高一數(shù)學(xué)?？键c(diǎn)微專題提分精練(人教A版必修第一冊(cè))微專題19零點(diǎn)與方程的問(wèn)題(原卷版+解析)

微專題19零點(diǎn)與方程的問(wèn)題【方法技巧與總結(jié)】1、函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，，且具有單調(diào)性，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).2、函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，且函數(shù)具有單調(diào)性，則3、零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法（1）直接法：直接求零點(diǎn)，令，如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn).（2）定理法：利用零點(diǎn)存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).（3）數(shù)形結(jié)合法：①單個(gè)函數(shù)圖象：利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；②兩個(gè)函數(shù)圖象：將函數(shù)拆成兩個(gè)函數(shù)和的差，根據(jù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).4、判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間（1）將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)求函數(shù)的值；（2）將所得函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號(hào)判斷；（3）若符號(hào)為正且在該區(qū)間內(nèi)是遞增或遞減，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)圖象連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少一個(gè)零點(diǎn)。5、已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的方法（1）直接法：利用零點(diǎn)存在的判定定理建立不等式；（2）數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；（3）分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題．【題型歸納目錄】題型一：零點(diǎn)存在性定理與根的分布題型二：零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題題型三：零點(diǎn)關(guān)系題型四：零點(diǎn)大小與整數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題【典型例題】題型一：零點(diǎn)存在性定理與根的分布例1．(2023·內(nèi)蒙古·北方重工集團(tuán)第五中學(xué)高一階段練習(xí)（文））函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．例2．(2023·山東·臨沂二十四中高一階段練習(xí)）方程的根所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．例3．(2023·山西·長(zhǎng)治市第四中學(xué)校高一期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．變式1．(2023·山東·招遠(yuǎn)市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)根，，且，則實(shí)數(shù)a，b，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．變式2．(2023·湖南省臨澧縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，則m的值為（

）A．-4 B．-5 C．-6 D．-7變式3．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)至少有一個(gè)大于0，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式4．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．變式5．(2023·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或變式6．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)的圖像連續(xù)不斷，若存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒成立，則稱是“回旋函數(shù)”．若函數(shù)是“回旋函數(shù)”，且，則在上（

）A．至多有2022個(gè)零點(diǎn) B．至多有1011個(gè)零點(diǎn)C．至少有2022個(gè)零點(diǎn) D．至少有1011個(gè)零點(diǎn)變式7．(2023·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，以下說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．變式8．(2023·江蘇省新海高級(jí)中學(xué)高一期中）方程的根，，則=___________題型二：零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題例4．(2023·江蘇·宿遷中學(xué)高一期中）已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，且有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足題意的一個(gè)實(shí)數(shù)的值可以為_(kāi)_____．例5．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．例6．(2023·湖南衡陽(yáng)·高一期末）已知函數(shù)定義城為，恒有，時(shí)；若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則t的取值范圍為_(kāi)_____．變式9．(2023·江蘇省新海高級(jí)中學(xué)高一期中）已知函數(shù)(1)求和的值(2)若函數(shù)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).變式10．(2023·貴州貴陽(yáng)·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求函數(shù)的解析式.(2)討論直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).變式11．(2023·浙江省永嘉縣碧蓮中學(xué)高一期中）已知“不小于的最小的整數(shù)”所確定的函數(shù)通常記為，例如：，則方程的正實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)變式12．(2023·天津·高一期末）定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間上函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式13．(2023·天津·高一期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型三：零點(diǎn)關(guān)系例7．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則有A． B． C． D．例8．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則有A． B． C． D．例9．設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解，，，則的值是A．1 B．3 C．5 D．10變式14．已知，，，，若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是，，則的最小值是A． B． C． D．變式15．已知定義在上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則方程在，內(nèi)的所有根之和為A．12 B．6 C．4 D．2變式16．設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的解，，，，，則．變式17．設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則值為．變式18．已知，，若關(guān)于的不等式的解集為，，，，則的取值范圍為．變式19．已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，，且滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．題型四：零點(diǎn)大小與整數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題例10．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則有A． B． C． D．例11．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則有A． B． C． D．例12．設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解，，，則的值是A．1 B．3 C．5 D．10變式20．已知，，，，若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是，，則的最小值是A． B． C． D．變式21．已知定義在上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則方程在，內(nèi)的所有根之和為A．12 B．6 C．4 D．2變式22．設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的解，，，，，則．變式23．設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則值為．變式24．已知，，若關(guān)于的不等式的解集為，，，，則的取值范圍為．變式25．已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，，且滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．(2023·江蘇·常州市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若它們同時(shí)滿足條件：①，或；②，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．(2023·湖北·襄陽(yáng)五中高一期中）形如的函數(shù)，因其圖象類似于漢字“囧”，故被稱為“囧函數(shù)”，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（

