湖南省岳陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案】

岳陽(yáng)市2024年高二教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，19道題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、考號(hào)和姓名填寫(xiě)在答題卡指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)3.非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，只交答題卡.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則集合的子集個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4 C．8 D．162．設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則（

）A． B． C． D．3．已知平面向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．已知，均為銳角，，，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向量為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6．將甲、乙等6人安排到三個(gè)景點(diǎn)做環(huán)保宣傳工作，每個(gè)景點(diǎn)安排2人，其中甲、乙不能安排去同一個(gè)景點(diǎn)，不同的安排方法數(shù)有（

）A．84 B．90 C．72 D．787．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，若函數(shù)有8個(gè)零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)，我國(guó)2018-2023年的出生人口數(shù)（單位：萬(wàn)人）分別為：1523，1465，1202，1062，956，902，將年份減去2017記為x，出生人口數(shù)記為y，得到以下數(shù)據(jù)：x123456y（單位：萬(wàn)人）1523146512021062956902已知，由最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）A．B．這6年出生人口數(shù)的下四分位數(shù)為1465C．樣本相關(guān)系數(shù)D．樣本點(diǎn)的殘差為5510．已知菱形的邊長(zhǎng)為2，，E，F(xiàn)，G分別為AD、AB、BC的中點(diǎn)，將沿著對(duì)角線AC折起至，連結(jié)，得到三棱錐.設(shè)二面角的大小為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．當(dāng)平面截三棱錐的截面為正方形時(shí)，C．三棱錐的體積最大值為1D．當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球的半徑為11．已知函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有成立，，，則（

