2023-2024學年安徽省蕪湖市蕪湖縣南湖學校九年級（上）第一次月考數(shù)學試卷

南湖學校2023-2024學年九年級第一次月考數(shù)學檢測試卷一．選擇題（共10小題,每題4分）1．已知關(guān)于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣2x﹣1＝0是一元二次方程，則a的值為（）A．﹣1 B．1 C．0 D．1或﹣12．若把拋物線y＝3x2﹣1向右平移2個單位，則所得拋物線的表達式為（）A．y＝3x2﹣3 B．y＝3x2+1 C．y＝3（x+2）2+1 D．y＝3（x﹣2）2﹣13．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的較小的根，則下面對a的估計正確的是（）A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣4＜a＜﹣3 D．4＜a＜54．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于（﹣2，0）和（4，0）兩點，當函數(shù)值y＞0時，自變量x的取值范圍是（）A．x＜﹣2 B．x＞4 C．﹣2＜x＜4 D．x＞05．已知拋物線y＝x2﹣2mx﹣4（m＞0）的頂點M關(guān)于坐標原點O的對稱點為M′，若點M′在這條拋物線上，則點M的坐標為（）A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20）6．設(shè)一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0的兩實根分別為α、β（α＜β），則α、β滿足（）A．2＜α＜3≤β B．α≤2且β≥3 C．α≤2＜β＜3 D．α＜2且β＞37．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝ax2+bx（a≠0）與y＝bx+a（b≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．8．若二次函數(shù)y＝|a|x2+bx+c的圖象經(jīng)過A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y19．某企業(yè)是一家專門生產(chǎn)季節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，當產(chǎn)品無利潤時，企業(yè)會自動停產(chǎn)，經(jīng)過調(diào)研預(yù)測，它一年中每月獲得的利潤y（萬元）和月份n之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣n2+14n﹣24，則企業(yè)停產(chǎn)的月份為（）A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月10．點A，B的坐標分別為（﹣2，3）和（1，3），拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）的頂點在線段AB上運動時，形狀保持不變，且與x軸交于C，D兩點（C在D的左側(cè)），給出下列結(jié)論：①c＜3；②當x＜﹣3時，y隨x的增大而增大；③若點D的橫坐標最大值為5，則點C的橫坐標最小值為﹣5；④當四邊形ACDB為平行四邊形時，．其中正確的是（）A．②④ B．②③ C．①③④ D．①②④二．填空題（共7小題，每題5分）11．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0）的圖象與x軸只有一個交點．請寫出一組滿足條件的a，b的值：a＝，b＝．12．已知點A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣1的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是．13．二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象如圖所示，若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+m＝0有實數(shù)根，則m的最大值為．14．已知a、b是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個根，則a2+a+3b的值是．15．2018﹣2019賽季中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽（CBA），繼續(xù)采用雙循環(huán)制（每兩隊之間都進行兩場比賽），總比賽場數(shù)為380場．求有多少支隊伍參加比賽？設(shè)參賽隊伍有x支，則可列方程為．16．如圖為函數(shù)：y＝x2﹣1，y＝x2+6x+8，y＝x2﹣6x+8，y＝x2﹣12x+35在同一平面直角坐標系中的圖象，其中最有可能是y＝x2﹣6x+8的圖象的序號是．17．某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長），中間用一道墻隔開，并在如圖所示的三處各留1m寬的門．已知計劃中的材料可建墻體（不包括門）總長為27m，則能建成的飼養(yǎng)室面積最大為m2．三．解答題18．用恰當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?0分，每題5分）（1）x2﹣10x+25＝7（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．19．關(guān)于x的方程kx2+（k+2）x+＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（10分）（1）求k的取值范圍．（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．20．為進一步促進義務(wù)教育均衡發(fā)展，某市加大了基礎(chǔ)教育經(jīng)費的投入，已知2015年該市投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費5000萬元，2017年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費7200萬元．