高考數(shù)學(xué)微專題集專題27圓錐曲線與四心問題微點1圓錐曲線與重心問題(原卷版+解析)

專題27圓錐曲線與四心問題微點1圓錐曲線與重心問題專題27圓錐曲線與四心問題微點1圓錐曲線與重心問題【微點綜述】從近幾年圓錐曲線的命題風(fēng)格看，既注重知識又注重能力，既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征．而現(xiàn)在圓錐曲線中面積、弦長、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問題．“四心”問題進入圓錐曲線，讓我們更是耳目一新．因此在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，通過讓學(xué)生研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結(jié)合問題，快速提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增強學(xué)生的信心，備戰(zhàn)高考．一、三角形重心的定義三角形的重心：三角形三條邊上的中線交于一點，這一點就是三角形的重心．二、三角形重心常見結(jié)論（1）是△的重心；重心坐標：；（2）為△的重心，P為平面上任意點，則；（3）重心是中線的三等分點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比是2：1；（4）重心與三角形的3個頂點組成的3個三角形的面積相等，即重心到3條邊的距離與3條邊的長成反比．（5）焦點三角形重心軌跡方程：①設(shè)點為橢圓的焦點三角形的重心，則點的軌跡方程為．證明：如圖1，設(shè)，則有（否則不能成為三角形），橢圓左、右焦點坐標為，△由重心為，由三角形重心坐標公式，有，即，代入橢圓方程，可得，化簡可得，又，于是其重心的軌跡方程為，即以原橢圓的長軸長的為長軸，以原橢圓的短軸長的為短軸的橢圓（頂點除外）．②設(shè)點為雙曲線的焦點三角形的重心，則點的軌跡方程為．證明：如圖2，設(shè)，則有（否則不能成為三角形），雙曲線左、右焦點坐標為△由重心為，由重心坐標公式，有，即，代入雙曲線方程，可得，化簡可得，又，于是其重心的軌跡方程為，即以原雙曲線的實軸長的為實軸，以原雙曲線的虛軸長的為虛軸的雙曲線（頂點除外）．三、典型例題精析1．拋物線的焦點為，點、、在上，且的重心為，則的取值范圍為A． B． C． D．2．已知，，是第一象限內(nèi)的點，且滿足，若是的內(nèi)心，是的重心，記與的面積分別為，，則（

）A． B． C． D．與大小不確定3．已知、為橢圓的左、右焦點，的橢圓上一點（左右頂點除外），為為重心.若恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知、分別是雙曲線的左、右頂點，為上一點，且在第一象限．記直線，的斜率分別為，，當(dāng)取得最小值時，的重心坐標為（

）A． B． C． D．5．已知橢圓的右焦點為，上頂點為，則的坐標為_____________，直線與橢圓交于，兩點，且的重心恰為點，則直線斜率為_____________.6．已知直線交橢圓于兩點，橢圓與軸的正半軸交于點，若的重心恰好落在橢圓的右焦點上，則直線的方程是__________．7．已知拋物線的焦點為，為拋物線上的三個動點，其中且若為的重心，記三邊的中點到拋物線的準線的距離分別為且滿足，則所在直線的斜率為（

）A．1 B． C．2 D．38．在雙曲線：的右支上存在點，使得點與雙曲線的左、右焦點，形成的三角形的內(nèi)切圓的半徑為，若的重心滿足，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．9．已知為雙曲線：上一點，，為雙曲線的左、右焦點，，分別為的重心、內(nèi)心．若軸，則內(nèi)切圓的半徑為______．10．已知橢圓C：1（ab0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓C上不與左右頂點重合的動點，設(shè)I，G分別為△PF1F2的內(nèi)心和重心.當(dāng)直線IG的傾斜角不隨著點P的運動而變化時，橢圓C的離心率為_____.11．已知橢圓的左右焦點為F1、F2，點P為橢圓上一點，的重心、內(nèi)心分別為G、I，若，則橢圓的離心率e等于（

