)內(nèi)角的度

數(shù)，由此即可判斷；

④由于等腰三角形面積為12,底邊上的高為4,根據(jù)三角形的面積公式可以求出底邊，再根

據(jù)勾股定理即可求出腰長(zhǎng)，然后即可判斷是否正確.

此題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的計(jì)算應(yīng)用、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，難度不

大，但要求學(xué)生對(duì)于這些知識(shí)比較熟練才能很好的解決問題.

15.下列結(jié)淪中，錯(cuò)誤的有()

①Rt^ABC中，已知兩邊分別為3和4,則第三邊的長(zhǎng)為5；

②三角形的三邊分別為6、c，若。2+抉=02,則/A=90°；

③若AABC中，ZA：ZB：ZC=1：5：6,則這個(gè)三角形是一個(gè)直角三角形；

④若(x-y)2+M=(x+y)2成立，貝!]M=4孫.

A.。個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

答案：C

知識(shí)點(diǎn)：勾股定理完全平方公式勾股定理的逆定理

解析：

解答：①分兩種情況討論：當(dāng)3和4為直角邊時(shí)，斜邊為5；當(dāng)4為斜邊時(shí)，另一直角邊是

幣,所以錯(cuò)誤；

②三角形的三邊分別為b、c,若02+爐=02,應(yīng)NC=90。，所以錯(cuò)誤；

③最大角/C=^=><6=9()°,這個(gè)三角形是一個(gè)直角三角形，正確；

1+5+6

④若(x-y)2+M=2+y)2成立，貝I」M=(x+y)2-(x-y)2=4xy,正確.

故選C.

分析：根據(jù)勾股定理以及逆定理即可解答，本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用.判斷三角形

是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.勾股

定理的逆定理：若三角形三邊滿足/+62=/，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

二、填空題

1.觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律:

①3,4,5；

②5,12,13；

③7,24,25；

④9,40,41,…

請(qǐng)你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù):.

答案：11,60,61

知識(shí)點(diǎn)：勾股數(shù)勾股定理

解析：

解答：從上邊可以發(fā)現(xiàn)第一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，且逐步遞增2,故第5組第一個(gè)數(shù)是11,又發(fā)現(xiàn)

第二、第三個(gè)數(shù)相差為1,故設(shè)第二個(gè)數(shù)為無(wú)，則第三個(gè)數(shù)為尤+1,根據(jù)勾股定理得：

ll2+x2=(x+l)2,解得x=60,則得第⑤組勾股數(shù)是11,60,61.

分析：勾股數(shù)有很多規(guī)律，學(xué)生能夠根據(jù)題目發(fā)現(xiàn)特定規(guī)律并運(yùn)用勾股定理正確求解，是探

索數(shù)學(xué)奧秘的一個(gè)有效途徑.

2、如圖，已知八邊形ABCDEFGH中4個(gè)正方形的面積分別為25,144,48,121個(gè)平方單

位，PR=13(單位)，則該八邊形的面積=.平方單位.

答案：428+66T

知識(shí)點(diǎn)：勾股定理的逆定理

解析:

解答：個(gè)正方形的面積分別為25,144,48,121,

二邊長(zhǎng)分別為:5、12、4心11,

：PR=13、PS=12、RS=5,

.*.PS±SR,PQ±QR,

四邊形PQRS=/(PS*SR+PQ-QR)=30+22?,

顯然SAHSG+SACDQ=S四邊形PQRS,

如圖作QUPS交于I,BJLAP交AP的延長(zhǎng)線于J,

VBP=PQ,ZBJP=ZQIP=90",

VZAPB+ZQPS=360°-90°-90°=180°,

???NQPS=NBPJ,

ARtAPQI^RtAPBJ,

???QI=BJ,

AH

/144

ASAAPB=SAPSQ,班鳳

同理SAEFR=SAQSR,

貝I]SZ\APB+SZ\EFR=S四邊形PQRS,

故八邊形的面積=3(30+2273)+144+48+121+25,

=428+66遂.

故答案為：428+66加.

分析：由PR=13、PS=12、RS=5得出PSJ_SR,PQ±QR,求出四邊形PQRS的面積，作QI

LPS交于I,BJLAP交AP的延長(zhǎng)線于J,利用全等證出

QI=BJ,推出S4APB+S4EFR=S四邊形PQRS,再把各部分的面積相加即可得到答案.本

題主要考查了面積與等積變換，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理得逆定

理等知識(shí)點(diǎn)，正確求出各部分的面積是解此題的關(guān)鍵.題目較好但有一定難度.

3.若。力,c是直角三角形的三條邊長(zhǎng)，斜邊c上的高的長(zhǎng)是〃，給出下列結(jié)論：

①以。2,扶，,2的長(zhǎng)為邊的三條線段能組成一個(gè)三角形；②以五，JF,五的長(zhǎng)為邊的

三條線段能組成一個(gè)三角形；③以a+b,c+h,h的長(zhǎng)為邊的三條線段能組成直角三角形；

④以的長(zhǎng)為邊的三條線段能組成直角三角形，正確結(jié)論的序號(hào)

abc

為.