（12分）（1）求該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費的年平均增長率；（2）如果按（1）中基礎(chǔ)教育經(jīng)費投入的年平均增長率計算，該市計劃2018年用不超過當年基礎(chǔ)教育經(jīng)費的5%購買電腦和實物投影儀共1500臺，調(diào)配給農(nóng)村學校，若購買一臺電腦需3500元，購買一臺實物投影需2000元，則最多可購買電腦多少臺？21．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（14分）（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5，①若k＝3時，請判斷△ABC的形狀并說明理由；②若△ABC是等腰三角形，求k的值．22．對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當﹣1≤x≤1時，﹣1≤y≤1，則稱這個函數(shù)為“閉函數(shù)”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“閉函數(shù)”（如圖所示）．已知：y＝ax2+bx+c（a≠0）是“閉函數(shù)”，且拋物線經(jīng)過點A（1，﹣1）和點B（﹣1，1）．（14分）（1）請說明a、c的數(shù)量關(guān)系并確定b的取值；（2）請你確定a的取值范圍．23．如圖，已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（﹣3，0），與y軸交于點C，點D（﹣2，﹣3）在拋物線上，（15分）（1）求拋物線的表達式；（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求出PA+PD的最小值；（3）若拋物線上有一動點M（點C除外），使△ABM的面積等于△ABC的面積，求M點坐標．

參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．已知關(guān)于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣2x﹣1＝0是一元二次方程，則a的值為（）A．﹣1 B．1 C．0 D．1或﹣1解：由題意，得|a|+1＝2，且a﹣1≠0，解得a＝﹣1，故選：A．2．若把拋物線y＝3x2﹣1向右平移2個單位，則所得拋物線的表達式為（）A．y＝3x2﹣3 B．y＝3x2+1 C．y＝3（x+2）2+1 D．y＝3（x﹣2）2﹣1解：因為拋物線y＝3x2﹣1向右平移2個單位，得：y＝3（x﹣2）2﹣1，故所得拋物線的表達式為y＝3（x﹣2）2﹣1．故選：D．3．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的較小的根，則下面對a的估計正確的是（）A．﹣2＜a＜﹣1 B．2＜a＜3 C．﹣4＜a＜﹣3 D．4＜a＜5解：一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣5，∴△＝9+20＝29，∴x＝，則較小的根a＝，即﹣2＜a＜﹣1，故選：A．4．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于（﹣2，0）和（4，0）兩點，當函數(shù)值y＞0時，自變量x的取值范圍是（）A．x＜﹣2 B．x＞4 C．﹣2＜x＜4 D．x＞0解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于（﹣2，0）和（4，0）兩點，函數(shù)開口向下，∴函數(shù)值y＞0時，自變量x的取值范圍是﹣2＜x＜4，故選：C．5．已知拋物線y＝x2﹣2mx﹣4（m＞0）的頂點M關(guān)于坐標原點O的對稱點為M′，若點M′在這條拋物線上，則點M的坐標為（）A．（1，﹣5） B．（3，﹣13） C．（2，﹣8） D．（4，﹣20）解：y＝x2﹣2mx﹣4＝x2﹣2mx+m2﹣m2﹣4＝（x﹣m）2﹣m2﹣4．∴點M（m，﹣m2﹣4）．∴點M′（﹣m，m2+4）．∴m2+2m2﹣4＝m2+4．解得m＝±2．∵m＞0，∴m＝2．∴M（2，﹣8）．故選：C．6．設(shè)一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0的兩實根分別為α、β（α＜β），則α、β滿足（）A．2＜α＜3≤β B．α≤2且β≥3 C．α≤2＜β＜3 D．α＜2且β＞3解：當p＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得α＝2，β＝3，當p≠0，（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0，看作二次函數(shù)y＝（x﹣2）（x﹣3）與直線y＝p2＝0有兩個公共點，而y＝（x﹣2）（x﹣3）與x軸的交點坐標為（2，0），（3，0），直線y＝p2在x軸上方，所以α＜2，β＞3，綜上所述，α≤2且β≥3．故選：B．7．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝ax2+bx（a≠0）與y＝bx+a（b≠0）的圖象可能是（）A． B． C． D．解：在A中，由一次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＞0，由二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＜0，故選項A錯誤；在B中，由一次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＜0，由二次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＞0，故選項B錯誤；在C中，由一次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＞0，由二次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＞0，故選項C正確；在D中，由一次函數(shù)圖象可知，a＞0，b＞0，由二次函數(shù)圖象可知，a＜0，b＜0，故選項D錯誤；故選：C．