湖南省岳陽市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題【含答案】

岳陽市2024年高二教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19道題，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、考號和姓名填寫在答題卡指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)的標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號3.非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，只交答題卡.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，，則集合的子集個數(shù)為（

）A．2 B．4 C．8 D．162．設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則（

）A． B． C． D．3．已知平面向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．已知，均為銳角，，，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知橢圓的左右焦點分別為，，為橢圓上一點，且直線的一個方向向量為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6．將甲、乙等6人安排到三個景點做環(huán)保宣傳工作，每個景點安排2人，其中甲、乙不能安排去同一個景點，不同的安排方法數(shù)有（

）A．84 B．90 C．72 D．787．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，若函數(shù)有8個零點，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．根據(jù)國家統(tǒng)計局統(tǒng)計，我國2018-2023年的出生人口數(shù)（單位：萬人）分別為：1523，1465，1202，1062，956，902，將年份減去2017記為x，出生人口數(shù)記為y，得到以下數(shù)據(jù)：x123456y（單位：萬人）1523146512021062956902已知，由最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，則（

）A．B．這6年出生人口數(shù)的下四分位數(shù)為1465C．樣本相關(guān)系數(shù)D．樣本點的殘差為5510．已知菱形的邊長為2，，E，F(xiàn)，G分別為AD、AB、BC的中點，將沿著對角線AC折起至，連結(jié)，得到三棱錐.設(shè)二面角的大小為，則下列說法正確的是（

）A．B．當平面截三棱錐的截面為正方形時，C．三棱錐的體積最大值為1D．當時，三棱錐的外接球的半徑為11．已知函數(shù)，對任意的實數(shù)x，y都有成立，，，則（