）①函數(shù)的定義域?yàn)?；②；③函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；④當(dāng)時(shí)，；⑤方程有四個(gè)不同的根.A． B． C． D．3．(2023·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)高一期末）設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)（且）在上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)和的定義域及值域均為，它們的圖像如圖所示，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．5 D．65．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，都有，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．(2023·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減，若的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．(2023·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知，不等式恒成立，實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B．C． D．8．(2023·湖南·長(zhǎng)沙一中高一期末）已知函數(shù)（），．若，在上有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．(2023·山東·青島二中高一期中）表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，定義函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．方程有無(wú)數(shù)個(gè)解C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．若直線與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是10．(2023·廣東·北京師范大學(xué)廣州實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一期中）已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A． B．的最大值為C．有兩個(gè)零點(diǎn) D．的解集為11．(2023·河南南陽(yáng)·高一期中）已知函數(shù)，設(shè)，，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則12．(2023·河南河南·高一階段練習(xí)）已知，若，則（

）A． B．C． D．13．(2023·湖北·華中師大一附中高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，若方程有六個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)可能的取值為（

）A． B． C． D．三、填空題14．(2023·浙江溫州·高一期中）已知是R上的增函數(shù),若關(guān)于x的方程有且只有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是__________．15．(2023·江蘇·宿遷中學(xué)高一期中）若方程有四個(gè)不同的根，則的取值范圍是_______．16．(2023·上海市延安中學(xué)高一階段練習(xí)）若，關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根分別為，則方程可寫(xiě)成，即，容易發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系：若，設(shè)關(guān)于的一元三次方程的三個(gè)非零實(shí)數(shù)根分別為，則___________.17．(2023·山西山西·高一階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)根均大于0，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.四、解答題18．(2023·云南師大附中高一期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).(1)求；(2)若關(guān)于的方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．(2023·山西·晉城市第一中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程，當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，(1)方程在內(nèi)有根；(2)方程的根都小于1.20．(2023·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，在下列條件下，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(1)兩根均大于1；(2)一個(gè)根大于1，一個(gè)根小于1．21．(2023·北京四中高一階段練習(xí)）關(guān)于的方程，設(shè)為方程的兩根.(1)若，求的值；(2)若滿足，試求的值；(3)若均大于0，求的取值范圍.22．(2023·廣東·深圳市高級(jí)中學(xué)高一期中）已知二次函數(shù)，(1)若不等式的解集為，求a、b的值.(2)當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根小于1，一個(gè)根大于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.微專題19零點(diǎn)與方程的問(wèn)題【方法技巧與總結(jié)】1、函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，，且具有單調(diào)性，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).2、函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，且函數(shù)具有單調(diào)性，則3、零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法（1）直接法：直接求零點(diǎn)，令，如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn).（2）定理法：利用零點(diǎn)存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).（3）數(shù)形結(jié)合法：①單個(gè)函數(shù)圖象：利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；②兩個(gè)函數(shù)圖象：將函數(shù)拆成兩個(gè)函數(shù)和的差，根據(jù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).4、判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間（1）將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)求函數(shù)的值；（2）將所得函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號(hào)判斷；（3）若符號(hào)為正且在該區(qū)間內(nèi)是遞增或遞減，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；若符號(hào)為負(fù)且函數(shù)圖象連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少一個(gè)零點(diǎn)。5、已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的方法（1）直接法：利用零點(diǎn)存在的判定定理建立不等式；（2）數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；（3）分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題．【題型歸納目錄】題型一：零點(diǎn)存在性定理與根的分布題型二：零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題題型三：零點(diǎn)關(guān)系題型四：零點(diǎn)大小與整數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題【典型例題】題型一：零點(diǎn)存在性定理與根的分布例1．(2023·內(nèi)蒙古·北方重工集團(tuán)第五中學(xué)高一階段練習(xí)（文））函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以由零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)在(3，4)之間存在零點(diǎn)，故選：C例2．(2023·山東·臨沂二十四中高一階段練習(xí)）方程的根所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】令，顯然單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在性定理可知：的零點(diǎn)所在區(qū)間為，所以的根所在區(qū)間為.故選：B例3．(2023·山西·長(zhǎng)治市第四中學(xué)校高一期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因?yàn)榕c在定義域上單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞增，又，，，即，所以的零點(diǎn)位于內(nèi)；故選：C變式1．(2023·山東·招遠(yuǎn)市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)根，，且，則實(shí)數(shù)a，b，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由，令，，則，所以，為與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，且，將向下移動(dòng)1個(gè)單位得到，且與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)且，所以.故選：C變式2．(2023·湖南省臨澧縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，則m的值為（

