四川省遂寧市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期11月月考試題含解析

Page21高二上期其次次學(xué)月考試數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）留意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)滿意（i是虛數(shù)單位），則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算法則和除法法則計(jì)算得到，得到虛部.【詳解】，則，則其虛部為．故選：D2.若，，三點(diǎn)共線，則（）A.4 B. C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】依據(jù)空間向量平行坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，解得．故．故選：A.3.已知直三棱柱的全部棱長均為1，則直線與直線所成夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】直三棱柱的全部棱長均為1，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面內(nèi)過作的垂線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)直線與直線夾角為，則直線與直線夾角的余弦值為．故選：C．4.已知直線，則直線l的傾斜角為（）A.120° B.60° C.30° D.150°【答案】D【解析】【分析】依據(jù)直線方程得到，然后依據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求傾斜角即可.【詳解】直線方程可整理為，即，所以直線的斜率，設(shè)傾斜角為，則，因?yàn)?，所?故選：D.5.若雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)公式，即可求解.【詳解】由題意可知，，則，所以雙曲線的漸近線方程為，即.故選：A6.從2024年6月起先，浙江省高考數(shù)學(xué)運(yùn)用新高考全國數(shù)學(xué)I卷，與之前浙江高考數(shù)學(xué)卷相比最大的變更是出現(xiàn)了多選題.多選題規(guī)定：在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)且沒有選錯(cuò)的得2分.若某題多選題正確答案是BCD，某同學(xué)不會(huì)做該題的狀況下準(zhǔn)備隨機(jī)選1個(gè)到3個(gè)選項(xiàng)作為答案，每種答案都等可能（例如，選A，AB，ABC是等可能的），則該題得2分的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用組合數(shù)求得隨機(jī)地填涂了1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)選項(xiàng)，每種可能性都是相同的，然后列舉計(jì)數(shù)能得2分的涂法種數(shù)，求得所求概率．【詳解】隨機(jī)地填涂了1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)選項(xiàng)，有A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD共有14種涂法，

得2分的涂法為BC，BD，CD，B，C，D，共6種，

故能得2分的概率為．

故選：B．7.已知點(diǎn)是直線：和：的交點(diǎn)，點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意分析可知點(diǎn)的軌跡是以的中點(diǎn)，半徑的圓，結(jié)合圓的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)橹本€：，即，令，解得，可知直線過定點(diǎn)，同理可知：直線過定點(diǎn)，又因?yàn)?，可知，所以直線與直線的交點(diǎn)的軌跡是以的中點(diǎn)，半徑的圓，因?yàn)閳A的圓心，半徑，所以的最大值是.故選：B.8.設(shè)是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，先求得焦點(diǎn)到漸近線的距離為，在直角中，求得，再在中，利用余弦定理求得，結(jié)合和離心率的定義，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得，漸近線方程為，如圖所示，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為，在直角中，可得，在中，由余弦定理得，即，所以，又由，所以，可得，所以雙曲線的離心率為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量確定共面B.若對(duì)空間中隨意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面C.已知向量組是空間的一個(gè)基底，則也是空間的一個(gè)基底D.若，則是鈍角【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)向量共面的定義可推斷A，依據(jù)共面定理可推斷B，依據(jù)基底的定義可推斷C，利用向量夾角的取值范圍推斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)橛袃蓚€(gè)向量共線，所以這三個(gè)向量確定共面，A正確；對(duì)于B，因?yàn)榍?，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面，B正確；對(duì)于C，因?yàn)槭强臻g中的一組基底，所以不共面且都不為，假設(shè)共面，則，即，則，與其為基底沖突，所以不共面，所以也是空間的一組基底，C正確；對(duì)于D，若，則鈍角或是，D錯(cuò)誤；故選：ABC10.下列說法正確的有（）A.擲一枚質(zhì)地勻整的骰子兩次，事務(wù)“點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，事務(wù)“出現(xiàn)3點(diǎn)”，則B.袋中有大小質(zhì)地相同的3個(gè)白球和2個(gè)紅球.從中依次不放回取出2個(gè)球，則“兩球不同色”的概率是C.甲，乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊競賽，甲的中靶率為0.8，乙的中靬率為0.9，則“至少一人中靶”的概率為0.98D.