新高考版2024年高考數(shù)學(xué)必刷壓軸題專題02函數(shù)概念與基本初等函數(shù)選填壓軸題教師版

專題02函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（選填壓軸題）一、函數(shù)及其表示1．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】D由，得，所以，所以．故選：D.2．（2024·北京師大附中高一期末）已知函數(shù)，，其中，若，，使得成立，則（

）A． B． C． D．【答案】B∵，，∴，又，∴，∴由得，，設(shè)，，則，，，∴的值域是值域的子集．∵，時(shí)，，明顯，（否則0屬于的值域，但）．∴，∴

(*)．由上探討知同號(hào)，時(shí)，(*)式可化為，∴，，當(dāng)時(shí)，(*)式可化為，∴，無解．綜上：．故選：B．3．（2024·河南南陽·高一期末）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____．【答案】的定義域?yàn)榧吹亩x域?yàn)楣蚀鸢笧椋?．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是_______．【答案】令，則，在上單調(diào)遞增，，，，的定義域?yàn)?故答案為：.5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，則的定義域?yàn)開______.【答案】由得，故且，,或解得：.故答案為：6．（2024·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一開學(xué)考試）函數(shù)的值域?yàn)開_____．【答案】由己知得，，，構(gòu)造函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，即可得因?yàn)?，所以，所以故答案為?．（2024·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開____.【答案】[，]∵﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≥0?1≤x≤3.令x﹣2=cosθ

且θ∈[0，π]∴=，表示兩點(diǎn)（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率，，故點(diǎn)在單位圓的上半部分.如圖，斜率最小為，斜率最大值為直線與半圓相切時(shí)的斜率，，化簡(jiǎn)得，由，解得，故切線的斜率為.所以斜率的取值范圍，也即函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：8．（2024·上?！つM預(yù)料）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是________.【答案】因函數(shù)的值域是，從而得函數(shù)值域?yàn)椋瘮?shù)變?yōu)?，，由?duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上遞減，在上遞增，時(shí)，，而時(shí)，，時(shí)，，即，所以原函數(shù)值域是.故答案為：9．（2024·全國(guó)·高一）函數(shù)的值域是________________．【答案】．，且，，，，，故函數(shù)的值域是．故答案為：10．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在閉區(qū)間上的值域?yàn)?，則的最大值為________.【答案】3畫出函數(shù)的圖像可知,要使其在閉區(qū)間上的值域?yàn)?由于有且僅有,所以,而,所以有,或,又∵,的最大值為正值時(shí),,∴,所以,當(dāng)取最小值時(shí),,有最大值.又∵,∴的最大值為；故答案為：3.二、函數(shù)的基本性質(zhì)1．（2024·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D已知函數(shù),令,解得或,所以函數(shù)的定義域?yàn)?則其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又,所以函數(shù)為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,又及在時(shí)都是增函數(shù),所以在時(shí)也是增函數(shù),故解不等式,即,解得即或,綜上不等式成立的的取值范圍為.故選:2．（2024·江蘇·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)的定義域是，且滿意，，假如對(duì)于，都有，不等式的解集為

（

）A． B． C． D．【答案】D由于，令則，即，則，由于，則，即有，由于對(duì)于，都有，則在上遞減，不等式即為．則原不等式即為，即有，即有，即解集為．故選：D．3．（2024·吉林·梅河口市第五中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿意，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D∵函數(shù)，定義域?yàn)椋?，所以函?shù)關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故函數(shù)單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由可得，，解得，且.故選：D.4．（2024·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)，時(shí)，，，若對(duì)，，，，使得，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D解：對(duì)，，，，使得，，①當(dāng)，時(shí)，，，②當(dāng)，時(shí)，，，在，上單調(diào)遞增，（4），由①②得，又，在，上為增函數(shù)，，，，的取值范圍為，．故選：D．5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（），函數(shù)（）.若隨意的，存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D對(duì)隨意的，存在，使得，即在上的值域是在上的值域的子集，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，的值域?yàn)?，又在上單調(diào)遞減，的值域?yàn)椋?，，，方程無解當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋海?，解得?dāng)時(shí)，，明顯不滿意題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：D.6．（多選）（2024·湖北·沙市中學(xué)高一期末）定義在R上的函數(shù)滿意，且當(dāng)時(shí)，，，若任給，存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值可以為（

）A． B． C． D．【答案】ABD當(dāng)時(shí)，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的值域?yàn)?，在上的值域?yàn)?，所以在上的值域?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以在上的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，為增函數(shù)，在上的值域?yàn)?，所以，解得：；?dāng)時(shí)，為減函數(shù)，在上的值域?yàn)椋?，解得：；?dāng)時(shí)，為常數(shù)函數(shù)，值域?yàn)?，不符合題意；綜上：的取值范圍是.則ABD滿意題意.故選：ABD7．（2024·河北·高三階段練習(xí)）函數(shù)的最大值為2，且在上單調(diào)遞增，則a的范圍是______，的最小值為______.【答案】

