【高中數(shù)學(xué)】指、對數(shù)聚首就用對數(shù)恒等式-同構(gòu)的核心思想

【教學(xué)相長】指、對數(shù)聚首就用對數(shù)恒等式同構(gòu)的核心思

/本Q/X目?I?I?I

高考導(dǎo)數(shù)，是很少考查基本初等函數(shù)的，都是將一些基本初等函數(shù)通過四則運算后，得到稍復(fù)雜的

函數(shù)，再設(shè)計問題。

當(dāng)然，復(fù)合函數(shù)也是考試的一種常態(tài)了。

在所有的基本函數(shù)中，稍高級些的是不是就是指數(shù)和對數(shù)函數(shù)了呢。

所以，還記得高一時的函數(shù)，求值域或最值時，涉及到的函數(shù)，往往都是指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)與其它

函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。

而高考，導(dǎo)數(shù)的客觀題壓軸，更多的也側(cè)重于指、對數(shù)函數(shù)與其它函數(shù)的綜合函數(shù)，甚至于發(fā)展到

指對數(shù)共存的狀況。

這篇推文，也想就這種學(xué)生最頭疼，而且據(jù)說一直是優(yōu)秀生專利的指對函數(shù)共存式問題，做一

些探討，以期達到大眾化的解題思路。

當(dāng)然，要想很從容地跟上我的思路，首先還是要了解并熟悉下幾個準(zhǔn)備知識的。

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應(yīng)知六

個函數(shù)

高考中的函數(shù)，最常見的，就莫過于下面這六種了。

0/(X)=xex

簡析：，'(幻=ex[x+1)1

■1

X(-8,-1)-1(-1,4-00)

f(x)—0+

11

/(X)7

e

-1-*\、.」?Jj

則f(x)2

zn/?ZFJ^4

②fM=7

簡析：r(x)=竽八

X(一8,0)(0.1)1(1,4-co)?V

——0+

”4)e7

1*1?**

則當(dāng)x>0時八幻Ne.1

:三,行》尋=

1、-jr，?ZR口

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3/17

Q

4/17

與指對數(shù)函數(shù)相關(guān)的，還有四條切線，據(jù)我的經(jīng)驗，在導(dǎo)數(shù)綜合題中，也是非常有用的。

由曲線與切線的位置關(guān)系，得到的幾個不等式，常稱為切線不等式，是我們在函數(shù)中進行放縮

時最常用不等式。

兩條切線不等式：①Inx<x-1,②Inx<\

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②y=/的兩條常用切線

，i：y=x+1和l2.y=ex

兩條切線不等式：①e*Nx+1,②e*T>x.

Q

熟記

一個恒等式

是不是很多同學(xué)都熟悉對數(shù)的那些公式呢？就比如下面這幾個：

lognM+logaN=loga(MN)

/M\

logaMlogaN=logaJ

m

loganb=—logab

甚至是難得用到卻很高大上的換底公式：

這些，也確實都是為大家所熟悉的吧。

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可是，你知道又蹶里，還有一真的很重要很重要的恒等式么？我們一

般稱它為對數(shù)恒等式的：

al09aX=X

也許你還記得課本中曾經(jīng)出現(xiàn)的這個公式，但相信你一定是很少會用到它的。

原因很簡單，我們平時所見的題中，常規(guī)方法就好，是很少需要這尊大神出面來解決問題的。

一般來說，只有當(dāng)指對數(shù)出現(xiàn)在同一個式子中，茅盾實在沒法調(diào)和時，才會請它出面來解決問

題。

而且，它能很輕易的、完美的就解決了你眼中的難題哦。

主要的原因，是因為這個恒等式，可以很輕易地做到對指數(shù)或?qū)?shù)進行改造，達到相互轉(zhuǎn)化的

效果。

xex=lnex,ex=tint-（其中…尤.）

其實，網(wǎng)傳的同構(gòu)；如隅野&余特，“嬋豌新昆（其朝韁械浮，達到結(jié)構(gòu)的統(tǒng)

從而通過構(gòu)造函數(shù)解決?贏。一—

說白了，同構(gòu)的作用，其實就是實現(xiàn)常見統(tǒng)一化的思路。

只是，因為對對數(shù)恒等式的不熟悉，感覺統(tǒng)一化的方式較為奇特罷了。下面還是

通過幾個典型例題，好好地體會一把吧。

0

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例1.設(shè)實數(shù)入>0,若對任意的X6(0,+8),不等式

e&-與之。恒成立，則入的取值范圍是—?

A

稗：由e&-粵20,海入e">Inx,

見>xlnx=Axe^>elnxlnx,

不場全x啊無)>

f(x)=xef/(4f(lnx\

因為/1(%*((),+⑹上策調(diào)遒增，

由題意Ax>0,由陽入?yún)R>btx,即入>，，

因為小<；所以人>-.論.家人家言

xee

例2.若對任意意x>0,不等式2Q/X_inx+ina>o

恒成立，則實數(shù)。的最小值為.

