江蘇省南京市六校聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期六校聯(lián)合體期末調(diào)研測(cè)試高二數(shù)學(xué)2024.6.24注意事項(xiàng)：1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．對(duì)于x，y兩個(gè)變量，有四組樣本數(shù)據(jù)，分別算出它們的線性相關(guān)系數(shù)r（如下）：，則線性相關(guān)性最強(qiáng)的是（

）A． B．0.72 C． D．0.852．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．已知，則（

）A． B．0 C．1 D．24．3個(gè)男生2個(gè)女生站成一排，其中女生相鄰的排法個(gè)數(shù)是（

）A．24 B．48 C．96 D．1205．已知函數(shù)，那么的值是（

）A． B． C．2 D．46．已知隨機(jī)變量滿足：，，，則（

）A． B．C． D．7．給出下列四個(gè)命題，其中真命題是（

）A．若向量與向量，共面，則存在實(shí)數(shù)x，y，使B．若存在實(shí)數(shù)x，y，使，則點(diǎn)P，M，A，B共面C．直線a的方向向量為，平面的法向量為，則D．若平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，，向量是平面的法向量，則8．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A． B．C．的范圍是 D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，不選或有選錯(cuò)的得0分.9．，分別為隨機(jī)事件A，B的對(duì)立事件，下列命題正確的是（

）A．B．若，，則C．若，則A與B獨(dú)立D．10．已知函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為B．若在區(qū)間上有極小值，則a的取值范圍為C．當(dāng)時(shí)，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)可以作出曲線的三條切線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為D．若曲線的對(duì)稱中心為，則11．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)F在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，則（