2留意到是減函數(shù)，∴在上單調(diào)遞減，而的遞減區(qū)間是，∴，.∵的最大值為2，∴的最小值為，即，，令，，，∴在處取得最小值2.故答案為：，28．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)料）已知函數(shù)的定義域，對(duì)隨意的，，都有，若在上單調(diào)遞減，且對(duì)隨意的，恒成立，則的取值范圍是______．【答案】解法一：令，易知在上單調(diào)遞減，所以，所以．在中，令，得，令，得，令，，得，又的定義域，所以是偶函數(shù)．因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以由，得，得，解得或，故的取值范圍是．解法二：令，易知在上單調(diào)遞減，所以，所以．依據(jù)的定義域，對(duì)隨意的，，都有，且在上單調(diào)遞減，可設(shè)，則由，得，得，解得或，故答案為：．9．（2024·河北省唐縣第一中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為_________．【答案】記，因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，單調(diào)遞減，由得或，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故．故答案為：.10．（2024·山西呂梁·高一期末）已知函數(shù)在區(qū)間（-1，2）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意．當(dāng)時(shí)，由在區(qū)間上單調(diào)遞減，得，解得：．當(dāng)時(shí)，由在區(qū)間上單調(diào)遞減，得，解得：．綜上所述，的取值范圍是．11．（2024·安徽省舒城中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若對(duì)隨意的，總存在，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】因?yàn)椋院瘮?shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)隨意的，記.記.由題意知，當(dāng)時(shí)不成立，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，所以，記由題意知，所以，解得.當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，所以，記，由題意知，所以，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:12．（2024·上海·曹楊二中高一期末）已知常數(shù)，函數(shù)、的表達(dá)式分別為、．若對(duì)隨意，總存在，使得，則a的最大值為______．【答案】依題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，因?qū)﹄S意，總存在，使得，則存在，成立，則當(dāng)時(shí)，成立，而函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，在上的最大值只能在上取得而當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，由解得，于是得，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而，此時(shí)不存在使得成立，綜上得，即，所以a的最大值為.故答案為：13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若對(duì)隨意的正實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)，總存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】由題意得：在恒成立，設(shè)，令，因?yàn)樵诤愠闪?，所以在單調(diào)遞減，所以，（1）當(dāng)，；（2）當(dāng)，；（3）當(dāng)，；所以當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為.14．（2024·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知t為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的最大值為2，則_____________【答案】1明顯函數(shù)的最大值只能在或時(shí)取到，若在時(shí)取到，則，得或，時(shí)，；，時(shí)，（舍去）；若在時(shí)取到，則，得或，時(shí)，；，時(shí)，（舍去）所以15．（2024·重慶市萬州其次高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)（）假如對(duì)隨意，，則的取值范圍為_____________.【答案】∵函數(shù)(),∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，，∴函?shù)在上單調(diào)遞減，又對(duì)隨意，，不妨假設(shè)，則，所以等價(jià)于，即，令，則函數(shù)單調(diào)遞減，又+4＝，于是≤0在上恒成立，即，又，，∴，解得.所以的取值范圍為.故答案為：.16．（2024·浙江寧波·高一期末）已知，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)___________.【答案】當(dāng)，即時(shí)，，又，故，則恒成立，所以，解得；當(dāng)，即時(shí)，，故，即恒成立，∴，解得；綜上，實(shí)數(shù).故答案為：.17．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，a為常數(shù).若對(duì)于隨意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】[0，1]##對(duì)于隨意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，即，令，即只需在[0，2]上單調(diào)遞增即可，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象恒過；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；要使在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸，即；當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸，即；且,綜上故答案為：[0，1].18．（2024·上海·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)隨意的，都存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】，，即對(duì)隨意的，都存在，使恒成立，有，當(dāng)時(shí)，明顯不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立.綜上，.故答案為：19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，對(duì)于隨意的實(shí)數(shù)a，b，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________.【答案】因?yàn)榇嬖?，使得成立，所以，因?yàn)閷?duì)于隨意的實(shí)數(shù)a，b，,所以恒成立，設(shè)的最大值為（b），令，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，當(dāng)，即a>0時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，（b），當(dāng)時(shí)，（b），從而當(dāng)時(shí)，時(shí)（b）取最小值，（b），當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞減，，所以當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞減，，所以當(dāng)時(shí)，.當(dāng)a＜-8時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，（b），當(dāng)時(shí)，（b），從而當(dāng)a＜-8時(shí)，時(shí)（b）取最小值，（b）.綜合得.所以.故答案為：三、分段函數(shù)1．（2024·江蘇南京·三模）已知，若?x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．（－1，＋∞） B．C．（0，＋∞） D．【答案】B時(shí)，，符合題意；時(shí)，，即明顯在R上遞增，則對(duì)恒成立對(duì)恒成立則：；綜上，，故選：B．2．（2024·河南·二模（理））已知函數(shù)，若，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D作出函數(shù)的圖像如下圖：因?yàn)椋?，結(jié)合圖像，不妨設(shè)，設(shè)，則，且，即，，即，所以，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，所以，所以在單調(diào)遞增，，即的最大值為，所以的最大值為.故選：D.3．（2024·寧夏·銀川一中三模（文））已知的最小值為2，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)榈淖钚≈禐?，，所以須要當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在恒成立，所以在恒成立，即在恒成立，令，則，原式轉(zhuǎn)化為在恒成立，是二次函數(shù)，開口向下，對(duì)稱軸為直線，所以在上最大值為，所以，故選：D.4．（2024·北京豐臺(tái)·一模）已知函數(shù)無最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D對(duì)于函數(shù)，可得，由，得或，由，得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在時(shí)有極大值2，在時(shí)有微小值，作出函數(shù)與直線的圖象，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有最小值.故選：D.5．（2024·四川攀枝花·二模（文））已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D當(dāng)時(shí)，由恒成立，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則恒成立，（2）當(dāng)時(shí)，，所以綜上可知，當(dāng)時(shí)，在上恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單增，又，所以；綜上可知，的取值范圍是，故選：D6．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則當(dāng)時(shí)，函數(shù)有______個(gè)零點(diǎn)；記函數(shù)的最大值為，則的值域?yàn)開_____.【答案】