某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，那么該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈的概率為【答案】BC【解析】【分析】計(jì)算古典概率推斷A；利用列舉法結(jié)合古典概型計(jì)算推斷B；利用對(duì)立事務(wù)及相互獨(dú)立事務(wù)求出概率可推斷CD.【詳解】對(duì)于A，擲一枚質(zhì)地勻整的骰子兩次，共有種不同的結(jié)果，事務(wù)“點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)且出現(xiàn)3點(diǎn)”有共6種不同的結(jié)果，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，記3個(gè)白球?yàn)椋?個(gè)紅球?yàn)?，?個(gè)球中任取2個(gè)的不同結(jié)果有：，共10個(gè)，其中兩球不同色的結(jié)果有：共6個(gè)，所以“兩球不同色”的概率是，故B正確；對(duì)于C，依題意，“至少一人中靶”的概率為，故C正確；對(duì)于D，該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈，即在前兩個(gè)路口都沒有遇到紅燈，第3個(gè)路口遇到紅燈，所以到第3個(gè)路口首次遇到紅燈概率為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知橢圓，若在橢圓上，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則下列說法正確的有（）A.若，則 B.面積的最大值為2C.的最大值為 D.的最大值為4【答案】ACD【解析】【分析】利用余弦定理可推斷A選項(xiàng)；利用三角形的面積公式可推斷B選項(xiàng)；利用橢圓的定義可推斷C選項(xiàng)；利用基本不等式可推斷D選項(xiàng)．【詳解】在橢圓中，，且，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則為橢圓的上下頂點(diǎn)，故，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到軸的距離最大，所以，△面積的最大值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，即，所以，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由橢圓定義可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：ACD．12.已知正方體棱長為為棱中點(diǎn)，為正方形上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.滿意的點(diǎn)的軌跡長度為B.滿意平面的點(diǎn)的軌跡長度為C.存在點(diǎn)，使得平面經(jīng)過點(diǎn)D.存在點(diǎn)滿意【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A，建立空間直角坐標(biāo)系，找出的坐標(biāo)，設(shè)，進(jìn)而對(duì)B進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證即可；對(duì)于B，利用線面平行的判定定理找出的軌跡，進(jìn)而求解推斷即可；對(duì)于C，連接，取的中點(diǎn)，連接，，得到平面截正方體所得截面與正方形沒有交點(diǎn)，進(jìn)而即可推斷；對(duì)于D，借助空間直角坐標(biāo)系，求得的最小值及處于邊界處的的值，進(jìn)而推斷即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，且，，所以，，，對(duì)于A，由，得，即，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)的軌跡為線段，且，，則，即點(diǎn)的軌跡長度為，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，如圖，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)知，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平面，又，，所以平面平面，又平面，所以平面，所以點(diǎn)的軌跡為線段，故B正確；對(duì)于C，如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接，，則平面截正方體所得截面為，與正方形沒有交點(diǎn)，所以不存在點(diǎn)，使得平面經(jīng)過點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由A知，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，即，且當(dāng)與重合時(shí)，，當(dāng)與重合時(shí)，，當(dāng)與重合時(shí)，，當(dāng)與重合時(shí)，，綜上所述，不存在點(diǎn)滿意，故D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中關(guān)于動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，經(jīng)常結(jié)合線、面判定定理及性質(zhì)尋求，或借助空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行幫助計(jì)算求解.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所圍成的四邊形的面積是__________.【答案】40【解析】【分析】利用橢圓方程可寫出四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出圍成的四邊形的面積.【詳解】由橢圓方程可得橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)分別為，故這四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形為菱形，所以面積.故答案為：4014.已知直線，直線，若，則=_________.【答案】2【解析】【分析】依據(jù)直線的平行可得出關(guān)于m的方程，求得m的值，檢驗(yàn)后即得答案.