）A．為偶函數(shù) B．C． D．4為的一個(gè)周期三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)為.13．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若且，則面積的最大值為.14．拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，拋物線在A、B處的切線交于點(diǎn)，則的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．如圖，在圓錐中，為圓的直徑，為圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，；(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.16．某企業(yè)使用新技術(shù)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，該產(chǎn)品在出廠前要經(jīng)歷生產(chǎn)和檢測(cè)兩道工序，生產(chǎn)工序的次品率為.檢測(cè)工序包括智能自動(dòng)檢測(cè)和人工抽查檢測(cè)，智能自動(dòng)檢測(cè)為合格品則進(jìn)入流水線并由人工抽查檢測(cè).(1)從經(jīng)過(guò)生產(chǎn)工序但未經(jīng)檢測(cè)工序的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件進(jìn)行檢測(cè)，求這件產(chǎn)品中的次品數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若智能自動(dòng)檢測(cè)的準(zhǔn)確率為，求一件產(chǎn)品進(jìn)入人工抽查檢測(cè)環(huán)節(jié)的概率.17．已知函數(shù)，其中.(1)若，求在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè).求證：存在極小值點(diǎn).18．定義：對(duì)于一個(gè)無(wú)窮數(shù)列，如果存在常數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得對(duì)于任意大于的正整數(shù)，都有.則稱常數(shù)為數(shù)列的極限，記作.根據(jù)上述定義，完成以下問(wèn)題：(1)若，，判斷數(shù)列和是否存在極限；如果存在，請(qǐng)寫(xiě)出它的極限（不需要證明）；(2)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列；①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②若.證明：19．已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，，滿足直線與的斜率之積為的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線與曲線交于不同兩點(diǎn)；(1)求曲線的軌跡方程；(2)若直線和的斜率之積為，求證：直線過(guò)定點(diǎn)；(3)若直線與直線分別交于，求證：.1．C【分析】先求解出集合，然后求解出的子集個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，所以的子集個(gè)數(shù)為8.故選：C.2．D【分析】根據(jù)條件得到，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為，因?yàn)?，，所以，得到，又，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故選：D.3．A【分析】利用投影向量的定義求解即可.【詳解】向量，則向量在向量上的投影向量是.故選：A.4．B【分析】根據(jù)條件，利用平方關(guān)系得到，，構(gòu)角，利用余弦的和角公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，均為銳角，即，所以，，又，，所以，，所以，故選：B.5．A【分析】由可得是直角三角形，進(jìn)而可得，再根據(jù)橢圓定義建立等式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即是直角三角形，因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以，即，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所?故選：A6．C【分析】先選出兩人分別與甲，乙組隊(duì)，再進(jìn)行全排列，得到答案.【詳解】除甲和乙外，從剩余的4人中選兩人，分別與甲和乙組隊(duì)，有種情況，再將分好的3組和3個(gè)景點(diǎn)進(jìn)行全排列，共有種情況，故不同的安排方法數(shù)有.故選：C7．B【分析】首先判斷與，與的大小，然后構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究得出與的大小，選出答案.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，故，故，所以，所以，即；因?yàn)椋?，即；?gòu)造函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即.故選：B.8．D【分析】令，得到或，當(dāng)，，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到的單調(diào)區(qū)間，數(shù)形結(jié)合，得到當(dāng)時(shí)，有四個(gè)根，從而有當(dāng)，有四個(gè)零點(diǎn)，由和，直接求出零點(diǎn)，即可求出結(jié)果.【詳解】令，得到，解得或，又時(shí)，，，由得到，由，得到，即當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，，時(shí)，，其圖象如圖，所以，當(dāng)時(shí)，或均有2個(gè)根，有四個(gè)根，即時(shí)，有四個(gè)零點(diǎn)，又函數(shù)有8個(gè)零點(diǎn)，所以，當(dāng)，有四個(gè)零點(diǎn)，由，得到或，即或，由，得到或，即或，又，，所以從右向左的個(gè)零點(diǎn)為，，，，所以，得到，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題是考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是明確分段函數(shù)的性質(zhì)特點(diǎn)，結(jié)合分類討論、數(shù)形結(jié)合以及三角函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍.9．AC【分析】對(duì)A，回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)；對(duì)B，注意百分位數(shù)的計(jì)算方法；對(duì)C，相關(guān)系數(shù)與回歸直線的斜率正負(fù)相同；對(duì)D，殘差為觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值.【詳解】對(duì)A，，所以，A正確；對(duì)B，，所以下四分位數(shù)是把數(shù)據(jù)從小到大排列的第二個(gè)數(shù)956，B錯(cuò)誤；對(duì)C，相關(guān)系數(shù)和的正負(fù)相同，C正確；對(duì)D，時(shí)，，對(duì)應(yīng)殘差為，D錯(cuò)誤.故選：AC.10．ACD【分析】對(duì)A，利用線面垂直證線線垂直；對(duì)B，計(jì)算出的長(zhǎng)度即可；對(duì)C，當(dāng)為直角時(shí)體積最大；對(duì)D，先找到球心的位置，再進(jìn)行計(jì)算.【詳解】對(duì)A，取AC中點(diǎn)H，則由，，所以AC⊥，，平面，，所以AC⊥面，又平面，所以AC⊥，A正確；對(duì)B，取的中點(diǎn)I，易知EFGI為平行四邊形(如下圖)，則截面為正方形時(shí)，EF=FG=1，由中位線，=2，又BH==，所以∠不可能為，B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)面ABC時(shí)體積最大，最大為，C正確；對(duì)D，過(guò)和的外心作所在面的垂線，則交點(diǎn)O即為外心，又，所以，所以，D正確.故選：ACD.11．BCD【分析】對(duì)于前三個(gè)選項(xiàng)可以運(yùn)用賦值法可解，對(duì)于D，先考慮周期性，再賦值即可解決.【詳解】對(duì)于A，令，代入計(jì)算得，，即2．則.令，代入計(jì)算得，，則，故為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，代入計(jì)算得，，即，則，故B正確；對(duì)于C，令為，令，則，變形即，故C正確；對(duì)于D，令為，，代入計(jì)算得，即，則.令為代入得到，則周期為4.由C得，，且，運(yùn)用周期為4，則，則，故4為的一個(gè)周期，故D正確．綜上所得，正確答案為：BCD.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛；本題D選項(xiàng)的關(guān)鍵是首先計(jì)算得到周期為4，再轉(zhuǎn)化得.12．【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋缘墓曹棌?fù)數(shù)為，故答案為：.13．##【分析】根據(jù)正弦定理、內(nèi)角和定理、兩角和正弦公式、特殊角的三角函數(shù)化簡(jiǎn)等式解出角，利用余弦定理、基本不等式和三角形面積公式解出最大值；【詳解】，所以，余弦定理可知，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立即，則面積為則面積的最大值為.故答案為：.14．9【分析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，求出，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到在A、B處的切線方程，聯(lián)立后求出的坐標(biāo)，從而得到，從而表達(dá)出，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性得到最值.【詳解】由題意得，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，不滿足與拋物線交于兩個(gè)點(diǎn)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，，設(shè)，，則，故，，故，，，故過(guò)的切線方程為，同理可得過(guò)點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立與得，故，故，，則，故，其中，由在上單調(diào)遞增，故當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，最小值為.故答案為：9【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．15．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)得到，再根據(jù)條件得到，利用線面垂直的判定定理得到面，再利用面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量及，再利用線面角的向量法，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)槊鎴A，又面圓，所以，又為圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，得到，又，所以,又，面，所以面，又面，所以平面平面.（2）取的中點(diǎn)，連接，如圖，以所以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，又因?yàn)?，，所以，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得到，取，得到，，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，所以.16．(1)分布列見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）根據(jù)條件知，利用二項(xiàng)分布列及期望公式，即可求出結(jié)果；（2）記事件：生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品，事件：智能自動(dòng)檢測(cè)為合格品，則，，，，再利用全概率公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題知，，所以的分布列為，.（2）記事件：生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品，事件：智能自動(dòng)檢測(cè)為合格品，則，，，，所以一件產(chǎn)品進(jìn)入人工抽查檢測(cè)環(huán)節(jié)的概率為.17．(1)(2)證明見(jiàn)詳解.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出函數(shù)在處的切線方程.（2）求得導(dǎo)數(shù)，得到，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)?，所以與同號(hào)，構(gòu)造函數(shù)，求得，利用零點(diǎn)存在定理證明函數(shù)存在，使得，進(jìn)而得到在上的單調(diào)性，即可作出證明.【詳解】（1）依題意得，函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)椋栽谔幍那芯€方程為，即.（2）因?yàn)椋?，即，所以，令，則，所以對(duì)任意，有，故在單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，，所以存在，使?因?yàn)楹愠闪ⅲ院驮趨^(qū)間上的情況如下表：?jiǎn)握{(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以存在極小值點(diǎn).18．(1)數(shù)列存在極限，極限為；數(shù)列不存在極限(2)①；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題設(shè)定義，即可判斷出結(jié)果；（2）①根據(jù)條件得到，利用與間的關(guān)系，得到，再利用累積法，即可求出結(jié)果；②利用①中結(jié)果，得到，再根據(jù)題設(shè)定義，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）數(shù)列存在極限，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，數(shù)列不存在極限，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以數(shù)列不存在極限，（2）①因?yàn)椋?，得到①，?dāng)時(shí)，②，由①②，得到，整理得到，所以，得到，又，所以當(dāng)時(shí)，，又，滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.②由（1）知，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.19．(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)條件建立等式，化簡(jiǎn)即可求