）A．若F在棱AD上時(shí)，存在點(diǎn)F使B．若F是棱AD的中點(diǎn)，則平面C．若平面，則F是AC上靠近C的四等分點(diǎn)D．若F在棱AB上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)F到直線的距離最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．平面過(guò)點(diǎn)，其法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為.13．從集合的子集中選出2個(gè)不同的子集A，B，且，則一共有種選法.14．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，乙盒有1個(gè)紅球和1個(gè)白球.先從甲盒中取出2個(gè)球放入乙盒，再?gòu)囊液兄腥〕?個(gè)球放入甲盒.記事件A為“從甲盒中取出2個(gè)紅球”，事件B為“乙盒還剩1個(gè)紅球和1個(gè)白球”，則，.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15．為了研究學(xué)生的性別與喜歡運(yùn)動(dòng)的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)調(diào)查了某中學(xué)的100名學(xué)生，整理得到如下，左表數(shù)據(jù)：(1)求a，b的值，并判斷是否有的把握認(rèn)為“學(xué)生的性別與喜歡運(yùn)動(dòng)有關(guān)聯(lián)”？(2)經(jīng)調(diào)查，學(xué)生的學(xué)習(xí)效率指數(shù)y與每天鍛煉時(shí)間x（單位：拾分鐘）呈線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)見下表，求y關(guān)于x的線性回歸方程.男學(xué)生女學(xué)生合計(jì)喜歡運(yùn)動(dòng)ab60不喜歡運(yùn)動(dòng)bb合計(jì)60100x23456y2.533.5560.10.050.012.7063.8416.635附：（1）（2），16．已知（，）的展開式中，第2，3，4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列.(1)求的值；(2)求的近似值（精確到0.01）；(3)求的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).17．如圖，所有棱長(zhǎng)均為2的正四棱錐，點(diǎn)，分別是，上靠近，的三等分點(diǎn).(1)求證：；(2)求二面角的余弦值.18．某校舉行投籃趣味比賽，甲、乙兩位選手進(jìn)入決賽，每位選手各投籃4次，選手在連續(xù)投籃時(shí)，第一次投進(jìn)得1分，并規(guī)定：若某次投進(jìn)，則下一次投進(jìn)的得分比本次得分多1分；若某次未投進(jìn)，則該次得0分，且下一次投進(jìn)得1分.已知甲同學(xué)每次投進(jìn)的概率為，乙同學(xué)每次投進(jìn)的概率為，且甲、乙每次投籃相互獨(dú)立.(1)求甲最后得3分的概率；(2)記甲最后得分為X，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；(3)記事件B為“甲、乙總分之和為7”，求.19．定義：如果函數(shù)與的圖象上分別存在點(diǎn)M和點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，則稱函數(shù)和具有“伙伴”關(guān)系.(1)判斷函數(shù)與是否具有“伙伴”關(guān)系；(2)已知函數(shù)，，，.①若兩函數(shù)具有“伙伴”關(guān)系，求a的取值范圍；②若兩函數(shù)不具有“伙伴”關(guān)系，求證：，其中n為正整數(shù).1．A【分析】根據(jù)線性相關(guān)性的特征和線性相關(guān)系數(shù)的概念意義可解．【詳解】線性相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1,線性相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)性最強(qiáng)的是．故選：A.2．C【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱的關(guān)系判斷即可.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C3．B【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理的性質(zhì)，采取賦值法即可解決．【詳解】令，則，即．故選：B.4．B【分析】可以用捆綁法解題．【詳解】根據(jù)捆綁法，“先捆再松”.可以將女生看作一個(gè)整體與男生全排，有種，女生再排有種，則女生相鄰的排法個(gè)數(shù)是：.故選：B.5．D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的除法法則求，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以.故選：D.6．D【分析】利用二項(xiàng)分布的均值公式和方差公式求解即可.【詳解】若，，則，解得，故，則，故A錯(cuò)誤，而，故，可得，故B錯(cuò)誤，而，故C錯(cuò)誤，由題意得，故D正確.故選：D7．B【分析】對(duì)于A，舉反例排除A；對(duì)于B，運(yùn)用四點(diǎn)共面定理推論可知正確；對(duì)于C，利用空間向量判斷線面關(guān)系即可；對(duì)于D，根據(jù)法向量性質(zhì)求得，，從而得以判斷.【詳解】對(duì)于A，如果為非零向量，且與不共線，而與共線，則不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，運(yùn)用四點(diǎn)共面定理推論可知B正確；對(duì)于C，，則，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，向量是平面的法向量，則，，即，，又，，得且，解得，，則，故D錯(cuò)誤.故選：B.8．B【分析】對(duì)于AC，原函數(shù)的極值點(diǎn)即為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，求導(dǎo)后等價(jià)于與有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性等函數(shù)特征畫出圖象判斷出，且；對(duì)于B，利用，推導(dǎo)，則可得；對(duì)于D，而等價(jià)于，構(gòu)造合適的函數(shù)進(jìn)行分析.【詳解】對(duì)于AC，，有兩個(gè)極值點(diǎn)且，所以，有兩個(gè)零點(diǎn)，且在各自兩邊異號(hào)，所以與有兩個(gè)交點(diǎn)，，記，則，易知：時(shí)，時(shí)，所以在上遞增，在上遞減，所以有最大值，且時(shí)，時(shí)，又當(dāng)趨向于正無(wú)窮時(shí)，趨向于正無(wú)窮的速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)趨向于正無(wú)窮的速率，所以趨向于0，且，由上可得的圖象如下，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)，且，故A，C正確；對(duì)于B，又，所以，即，故B錯(cuò)誤.對(duì)于D，令，則，所以，則，，所以要證，只需證，只需證，令，則，所以在上單調(diào)遞減，即時(shí)，不等式得證，故D正確.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍，一般方法：（1）轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)解決；（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題；（3）參變分離法，結(jié)合函數(shù)最值或范圍解決.9．ACD【分析】A選項(xiàng)，由對(duì)立事件得到A正確；B選項(xiàng)，；C選項(xiàng)，由條件概率得到，C正確；D選項(xiàng)，利用乘法公式得到D正確.