）A． B． C． D．12．在直角坐標系中，已知橢圓C：的左右焦點分別為，，過且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點，若的重心為，且，則直線的方程為_________．【強化訓(xùn)練】13．設(shè)F為拋物線的焦點，為拋物線上不同的三點，點是△ABC的重心，為坐標原點，△、△、△的面積分別為、、，則A．9 B．6 C．3 D．214．已知為拋物線的焦點，為拋物線上三點，當(dāng)時，稱為“和諧三角形”，則“和諧三角形”有A．0個 B．1個 C．3個 D．無數(shù)個15．設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，為橢圓的左頂點，若的重心在軸右側(cè)，則的取值范圍是___________．16．設(shè)點為橢圓上一點，、分別是橢圓的左、右焦點，且的重心為點，如果，那么的面積為（

）A． B． C． D．17．已知拋物線的焦點是F,點A、B、C在拋物線上,為坐標原點,若點F為△ABC的重心,△、△、△面積分別記為則的值為A． B． C． D．18．設(shè)點為橢圓：上一點，分別是橢圓的左右焦點，為的重心，且，那么的面積為___________．19．設(shè)，分別為橢圓的右頂點和右焦點，，為橢圓短軸的兩個端點，若點恰為的重心，則橢圓的離心率的值為__________.20．已知是雙曲線（，）的左頂點，、分別為左、右焦點，為雙曲線上一點，是的重心，若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．與的取值有關(guān)21．已知是拋物線的焦點，，在拋物線上，且的重心坐標為，則__________．22．已知△ABC是橢圓的內(nèi)接三角形，F(xiàn)是橢圓的上焦點，且原點O是△ABC的重心．求A，B，C三點到F距離之和為______________；23．在直角坐標系中，已知橢圓C：的左右焦點分別為，，過且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點，若的重心為，且，則直線的方程為_________．24．已知是以為焦點的雙曲線上的動點，則的重心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．25．已知拋物線上有三點，的斜率分別為3，6，，則的重心坐標為A． B． C． D．26．已知橢圓C：，為左右焦點，點在橢圓C上，的重心為，內(nèi)心為，且有（為實數(shù)），則橢圓方程為(

)A． B．C． D．27．設(shè)點為橢圓上一點，、分別是橢圓的左、右焦點，且的重心為點，如果，那么的面積為（

）A． B． C． D．28．拋物線的焦點為，是拋物線上兩點，且，為坐標原點，若的重心為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．429．已知為坐標原點，為拋物線的焦點，過作直線與交于兩點．若，則重心的橫坐標為A． B．2 C． D．330．已知拋物線：（），從點（）發(fā)出，平行于軸的光線與交于點，經(jīng)反射后過的焦點，交拋物線于點，若反射光線的傾斜角為，，則的重心坐標為（

）A． B． C． D．31．設(shè)雙曲線在左右焦點分別為，若在曲線C的右支上存在點，使得的內(nèi)切圓半徑，圓心記為，又的重心為G，滿足平行于軸，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．32．已知拋物線（），F(xiàn)為拋物線的焦點，O為坐標原點，，為拋物線上的兩點，A，B的中點到拋物線準線的距離為5，的重心為F，則（

）A．1 B．2 C．3 D．433．已知實軸長為2的雙曲線C：的左、右焦點分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），點B為雙曲線C虛軸上的一個端點，則△BF1F2的重心到雙曲線C的漸近線的距離為（）A． B． C． D．34．過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，已知，為原點，則重心的縱坐標為________________．35．已知拋物線上有三個不同的點直線的斜率分別為.若滿足：.且的重心在直線上.則（

