2024河南中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 旋轉(zhuǎn)綜合訓(xùn)練 課件

旋轉(zhuǎn)綜合訓(xùn)練針對15題：與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的幾何圖形的計(jì)算1.如圖，四邊形ABCD是正方形，且AB＝

，將正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形AEFG，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)A，G，C三點(diǎn)共線時(shí)，則點(diǎn)F到BC的距離為____________．第1題圖2.(2023平頂山二模)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，且AB＝，BE＝1，連接AE，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜360°)，當(dāng)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′落在直線AD上時(shí)，點(diǎn)E的運(yùn)動路徑的長為______．

(結(jié)果保留π)第2題圖π或3π3.如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，過點(diǎn)A的射線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥射線l于點(diǎn)D，連接BD，當(dāng)AD＝CD時(shí)，△BCD的面積為______________．第3題圖4.(2023河南黑白卷)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將DE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到DF，連接AF，G為AF的中點(diǎn)，連接BG，若AB＝2

，AD＝4，當(dāng)DF∥BG時(shí)，BG的長為_____．第4題圖3或5

解題關(guān)鍵點(diǎn)需分點(diǎn)F在矩形內(nèi)部與點(diǎn)F在矩形外部兩種情況討論，結(jié)合矩形性質(zhì)求解．5.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到△AMN，連接BN，P是BN的中點(diǎn)，連接AP.在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠CBN＝15°時(shí)，

的值為________．第5題圖

解題關(guān)鍵點(diǎn)需分點(diǎn)P在BC上方與點(diǎn)P在BC下方兩種情況討論．6.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，將Rt△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到Rt△A′B′C，若其中一個三角形較長的直角邊與另一個三角形的斜邊垂直，則A′B的長為______．針對23題：與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的探究鏈接：微專題4手拉手模型；微專題13特殊三角形的分類討論；微專題14線段或直線上點(diǎn)位置不確定產(chǎn)生的分類討論；微專題16與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的分類討論1.

綜合與實(shí)踐問題情境：如圖①，在矩形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，且AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)M是邊AB上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，點(diǎn)N為線段AE上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，將∠ANM繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到∠QNP，兩邊分別交直線AD于點(diǎn)Q，P.(1)獨(dú)立思考：試判斷線段AM與PQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；第1題圖①第1題圖①(1)解：AM＝PQ；理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°.又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝

∠BAD＝

×90°＝45°，由旋轉(zhuǎn)可知：∠MNP＝∠ANQ＝90°，∠ANM＝∠QNP，∴∠AQN＝∠DAE＝∠BAE＝45°，∴AN＝QN，又∵∠AQN＝∠BAE＝45°，∠ANM＝∠QNP，∴△AMN≌△QPN(ASA)，∴AM＝PQ；(2)如圖②，當(dāng)MN∥BC時(shí)，判斷四邊形AMNP的形狀，并說明理由；第1題圖②(2)解：四邊形AMNP是正方形；理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°.又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝

∠BAD＝

×90°＝45°，∵M(jìn)N∥BC，∴∠AMN＝∠B＝90°，∠ANM＝90°－∠BAE＝90°－45°＝45°，∴AM＝MN，由旋轉(zhuǎn)可知：∠MNP＝90°，∴四邊形AMNP是矩形，又∵AM＝MN，∴四邊形AMNP是正方形；第1題圖②(3)解決問題：如圖③，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，且AN＝AM時(shí)，求證：△APN≌△ENM；第1題圖③(3)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝

∠BAD＝

×90°＝45°，又∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝∠BAE＝45°，∴AB＝EB＝EM，又∵AN＝AM＝AB，∴AN＝EM，∠AMN＝∠ANM，由旋轉(zhuǎn)可知：∠MNP＝90°，∴∠MNP－∠ANM＝∠ABC－∠AMN，∴∠ANP＝∠EMN，又∵AN＝EM，∠DAE＝∠AEB＝45°，∴△APN≌△ENM(ASA)；第1題圖③(4)探索發(fā)現(xiàn)：當(dāng)以點(diǎn)A，N，P為頂點(diǎn)的三角形是以AN為腰的等腰三角形時(shí)，請直接寫出的值．第1題圖③【解法提示】由題易證△AMN≌△QPN，分兩種情況：①如解圖①，當(dāng)AN＝AP，且點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，

；②如解圖②，當(dāng)AN＝AP，且點(diǎn)P在DA延長線上時(shí)，.第1題解圖①第1題解圖②(4)解：

的值為

－1或

＋1.

解題關(guān)鍵點(diǎn)需分兩種情況討論：①AN＝AP且點(diǎn)P在線段AD上；②AN＝AP且點(diǎn)P在DA延長線上，利用△AMN≌△QPN求解．2.

綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓學(xué)生們以“直角三角形”為背景展開數(shù)學(xué)活動．問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AO平分∠BAC.(1)操作判斷如圖①，當(dāng)AB＝AC時(shí)，過點(diǎn)O作OD∥AB交AC于點(diǎn)D，連接BD，則∠BOD的度數(shù)是______，線段BD與OD的數(shù)量關(guān)系是________；第2題圖①【解法提示】∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°.∵OD∥AB，∴∠BAC＝∠ODC＝90°，∴∠COD＝45°，∴∠BOD＝135°.∵AO平分∠BAC，∴OB＝OC.∵OD∥AB，∴CD＝AD，設(shè)AB＝AC＝2a，則AD＝a，OD＝

AB＝a.在Rt△ABD中，BD＝

＝

a，∴BD＝

OD.第2題圖①解：(1)135°，BD＝

OD；(2)遷移探究如圖②，若AB≠AC，點(diǎn)P是AO上任一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，O重合)，過點(diǎn)P作PD∥AB交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，且AE＝2AD，連接PE，DE，請寫出∠EPD的度數(shù)及線段DE與PD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；第2題圖②(2)∠EPD＝135°，DE＝

DP.理由如下：如圖，過點(diǎn)P作PF⊥AB交AB于點(diǎn)F.∟F∵∠BAC＝90°，AO平分∠BAC，∴∠BAO＝∠CAO＝45°.∵PD∥AB，∴∠ADP＝∠BAC＝90°.∴四邊形ADPF為正方形，∴AD＝AF，∠DPF＝90°.∵AE＝2AD，∴AF＝EF＝PF.∵PF⊥AB，∴AP＝EP，∴∠BAP＝∠AEP＝45°，∴∠EPF＝45°，∴∠EPD＝135°；設(shè)AE＝2b，則AD＝PD＝b，在Rt△ADE中，DE＝

＝

b，∴DE＝

PD；第2題圖②∟F(3)拓展應(yīng)用在(2)的條件下，將△EAD繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)得到△EA′D′，當(dāng)點(diǎn)P，E，A′在同一直線上，且DE＝

時(shí)，連接A′D，請直接寫出△PA′D的面積．第2題圖②【解法提示】分兩種情況討論：①如解圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段A′E上時(shí)，延長EA′交AC于點(diǎn)G，由(2)得∠APE＝∠PDG＝90°，DE＝

PD＝

，∴PD＝1.第2題解圖②∵∠BAC＝90°，AO平分∠BAC，∴∠PGD＝45°，∴AG＝AE＝2PD＝2，PG＝PE＝

AE＝

，∴△PA′D中A′P邊上的高為

PG＝

.由旋轉(zhuǎn)可得AE＝A′E＝2，∴A′P＝A′E－PE＝2－

，∴△PA′D的面積為

(2－

)×＝

；第2題解圖②第2題解圖③②如解圖③，當(dāng)點(diǎn)P在射線A′E的延長線上時(shí)，△PA′D中A′P邊上的高為

.∵A′P＝A′E＋EP＝2＋

.∴△PA′D的面積為

(2＋

)×＝

.綜上所述，△PA′D的面積為

或

.

解題關(guān)鍵點(diǎn)需分兩種情況討論：①點(diǎn)P在線段A′E上；②點(diǎn)P在線段A′E的延長線上．3.(2023南陽二模)數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以“等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開展如下探究活動：(1)【操作探究】如圖①，△ABC為等邊三角形，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°，得到△ADE，連接BE，則∠EBC＝______°.若F是BE的中點(diǎn)，連接AF，則AF與DE的數(shù)量關(guān)系是________；第3題圖①【解法提示】∵△ABC為等邊三角形，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°，得到△ADE，∴AC＝AE＝AB＝AD，∠ABC＝∠C＝∠ADE，∴∠AEB＝∠ABE，∴2(∠ABE＋∠ABC)＝180°，∴∠EBC＝90°；∵F是BE的中點(diǎn)，A是BD的中點(diǎn)，∴AF＝

DE.解：(1)90；AF＝

DE；第3題圖①(2)【遷移探究】如圖②，將(1)中的△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到△ADE，其他條件不變，求出此時(shí)∠EBC的度數(shù)及AF與DE的數(shù)量關(guān)系；第3題圖②(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知AB＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝30°，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE＝45°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝15°.∵F是BE的中點(diǎn)，∴AF＝

BE＝

AB，∴AF＝

DE，∴∠EBC＝15°，AF＝

DE；(3)【拓展應(yīng)用】如圖③，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到△ADE，連接BE，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，連接AF.在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠EBC＝15°時(shí)，直接寫出線段AF的長．第3題圖③【解法提示】分以下兩種情況進(jìn)行討論：①如解圖①，當(dāng)點(diǎn)E在BC下方時(shí)，根據(jù)題意，得△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°.∵∠EBC＝15°，∴∠ABF＝60°，∵AB＝AE，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，∴AF⊥BE，∴AF＝

AB＝

；第3題解圖①②如解圖②，當(dāng)點(diǎn)E在BC上方時(shí)，同理，可得∠ABE＝30°，AF＝

AB＝1，綜上所述，AF的長為

或1.第3題解圖②(3)

或1.