1

當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，無解，所以時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；由題意得函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值4，由函數(shù)圖象知函數(shù)的最大值，所以的值域是.7．（2024·北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，給出下列命題：（1）無論取何值，恒有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）存在實(shí)數(shù)，使得的值域是；（3）存在實(shí)數(shù)使得的圖像上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有兩對(duì)；（4）當(dāng)時(shí)，若的圖象與直線有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.其中，全部正確命題的序號(hào)是___________.【答案】（3）（4）（1）明顯則,若恒有兩個(gè)零點(diǎn)，則有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)，不符合題意，∴（1）不成立；（2）明顯，若的值域是，則的值域包含，則,但時(shí)，的對(duì)稱軸，即在內(nèi)遞增，，∴（2）不成立；（3）的圖像上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)有兩對(duì)，則可得：有兩解，當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸，開口向下，與有兩個(gè)交點(diǎn)，∴（3）成立；（4）如圖，直線過定點(diǎn),數(shù)學(xué)結(jié)合可知：,又∵,則,綜上所訴：，∴（4）成立．故答案為：（3）（4）．8．（2024·貴州·遵義市南白中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程（）恰好有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_______.【答案】解：令，則方程轉(zhuǎn)化為，畫出的圖象，如圖可知可能有個(gè)不同解，二次函數(shù)可能有個(gè)不同解，因?yàn)榍『糜?個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，因?yàn)?，解得，，解得，所以，，每個(gè)方程有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，所以由，可得，即，解得；由，可得，即，解得；由，可得，即，而在上恒成立，綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為.故答案為：.9．（2024·河南·鶴壁中學(xué)模擬預(yù)料（文））已知，若存在，使得，則的取值范圍為___________.【答案】①當(dāng)時(shí)，則，，又由，得，所以，則；②當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以不存在，使得；③?dāng)時(shí)，則，，又由，得，則，，令，則在上單調(diào)遞增，所以，則；綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.四、函數(shù)的圖象1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D化簡(jiǎn)原函數(shù)則函數(shù)為奇函數(shù)，解除選項(xiàng)A，當(dāng)，解除選項(xiàng)B，當(dāng)選項(xiàng)C錯(cuò)誤.故選：D.2．（2024·浙江省三門中學(xué)高三期中）已知函數(shù)的圖像如圖，則該函數(shù)的解析式可能是（

）A． B． C． D．【答案】A解：由圖象得：當(dāng)，當(dāng)，圖象有兩個(gè)零點(diǎn)，對(duì)于A：，滿意圖象要求，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)，當(dāng)，故B不正確；對(duì)于C：當(dāng)，不合題意，故C不正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，不滿意題意，故D不正確，故選：A.3．（2024·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期中）已知函數(shù)，則其圖像可能是（