解：^2ae2x-Inx+Ina>0,

潺2a/x>i_i即Zac2”>In-

nxncLta

-1X.XX

=2e2x>--In—=2xe2x>—,In-

aaaa

xx

=>2xe2x>eln?-In-

a

國為x>0,由/(x)=xe"倏質(zhì)，潺2x>In-,

即2x>Inx-Ina=Ina>Inx-2x

而(lux-2x)=—2,易售"n%—2,xWIn奈/素百

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例3.已知a<0,不等式無。+1-ex+alnx>0對任意的

實數(shù)x>1都成立，則實數(shù)。的最小值是.

解：由"+1?ex+alnx>0,5#xa+1-ex>-alnx,

一,Y-

JWe>--a-l-n-x-=---ln-x-0--

~*a+l加+1

11

,ix、Inx1.1ln—t1

=xe>----X-a-——X"In—xa=eIn—xa,

由f(x)-xe"嵯質(zhì)，粕x>In=-alnx,

因為。<0,啊—>—,

ax

Inx_1一..11_~

又—<一,所以—>-%二素人衰言

xeae>—e.

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例4.設(shè)實數(shù)m>0,且不等式

x-￥m

mxlnx—(x4-<。對x>0恒成立,

則m的最大值為一.

x+m

薜：由mxlnx-(x+m)e~<0

x+m

博：mxlnx<(x4-m)e~^

.x+m

=>elnxlnx<-------em

m

由/(x)=xe”的性質(zhì)，39-lnx<上土

/nr—1-o

易知y=—L在X=e?處或?qū)⒆畲笾捣?/p>

陽L>g即m的最大值為e2也豪J衰百

mez

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j例6.若對任意x>0都有。(e"+1)N2(x+：)加x成

立，則實數(shù)。的最小值為―.

解：由a(e"+1)221+

海。式054-1)>2(x2+l)lnx

inax(e^4-1)>(x2+l)lnx2.

=>(eax+l)lne^>(x2+l)Znx2......①

9yX1

個/(x)=(x+(x)=Inx+—

=：_*=**，(x)(1)=2>0

故/(五)在(0,+oo)XMMM?,

由①厚：/(e")2/(x2),WeflX>x2

.._2lnx_Jmr,1一一、2

從而Q>----因為---W所以QN

xxee

2

即Q的最小值為品涓

：e

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例/.已知是圖數(shù)=懺e—+inx-2時等總,

則?2』+仇X。的值為

解：由f(x)=x2ex~2+Inx-2=0

2

2x22e

^xe~=2-Inx=Ine-Inx=In—X

222

xe.eIn—,e

Ppxe=—XIn—X=Xe*In—

個虱X)=xe",則g(x)=g(仇9)，

因為g(x)在(0,+8)上單,遞增，

2

所以x=In—e=2-即e^T=

Xx

出題甩/T。=XQ,

所以、七錄人奇百

e2ro+lnx0=x0+lnx0=2.

例8.函數(shù)ro)=xc”一九一Ex的最小值為_.

解.f(x)=xex-x-Inx=e,nx+r-x-Inx

由切線不等式e*>x+1,i^ex+lnx>x4-/nx+1,

所以/(x)=xex-x-Inx=elnx+x-x-Inx>1.

有且IX直x+Inx=0時雙號號.

所以ro)的最小值為i.港素木

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j例9.已知函數(shù)fO)=aex-Inx-1,若，(x)>0恒成

立，則實數(shù)。的取值范圍為.

薜：由/(%)>0,

盯海。鏟>Inx+1=ln(ex),

=>ae-xex>ex-ln(ex)

=ae?>e,n(ex)/n(ex).....?

宙切或不￥或，海!n(ex)=Znx+1<x,

由y=xexKtBt,^ax-1>/n(ex)-e/n(cx)

敢由①夫慎成五，謬ae21,%Q2乙系/套高

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例10.證明：彳一絲空立一W+1N0.

e*x+1x+1

證明：土一蛇乂一3+

e*x+1x+1

(x2+x)-2exln(x2+x)

ex(x+1)x+1

—^-^-Zn(x2+x)+x-l

x+1[ex''

1Fg/nf^+x)

——-——-------/n(x2+x)+x-1

x+1ex

=[g/n^+xj-x_/n(x2+%)+為_1]

>-----[ln(x2+x)-x+1-ln(x2+x)+x-1]

AC1

大;崇人家百

=0n

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洌彳［巨如函數(shù)a1nx二若示相￡......

f(x4-1)>ax-2e”在xG(0,+8)上恒成立,

則實數(shù)。的取值范圍是—?

解：jy/(x+1)>ax-2ex,

J*：a!n(x+1)-2(x4-1)>ax-2ex

IFaln(x4-1)-2e,n(x+1)>ax-2ex

|=ax-2e。則g(ln(%+1))>g(x)......①

由切線不*或bi(%+1)<茗

陽由①將：g(x)在%E(o,+8)上單詞遂取，

放g，(x)-a-2ex<0,

IB0x