答案：②③

知識(shí)點(diǎn)：勾股定理三角形三邊關(guān)系勾股定理的逆定理

解析：

解答：①直角三角形的三條邊滿足勾股定理。2+及=U，因而以/,扶，02的長(zhǎng)為邊的三條線

段不能滿足兩邊之和大于第三邊，故不能組成一個(gè)三角形，故錯(cuò)誤；②直角三角形的三邊有

a+b>c(a,b,c中c最大)，而在J3，三個(gè)數(shù)中最大，如果能組成一個(gè)三角形，

貝!J有+成立，BP(+4b)2>(Vc)2,即a+b+2y[ab>c(i〃+/?>c),貝!j不等式成

立，從而滿足兩邊之和大于第三邊，則以,正的長(zhǎng)為邊的三條線段能組成一個(gè)三角

形，故正確；③a+b,c+h,h這三個(gè)數(shù)中c+h^^^^(a^-b)2+h2=a2+b2+2ab+h2,Cc^-h)2=c2

2

+h+2chfX,**2^Z?=2c/z=4SAABC,.?.(〃+/?)2+。2=(。+/1)2,根據(jù)勾股定理的逆定理即以2+b,c

+h,h的長(zhǎng)為邊的三條線段能組成直角三角形，故正確；④假設(shè)°=3,6=4,c=5,則LL,

ab

J_的長(zhǎng)為J_,L,工,以這三個(gè)數(shù)的長(zhǎng)為邊的三條線段不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤.

c345

分析：充分運(yùn)用勾股定理和勾股定理的逆定理結(jié)合三角形成立的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷判斷分

析，是學(xué)生綜合所學(xué)知識(shí)體系進(jìn)行辯證提高的一個(gè)過(guò)程.

4.已知防-V2I+VH-2+(p-V2)2=0則以小p為三邊長(zhǎng)的三角形是三角

形.

答案：等腰直角

知識(shí)點(diǎn)：絕對(duì)值非負(fù)數(shù)的性質(zhì)算術(shù)平方根勾股定理的逆定理

解析：

解答：根據(jù)題意得，%、歷=0,〃-2=0,p-V2=0,

解得相=痣，n=2,p=6,,

.'.m-p,

又：VI2+02=22=4,

BPnr+p^n2,

以相、n、p為三邊長(zhǎng)的三角形是等腰直角三角形.

故答案為：等腰直角.

分析：根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出〃八九、p的值，再根據(jù)勾股定理逆定理進(jìn)行解答即可.本

題考查了絕對(duì)值非負(fù)數(shù)，算術(shù)平方根非負(fù)數(shù)，平方數(shù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等

于0,則每一個(gè)算式都等于0列式是解題的關(guān)鍵.

5.已知x,y,z均為正數(shù)，且|x-4|+(j-3)2+Jy+z—8=。,若以x,y,z的長(zhǎng)為邊長(zhǎng)畫

三角形，此三角形的形狀為.

答案：直角三角形

知識(shí)點(diǎn)：絕對(duì)值非負(fù)數(shù)的性質(zhì)算術(shù)平方根勾股定理的逆定理

解析：

解答：根據(jù)題意得，X-4=0,y-3=0,y+z-8=0,

解得44,y=3,z=5,

\'x2+y2=42+32=25=z2,

此三角形是直角三角形.

故答案為：直角三角形.

分析：根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y、z的值，再根據(jù)勾股定理逆定理進(jìn)行判斷即可得到

此三角形是直角三角形.本題考查了絕對(duì)值非負(fù)數(shù)，平方數(shù)非負(fù)數(shù)，算術(shù)平方根非負(fù)數(shù)的性

質(zhì)，根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0,則每■個(gè)算式都等于0列式是解題的關(guān)鍵，還考查了勾股

定理逆定理的運(yùn)用.

三、解答題（共5小題）

1.一如圖，在AABC中，AB=41cm,BC=18cm,BC邊上的中線AD=40cm.AABC是等

腰三角形嗎？為什么？

答案：AABC是等腰三角形

知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形的判定線段垂直平分線的性質(zhì)勾股定理的逆定理

解析：

解答：△ABC是等腰三角形，

理由是：：BC=18cm,BC邊上的中線為AD,

.,.BD=CD=9cm

VABMlcm,BC=18cm,AD=40cm

AB2=1681,

BD2+AD2=1681,

.,.AB2=BD2+AD2,

.\AD±BC

VBD=CD,

，AC=AB

.'.△ABC是等腰三角形.

分析：由已知可得BD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理可判定AD垂直BC,從而根據(jù)可利

用勾股定理求得AC的長(zhǎng)，此時(shí)發(fā)現(xiàn)AB=AC,即該三角形是等腰三角形.此題主要考查學(xué)

生對(duì)勾股定理的逆定理及等腰三角形的判定線段的垂直平分線性質(zhì)的理解及運(yùn)用.