）A． B． C． D．36．已知雙曲線：的左、右焦點為，，直線:與雙曲線相交于，兩點，，的重心分別為，，若以為直徑的圓過原點，則（

）A．2 B． C． D．37．已知點是右焦點為的雙曲線上一點，若雙曲線上存在兩點，使得的重心恰好為右焦點，則直線方程為（

）A． B．C． D．專題27圓錐曲線與四心問題微點1圓錐曲線與重心問題專題27圓錐曲線與四心問題微點1圓錐曲線與重心問題【微點綜述】從近幾年圓錐曲線的命題風(fēng)格看，既注重知識又注重能力，既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征．而現(xiàn)在圓錐曲線中面積、弦長、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問題．“四心”問題進入圓錐曲線，讓我們更是耳目一新．因此在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，通過讓學(xué)生研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結(jié)合問題，快速提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增強學(xué)生的信心，備戰(zhàn)高考．一、三角形重心的定義三角形的重心：三角形三條邊上的中線交于一點，這一點就是三角形的重心．二、三角形重心常見結(jié)論（1）是△的重心；重心坐標：；（2）為△的重心，P為平面上任意點，則；（3）重心是中線的三等分點；重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比是2：1；（4）重心與三角形的3個頂點組成的3個三角形的面積相等，即重心到3條邊的距離與3條邊的長成反比．（5）焦點三角形重心軌跡方程：①設(shè)點為橢圓的焦點三角形的重心，則點的軌跡方程為．證明：如圖1，設(shè)，則有（否則不能成為三角形），橢圓左、右焦點坐標為，△由重心為，由三角形重心坐標公式，有，即，代入橢圓方程，可得，化簡可得，又，于是其重心的軌跡方程為，即以原橢圓的長軸長的為長軸，以原橢圓的短軸長的為短軸的橢圓（頂點除外）．②設(shè)點為雙曲線的焦點三角形的重心，則點的軌跡方程為．證明：如圖2，設(shè)，則有（否則不能成為三角形），雙曲線左、右焦點坐標為△由重心為，由重心坐標公式，有，即，代入雙曲線方程，可得，化簡可得，又，于是其重心的軌跡方程為，即以原雙曲線的實軸長的為實軸，以原雙曲線的虛軸長的為虛軸的雙曲線（頂點除外）．三、典型例題精析1．拋物線的焦點為，點、、在上，且的重心為，則的取值范圍為A． B． C． D．2．已知，，是第一象限內(nèi)的點，且滿足，若是的內(nèi)心，是的重心，記與的面積分別為，，則（

）A． B． C． D．與大小不確定3．已知、為橢圓的左、右焦點，的橢圓上一點（左右頂點除外），為為重心.若恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知、分別是雙曲線的左、右頂點，為上一點，且在第一象限．記直線，的斜率分別為，，當(dāng)取得最小值時，的重心坐標為（

）A． B． C． D．5．已知橢圓的右焦點為，上頂點為，則的坐標為_____________，直線與橢圓交于，兩點，且的重心恰為點，則直線斜率為_____________.6．已知直線交橢圓于兩點，橢圓與軸的正半軸交于點，若的重心恰好落在橢圓的右焦點上，則直線的方程是__________．7．已知拋物線的焦點為，為拋物線上的三個動點，其中且若為的重心，記三邊的中點到拋物線的準線的距離分別為且滿足，則所在直線的斜率為（

）A．1 B． C．2 D．38．在雙曲線：的右支上存在點，使得點與雙曲線的左、右焦點，形成的三角形的內(nèi)切圓的半徑為，若的重心滿足，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．9．已知為雙曲線：上一點，，為雙曲線的左、右焦點，，分別為的重心、內(nèi)心．若軸，則內(nèi)切圓的半徑為______．10．已知橢圓C：1（ab0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓C上不與左右頂點重合的動點，設(shè)I，G分別為△PF1F2的內(nèi)心和重心.當(dāng)直線IG的傾斜角不隨著點P的運動而變化時，橢圓C的離心率為_____.11．已知橢圓的左右焦點為F1、F2，點P為橢圓上一點，的重心、內(nèi)心分別為G、I，若，則橢圓的離心率e等于（

）A． B． C． D．12．在直角坐標系中，已知橢圓C：的左右焦點分別為，，過且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點，若的重心為，且，則直線的方程為_________．【強化訓(xùn)練】13．設(shè)F為拋物線的焦點，為拋物線上不同的三點，點是△ABC的重心，為坐標原點，△、△、△的面積分別為、、，則A．9 B．6 C．3 D．214．已知為拋物線的焦點，為拋物線上三點，當(dāng)時，稱為“和諧三角形”，則“和諧三角形”有A．0個 B．1個 C．3個 D．無數(shù)個15．設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，為橢圓的左頂點，若的重心在軸右側(cè)，則的取值范圍是___________．16．設(shè)點為橢圓上一點，、分別是橢圓的左、右焦點，且的重心為點，如果，那么的面積為（