）A． B． C． D．【答案】A的定義域?yàn)?所以為奇函數(shù)，則解除若,且，則若,且，則，，，.故選：A4．（多選）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】ABD當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，在上，在上遞增，在上遞減，A可能；當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)，在上且遞增，在上且遞增，B可能；當(dāng)時(shí)，且定義域?yàn)?，此時(shí)為偶函數(shù)，若時(shí)，在上(留意)，在上，則C不行能；若時(shí)，在上，在上，則D可能；故選：ABD5．（多選）（2024·福建·莆田二中高三開學(xué)考試）函數(shù)的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】AC因?yàn)闉槎x域上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以D不行能.由于為定義域上的偶函數(shù)，只需考慮的狀況即可.①當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以A可能；②當(dāng)時(shí)，，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以C可能；③當(dāng)時(shí)，，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減，所以B不行能；故選:AC.6．（多選）（2024·河北省唐縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】ABC若a＝0，則f(x)＝，圖像為C；若a＞0，則f(x)定義域?yàn)閧x|x≠±}，f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，f(x)為奇函數(shù)，x∈(－∞，－)時(shí)，f(x)＜0，x∈(－，0)時(shí)，f(x)＞0，x∈(0，)，f(x)＜0，x∈(，＋∞)時(shí)，f(x)＞0，又x≠0時(shí)，f(x)＝，函數(shù)y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)均單調(diào)遞增，∴f(x)在(－∞，－)，(－，0)，(0，)，(，＋∞)均單調(diào)遞減，綜上f(x)圖像如A選項(xiàng)所示；若a＜0，則f(x)定義域?yàn)镽，f(x)為奇函數(shù)，f(0)＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＜0，當(dāng)x≠0時(shí)，f(x)＝，函數(shù)y＝x＋時(shí)雙勾函數(shù)，x∈時(shí)，y均單調(diào)遞減，x∈時(shí)，y均單調(diào)遞增，∴f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，結(jié)合以上性質(zhì)，可知B圖像符合.故選：ABC.五、二次函數(shù)1．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模（理））已知二次函數(shù)（其中）存在零點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)和．記M為三個(gè)數(shù)，，的最大值，則M的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A二次函數(shù)（其中）經(jīng)過點(diǎn)和，兩式相減得：，，又存在零點(diǎn)有解，又，有解，解得：或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選：A.2．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)表示函數(shù)在閉區(qū)間I上的最大值．若正實(shí)數(shù)a滿意，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A函數(shù)的圖像如下：的對(duì)稱軸為x=2，，；分類探討如下：①當(dāng)時(shí)，，依題意，，而函數(shù)在時(shí)是增函數(shù)，，，故不行能；②當(dāng)時(shí)，，依題意，，即，令，解得：，，，，如圖；則有：并且，解得：；或者并且，無解；故選：A.3．（2024·安徽·界首中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，且在上的最大值為，若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B數(shù)在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，不合題意，則，要使函數(shù)在上的最大值為．假如，即，則，解得，不合題意；若，即，則解得即，則．如圖所示，若有4個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)與有4個(gè)交點(diǎn)，只有函數(shù)的圖象開口向上，即．當(dāng)與）有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，方程有一個(gè)根，得，此時(shí)函數(shù)有二個(gè)不同的零點(diǎn)，要使函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，則拋物線的圖象開口要比的圖象開口大，可得，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故選：B4．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，a為常數(shù).若對(duì)于隨意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】[0，1]##對(duì)于隨意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，即，令，即只需在[0，2]上單調(diào)遞增即可，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象恒過；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；要使在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸，即；當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸，即；且,綜上故答案為：[0，1].5．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）對(duì)于函數(shù)，若存在，使，則稱是函數(shù)與圖象的一對(duì)“雷點(diǎn)”．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有，且當(dāng)時(shí)，．若函數(shù)與的圖象恰好存在一對(duì)“雷點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________________．【答案】與的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以題目等價(jià)于函數(shù)在上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)．利用的奇偶性與周期性，可得，在同一坐標(biāo)系中作出的圖象．的圖象為進(jìn)行上下平移，如圖，由圖知，過點(diǎn)(1,1)時(shí)，；與只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，方程有一個(gè)解，此時(shí)解得;過點(diǎn)(1,0)時(shí)，；過點(diǎn)(0,0)時(shí)，.結(jié)合圖象得，當(dāng)與的圖像恰好存在一對(duì)“雷點(diǎn)”時(shí)，a的取值范圍為得.故答案為：.6．（2024·江西·貴溪市試驗(yàn)中學(xué)高二期末）函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以的解為R，即函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與x軸沒有交點(diǎn)，故成立；（2）當(dāng)時(shí)，要使函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則，解得.綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：7．（2024·湖北·一模）若函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)隨意的，當(dāng)時(shí)，都有，則稱函數(shù)f（x）是關(guān)于D關(guān)聯(lián)的.已知函數(shù)是關(guān)于{4}關(guān)聯(lián)的，且當(dāng)時(shí)，.則：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)開__________；②不等式的解集為___________.【答案】