8．若二次函數(shù)y＝|a|x2+bx+c的圖象經(jīng)過A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），則y1、y2、y3的大小關(guān)系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1解：∵經(jīng)過A（m，n）、C（3﹣m，n），∴二次函數(shù)的對稱軸x＝，∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）與對稱軸的距離B最遠，D最近，∵|a|＞0，∴y1＞y3＞y2；故選：D．9．某企業(yè)是一家專門生產(chǎn)季節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，當產(chǎn)品無利潤時，企業(yè)會自動停產(chǎn)，經(jīng)過調(diào)研預(yù)測，它一年中每月獲得的利潤y（萬元）和月份n之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣n2+14n﹣24，則企業(yè)停產(chǎn)的月份為（）A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月解：由題意知，利潤y和月份n之間函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣n2+14n﹣24，∴y＝﹣（n﹣2）（n﹣12），當n＝1時，y＜0，當n＝2時，y＝0，當n＝12時，y＝0，故停產(chǎn)的月份是1月、2月、12月．故選：D．10．點A，B的坐標分別為（﹣2，3）和（1，3），拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）的頂點在線段AB上運動時，形狀保持不變，且與x軸交于C，D兩點（C在D的左側(cè)），給出下列結(jié)論：①c＜3；②當x＜﹣3時，y隨x的增大而增大；③若點D的橫坐標最大值為5，則點C的橫坐標最小值為﹣5；④當四邊形ACDB為平行四邊形時，．其中正確的是（）A．②④ B．②③ C．①③④ D．①②④解：∵點A，B的坐標分別為（﹣2，3）和（1，3），∴線段AB與y軸的交點坐標為（0，3），又∵拋物線的頂點在線段AB上運動，拋物線與y軸的交點坐標為（0，c），∴c≤3，（頂點在y軸上時取“＝”），故①錯誤；∵拋物線的頂點在線段AB上運動，∴當x＜﹣2時，y隨x的增大而增大，因此，當x＜﹣3時，y隨x的增大而增大，故②正確；若點D的橫坐標最大值為5，則此時對稱軸為直線x＝1，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，點C的橫坐標最小值為﹣2﹣4＝﹣6，故③錯誤；根據(jù)頂點坐標公式，＝3，令y＝0，則ax2+bx+c＝0，CD2＝（﹣）2﹣4×＝，根據(jù)頂點坐標公式，＝3，∴＝﹣12，∴CD2＝×（﹣12）＝，∵四邊形ACDB為平行四邊形，∴CD＝AB＝1﹣（﹣2）＝3，∴＝32＝9，解得a＝﹣，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有②④．故選：A．二．填空題（共7小題）11．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0）的圖象與x軸只有一個交點．請寫出一組滿足條件的a，b的值：a＝1，b＝2．解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0）的圖象與x軸只有一個交點，∴△＝b2﹣4a＝0，若a＝1，則b可取2．故答案為1，2（答案不唯一）．12．已知點A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣1的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是y3＞y1＞y2．解：把A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）分別代入y＝（x﹣2）2﹣1得：y1＝（x﹣2）2﹣1＝3，y2＝（x﹣2）2﹣1＝5﹣4，y3＝（x﹣2）2﹣1＝15，∵5﹣4＜3＜15，所以y3＞y1＞y2．故答案為y3＞y1＞y2．13．二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象如圖所示，若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+m＝0有實數(shù)根，則m的最大值為7．解：一元二次方程ax2+bx+m＝0有實數(shù)根，則二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象與直線y＝﹣m有交點，由圖象得，﹣m≥﹣7，解得m≤7，∴m的最大值為7，故答案為：7．14．已知a、b是方程x2﹣2x﹣1＝0的兩個根，則a2+a+3b的值是7．解：由題意知，ab＝﹣1，a+b＝2，x2＝2x+1，即a2＝2a+1，∴a2+a+3b＝2a+1+a+3b＝3（a+b）+1＝3×2+1＝7．故選答案為：7．15．2018﹣2019賽季中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽（CBA），繼續(xù)采用雙循環(huán)制（每兩隊之間都進行兩場比賽），總比賽場數(shù)為380場．求有多少支隊伍參加比賽？設(shè)參賽隊伍有x支，則可列方程為x（x﹣1）＝380．解：設(shè)參賽隊伍有x支，則x（x﹣1）＝380．故答案為：x（x﹣1）＝380．16．如圖為函數(shù)：y＝x2﹣1，y＝x2+6x+8，y＝x2﹣6x+8，y＝x2﹣12x+35在同一平面直角坐標系中的圖象，其中最有可能是y＝x2﹣6x+8的圖象的序號是③．解：y＝x2﹣1對稱軸是直線x＝0，圖象中第二個，y＝x2+6x+8對稱軸是直線x＝﹣3，圖象中第一個，y＝x2﹣6x+8對稱軸是直線x＝3，圖象中第三個，y＝x2﹣12x+35對稱軸是直線x＝6，圖象中第四個，故答案為：③．17．