）A． B． C． D．17．已知拋物線的焦點是F,點A、B、C在拋物線上,為坐標原點,若點F為△ABC的重心,△、△、△面積分別記為則的值為A． B． C． D．18．設(shè)點為橢圓：上一點，分別是橢圓的左右焦點，為的重心，且，那么的面積為___________．19．設(shè)，分別為橢圓的右頂點和右焦點，，為橢圓短軸的兩個端點，若點恰為的重心，則橢圓的離心率的值為__________.20．已知是雙曲線（，）的左頂點，、分別為左、右焦點，為雙曲線上一點，是的重心，若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．與的取值有關(guān)21．已知是拋物線的焦點，，在拋物線上，且的重心坐標為，則__________．22．已知△ABC是橢圓的內(nèi)接三角形，F(xiàn)是橢圓的上焦點，且原點O是△ABC的重心．求A，B，C三點到F距離之和為______________；23．在直角坐標系中，已知橢圓C：的左右焦點分別為，，過且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點，若的重心為，且，則直線的方程為_________．24．已知是以為焦點的雙曲線上的動點，則的重心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．25．已知拋物線上有三點，的斜率分別為3，6，，則的重心坐標為A． B． C． D．26．已知橢圓C：，為左右焦點，點在橢圓C上，的重心為，內(nèi)心為，且有（為實數(shù)），則橢圓方程為(

)A． B．C． D．27．設(shè)點為橢圓上一點，、分別是橢圓的左、右焦點，且的重心為點，如果，那么的面積為（

）A． B． C． D．28．拋物線的焦點為，是拋物線上兩點，且，為坐標原點，若的重心為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．429．已知為坐標原點，為拋物線的焦點，過作直線與交于兩點．若，則重心的橫坐標為A． B．2 C． D．330．已知拋物線：（），從點（）發(fā)出，平行于軸的光線與交于點，經(jīng)反射后過的焦點，交拋物線于點，若反射光線的傾斜角為，，則的重心坐標為（

）A． B． C． D．31．設(shè)雙曲線在左右焦點分別為，若在曲線C的右支上存在點，使得的內(nèi)切圓半徑，圓心記為，又的重心為G，滿足平行于軸，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．32．已知拋物線（），F(xiàn)為拋物線的焦點，O為坐標原點，，為拋物線上的兩點，A，B的中點到拋物線準線的距離為5，的重心為F，則（

）A．1 B．2 C．3 D．433．已知實軸長為2的雙曲線C：的左、右焦點分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），點B為雙曲線C虛軸上的一個端點，則△BF1F2的重心到雙曲線C的漸近線的距離為（）A． B． C． D．34．過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，已知，為原點，則重心的縱坐標為________________．35．已知拋物線上有三個不同的點直線的斜率分別為.若滿足：.且的重心在直線上.則（

）A． B． C． D．36．已知雙曲線：的左、右焦點為，，直線:與雙曲線相交于，兩點，，的重心分別為，，若以為直徑的圓過原點，則（

）A．2 B． C． D．37．已知點是右焦點為的雙曲線上一點，若雙曲線上存在兩點，使得的重心恰好為右焦點，則直線方程為（

）A． B．C． D．參考答案：1．A【解析】根據(jù)重心坐標公式求出的橫坐標為，縱坐標為，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，用、求出表示出的坐標，結(jié)合拋物線的方程，求出的取值范圍，再結(jié)合拋物線的定義可得出結(jié)論．【詳解】由題意知，拋物線的焦點為，設(shè)點、、，由重心的坐標公式得，，，設(shè)直線的方程為，由，消去得，，由韋達定理得，，所以，，故，，將點的坐標代入拋物線的方程得，得，則，得，則.不在直線上，則，此時，，則.因此，的取值范圍是.故選：A.【點睛】考查拋物線與直線的綜合，求距離的取值范圍，重心坐標的計算，屬于難題．2．B分析：作出圖示，根據(jù)的特點分別表示出，，即可判斷出的大小關(guān)系.【詳解】因為，所以的軌跡是橢圓在第一象限內(nèi)的部分，如圖所示：因為是的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，所以，所以，所以，又因為是的重心，所以，所以，所以，故選：B.【點睛】本題考查橢圓的定義，其中涉及到三角形的內(nèi)心和重心問題，對學(xué)生分析圖形中關(guān)系的能力要求較高，難度一般.3．B分析：根據(jù)的橢圓上一點，且恒成立，不妨設(shè)點P為上頂點，再根據(jù)為為重心，由求解.【詳解】因為的橢圓上一點，且恒成立，不妨設(shè)點P為上頂點，如圖所示：因為為為重心，所以，而，即，所以，所以，所以，即，解得.故選：B【點睛】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)以及焦點三角形的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.4．B【解析】由雙曲線的性質(zhì)可得點，，設(shè)點，則，再由基本不等式可得，進而可得點，即可求得重心坐標.【詳解】由題意點，，設(shè)點，則，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，解得，所以點，則重心坐標為即．故選：B.【點睛】本題考查了直線斜率的求解及雙曲線的應(yīng)用，考查了基本不等式的應(yīng)用及運算求解能力，屬于中檔題.5．