依題意已知函數(shù)是關(guān)于{4}關(guān)聯(lián)，即對(duì)隨意的，當(dāng)時(shí)，都有，即對(duì)隨意的，當(dāng)時(shí)，都有，即對(duì)隨意，都有.當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?①得結(jié)論.當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，.由上述分析可知，滿意的的取值范圍需滿意，或，當(dāng)時(shí)，，，，解得.當(dāng)時(shí)，，，解得.所以不等式的解集為.②得結(jié)論.故答案為：；六、指對(duì)冪函數(shù)1．（2024·山西·太原五中高三階段練習(xí)（理））正實(shí)數(shù)滿意，則實(shí)數(shù)之間的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A，即，即，與的圖象在只有一個(gè)交點(diǎn)，則在只有一個(gè)根，令，，，，則；，即，即，由與的圖象在只有一個(gè)交點(diǎn)，則在只有一個(gè)根，令，，，，故；，即，即，由與的圖象在只有一個(gè)交點(diǎn)，則在只有一個(gè)根，令，，，，則；故選：A.2．（2024·山東·模擬預(yù)料）若，則（

）A． B． C． D．【答案】B由題設(shè)：且，所以，由于，所以題中四個(gè)選項(xiàng)都除以b，得四個(gè)選項(xiàng)化為A.

B.

C.

D.故從入手：當(dāng)時(shí)，，所以，則，所以，與沖突；所以選項(xiàng)A?D錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，則，明顯與沖突；所以時(shí)，，所以，即，故選項(xiàng)B符合要求；此時(shí)令，則選項(xiàng)C錯(cuò)誤.故選：B.3．（2024·廣東·模擬預(yù)料）已知，且，則之間的大小關(guān)系是__________.（用“”連接）【答案】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，所以函數(shù)在上遞增，則，因?yàn)?，所以，，所以，所以，?故答案為：.4．（2024·上海·華東師范高校附屬東昌中學(xué)高三階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式對(duì)隨意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】關(guān)于的不等式對(duì)隨意的恒成立，則對(duì)隨意的恒成立，即對(duì)隨意的恒成立，令，，由于是遞減函數(shù)，遞減，故，是遞減函數(shù)，故，故，故答案為：5．（2024·云南·曲靖一中高二期中）函數(shù)，，對(duì)，都成立，則的取值范圍（用區(qū)間表示）是_______【答案】二次函數(shù)在區(qū)間上遞增，反比例函數(shù)在上增函數(shù)，指數(shù)函數(shù)在上遞增，綜上函數(shù)在上遞增，又原問題等價(jià)于：，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，所以，故，所以．所以，的取值范圍是．故答案為：6．（2024·江西宜春·模擬預(yù)料（文））若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】因?yàn)?，不等式恒成立，所以?duì)恒成立.記，，只需.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.故答案為：7．（2024·天津·二模）已知，則的最小值為__________.【答案】解：因?yàn)?，所以，所以，故，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.8．（2024·陜西·榆林市第十中學(xué)高二期中（文））要使函數(shù)在時(shí)恒大于0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)恒大于0，所以在時(shí)恒成立.令，則.因?yàn)?，所?令.因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，所以，即因?yàn)楹愠闪?所以.故答案為：七、函數(shù)與方程1．（2024·天津·南開中學(xué)模擬預(yù)料）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】A，令，則，作出h(x)的圖象：如圖y=h(x)與y=a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，故選：A．2．（2024·安徽·蚌埠二中模擬預(yù)料（理））已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A設(shè)函數(shù)，易知在上遞增，，，即，由零點(diǎn)存在定理可知．；設(shè)函數(shù)，易知在上遞增，，，即，由零點(diǎn)存在定理可知，；設(shè)函數(shù)，易知在上遞減，，，因?yàn)?，由函?shù)單調(diào)性可知，，即.故選:A．3．（2024·甘肅·臨澤縣第一中學(xué)高二期中（文））若函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)即方程在區(qū)間上有2個(gè)實(shí)數(shù)根設(shè)，則為偶函數(shù).且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且所以在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，又時(shí)，；時(shí)，，則的大致圖像如圖.所以方程在區(qū)間上有2個(gè)實(shí)數(shù)根滿意則，設(shè)，則在上恒成立所以故選：A4．（2024·山西·太原五中高三階段練習(xí)（理））正實(shí)數(shù)滿意，則實(shí)數(shù)之間的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A，即，即，與的圖象在只有一個(gè)交點(diǎn)，則在只有一個(gè)根，令，，，，則；，即，即，由與的圖象在只有一個(gè)交點(diǎn)，則在只有一個(gè)根，令，，，，故；，即，即，由與的圖象在只有一個(gè)交點(diǎn)，則在只有一個(gè)根，令，，，，則；故選：A.5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)料）已知函數(shù)，實(shí)數(shù)，是函數(shù)的零點(diǎn)，若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D由題意，作出直線和函數(shù)的大致圖象如圖所示，易得，且，（易錯(cuò)：留意，的范圍不是）由，即，得，則，所以，令，則，，所以.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減函數(shù)，所以.即.故選：D6．（2024·浙江·效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)料）已知函數(shù)，對(duì)隨意的實(shí)數(shù)a，b，c，關(guān)于x的方程的解集不行能是（