2、當(dāng)a、b、。為何值時(shí)，代數(shù)式疝石+/>2+02—10/j—8c+6有最小值？并求出這個(gè)最

小值和此時(shí)以小氏c值為邊的三角形的面積.

答案：。=3,b=5,c=4,這個(gè)最小值為-35,以a、b、c值為邊的三角形的面積為12.

知識(shí)點(diǎn)：完全平方公式；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；勾股定理的逆定理

解析：

解答：V+b2+c2-10Z>-8c+6

=-sla-3+b2-106+25-25+c2-8c+16-16+6

=y/a-3+(6-5)2+(c-4)2-35,

，Ja-32。，(6-5)22o,(c-4)22o,

，代數(shù)式J工三+Z>2+c?一10Z7—8c+6有最小值時(shí)，a=3,b=5,c=4,

,這個(gè)最小值為-35,

...以a、b、c值為邊的三角形為直角三角形，直角邊為。和c,

...以a、b、c叁為邊的三角形的面積為12.

分析：首先把號(hào)+〃+o2_105—8c+6進(jìn)行配方得：yla-3+b2-lOfo+25-25+c2-

8c+16-16+6,進(jìn)一步整理得：Va-3+(Z?-5)2+(c-4)2-35,分析可知，Ja-3三0,

(b-5)2^0,(C-4)22O,即可推出最小值為-35,a=3,b=5,c=4,此時(shí)三角形為直

角三角形直角邊長(zhǎng)度為4和3,所以面積為12.本題主要考查完全平方公式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，

勾股定理的逆定理，關(guān)鍵在于利用完全平方公式對(duì)原代數(shù)式進(jìn)行配方.分析心6、c的值.

3、已知a,b,c為正數(shù)，滿足如下兩個(gè)條件：

a+b+c=32①

b+c-ac+a-ba+b-c1②

-------1--------1-------——

becaab4

是否存在以JZ，4b，為三邊長(zhǎng)的三角形？如果存在，求出三角形的最大內(nèi)角.

答案：以J3，4b,五為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90°

知識(shí)點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用；勾股定理的逆定理

解析：

解答：解法1：將①②兩式相乘，得(—+c--++4與(a+,+c)=8,

becaab

即.(Z?+C)2—>2?(c+a)2—/?(4+1)2—/

becaab

即3+c)2-/(。+。)2—/(a+bf-c2八

becaab

即(b-c)2-a2+『a)2-b。+(a+4-c'=0,

becaab

(b-c-\-a)(b-c-a)(c-a+b)(c-a-b)(a+b+c)(a+b-c)八

即nn--------------------1--------------------------1-------------------------=0，

becaab

即―—0+")[a(b-c-a)-b(c-a+b)+c(a+Z?+c)]=0，

abc

BP^b~C+a\2ab-a--b~+c2]=Q，

abc

即?！?。+。%2_0_切2]=0,

abc

即^__￡ZLE2(C+Q一切(c-〃+b)-o,

abc

所以Z?-c+a=0或c+a-b=0或c-a+b=0,

BPb+a=c或c+a=b或c+b=a.

因此，以4b，G為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90°.

解法2：結(jié)合①式，由②式可得32—2.+32—2.+生2s=2,

becaab4

變形,得1024—2(〃+/+。2)=；。人。③

又由①式得(。+/?+。)2=1024,BPa2+b2+c2=1024-2(ab+bc+ca),

代入③式，得1024—2[1024-2(ab+be+ca)]=~abc，

4

即〃Z?c=16Qab+bc+ca)-4096.-16)(/7-16)(c-16)=abc-16^ab+bc+ca)+256

(Q+A+C)-163=-4096+256X32-163=0,

所以a=16或b=16或c=16.

結(jié)合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a.

因此，以JZ，4b，五為三邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90°.

分析：解法一：根據(jù)已知，將兩式相乘，運(yùn)用平方差公式、完全平方式、提取公因式將乘積

分解為S—c+a)(c+a—A)(c—a+0)=0.再根據(jù)每個(gè)因式都可能等于零，及勾股定理，

abc

判斷三角形為直角三角形.最大角度也就是90°

解法二：將①式變形代入，求出b,c的值，再利用勾股定理，判斷三角形的為直角三角

形.最大角度也就是90。.本題考查因式分解的應(yīng)用.解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用因式分解、

等式變形求出氏c三角形三邊的關(guān)系.

4.如圖，在我國(guó)沿海有一艘不明國(guó)籍的輪船進(jìn)入我國(guó)海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從

相距13nmile的A,B兩個(gè)基地前去攔截，六分鐘后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截.已知甲巡邏艇

每小時(shí)航行120nmile,乙巡邏艇每小時(shí)航行50nmile,航向?yàn)楸逼?0°,問：甲巡邏艇的

航向是多少？

答案：甲巡邏艇的航向?yàn)楸逼珫|50°.

知識(shí)點(diǎn)：勾股定理勾股定理的逆定理

解析：

解答：AC=120XA=12(nmile),BC=50X—=5(nmile),又因?yàn)锳B=13nmile,所以

6060

AC2+BC2=AB2