）A．-4 B．-5 C．-6 D．-7答案：A【解析】因?yàn)樵畏匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，，且，令，則由題意可得，即解得，又，可得.故選：A.變式3．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)至少有一個(gè)大于0，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】①當(dāng)時(shí)，由，得，符合題意．②當(dāng)時(shí)，由，得，此時(shí)，解得，符合題意；由，得，此時(shí)設(shè)的兩根分別為，，且，若，則，，即，，符合題意，若，則，，即，，符合題意．綜上，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B變式4．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．答案：C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為一次函數(shù)，要使其在區(qū)間上存在零點(diǎn)，要保證其兩端點(diǎn)分別在軸的兩側(cè)，所以即，解得或，故選項(xiàng).變式5．(2023·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或答案：B【解析】令，因?yàn)椋院瘮?shù)圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在零點(diǎn)，且函數(shù)圖象連續(xù)，所以，或，所以，或，解得或故選：B變式6．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)的圖像連續(xù)不斷，若存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒成立，則稱是“回旋函數(shù)”．若函數(shù)是“回旋函數(shù)”，且，則在上（

）A．至多有2022個(gè)零點(diǎn) B．至多有1011個(gè)零點(diǎn)C．至少有2022個(gè)零點(diǎn) D．至少有1011個(gè)零點(diǎn)答案：D【解析】因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，令，得．若，則與異號(hào)，即，由零點(diǎn)存在定理得在上至少存在一個(gè)零點(diǎn)．由于，得到，進(jìn)而，所以在區(qū)間，，…，內(nèi)均至少有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上至少有1011個(gè)零點(diǎn)．構(gòu)造函數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，是“回旋函數(shù)”，在上恰好有1011個(gè)零點(diǎn).若，則，此時(shí)在上至少有1012個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，在上至少有1011個(gè)零點(diǎn)，且可能有1011個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，D正確；可能零點(diǎn)各數(shù)個(gè)數(shù)至少1012，大于1011，故B錯(cuò)誤；對(duì)于A,[解法一]取函數(shù)，滿足，但在上處處是零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤.[解法二]構(gòu)造函數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，是“回旋函數(shù)”，在上恰好有2023個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤.故選：D．變式7．(2023·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，以下說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由題設(shè)，，，，所以問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為直線與，，的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，函數(shù)圖象如下．由圖知．故選：A．變式8．(2023·江蘇省新海高級(jí)中學(xué)高一期中）方程的根，，則=___________答案：2【解析】令，易知函數(shù)單調(diào)遞增，且.所以的唯一零點(diǎn)所以方程的根，故.故答案為：2題型二：零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題例4．(2023·江蘇·宿遷中學(xué)高一期中）已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，且有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足題意的一個(gè)實(shí)數(shù)的值可以為_(kāi)_____．答案：（答案不唯一）【解析】由于函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則，故，由于，整理得，解得或，故滿足的條件的取值范圍為，故的值可以為：（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．例5．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．答案：1【解析】解法一：令，可得方程，即，故原函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的大致圖象（如圖）．由圖可知，函數(shù)與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故答案為：1解法二：∵，，∴，又的圖象在上是不間斷的，∴在上必有零點(diǎn)，又在上是單調(diào)遞增的，∴函數(shù)的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，故答案為：1例6．(2023·湖南衡陽(yáng)·高一期末）已知函數(shù)定義城為，恒有，時(shí)；若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則t的取值范圍為_(kāi)_____．答案：【解析】設(shè)，則，則，設(shè)，則，則，則，則，函數(shù)圖象如下：由，可得，或，由，可得，或，或，則僅有一根，又，，則，解之得，故答案為：.變式9．(2023·江蘇省新海高級(jí)中學(xué)高一期中）已知函數(shù)(1)求和的值(2)若函數(shù)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】（1）因?yàn)椋?，，?）根據(jù)題意零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即為的圖象與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知，當(dāng)或時(shí)，的圖象與直線有2個(gè)交點(diǎn)，即有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，即有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的圖象與直線有1個(gè)交點(diǎn)，即有1個(gè)零點(diǎn)，綜上，當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn).變式10．(2023·貴州貴陽(yáng)·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求函數(shù)的解析式.(2)討論直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】（1）當(dāng)時(shí)，.所以又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以所以，函數(shù)的解析式為.（2）畫(huà)出的圖像如上圖所示，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，取得最小值，當(dāng)時(shí)，直線與曲線無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與曲線有4個(gè)交點(diǎn).變式11．(2023·浙江省永嘉縣碧蓮中學(xué)高一期中）已知“不小于的最小的整數(shù)”所確定的函數(shù)通常記為，例如：，則方程的正實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)答案：B【解析】因?yàn)椋鞒龊瘮?shù)的圖象，（紅色點(diǎn)表示不包括端點(diǎn)）其與直線的交點(diǎn)在軸右側(cè)的個(gè)數(shù)即為正實(shí)根的個(gè)數(shù)，觀察圖象有，共2個(gè)交點(diǎn)，所以方程的正實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是2個(gè).故選：B.變式12．(2023·天津·高一期末）定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間上函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)槎x在R上的函數(shù)滿足，所以，即是周期為2的函數(shù)，由，可得，因?yàn)樵趨^(qū)間上函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有4個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)與的大致圖象，由圖象可知，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：D.變式13．(2023·天津·高一期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】由得：或，因函數(shù)，由解得，因此函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)方程有三個(gè)不同的根，函數(shù)在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，函數(shù)在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，方程有3個(gè)不同的根，當(dāng)且僅當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，觀察圖象知，當(dāng)或，即或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A題型三：零點(diǎn)關(guān)系例7．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則有A． B． C． D．【解析】解：有兩個(gè)零點(diǎn)，即與有兩個(gè)交點(diǎn)由題意，分別畫(huà)和的圖象發(fā)現(xiàn)在和有兩個(gè)交點(diǎn)不妨設(shè)在里在里那么在上有，即①在有②①②相加有，即故選：．例8．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則有A． B． C． D．【解析】解：有兩個(gè)零點(diǎn)，即與有兩個(gè)交點(diǎn)由題意，分別畫(huà)和的圖象發(fā)現(xiàn)在和有兩個(gè)交點(diǎn)不妨設(shè)在里，在里那么在上有即①在有②①②相加有，，即故選：．例9．設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解，，，則的值是A．1 B．3 C．5 D．10【解析】解：令，做出的函數(shù)圖象如下：由圖象可知當(dāng)時(shí)，有三解，當(dāng)或時(shí)，有兩解，當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解．關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解，，，，當(dāng)時(shí)，令解得，當(dāng)時(shí)，令解得，當(dāng)時(shí)，顯然是的解．不妨設(shè)，則，，，．故選：．變式14．已知，，，，若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是，，則的最小值是A． B． C． D．【解析】解：函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是，，的兩個(gè)根是，，則．，，，，則原式，即的最小值是，故選：．變式15．已知定義在上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則方程在，內(nèi)的所有根之和為A．12 B．6 C．4 D．2【解析】解：定義在上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，即，是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在，內(nèi)的圖象如右圖：由方程得，作出函數(shù)的圖象如圖：則兩個(gè)函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別關(guān)于和對(duì)稱，則在，內(nèi)的零點(diǎn)之和為：．故選：．變式16．設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的解，，，，，則．【解析】解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示，令，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)根，當(dāng)或時(shí)，方程有2個(gè)根，則方程，等價(jià)于，因?yàn)榉匠糖∮?個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，，，所以等價(jià)于方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，或，或，可得這5個(gè)根也關(guān)于直線對(duì)稱，所以．故答案為：5．變式17．設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則值為．【解析】解：作函數(shù)的圖象如下，，關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解1，，，，故，故答案為：．