）A． B． C． D．【答案】D令，則方程化為，設(shè)它有解為，則求方程化為求方程及.依據(jù)基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，關(guān)于對(duì)稱，所以，若方程及有解，則解，或有成對(duì)的解且兩解關(guān)于對(duì)稱，所以D選項(xiàng)不符合條件.故選：D7．（2024·陜西·模擬預(yù)料（理））已知是方程的根，是方程的根，則的值為（

）A．2 B．3 C．6 D．10【答案】A方程可變形為方程，方程可變形為方程，是方程的根，是方程的根，是函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，是函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)等于函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)縱坐標(biāo),即在數(shù)圖象上，又圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之積為2，，故選：．8．（2024·福建南平·三模）已知函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)___________.【答案】由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等.要使函數(shù)有零點(diǎn)，則且，化簡(jiǎn)得，解得.故答案為：.9．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模（文））若，，，則x、y、z由小到大的依次是___________.【答案】依題意，，，，，因此，成立的x值是函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，成立的y值是函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，成立的z值是函數(shù)與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)，的圖象，如圖，視察圖象得：，即，所以x、y、z由小到大的依次是.故答案為：八、新定義題1．（2024·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如：．已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A．{0，} B．{，1} C．{0，1} D．{，0，1}【答案】D①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），故③當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），故故函數(shù)的值域?yàn)閇，1]，故函數(shù)的值域?yàn)閧，0，1}，故選：D．2．（2024·廣東·華南師大附中高一期中）高斯是德國(guó)聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B因?yàn)?，，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，，所以，因?yàn)?，所以；故選：B3．（2024·上海民辦南模中學(xué)高三階段練習(xí)）德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其名命名狄利克雷函數(shù)的解析式為，關(guān)于狄利克雷函數(shù)，下列說法不正確的是（

）．A．對(duì)隨意，B．函數(shù)是偶函數(shù)C．隨意一個(gè)非零實(shí)數(shù)T都是的周期D．存在三個(gè)點(diǎn)、、，使得為正三角形【答案】C隨意，或，故，故A正確.隨意，因此同為有理數(shù)或同為無理數(shù)，故，即是偶函數(shù)，故B正確.取，則，故，故不是周期函數(shù)，故C錯(cuò)誤.取，則，則，故，故為正三角形，故D正確.故選：C.4．（2024·新疆·一模（理））德國(guó)聞名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一．以其命名的函數(shù)，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．的定義域?yàn)锽．的值域?yàn)镃．，D．隨意一個(gè)非零有理數(shù)T，對(duì)隨意恒成立【答案】D解：因?yàn)?，所以函?shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，故A、B錯(cuò)誤；因?yàn)榛蚯遗c均為有理數(shù)，所以或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于隨意一個(gè)非零有理數(shù)，若為有理數(shù)，則也為有理數(shù)，則；若為無理數(shù)，則也為無理數(shù)，則；綜上可得隨意一個(gè)非零有理數(shù)，對(duì)隨意恒成立，即D正確；故選：D5．（2024·河南·鶴壁中學(xué)模擬預(yù)料（文））黎曼函數(shù)是一個(gè)特別的函數(shù)，由德國(guó)數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼發(fā)覺并提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．黎曼函數(shù)定義在上，其解析式為：．若函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，且對(duì)隨意x都有，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】D由題意得，所以，即函數(shù)的周期，由于,故，所以，，故，故選：D6．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)料（文））納皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家，其主要成果有球面三角中納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻(xiàn)是對(duì)數(shù)的獨(dú)創(chuàng)，著有《奇異的對(duì)數(shù)定律說明書》，并且獨(dú)創(chuàng)了對(duì)數(shù)尺，可以利用對(duì)數(shù)尺查詢出隨意一對(duì)數(shù)值．現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，假如物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式得出，如溫度為90℃的物體，放在空氣中冷卻約5分鐘后，物體的溫度是30℃，若依據(jù)對(duì)數(shù)尺可以查詢出，則空氣溫度約是（

）A．5℃ B．10℃ C．15℃ D．20℃【答案】B解：由題意可知，整理得，，所以，，解得．空氣溫度是．故選：B．7．（2024·安徽·淮南其次中學(xué)高二階段練習(xí)）納皮爾在他的《奇異的對(duì)數(shù)表》一書中說過：沒有什么比大數(shù)的運(yùn)算更讓數(shù)學(xué)工作者頭痛，更阻礙了天文學(xué)的發(fā)展.許凱和斯蒂菲爾這兩個(gè)數(shù)學(xué)家都想到了構(gòu)造了如下一個(gè)雙數(shù)列模型的方法處理大數(shù)運(yùn)算.012345678910124816326412825651210241112…19202122232425…20484096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…如，我們發(fā)覺512是9個(gè)2相乘，1024是10個(gè)2相乘.這兩者的積，其實(shí)就是2的個(gè)數(shù)做一個(gè)加法.所以只須要計(jì)算.那么接下來找到19對(duì)應(yīng)的數(shù)524288，這就是結(jié)果了.若，則落在區(qū)間（