某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長），中間用一道墻隔開，并在如圖所示的三處各留1m寬的門．已知計劃中的材料可建墻體（不包括門）總長為27m，則能建成的飼養(yǎng)室面積最大為75m2．解：設(shè)垂直于墻的材料長為x米，則平行于墻的材料長為27+3﹣3x＝30﹣3x，則總面積S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，故飼養(yǎng)室的最大面積為75平方米，故答案為：75．三．解答題（共5小題）18．用恰當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）x2﹣10x+25＝7（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．解：（1）x2﹣10x+25＝7，（x﹣5）2＝7，x﹣5＝±，x1＝5+，x2＝5﹣．（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．方程變形得：3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，分解因式得：（x﹣1）（3x+2）＝0，可得x﹣1＝0，3x+2＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣．19．關(guān)于x的方程kx2+（k+2）x+＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求k的取值范圍．（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．解：（1）∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝（k+2）2﹣4k?＞0且k≠0，∴k2+4k+4﹣k2＞0，且k≠0，∴k＞﹣1且k≠0，即k的取值范圍是k＞﹣1且k≠0．（2）不存在．理由如下：∵關(guān)于x的方程kx2+（k+2）x+＝0的兩根分別為x1、x2，∴x1+x2＝?，x1?x2＝，假設(shè)存在實數(shù)k，使得方程的兩個實數(shù)根x1，x2的倒數(shù)和為0，則x1，x2不為0，且+＝0，∴+＝＝﹣＝0，∴k+2＝0，∴k＝﹣2，而k＝﹣2與方程有兩個不相等實數(shù)根的條件k＞﹣1且k≠0矛盾，故使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和為0的實數(shù)k不存在．20．為進一步促進義務(wù)教育均衡發(fā)展，某市加大了基礎(chǔ)教育經(jīng)費的投入，已知2015年該市投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費5000萬元，2017年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費7200萬元．（1）求該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費的年平均增長率；（2）如果按（1）中基礎(chǔ)教育經(jīng)費投入的年平均增長率計算，該市計劃2018年用不超過當年基礎(chǔ)教育經(jīng)費的5%購買電腦和實物投影儀共1500臺，調(diào)配給農(nóng)村學校，若購買一臺電腦需3500元，購買一臺實物投影需2000元，則最多可購買電腦多少臺？解：（1）設(shè)該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費的年平均增長率為x，根據(jù)題意得：5000（1+x）2＝7200，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：該市這兩年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費的年平均增長率為20%．（2）2018年投入基礎(chǔ)教育經(jīng)費為7200×（1+20%）＝8640（萬元），設(shè)購買電腦m臺，則購買實物投影儀（1500﹣m）臺，根據(jù)題意得：3500m+2000（1500﹣m）≤86400000×5%，解得：m≤880．答：2018年最多可購買電腦880臺．21．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5，①若k＝3時，請判斷△ABC的形狀并說明理由；②若△ABC是等腰三角形，求k的值．【解答】（1）證明：∵Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+k）＝1＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）解：①k＝3時，方程為x2﹣7x+12＝0，解得x1＝3，x2＝4，∴AB＝3，AC＝4，∵BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形；②∵Δ＝1＞0，∴AB≠AC，∴AB、AC中有一個數(shù)為5．當x＝5時，原方程為：25﹣5（2k+1）+k2+k＝0，即k2﹣9k+20＝0，解得：k1＝4，k2＝5．當k＝4時，原方程為x2﹣9x+20＝0．∴x1＝4，x2＝5．由三角形的三邊關(guān)系，可知4、5、5能圍成等腰三角形，∴k＝4符合題意；當k＝5時，原方程為x2﹣11x+30＝0，解得：x1＝5，x2＝6．由三角形的三邊關(guān)系，可知5、5、6能圍成等腰三角形，∴k＝5符合題意．綜上所述：k的值為4或5．22．對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當﹣1≤x≤1時，﹣1≤y≤1，則稱這個函數(shù)為“閉函數(shù)”．例如：y＝x，y＝﹣x均是“閉函數(shù)”（如圖所示）．已知：y＝ax2+bx+c（a≠0）是“閉函數(shù)”，且拋物線經(jīng)過點A（1，﹣1）和點B（﹣1，1）．（1）請說明a、c的數(shù)量關(guān)系并確定b的取值；（2）請你確定a的取值范圍．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）