變式18．已知，，若關(guān)于的不等式的解集為，，，，則的取值范圍為．【解析】解：依題意：、為方程的兩個(gè)根，、為方程的兩個(gè)根．設(shè)．令，則，則，，即，，解得（或，不合題意，舍去），故答案為：變式19．已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，，且滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【解析】解：函數(shù)，作出函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，又，當(dāng)時(shí)，方程才有兩個(gè)不同的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的實(shí)根，即有兩個(gè)解，即有兩個(gè)根，此時(shí)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，分別與，有交點(diǎn)，設(shè)，則，由，消去可得，，所以，因?yàn)?，所以，解得或，又因?yàn)?，所以，由圖象可知，在上單調(diào)遞減，又，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．題型四：零點(diǎn)大小與整數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題例10．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則有A． B． C． D．【解析】解：有兩個(gè)零點(diǎn)，即與有兩個(gè)交點(diǎn)由題意，分別畫(huà)和的圖象發(fā)現(xiàn)在和有兩個(gè)交點(diǎn)不妨設(shè)在里在里那么在上有，即①在有②①②相加有，即故選：．例11．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，則有A． B． C． D．【解析】解：有兩個(gè)零點(diǎn)，即與有兩個(gè)交點(diǎn)由題意，分別畫(huà)和的圖象發(fā)現(xiàn)在和有兩個(gè)交點(diǎn)不妨設(shè)在里，在里那么在上有即①在有②①②相加有，，即故選：．例12．設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解，，，則的值是A．1 B．3 C．5 D．10【解析】解：令，做出的函數(shù)圖象如下：由圖象可知當(dāng)時(shí)，有三解，當(dāng)或時(shí)，有兩解，當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解．關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解，，，，當(dāng)時(shí)，令解得，當(dāng)時(shí)，令解得，當(dāng)時(shí)，顯然是的解．不妨設(shè)，則，，，．故選：．變式20．已知，，，，若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是，，則的最小值是A． B． C． D．【解析】解：函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是，，的兩個(gè)根是，，則．，，，，則原式，即的最小值是，故選：．變式21．已知定義在上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則方程在，內(nèi)的所有根之和為A．12 B．6 C．4 D．2【解析】解：定義在上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，即，是以4為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在，內(nèi)的圖象如右圖：由方程得，作出函數(shù)的圖象如圖：則兩個(gè)函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別關(guān)于和對(duì)稱，則在，內(nèi)的零點(diǎn)之和為：．故選：．變式22．設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的解，，，，，則．【解析】解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示，令，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)根，當(dāng)或時(shí)，方程有2個(gè)根，則方程，等價(jià)于，因?yàn)榉匠糖∮?個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，，，所以等價(jià)于方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，或，或，可得這5個(gè)根也關(guān)于直線對(duì)稱，所以．故答案為：5．變式23．設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則值為．【解析】解：作函數(shù)的圖象如下，，關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解1，，，，故，故答案為：．變式24．已知，，若關(guān)于的不等式的解集為，，，，則的取值范圍為．【解析】解：依題意：、為方程的兩個(gè)根，、為方程的兩個(gè)根．設(shè)．令，則，則，，即，，解得（或，不合題意，舍去），故答案為：變式25．已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，，且滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【解析】解：函數(shù)，作出函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，又，當(dāng)時(shí)，方程才有兩個(gè)不同的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的實(shí)根，即有兩個(gè)解，即有兩個(gè)根，此時(shí)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，分別與，有交點(diǎn)，設(shè)，則，由，消去可得，，所以，因?yàn)?，所以，解得或，又因?yàn)?，所以，由圖象可知，在上單調(diào)遞減，又，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．(2023·江蘇·常州市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若它們同時(shí)滿足條件：①，或；②，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，成立，只需當(dāng)時(shí)，恒成立即可，，解得：；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，則只需，即可；令，解得：，；由①得：，，，若，，則只需，解得：；綜上所述：的取值范圍為.故選：D.2．(2023·湖北·襄陽(yáng)五中高一期中）形如的函數(shù)，因其圖象類似于漢字“囧”，故被稱為“囧函數(shù)”，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（