【詳解】A選項(xiàng)，由對(duì)立事件性質(zhì)可知，A正確；B選項(xiàng)，若，，則，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若，則，故，A與B獨(dú)立，C正確；D選項(xiàng)，，D正確.故選：ACD10．BCD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，切線，對(duì)稱中心問(wèn)題.【詳解】令若在區(qū)間上單調(diào)遞減,則在區(qū)間上小于或者等于零恒成立，即恒成立，即，又在區(qū)間單調(diào)遞增，則所以a的取值范圍為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.若在區(qū)間上有極小值,則在區(qū)間上有零點(diǎn)，且在零點(diǎn)左端小于零，在零點(diǎn)右端大于零，則解得a的取值范圍為.故選項(xiàng)B正確.當(dāng)時(shí),設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)作出曲線的三條切線切點(diǎn)為，則切線斜率為切線為又切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則有三解，即有三解，令則當(dāng)時(shí)函數(shù)取極值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為，故選項(xiàng)C正確.若曲線的對(duì)稱中心為,則即解得.故選：BCD.11．BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線線的夾角，以及判斷線面垂直，以及求解點(diǎn)到直線的距離，判斷ACD，利用面面平行證明線面平行，判斷B.【詳解】A.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，整理為，解得：或，都舍去，所以不存在點(diǎn)F使，故A錯(cuò)誤；B.如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，同理，且，所以，平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面，平面，所以平面C.若F是AC上靠近C的四等分點(diǎn)，則，，，，所以，，，，,所以，，且，平面，所以平面，且過(guò)點(diǎn)只有1條直線和平面垂直，則點(diǎn)是唯一的，點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn)，故C正確；D.若點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，，,則點(diǎn)到的距離，當(dāng)時(shí)，的最小值為，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，尤其是證明垂直關(guān)系，求角和距離，以及判斷是否存在問(wèn)題.12．##【分析】運(yùn)用空間向量點(diǎn)到面的距離公式即可解題．【詳解】根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式，且，，可得點(diǎn)到平面的距離．故答案為：．13．65【分析】由集合A中元素的個(gè)數(shù)，分類討論對(duì)應(yīng)的集合B中的元素個(gè)數(shù)，計(jì)算選法，再進(jìn)行求和即可.【詳解】從集合的子集中選出2個(gè)不同的子集A，B，且，當(dāng)A為空集時(shí)，B可以包含1，2，3，4個(gè)元素，所以共有種選法；當(dāng)A只含有1個(gè)元素時(shí)，B可以包含2，3，4個(gè)元素，所以共有種選法；當(dāng)A只含有2個(gè)元素時(shí)，B可以包含3，4個(gè)元素，所以共有種選法；當(dāng)A只含有3個(gè)元素時(shí)，B包含4個(gè)元素，所以共有種選法.故共有種選法.故答案為：65.14．##【分析】利用條件概率與獨(dú)立事件的概率公式即可得解.【詳解】第一空：，第二空：從甲盒中取出的是一個(gè)紅球和一個(gè)白球，乙盒中還剩下兩個(gè)紅球或者兩個(gè)白球.則故答案為：；.15．(1)，，有(2)【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可；（2）代入公式計(jì)算，即可求出回歸方程.【詳解】（1）依題意，得，解得，，假設(shè)：認(rèn)為學(xué)生的性別與是否喜歡運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)聯(lián)，，所以根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為不成立，即有的把握認(rèn)為學(xué)生的性別與喜歡運(yùn)動(dòng)有關(guān)聯(lián)；（2）由題意得，，，，，，所以回歸方程為.16．(1)7(2)128.45(3)【分析】（1）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)列方程，即可求解，（2）利用二項(xiàng)式展開，即可代入求解，（3）根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，列不等式求解即可.【詳解】（1）∵展開式中第2，3，4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，∴，整理得,解得，又∵，∴（2）（3）依題意得，，即,解之，，又∵，∴故展開式中系數(shù)最大得項(xiàng)為17．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接交于，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，，，，，，∴，，∴，∴.（2），，設(shè)平面的法向量為，則，取.取平面的法向量為，所以，，，設(shè)二面角的平面角為，.∴由圖可知二面角的余弦值為18．(1)(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生哪幾種情形，再計(jì)算概率即可；（2）利用記分規(guī)則，統(tǒng)計(jì)四次投籃中的得分情形，最低0分，最高10分，再計(jì)算概率，即可得分布列，求期望；（3）同比甲的概率計(jì)算方法，再來(lái)計(jì)算乙的得分概率，利用兩獨(dú)立事件相乘，再考慮各種情形相加即可.【詳解】（1）記事件A為“甲得3分”，分析3分是，不可能是，所以在這四次投籃中，連續(xù)兩次投中，另兩次沒(méi)中，記甲得3分，所以（2）X的取值為0，1，2，3，4，6，10，01234610（3）記為乙最后得分，則事件為“甲1分，乙6分”，“甲3分，乙4分”，“甲4分，乙3分”，“甲6分，乙1分”故19．(1)函數(shù)與具有“伙伴”關(guān)系(2)①②證明見解析【分析】（1）由題意可得在與的定義域的交集上存在，使得，所以，求解即可；（2）令，由題意可得在上恒為負(fù)或恒為正．分和在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求解即可；（3）利用（2）的結(jié)論，即可取，累加，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可化簡(jiǎn)求解．【詳解】（1）函數(shù)與具有“伙伴”關(guān)系，理由如下：根據(jù)定義，若與具有“伙伴”關(guān)系，則在與的定義域的交集上存在x，使得.所以，即，解得，所以與具有“伙伴”關(guān)系.（2）函數(shù)，，，，令，，，①兩函數(shù)具有“伙伴”關(guān)系，則函數(shù)在上有零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，所以，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，令，則，，則，故在上遞增，在上遞減，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，所以該函數(shù)在上遞減，所以，所以，從而，即此時(shí)，取所以從而，又函數(shù)圖象在上連續(xù)不間斷，由零點(diǎn)存在定理可得，函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，即存在，使得綜上可得