解題關(guān)鍵點(diǎn)需分兩種情況討論：①點(diǎn)E在BC下方；②點(diǎn)E在BC上方．4.綜合與實(shí)踐(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖①，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，在△ABC的外部作等邊三角形CDE，且CD＜AB，連接AE，BD，取BD的中點(diǎn)F，連接AF.如圖②，將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在線段AC上．猜想并填空：①

的值是________；②∠EAF的度數(shù)是________；第4題圖①第4題圖②【解法提示】如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為G，連接FG，第4題圖②G∟H過點(diǎn)F作FH⊥CD于點(diǎn)H，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，△CDE是等邊三角形，∴∠ACB＝30°，∠DCE＝60°，∴∠BCD＝90°，∵F為BD的中點(diǎn)，∴FG為Rt△BCD的中位線，∴FG∥CD，F(xiàn)G＝

CD，易得A，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線，DC⊥BC.又∵△CDE是等邊三角形，F(xiàn)H⊥CD，∴F，E，H三點(diǎn)共線，∴FE∥BC，F(xiàn)H⊥AG.∴∠AEF＝∠ACB＝30°，∴＝

，∠EAF＝60°.解：(1)①；②60°；第4題圖②G∟H(2)問題探究在(1)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在線段BC上時(shí)，如圖③，(1)中猜想的結(jié)論①與②是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；第4題圖③(2)(1)中猜想的結(jié)論①與②都成立，證明如下：如解圖②，延長BA到M，使AM＝AB，連接MD，MC，M∵F是BD的中點(diǎn)，∴BF＝FD.∴AF是△BDM的中位線，∴AF∥DM，AF＝

DM，∵AB＝AC，AM＝AB，∴AC＝AM.又∵∠BAC＝120°，∴∠CAM＝180°－∠BAC＝60°，∴△ACM是等邊三角形，∴CM＝CA，∠ACM＝∠AMC＝60°，∵△CDE是等邊三角形，∴CD＝CE，∠ECD＝60°，∴∠ACM＝∠ECD，第4題圖③M∴∠ACM－∠ACD＝∠ECD－∠ACD，即∠DCM＝∠ECA，∴△DCM≌△ECA，∴MD＝AE，∠DMC＝∠EAC.∵AF＝

DM，∴AF＝

AE，即

＝

.∵AF∥DM，∴∠BAF＝∠AMD.又∵∠EAC＝∠DMC，∴∠BAF＋∠EAC＝∠AMD＋∠DMC＝∠AMC＝60°，∵∠BAC＝120°，∴∠EAF＝∠BAC－(∠BAF＋∠EAC)＝60°；第4題圖③M(3)問題解決在△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過程中，若AB＝6，CD＝2，當(dāng)CE⊥BC時(shí)，請直接寫出線段AF的長度．第4題圖③第4題解圖③【解法提示】①當(dāng)點(diǎn)E在BC上方時(shí)，如解圖③，過點(diǎn)E作EN⊥AC于點(diǎn)N，∴∠ECN＝90°－∠ACB＝60°，∵CD＝CE＝2，∴CN＝

CE＝1，∴NE＝

，AN＝AC－CN＝AB－CN＝5.在Rt△ANE中，AE＝

＝2

，由(1)(2)易得AF＝

AE，∴AF＝

；②當(dāng)點(diǎn)E在BC下方時(shí)，如解圖④，過點(diǎn)E作EP⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)P，∵∠ACB＝30°，CE⊥BC，∴∠ECP＝60°，∴CP＝

CE＝

CD＝1，第4題解圖③第4題解圖④∴AP＝7，EP＝

.在Rt△APE中，AE＝

＝2

，由(1)(2)易得AF＝

AE，∴AF＝

.綜上所述，AF的長為

或

.第4題解圖④

解題關(guān)鍵點(diǎn)需分兩種情況討論：①點(diǎn)E在BC上方；②點(diǎn)E在BC下方．5.在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，D為邊BC的中點(diǎn)，以CD為一邊作正方形CDEF.(1)如圖①，點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合，則線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為__________；第5題圖①【解法提示】∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵D為邊BC的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝CD，∵四邊形CDEF是正方形，∴EF＝DE，∠ADC＝90°，∴∠ADB＝90°，∴△BDE為等腰直角三角形，∴，∴BE＝

DE＝

AF.BE＝

A