）A． B． C． D．【答案】B，設(shè)，，由表格得知：，，，，所以，，所以，，則故選：B8．（2024·內(nèi)蒙古·赤峰紅旗中學(xué)松山分校高一期末（文））納皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家，其主要成果有球面三角中納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻(xiàn)是對(duì)數(shù)的獨(dú)創(chuàng)，著有《奇異的對(duì)數(shù)定律說明書》，并且獨(dú)創(chuàng)了對(duì)數(shù)尺，可以利用對(duì)數(shù)尺查詢出隨意一對(duì)數(shù)值.現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，假如物體原來的溫度是（℃），空氣的溫度是（℃），經(jīng)過t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式得出，如溫度為90℃的物體，放在空氣中冷卻2.5236分鐘后，物體的溫度是50℃，若依據(jù)對(duì)數(shù)尺可以查詢出，則空氣溫度是（）A．5℃ B．10℃ C．15℃ D．20℃【答案】B：依題意，即，又，所以，即，解得；故選：B9．（2024·山西·朔州市平魯區(qū)李林中學(xué)高一階段練習(xí)）16、17世紀(jì)，隨著社會(huì)各領(lǐng)域的科學(xué)學(xué)問快速發(fā)展，浩大的數(shù)學(xué)計(jì)算需求對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算提出了更高要求，改進(jìn)計(jì)算方法，提高計(jì)算速度和精確度成了當(dāng)務(wù)之急．蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾獨(dú)創(chuàng)了對(duì)數(shù)，是簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算的有效工具，恩格斯曾把納皮爾的對(duì)數(shù)稱為十七世紀(jì)的三大數(shù)學(xué)獨(dú)創(chuàng)之一．已知，，設(shè)，則所在的區(qū)間為（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（

）A． B． C． D．【答案】A，所以．故選：A.10．（2024·新疆石河子一中高三階段練習(xí)（理））16、17世紀(jì)之交，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾獨(dú)創(chuàng)了對(duì)數(shù)，在此基礎(chǔ)上，布里格斯制作了第一個(gè)常用對(duì)數(shù)表，在科學(xué)技術(shù)中，還常運(yùn)用以無理數(shù)e為底數(shù)的自然對(duì)數(shù)，其中稱之為“歐拉數(shù)”，也稱之為“納皮爾數(shù)”對(duì)數(shù)是簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算的有效工具，依據(jù)下表數(shù)據(jù)，的計(jì)算結(jié)果約為（

）x1.31023.1903.7974.71557.3970.27000.69311.16001.33421.5501.60942.001A．3.797 B．4.715 C．5 D．7.397【答案】A，∴依據(jù)表格對(duì)應(yīng)關(guān)系知：結(jié)果約為3.797．故選：A.11．（2024·福建泉州·模擬預(yù)料）1883年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托提出了三分康托集，亦稱康托爾集.下圖是其構(gòu)造過程的圖示，其具體構(gòu)造過程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間平均分成一段，去掉中間的一段，剩下兩個(gè)閉區(qū)間和；其次步，將剩下的兩個(gè)閉區(qū)間分別平均分為二段，各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：，，，；如此不斷的構(gòu)造下去，最終剩下的各個(gè)區(qū)間段就構(gòu)成了二分康托集.若閱歷步構(gòu)造后，不屬于剩下的閉區(qū)間，則的最小值是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A解：第一次操作剩下：；其次次操作剩下：；第三次操作剩下：；……；視察剩余區(qū)間的最終一個(gè)區(qū)間可以寫為：即，要使不屬于剩下的閉區(qū)間，則只需解得：，又因?yàn)椋缘淖钚≈凳?.12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）廣為人知的太極圖，其形態(tài)如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習(xí)稱為“陰陽魚太極圖”如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”整個(gè)圖形是一個(gè)圓形區(qū)域．其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓．已知符號(hào)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，下列不等式能表示圖中陰影部分的是（

）A． B．C． D．【答案】C對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓內(nèi)部及邊界，明顯不滿意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓外部及邊界，滿意；當(dāng)時(shí)，，即表示圓的內(nèi)部及邊界，滿意，故C正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓內(nèi)部及邊界，明顯不滿意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即表示圓外部及邊界，明顯不滿意，故D錯(cuò)誤.故選：C13．（多選）（2024·安徽·高一期中）高斯是德國(guó)聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，也被稱為“高斯函數(shù)”，例如：，設(shè)函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)敘述正確的是（