）A．為偶函數(shù) B．C． D．4為的一個周期三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)為.13．在中，內(nèi)角的對邊分別為，若且，則面積的最大值為.14．拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于A、B兩點，拋物線在A、B處的切線交于點，則的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．如圖，在圓錐中，為圓的直徑，為圓弧的兩個三等分點，為的中點，；(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.16．某企業(yè)使用新技術(shù)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，該產(chǎn)品在出廠前要經(jīng)歷生產(chǎn)和檢測兩道工序，生產(chǎn)工序的次品率為.檢測工序包括智能自動檢測和人工抽查檢測，智能自動檢測為合格品則進入流水線并由人工抽查檢測.(1)從經(jīng)過生產(chǎn)工序但未經(jīng)檢測工序的產(chǎn)品中隨機抽取件進行檢測，求這件產(chǎn)品中的次品數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若智能自動檢測的準確率為，求一件產(chǎn)品進入人工抽查檢測環(huán)節(jié)的概率.17．已知函數(shù)，其中.(1)若，求在處的切線方程；(2)當時，設(shè).求證：存在極小值點.18．定義：對于一個無窮數(shù)列，如果存在常數(shù)，對于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得對于任意大于的正整數(shù)，都有.則稱常數(shù)為數(shù)列的極限，記作.根據(jù)上述定義，完成以下問題：(1)若，，判斷數(shù)列和是否存在極限；如果存在，請寫出它的極限（不需要證明）；(2)已知數(shù)列的前項和為，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；①求數(shù)列的通項公式；②若.證明：19．已知平面內(nèi)兩個定點，，滿足直線與的斜率之積為的動點的軌跡為曲線，直線與曲線交于不同兩點；(1)求曲線的軌跡方程；(2)若直線和的斜率之積為，求證：直線過定點；(3)若直線與直線分別交于，求證：.1．C【分析】先求解出集合，然后求解出的子集個數(shù).【詳解】因為，所以，即，所以，所以的子集個數(shù)為8.故選：C.2．D【分析】根據(jù)條件得到，再利用等比數(shù)列的通項公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為，因為，，所以，得到，又，當時，，當時，，故選：D.3．A【分析】利用投影向量的定義求解即可.【詳解】向量，則向量在向量上的投影向量是.故選：A.4．B【分析】根據(jù)條件，利用平方關(guān)系得到，，構(gòu)角，利用余弦的和角公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，均為銳角，即，所以，，又，，所以，，所以，故選：B.5．A【分析】由可得是直角三角形，進而可得，再根據(jù)橢圓定義建立等式計算即可.【詳解】因為，所以，即是直角三角形，因為直線的一個方向向量為，所以，即，因為，所以，因為，所以.故選：A6．C【分析】先選出兩人分別與甲，乙組隊，再進行全排列，得到答案.【詳解】除甲和乙外，從剩余的4人中選兩人，分別與甲和乙組隊，有種情況，再將分好的3組和3個景點進行全排列，共有種情況，故不同的安排方法數(shù)有.故選：C7．B【分析】首先判斷與，與的大小，然后構(gòu)造函數(shù)，通過研究得出與的大小，選出答案.【詳解】設(shè)，則，當時，，即在上單調(diào)遞減，故，故，所以，所以，即；因為，所以，即；構(gòu)造函數(shù)，，當時，，單調(diào)遞增，所以，即.故選：B.8．D【分析】令，得到或，當，，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到的單調(diào)區(qū)間，數(shù)形結(jié)合，得到當時，有四個根，從而有當，有四個零點，由和，直接求出零點，即可求出結(jié)果.【詳解】令，得到，解得或，又時，，，由得到，由，得到，即當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，，時，，其圖象如圖，所以，當時，或均有2個根，有四個根，即時，有四個零點，又函數(shù)有8個零點，所以，當，有四個零點，由，得到或，即或，由，得到或，即或，又，，所以從右向左的個零點為，，，，所以，得到，故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題是考查函數(shù)的零點個數(shù)問題，解答的關(guān)鍵是明確分段函數(shù)的性質(zhì)特點，結(jié)合分類討論、數(shù)形結(jié)合以及三角函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍.9．AC【分析】對A，回歸直線過樣本中心點；對B，注意百分位數(shù)的計算方法；對C，相關(guān)系數(shù)與回歸直線的斜率正負相同；對D，殘差為觀測值減去預(yù)測值.【詳解】對A，，所以，A正確；對B，，所以下四分位數(shù)是把數(shù)據(jù)從小到大排列的第二個數(shù)956，B錯誤；對C，相關(guān)系數(shù)和的正負相同，C正確；對D，時，，對應(yīng)殘差為，D錯誤.故選：AC.10．ACD【分析】對A，利用線面垂直證線線垂直；對B，計算出的長度即可；對C，當為直角時體積最大；對D，先找到球心的位置，再進行計算.【詳解】對A，取AC中點H，則由，，所以AC⊥，，平面，，所以AC⊥面，又平面，所以AC⊥，A正確；對B，取的中點I，易知EFGI為平行四邊形(如下圖)，則截面為正方形時，EF=FG=1，由中位線，=2，又BH==，所以∠不可能為，B錯誤；對C，當面ABC時體積最大，最大為，C正確；對D，過和的外心作所在面的垂線，則交點O即為外心，又，所以，所以，D正確.故選：ACD.11．BCD【分析】對于前三個選項可以運用賦值法可解，對于D，先考慮周期性，再賦值即可解決.【詳解】對于A，令，代入計算得，，即2．則.令，代入計算得，，則，故為奇函數(shù)，故A錯誤；對于B，令，代入計算得，，即，則，故B正確；對于C，令為，令，則，變形即，故C正確；對于D，令為，，代入計算得，即，則.令為代入得到，則周期為4.由C得，，且，運用周期為4，則，則，故4為的一個周期，故D正確．綜上所得，正確答案為：BCD.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛；本題D選項的關(guān)鍵是首先計算得到周期為4，再轉(zhuǎn)化得.12．【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運算法則及共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以的共軛復(fù)數(shù)為，故答案為：.13．##【分析】根據(jù)正弦定理、內(nèi)角和定理、兩角和正弦公式、特殊角的三角函數(shù)化簡等式解出角，利用余弦定理、基本不等式和三角形面積公式解出最大值；【詳解】，所以，余弦定理可知，當時，等號成立即，則面積為則面積的最大值為.故答案為：.14．9【分析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，求出，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到在A、B處的切線方程，聯(lián)立后求出的坐標，從而得到，從而表達出，結(jié)合對勾函數(shù)單調(diào)性得到最值.【詳解】由題意得，當直線斜率為0時，不滿足與拋物線交于兩個點，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，，設(shè)，，則，故，，故，，，故過的切線方程為，同理可得過點的切線方程為，聯(lián)立與得，故，故，，則，故，其中，由在上單調(diào)遞增，故當，即時，取得最小值，最小值為.故答案為：9【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)得到，再根據(jù)條件得到，利用線面垂直的判定定理得到面，再利用面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；（2）建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量及，再利用線面角的向量法，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為面圓，又面圓，所以，又為圓弧的兩個三等分點，所以，得到，又，所以,又，面，所以面，又面，所以平面平面.（2）取的中點，連接，如圖，以所以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，因為為的中點，，所以，又因為，，所以，則，，設(shè)平面的一個法向量為，由，得到，取，得到，，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，所以.16．(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)條件知，利用二項分布列及期望公式，即可求出結(jié)果；（2）記事件：生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品，事件：智能自動檢測為合格品，則，，，，再利用全概率公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題知，，所以的分布列為，.（2）記事件：生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品，事件：智能自動檢測為合格品，則，，，，所以一件產(chǎn)品進入人工抽查檢測環(huán)節(jié)的概率為.17．(1)(2)證明見詳解.【分析】（1）當時，，由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出函數(shù)在處的切線方程.（2）求得導(dǎo)數(shù)，得到，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因為，所以與同號，構(gòu)造函數(shù)，求得，利用零點存在定理證明函數(shù)存在，使得，進而得到在上的單調(diào)性，即可作出證明.【詳解】（1）依題意得，函數(shù)的定義域為，因為，所以，所以，所以，又因為，所以在處的切線方程為，即.（2）因為，所以，即，所以，令，則，所以對任意，有，故在單調(diào)遞增.因為，所以，，所以存在，使得.因為恒成立，所以和在區(qū)間上的情況如下表：單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以存在極小值點.18．(1)數(shù)列存在極限，極限為；數(shù)列不存在極限(2)①；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)題設(shè)定義，即可判斷出結(jié)果；（2）①根據(jù)條件得到，利用與間的關(guān)系，得到，再利用累積法，即可求出結(jié)果；②利用①中結(jié)果，得到，再根據(jù)題設(shè)定義，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）數(shù)列存在極限，因為當時，，所以，數(shù)列不存在極限，因為當時，，，所以數(shù)列不存在極限，（2）①因為，所以，得到①，當時，②，由①②，得到，整理得到，所以，得到，又，所以當時，，又，滿足，所以數(shù)列的通項公式為.②由（1）知，所以，當時，，所以.19．(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)條件建立等式，化簡即可求