【詳解】由題意直線，直線，若，則有，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，直線，兩直線重合，不合題意，當(dāng)時(shí)，，直線，則，故故答案為：215.已知雙曲線C：，偶函數(shù)，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性可以求得的值，再依據(jù)所給條件求得的取值范圍，代入離心率的計(jì)算公式求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以即，解得，故函數(shù)解析式為，因?yàn)椋?，解得，雙曲線離心率為，則，，所以離心率的取值范圍是.故答案為：16.已知橢圓的右焦點(diǎn)是，直線交橢圓于兩點(diǎn)﹐直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為____________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，利用已知條件結(jié)合橢圓的對(duì)稱性可得四邊形為矩形，再利用勾股定理方程組求解即可.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，，，，由直線交橢圓于兩點(diǎn)﹐及，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性可得，所以，，均為直角三角形，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，，，所以在直角中，即①，在直角中，即②，由②解得，將代入①得，即，所以，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓，點(diǎn)，直線（1）若直線與相交于A、B兩點(diǎn)，求．（2）求過點(diǎn)且與相切的直線方程．【答案】（1）（2）和【解析】【分析】（1）依據(jù)弦長公式，即可求解；（2）依據(jù)直線與圓相切的幾何意義，列式求解.小問1詳解】圓的圓心為，圓心到直線的距離，弦長；【小問2詳解】過點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，直線與圓相切，滿意條件；當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，圓心到直線的距離，得，此時(shí)切線方程為.綜上可知，切線方程為和.18.依據(jù)世行2024年標(biāo)準(zhǔn)，人均GDP低于1035美元為低收入國家；人均GDP為美元為中等偏下收入國家；人均GDP為美元為中等偏上收入國家；人均GDP不低于美元為高收入國家．某城市有5個(gè)行政區(qū)，各區(qū)人口占該城市人口比例及人均GDP如下表：行政區(qū)區(qū)人口占城市人口比例區(qū)人均GDP（單位：美元）A25%8000B30%4000C15%6000D10%3000E20%10000（1）推斷該城市人均GDP是否達(dá)到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)；（2）現(xiàn)從該城市5個(gè)行政區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)，求抽到的2個(gè)行政區(qū)人均GDP至少一個(gè)沒達(dá)到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)的概率．【答案】（1）該城市人均GDP達(dá)到了中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)（2）【解析】【分析】（1）計(jì)算該城市該城市人均GDP，比較即可得結(jié)論；（2）利用列舉法，依據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.【小問1詳解】設(shè)該城市人口總數(shù)為a，則該城市人均GDP為（美元）．因?yàn)?，所以該城市人均GDP達(dá)到了中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)．【小問2詳解】“從5個(gè)行政區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)”的全部的基本領(lǐng)件是：，，，，，，，，，，共10個(gè)．設(shè)事務(wù)M為“抽到的2個(gè)行政區(qū)人均GDP至少一個(gè)沒達(dá)到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)”，則事務(wù)M包含的基本領(lǐng)件是：，，，，，，，共7個(gè)，所以所求概率為．19.雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線上．（1）求的最小值（2）若，求【答案】（1）2（2）13【解析】【分析】（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合雙曲線的取值范圍，即可求解；（2）依據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合（1）的結(jié)果，即可求解.【小問1詳解】設(shè)，，左焦點(diǎn)，，或，當(dāng)時(shí)，取得最小值2，所以的最小值為2；【小問2詳解】由方程可知，，所以，即，解得：或,依據(jù)對(duì)稱性，以及（1）的結(jié)果可知，的最小值為2，所以舍去，，所以的值為.20.已知橢圓：的離心率為，是橢圓上一點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若，是橢圓上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為M，①求直線的方程．②求的面積．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）由離心率，過點(diǎn)，及橢圓的定義列方程組求解即可；（2）設(shè)，利用點(diǎn)差法即可求出直線的方程；再利用弦長公式，點(diǎn)到直線的距離公式即可求得面積．【小問1詳解】由題意得，，解得，所以橢圓的方程為．【小問2詳解】設(shè)，由，是橢圓上兩點(diǎn)得，，兩式相減得，即，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為M，所以，所以，即，所以直線的方程為，即；由得，，則，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以．21.在四棱錐中，底面為直角梯形，，側(cè)面底面，且分別為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見