初中數(shù)學(xué)因式分解6種常用方法

利用平方差公式分解因式應(yīng)用平方差公式，把多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式的方法，就叫做平方差公式法。公式表述為:a2-b2=(a+b)(a-b)。應(yīng)用平方差公式滿(mǎn)足的條件：等式的左邊是一個(gè)兩項(xiàng)多項(xiàng)式，并且構(gòu)成這個(gè)多項(xiàng)式的兩個(gè)單項(xiàng)式之間是作減法運(yùn)算；等式的右邊一個(gè)因式是等式左邊兩個(gè)平方冪的底數(shù)的和，另一個(gè)因式是等式左邊兩個(gè)平方冪的底數(shù)的差。1、直接應(yīng)用分解因式：x2-4=

。分析：左邊是兩個(gè)單項(xiàng)式的差，關(guān)鍵是把數(shù)字4寫(xiě)成22，這樣，左邊就變形為x2-22，這樣，就和公式一致了。解：x-4=x2-22=(x+2)(x-2)。2、提后用公式分解因式：3x2-27=

。分析：在分解因式時(shí)，先考慮提公因式，后考慮用平方差公式法。解：3x2-27=3(x2-9)=3(x2-32)=3(x+3)(x-3)。3、變化指數(shù)后用公式248-1能被60和70之間的兩個(gè)數(shù)整除。這兩個(gè)數(shù)各是多少？分析：因?yàn)椋?8=2×24，所以，248=(22)24=(224)2，這樣，就滿(mǎn)足了平方差公式的要求了。解：因?yàn)椋?8=2×24，所以，248-1=(224)2-(1)2=(224+1)(224-1)=(224+1)【(212)2-(1)2】=(224+1)【(212+1)(212-1)】=(224+1)(212+1)【(26)2-(1)2】=(224+1)(212+1)【(26+1)(26-1)】=(224+1)(212+1)(26+1)【(23)2-(1)2】=(224+1)(212+1)(26+1)【(23+1)(23-1)】=(224+1)(212+1)(26+1)×9×7=(224+1)(212+1)×65×63因?yàn)?整除的兩個(gè)數(shù)在60和70之間,且60<63<70，60<65<70,所以，這兩個(gè)數(shù)分別是63、65。4、乒乓球比賽中的應(yīng)用有10位乒乓球選手進(jìn)行乒乓球單循環(huán)比賽（每?jī)扇酥g均要賽一場(chǎng)）。如果用x1，y1順次表示第一號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù)，用x2，y2順次表示第二號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù)，用x10，y10順次表示第十號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù)，則這10位選手勝的場(chǎng)數(shù)的平方和與他們負(fù)的場(chǎng)數(shù)的平方和是相等的。即x12+x22+……+x102=y12+y22+……+y102。你能用所學(xué)的知識(shí)解釋里面的道理嗎？分析：因?yàn)?，是進(jìn)行的單循環(huán)比賽，所以，每一位選手的勝的場(chǎng)數(shù)與負(fù)的場(chǎng)數(shù)之和是相同的，都是9場(chǎng)，從比賽的整體來(lái)看，所有隊(duì)員勝的場(chǎng)數(shù)與負(fù)的場(chǎng)數(shù)也一定是相等的,這兩個(gè)隱含的條件是問(wèn)題解決的關(guān)鍵所在。解：因?yàn)?，是進(jìn)行的單循環(huán)比賽，所以，x1+y1=9，同理，x2+y2=9，……x10+y10=9，所以，x1+x2+……+x10=y1+y2+……+y10，所以，(x1+x2+……+x10)-(y1+y2+……+y10)=0，所以，(x1+x2+……+x10)-(y1+y2+……+y10)=(x12-y12)+(x22-y22)+……+(x102-y102)=(x1+y1)(x1-y1)+(x2+y2)(x2-y2)+……+(x10+y10)(x10-y10)=9(x1-y1)+9(x2-y2)+……+9(x10-y10)=9【(x1+x2+……+x10)-(y1+y2+……+y10)】=0所以，x1+x2+……+x10=y1+y2+……+y10利用完全平方公式進(jìn)行分解因式應(yīng)用完全平方，把多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式的方法，就叫做完全平方公式法。公式表述為：a2+2ab+b2=(a+b)2。a2-2ab+b2=(a-b)2。1、直接應(yīng)用（1）分解因式：x2+4x+4=

。分析：關(guān)鍵是把數(shù)字4寫(xiě)成2，這樣，左邊就變形為x2+2×x×2+22，這樣，就和公式一致了。解：x2+4x+4=x2+2×x×2+22=(x+2)2。（2）下列式子中是完全平方式的是（）A.a2+ab+b2B.a2+2a+2C.a2+2b+b2D.a2+2a+1分析：完全平方公式的條件特點(diǎn)是：a.多項(xiàng)式中有三項(xiàng)，且多項(xiàng)式的整體符合是:“+，+”或者“-，+”；b.必須有平方冪底數(shù)的交叉項(xiàng)的積的2倍。根據(jù)上面的兩個(gè)特點(diǎn)，去分析，只有D是符合要求的。解：選D。2、提后用公式分解因式ax3y+axy3-2ax2y2=

。(2008年聊城市)分析：在提后用公式時(shí)，要遵循四字要領(lǐng)：提、調(diào)、變、套。具體表述為;提：提各項(xiàng)的公因式，要提徹底。調(diào)：調(diào)整各項(xiàng)的順序，使之與公式的順序相同。變：變化常數(shù)項(xiàng)，變化系數(shù)，變化指數(shù)，使之與公式形式一致。套：根據(jù)題目的特點(diǎn)，套用不同公式，寫(xiě)出最后的答案。在具體的解題過(guò)程中，同學(xué)們要仔細(xì)體會(huì)口訣的指導(dǎo)作用。解：ax3y+axy3-2ax2y2=axy(x2+y2-2xy).….….提：提公因式；=axy(x2-2xy+y2)….…調(diào)：調(diào)整各項(xiàng)的順序；=axy(x-y)2….…..套；點(diǎn)評(píng)：四字口訣，在解題時(shí)，不一定都要同時(shí)用到。3、變化指數(shù)后用公式分解因式：a4-8a2b2+16b4分析：由a4=(a2)2；b4=(b2)2把原多項(xiàng)式變形成符合公式的形式。解：a4-8a2b2+16b4=(a2)2-8a2b2+(4)2(b2)2=(a2)2-8a2b2+(4b2)2=(a2-4b2)2。4、換元用分解因式：(a+b)2-6(a+b)+9分析：平方冪的底數(shù)是一個(gè)多項(xiàng)式，為了方便，我們不妨采用換元的思想，把多項(xiàng)式底數(shù)轉(zhuǎn)化成同學(xué)們熟悉的單項(xiàng)式底數(shù)。解：設(shè)x=a+b，所以，原多項(xiàng)式變形為：x2-6x+9，所以，x2-6x+9=x2-6x+32=(x-3)2，所以，(a+b)2-6(a+b)+9=(a+b-3)2。5、綜合用若a、b、c是三角形的三條邊長(zhǎng)，則代數(shù)式，a2-2ab-c2+b2的值：。A、大于零B、小于零C、等于零D、與零的大小無(wú)關(guān)分析：由a2-2ab-c2+b2=