）A．為奇函數(shù) B． C．在上單調(diào)遞增 D．有最大值無最小值【答案】BC由題意：，所以所以的圖象如下圖，由圖象分析：，所以A不正確；，所以B正確；在上單調(diào)遞增，所以C正確；有最小值無最大值，所以D不正確.故選：BC.14．（多選）（2024·貴州貴陽·高一期末）歷史上第一個(gè)給出函數(shù)一般定義的是19世紀(jì)數(shù)學(xué)家秋利克需（Dirichlet），他是最早提倡嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家之一，狄利克雷在1829年給出了聞名的狄利克雷函數(shù)：（Q是有理數(shù)集），狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)表示數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)的理解發(fā)生了深刻的變更，從探討“算”轉(zhuǎn)變到了探討“概念?性質(zhì)?結(jié)構(gòu)”.一般地，廣文的秋利克雷函數(shù)可以定義為：（其中，且）.以下對(duì)說法正確的有（

）A．的定義域?yàn)镽 B．是非奇非偶函數(shù)C．在實(shí)數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調(diào)性 D．隨意非零有理數(shù)均是的周期【答案】ACDA：由，所以有理數(shù)無理數(shù)=實(shí)數(shù)，故A正確；B：當(dāng)時(shí)，，有，所以，當(dāng)時(shí)，，有，所以，所以為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，所以的值域?yàn)?，所以在?shí)數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調(diào)性，故C正確；D：設(shè)T為非零有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以隨意的非零有理數(shù)均是的周期，故D正確.故選：ACD15．（多選）（2024·吉林·農(nóng)安縣老師進(jìn)修學(xué)校高一期末）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)特別重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可以應(yīng)用到有限維空間并構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾（L.E.J.Brouwer），簡(jiǎn)潔地講就是對(duì)于滿意確定條件的連續(xù)函數(shù)，假如存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，下列為“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD依據(jù)定義可知：若有不動(dòng)點(diǎn)，則有解.A．令，所以，所以，故是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；B．令，所以或，所以是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；C．當(dāng)時(shí)，令，所以或，所以是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；D．令，所以，所以是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).故選：ABCD.16．（多選）（2024·吉林油田高級(jí)中學(xué)高一期中）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)特別重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾（L.E.J.Brouwer），簡(jiǎn)潔的講就是對(duì)于滿意確定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】BD依據(jù)定義可知：若為不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)，則有解．A．令，得，此時(shí)無解，故不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；B．令，所以或，所以是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；C．當(dāng)時(shí)，，無解；當(dāng)時(shí)，，無解，所以不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；D．令，不難看出是該方程的根，所以是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)．故選：BD．17．（多選）（2024·山東·廣饒一中高一開學(xué)考試）中國(guó)傳統(tǒng)文化中許多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”，如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖呈現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美，定義：圓O的圓心在原點(diǎn)，若函數(shù)的圖像將圓O的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩部分，則這個(gè)函數(shù)稱為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，則（

）A．對(duì)于圓O，其“太極函數(shù)”有1個(gè)B．函數(shù)是圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”C．函數(shù)不是圓O的“太極函數(shù)”D．函數(shù)是圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”【答案】BD解：對(duì)于A選項(xiàng)，圓O，其“太極函數(shù)”不止1個(gè)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故為奇函數(shù)，故依據(jù)對(duì)稱性可知函數(shù)為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)?，，也是奇函?shù)，故為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)椋?，故為奇函?shù)，故函數(shù)是圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，故正確.故選：BD18．（2024·山東·德州市教化科學(xué)探討院二模）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，聞名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段：操作過程不斷地進(jìn)行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次從左到右第三個(gè)區(qū)間為___________，若使前n次操作去掉的全部區(qū)間長(zhǎng)度之和不小于，則須要操作的次數(shù)n的最小值為____________．(，)【答案】

；

.第一次操作去掉了區(qū)間長(zhǎng)度的，剩下的區(qū)間：，其次次去掉個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，即長(zhǎng)度和為，剩下的區(qū)間：，，，第三次去掉個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，即長(zhǎng)度和為，剩下的區(qū)間：，，，，.以此類推，第次將去掉個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，即長(zhǎng)度和為，則的前項(xiàng)和可表示為由題意知，，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，即，解得：故答案為：；.19．（2024·江蘇常州·高一期末）德國(guó)數(shù)學(xué)家康托（Cantor）創(chuàng)立的集合論奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．聞名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其構(gòu)造的操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第次操作；以此類推，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段．操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，剩下的元素構(gòu)成的集合為“康托三分集”．定義區(qū)間長(zhǎng)度為，則構(gòu)造“康托三分集”的第次操作去掉的各區(qū)間的長(zhǎng)度之和為______，若第次操作去掉的各區(qū)間的長(zhǎng)度之和小于，則的最小值為______．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】

第1次操作，去掉1個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，第2次操作，去掉2個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，第3次操作，去掉個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，第次操作，去掉個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間，第次操作去掉的各區(qū)間的長(zhǎng)度之和為；，，故答案為：；20．（2024·浙江·樂清市知臨中學(xué)高二期中）黎曼函數(shù)（Riemannfunction）是一個(gè)特別函數(shù)，由德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)覺并提出，黎曼函數(shù)定義在上，其定義為，則________．【