分析：空1：由橢圓的標準方程結(jié)合右焦點的坐標，直接求出a，c，再根據(jù)橢圓中a，b，c之間的關(guān)系求出m的值，最后求出上頂點B的坐標；空2：設(shè)出直線MN的方程，與橢圓聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合中點坐標公式求出弦MN的中點的坐標，再利用三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量共線定理進行求解即可.【詳解】空1：因為右焦點為，所以有且，而，所以，因此橢圓上頂點的坐標為：；空2：設(shè)直線MN的方程為：，由（1）可知：橢圓的標準方程為：，直線方程與橢圓方程聯(lián)立：，化簡得：，設(shè)，線段的中點為，于是有：，，所以點坐標為：，因為的重心恰為點，所以有，即，因此有：，得：，所以直線斜率為.故答案為：；【點睛】本題考查了求橢圓上頂點的坐標，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了三角形重心的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運算能力.6．分析：結(jié)合重心坐標公式推導(dǎo)出弦中點坐標，可設(shè)，采用點差法，求出直線斜率，采用點斜式即可求出直線方程【詳解】由題可知，，，設(shè)，由重心坐標得，所以弦的中點坐標為，即，又在橢圓上，故，作差得將中點坐標代入得，所以直線的方程為：，即故答案為：【點睛】本題考查重心坐標公式，點差法的應(yīng)用，點斜式的用法，屬于中檔題7．C分析：由已知可得直線的斜率，利用拋物線定義將用表示，再由，得出關(guān)系，再由為的重心，求出，即可求解.【詳解】由題意知，帶入得，即．由為的重心，則有，即，即，所以，因此有．故所在直線的斜率.故選：C．【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、三角形重心公式，拋物線定義的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于中檔題.8．C【詳解】如圖，由平行于軸得則所以的面積又由焦半徑公式，因此代入橢圓方程得故選C．9．分析：不妨設(shè)點在第一象限，，根據(jù)已知求出，再化簡即得解.【詳解】解：不妨設(shè)點在第一象限，，，分別為與三邊的切點．由切線長定理以及雙曲線的定義，得，∴，∴．設(shè)，由為的重心知，，則．∴，∴．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則．又，∴，∴．故答案為：10．【解析】首先找到特殊位置，即取P在上頂點時，內(nèi)心和重心都在y軸上，由于內(nèi)心和重心連線的斜率不隨著點P的運動而變化，可得：GI始終垂直于x軸，可得內(nèi)切圓半徑為y0，再利用等面積法列式解方程可得：.【詳解】當(dāng)直線IG的傾斜角不隨著點P的運動而變化時，取P特殊情況在上頂點時，內(nèi)切圓的圓心在y軸上，重心也在y軸上，由此可得不論P在何處，GI始終垂直于x軸，設(shè)內(nèi)切圓與邊的切點分別為Q，N，A，如圖所示：設(shè)P在第一象限，坐標為：（x0，y0）連接PO，則重心G在PO上，連接PI并延長交x軸于M點，連接GI并延長交x軸于N，則GN⊥x軸，作PE垂直于x軸交于E，可得重心G（，）所以I的橫坐標也為，|ON|，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，PG=PA，F(xiàn)1Q=F1N，NF2=AF2，所以PF1﹣PF2=（PG+QF1）﹣（PA+AF2）=F1N﹣NF2=（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）=2ON，而PF1+PF2=2a，所以PF1=a，PF2=a，由角平分線的性質(zhì)可得，所以可得OM，所以可得MN=ON﹣OM，所以ME=OE﹣OM=x0，所以，即INPEy0，（PF1+F1F2+PF2）IN，即（2a+2c），所以整理為：，故答案為：.【點睛】本題考查了求橢圓的離心率，考查了內(nèi)心和重心的概念，考查了轉(zhuǎn)化思想和較強的計算能力，其方法為根據(jù)條件得到關(guān)于，，的齊次式，化簡可得.本題屬于難題.11．A分析：設(shè)，求出重心的坐標，利用中面積等積法可求出的關(guān)系，即可得橢圓離心率.【詳解】設(shè)為的重心，點坐標為，∵，∴IG∥x軸