）①函數(shù)的定義域?yàn)?；②；③函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；④當(dāng)時(shí)，；⑤方程有四個(gè)不同的根.A． B． C． D．答案：B【解析】對(duì)于①，由得：，的定義域?yàn)?，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，，②正確；對(duì)于③，，，，不關(guān)于直線對(duì)稱，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，，④正確；對(duì)于⑤，在平面直角坐標(biāo)系中，作出與的圖象如下圖所示，由圖象可知：與有四個(gè)不同交點(diǎn)，方程有四個(gè)不同的根，⑤正確.故選：B.3．(2023·浙江·杭州高級(jí)中學(xué)高一期末）設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)（且）在上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即當(dāng)時(shí)，又對(duì)任意，都有，則關(guān)于對(duì)稱，且，，即函數(shù)的周期為，又由函數(shù)且在上恰有個(gè)不同的零點(diǎn)，得函數(shù)與的圖像在上有個(gè)不同的交點(diǎn)，又，當(dāng)時(shí)，由圖可得，解得；當(dāng)時(shí)，由圖可得，解得．綜上可得.故選：C．4．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)和的定義域及值域均為，它們的圖像如圖所示，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．5 D．6答案：D【解析】由題意，知函數(shù)的零點(diǎn)，即方程根.令，，則.當(dāng)時(shí)，滿足方程的有2個(gè)，此時(shí)有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，滿足方程的有1個(gè)，此時(shí)有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.綜上可知方程共有6個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)共有6個(gè)零點(diǎn).故選：D5．(2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，都有，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，……由此可得由此作出函數(shù)的圖象，如圖所示．由圖可知當(dāng)時(shí)，令，整理，得，解得或，將這兩個(gè)值標(biāo)注在圖中．要使對(duì)任意都有，必有，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：B．6．(2023·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減，若的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因?yàn)椋ㄇ遥┦巧系膯握{(diào)遞減函數(shù)，所以，即，所以，畫(huà)出的大致圖象和直線，如圖所示．由圖可知，在上的圖象與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故在上，的圖象與直線同樣有且僅有一個(gè)交點(diǎn)．聯(lián)立與得，整理得，則此方程在上有且僅有一個(gè)解，設(shè)，當(dāng)時(shí)，顯然方程在上有且僅有一個(gè)解，所以；當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程在上無(wú)解；當(dāng)時(shí)，要使方程在上有且僅有一個(gè)解，則且，此時(shí)方程組無(wú)解．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B．7．(2023·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知，不等式恒成立，實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】，，，即，令，若，，等價(jià)于，令，，，若，，即，①當(dāng)，即時(shí)，不等式在上恒成立；②當(dāng)，即或時(shí)，要使不等式在上恒成立，則有，解得，，綜上所述，實(shí)數(shù)取值范圍是.故選：A.8．(2023·湖南·長(zhǎng)沙一中高一期末）已知函數(shù)（），．若，在上有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】①當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?為一個(gè)零點(diǎn)，又，因?yàn)?，所以，所以，所?為的一個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，，，所以在上無(wú)零點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，，在上無(wú)零點(diǎn)，所以．在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，因?yàn)?，．函?shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，，又，即時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上，a的取值范圍為.故選：A.二、多選題9．(2023·山東·青島二中高一期中）表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，定義函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．方程有無(wú)數(shù)個(gè)解C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．若直線與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是答案：BCD【解析】顯然，所以所以，所以是周期為1的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤，同時(shí)得C正確；因?yàn)槭侵芷跒?的函數(shù)，所以方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，故B正確；作出函數(shù)的圖象，作直線，直線，過(guò)點(diǎn)時(shí)，，過(guò)點(diǎn)時(shí)，，過(guò)點(diǎn)時(shí)，，過(guò)點(diǎn)時(shí)，，直線橫過(guò)定點(diǎn)（－1，0），要使與恰有三個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，或，D正確.故選：BCD．10．(2023·廣東·北京師范大學(xué)廣州實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一期中）已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A． B．的最大值為C．有兩個(gè)零點(diǎn) D．的解集為答案：ACD【解析】，，A正確；時(shí)，，時(shí)，是減函數(shù)，，所以無(wú)最大值，B錯(cuò)；時(shí)，滿足題意，時(shí)，，，滿足題意，C正確；時(shí)，由得，時(shí)，由，，綜上的解為，D正確．故選：ACD．11．(2023·河南南陽(yáng)·高一期中）已知函數(shù)，設(shè)，，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則答案：ABD【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖示：當(dāng)時(shí)，由于，可知，則，則，即，A正確；由于，則，即，B正確；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有，即，不符合C,D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，由于，則，即，當(dāng)時(shí)，遞增，若，則即，當(dāng)時(shí)，遞減，若，則，即；若，則由，令，由于此時(shí)，則，由，可得，即，故C錯(cuò)誤，D正確，故選：ABD12．(2023·河南河南·高一階段練習(xí)）已知，若，則（

）A． B．C． D．答案：CD【解析】令，則二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為，又，所以是由的圖象向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，且的圖象與軸的交點(diǎn)為，所以可知.故選：CD.13．(2023·湖北·華中師大一附中高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，若方程有六個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)可能的取值為（

）A． B． C． D．答案：BD【解析】的圖像如圖所示：則要使方程有六個(gè)相異