∴I的縱坐標為，在中，，，又∵I為△F1PF2的內(nèi)心，∴I的縱坐標即為內(nèi)切圓半徑，內(nèi)心I把△F1PF2分為三個底分別為△F1PF2的三邊，高為內(nèi)切圓半徑的小三角形，，即，，∴橢圓C的離心率.故選：A12．或分析：設(shè)的方程為，設(shè)，，將直線方程代入橢圓方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合重心坐標公式表示出點的坐標，再由列方程可求出，從而可求出直線的方程.【詳解】∵過點且斜率不為0，∴可設(shè)的方程為，設(shè)，，由得

∴，，∴，又∵，∴，即，∴，令，解得

∴直線的方程為或．故答案為：或．13．C【詳解】本題考查拋物線標準方程和幾何性質(zhì)，平面幾何知識.拋物線的焦點設(shè)則又的重心是所以；根據(jù)三角形面積公式得，即則.故選C14．D分析：當(dāng)時，為的重心，連接并延長至，使，當(dāng)在拋物線內(nèi)部時，設(shè)，利用“點差法”可證明總存在以為中點的弦，從而可得結(jié)果.【詳解】拋物線方程為為曲線上三點，當(dāng)時，為的重心，用如下辦法構(gòu)造，連接并延長至，使，當(dāng)在拋物線內(nèi)部時，設(shè)，若存在以為中點的弦，設(shè)，則則，兩式相減化為，，所以總存在以為中點的弦，所以這樣的三角形有無數(shù)個，故選D.【點睛】本題主要考查平面向量的基本運算以及“點差法”的應(yīng)用，屬于難題.對于有弦關(guān)中點問題常用“點差法”，其解題步驟為：①設(shè)點（即設(shè)出弦的兩端點坐標）；②代入（即代入圓錐曲線方程）；③作差（即兩式相減，再用平方差公式分解因式）；④整理（即轉(zhuǎn)化為斜率與中點坐標的關(guān)系式），然后求解.15．【詳解】將代入橢圓方程，得，即．由，得，即．設(shè)點，，則，從而．因為的重心在軸右側(cè)，點，則，所以，即．故答案為：．考點：直線與橢圓的位置關(guān)系.【方法點晴】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，計算量大、綜合性較強，屬于較難題型.解決本題時可以采用消去未知數(shù)得到，降低計算量，再由．再由韋達定理得．又由的重心在軸右側(cè)的取值范圍是．16．C【解析】由題設(shè)條件及橢圓的定義，可得，進而可得為等腰三角形，計算，由重心和中點的定義，，即得解【詳解】由于點P為橢圓上一點，又故為等腰三角形，以為底的高為：故故選：C【點睛】本題考查了橢圓的定義和性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.17．B分析：設(shè)出點A、B、C三點坐標,根據(jù)F為△ABC的重心,可得三點橫坐標的關(guān)系,求出的表達式，最后根據(jù)每點的橫坐標、縱坐標關(guān)系即可求出答案.【詳解】設(shè),所以有拋物線的焦點坐標為,△ABC的重心坐標為,由題意可知：,即.,所以.故選B【點睛】本題考查了三角形重心坐標公式,考查了三角形面積公式,考查了數(shù)學(xué)運算能力.18．8分析：設(shè)，由題可得，，則得，又為的重心，故即可求解.【詳解】由橢圓方程得，，設(shè)，則有，所以，又，則得，所以得，又為的重心，故.故答案為：8【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，有關(guān)焦點三角形的面積計算，考查了學(xué)生的運算求解能力.19．分析：結(jié)合題意表示出四點坐標，再由重心坐標公式即可求解【詳解】如圖：由題可知，，，則，即，故答案為：【點睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì)，重心坐標公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題20．B【詳解】試題分析：因為，所以，所以，即，所以，故選B．考點：1．雙曲線的幾何性質(zhì)；2．共線向量的性質(zhì)．21．分析：設(shè)出A,B,F點的坐標，由重心坐標公式得到，，利用拋物線的定義得到，再利用弦長公式得到|AB|,進行整理即可得答案.【詳解】設(shè)點A,B,焦點F(1,0),的重心坐標為,由重心坐標公式可得,，即，，由拋物線的定義可得,由點在拋物線上可得，作差，化簡得，代入弦長公式得|AB|=，則，故答案為【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查拋物線的定義和弦長公式以及三角形重心坐標公式的應(yīng)用，屬于中檔題.22．9分析：由題意可得出|AF|=a-ey1，|BF|=a-ey2，|CF|=a-ey3，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y1+y2+y3），因為△ABC的重心在原點O，所以，代入即可得出答案.【詳解】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），對于橢圓，，則，因為A（x1，y1）在橢圓上，所以，所以，，則|AF|=a-ey1，同理|BF|=a-ey2，|CF|=a-ey3，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y1+y2+y3），∵△ABC的重心在原點O，∴，又a=3，∴|AF|+|BF|+|CF|=9．故答案為：.23．或分析：設(shè)的方程為，設(shè)，，將直線方程代入橢圓方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合重心坐標公式表示出點的坐標，再由列方程可求出，從而可求出直線的方程.【詳解】∵過點且斜率不為0，∴可設(shè)的方程為，設(shè)，，由得

∴，，∴，又∵，∴，即，∴，令，解得

∴直線的方程為或．故答案為：或．24．A分析：設(shè)點P（m，n），則設(shè)△PF1F2的重心G（x，y），則由三角形的重心坐標公式可得x=，y=，解出m、n的解析式代入①化簡可得所求．【詳解】由雙曲線的方程可得a=4，b=3，c=5，∴F1（﹣5，0），F(xiàn)2（5，0）．設(shè)點P（m，n），則①．設(shè)△PF1F2的重心G（x，y）（y≠0），則由三角形的重心坐標公式可得x=，y=，即m=3x，n=3y，代入①化簡可得，故△PF1F2的重心G的軌跡方程是，故選A．【點睛】本題考查用代入法求點的軌跡方程的方法，三角形的重心坐標公式，找出點P（m，n）與重心G（x，y）的坐標間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．25．C分析：設(shè)，進而用坐標表示斜率即可解得各點的縱坐標，進一步可求橫坐標，利用重心坐標公式即可得解.【詳解】設(shè)則，得，同理，，三式相加得，故與前三式聯(lián)立，得，，，則.故所求重心的坐標為，故選C.【點睛】本題主要考查了解析幾何中常用的數(shù)學(xué)方法，集合問題坐標化，進而轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，對學(xué)生的能力有一定的要求，屬于中檔題.26．A分析：根據(jù)內(nèi)心及重心的性質(zhì)，可知點距軸的距離為，再利用等面積法建立關(guān)于與的等式，再利用點在橢圓C上可求解.【詳解】設(shè)點距軸的距離為，因為，則點距軸的距離為，連接，則，，所以，所以，所以橢圓方程為．故選：A27．C【解析】由題設(shè)條件及橢圓的定義，可得，進而可得為等腰三角形，計算，由重心和中點的定義，，即得解【詳解】由于點P為橢圓上一點，又故為等腰三角形，以為底的高為：故故選：C【點睛】本題考查了橢圓的定義和性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.28．D【解析】設(shè)，由，可得．結(jié)合的重心坐標，即可求得．【詳解】設(shè)，∵，則．∵的重心為，∴，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查的是拋物線定義的應(yīng)用及三角形的重心坐標公式，屬于基礎(chǔ)題.29．B【詳解】為拋物線的焦點，所以.設(shè)由拋物線定義知：，解得.重心的橫坐標.故選B.30．C【解析】如圖所示，過點作，垂足為點，計算，，得到，的方程為，聯(lián)立方程得到，，根據(jù)重心公式計算得到答案.【詳解】如圖所示，過點作，垂足為點，因為，反射光線的傾斜角為，所以，，可得，，即點，.將點代入（）中，得，解得或（舍去），所以拋物線的方程為，直線的方程為.設(shè)點，，聯(lián)立消去得，顯然，故.又因為，所以.設(shè)的重心坐標為，所以，，所以的重心坐標為，故選：C.【點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系、三角形的重心坐標公式，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.31．C分析：根據(jù)，得到，進而結(jié)合雙曲線的定義得到，從